SESION_3_UCV

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MATEMÁTICA II
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Las ventas de productos alimenticios
funcionales, que prometen beneficios
adicionales a la nutrición básica, han
aumentado drásticamente en los últimos
años. Las ventas (en miles de millones de
dólares) de alimentos y bebidas con hierbas
naturales y otras adiciones se aproximan
mediante la función:
𝑆 𝑡 = 0.46𝑡3 − 2.22𝑡2 + 6.21𝑡 + 7.25
donde t se mide en años, con t=0 corresponde
a 1997. Se desea saber en qué año se obtuvo
la venta máxima de productos alimenticios
funcionales.
CASO: LA VENTA MÁXIMA
Al finalizar la sesión de clase, el estudiante resuelve ejercicios sobre los intervalos
de crecimiento y los puntos extremos de una función así mismo como problemas,
aplicando el criterio de la primera derivada; para el cual argumenta su proceso
analítico seguido e interpreta.
LOGRO DE LA SESIÓN
Función Decreciente:
Una función “f” es decreciente sobre
el intervalo (a;b) si para cualquier
𝑥1 𝑦 𝑥2 de (a;b) con 𝒙𝟏 <
𝒙𝟐 se cumple 𝒇(𝒙𝟏) ≥ 𝒇(𝒙𝟐)
X
Y
f(x1)
f(x2)
x2x1
f (x)
Función Creciente:
Una función “f” es creciente sobre el
intervalo (a;b) si para cualquier
𝑥1 𝑦 𝑥2 de (a;b) con 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 se
cumple 𝒇(𝒙𝟏) ≤ 𝒇(𝒙𝟐)
X
f (x)
x1 x2
f(x1)
f(x2)
Y
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
Función Creciente:
Una función f es creciente en un
intervalo (a;b), si cumple:
𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 𝒙𝟏 < 𝒇(𝒙𝟐)
Función Decreciente:
Una función f es decreciente en
un intervalo (a;b) si cumple:
𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 𝒙𝟏 > 𝒇(𝒙𝟐)
X
y=f (x)
X
y=f (x)
Y Y
COMPORTAMIENTO GRÁFICO
La primera derivada determina si una función creciente o decreciente.
Función Creciente:
Si para todo 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 se
cumple que:
Si 𝒇′ 𝒙 > 𝟎 ⟹ f es creciente
Función Decreciente:
Si para todo 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) se cumple
que:
Si 𝒇′ 𝒙 < 𝟎 ⟹ f es decreciente
y=f (x)y=f (x)
X
Y
a b X
Y
a b 
𝑓′ 𝑥3 > 0
𝑓′ 𝑥2 > 0
𝑓′(𝑥1)>0
𝑓′ 𝑥3 < 0
𝑓′ 𝑥2 < 0
𝑓′ 𝑥1 < 0
LA PRIMERA DERIVADA
Determina el crecimiento o decrecimiento de la función en los intervalos:
−1; 3 ; 3; 7
𝑓 𝑥 = −
𝑥 − 3
2
2
+ 5
Solución:
1°. Derivar la función: 𝑓′(𝑥) = −(𝑥 − 3)
2°. Dar puntos de prueba y evaluar en la función derivada:
𝑥 ∈ −1; 3 𝑓′ 0 = − 0 − 3 = 3 > 0
𝑓′ 1 = − 1 − 3 = 2 > 0
𝑓′ 2 = − 2 − 3 = 1 > 0
Por lo tanto, en el intervalo −1; 3 la función
es creciente.
𝑥 ∈ 3; 7 𝑓′ 4 = − 4 − 3 = −1 < 0
𝑓′ 5 = − 5 − 3 = −2 < 0
𝑓′ 6 = − 6 − 3 = −3 < 0
Por lo tanto, en el intervalo 3; 7 la función es decreciente.
        










x
y
EJEMPLO 1
X
Y
y=f (x)
Definición 1:
Sea la función f(x) con 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 . Si 𝑓 𝑥0 es extremo relativo en 𝑥0 ,
entonces 𝑓′ 𝑥0 = 0 o bien 𝑓′ 𝑥0 no existe.
Definición 2:
Sea la función f(x) definida en 𝑥0. Si 𝑓′ 𝑥0 = 0 o bien 𝑓′ 𝑥0 no existe,
entonces 𝑥0 es un punto crítico.
𝑓′(𝑥2)=0
𝑓′(𝑥4) no existe
𝑓′(𝑥5)=0
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4
𝑥5
𝑓′(𝑥1)=0
𝑓′(𝑥3)=0
EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN
Si 𝑓′ 𝑥0 = 0 ó bien 𝑓′ 𝑥0 no existe, entonces puede cumplirse que:
1) .𝑓 𝑥0 es extremo relativo ó bien;
2) . 𝑥0; 𝑓 𝑥0 es un punto de inflexión.
     





x
y
𝑓′ −1 = 0
𝑓′ 1 = 0
𝑓′ 0 = 0
Punto de 
inflexión
En 𝑥 = 0 la derivada es
𝑓′ 0 = 0 y sin embargo no
es un extremo de la función.
OBSERVACIÓN
x
y
Puntos críticos, extremos relativos y puntos silla
f ´>0
f ´<0
f ´>0
f ´>0
f ´<0 f ´<0
f ´<0
Sea 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 un punto crítico de la función continua 𝒇 𝒙 , diferenciable en
𝑎, 𝑏 , excepto posiblemente en 𝑥0 , entonces:
1) Si 𝒇′ 𝒙 > 𝟎 a la izquierda de 𝑥0 y 𝑓′(𝑥) < 𝟎 a la derecha de 𝑥0, entonces en 𝑥0
existe un máximo relativo, cuyo valor es 𝒇 𝑥0 .
2) Si 𝑓′(𝑥) < 𝟎 a la izquierda de 𝑥0 y 𝒇′ 𝒙 > 𝟎 a la derecha de 𝑥0, entonces en 𝑥0
existe un mínimo relativo, cuyo valor es 𝒇 𝑥0 .
La primera derivada determina los 𝑥0 donde la función tiene un máximo o un
mínimo relativo.
𝑥0
𝑓′ 𝑥 > 0 𝑓′ 𝑥 < 0
𝑥0
𝑓′ 𝑥 < 0 𝑓′ 𝑥 > 0
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los
máximos y mínimos de la función:
𝑓 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 − 7
Solución:
1°. Determinar los puntos críticos:
𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 6𝑥 − 12 = 0
6 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0
𝑥 + 2 (𝑥 − 1) = 0
𝑥 = −2 ∧ 𝑥 = 1
Por lo tanto, los puntos críticos son: 𝑥 = −2 ∧ 𝑥 = 1
2°. Aplicar el Criterio de la primera derivada:
Intervalo −∞;−2 −2; 1 1;+∞
Valor de prueba 𝑥 = −3 𝑥 = 0 𝑥 = 2
Signo de 𝑓′(𝑥) 𝑓′ −3 = 24 > 0 𝑓′(0) = −12 < 0 𝑓′ 2 = 24 > 0
Conclusión La función crece La función decrece La función crece
EJEMPLO 1
3°. Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Intervalos de crecimiento: −∞;−2 ; 1;+∞
Intervalo de decrecimiento: −2; 1
Intervalo −∞;−2 −2; 1 1;+∞
Valor de prueba 𝑥 = −3 𝑥 = 0 𝑥 = 2
Signo de 𝑓′(𝑥) 𝑓′ −3 = 24 > 0 𝑓′(𝑥) = −12 < 0 𝑓′ 2 = 24 > 0
Conclusión La función crece La función decrece La función crece
        
















x
y
4°. Máximos y mínimos:
En 𝑥 = −2 la función alcanza un
máximo, cuyo valor es: 𝑓(−2) = 13
En 𝑥 = 1 la función alcanza un
mínimo, cuyo valor es: 𝑓(1) = −14
CONTINUACIÓN 1
Halla los máximos y mínimos relativos de la función: f x = 𝑥3 − 6𝑥2 − 15𝑥 + 40
Intervalo (−∞;−1) (−1; 5) (5; +∞)
Punto de prueba -2 0 6
Signo de 𝒇′ 𝒙 𝑓′ 𝑥 > 0 𝑓′ 𝑥 < 0 𝑓′ 𝑥 > 0
𝒇(𝒙) creciente decreciente creciente
Tipo de punto x = −1 es un máximo x = 5 es un mínimo 
Coordenadas 𝑃𝑚á𝑥 = (−1; f(−1)) 𝑃𝑚í𝑛 = (5; f(5))
f ′ x = 3𝑥2 − 12𝑥 − 15 = 0
x=5 x= - 1 Puntos críticos
-1 5
(-∞ ; -1) (-1 ; 5) (5 ; +∞ )
Determinando los puntos críticos: f ’(x) = 0 
Aplicando el Criterio de la primera derivada 
EJEMPLO 2
GRÁFICA 2
f x = 𝑥3 − 6𝑥2 − 15𝑥 + 40
Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3 + 7
Intervalo (−∞; 0) (0; 3) (3;+∞)
Punto de prueba -1 1 4
S𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒇′ 𝒙 𝑓′ 𝑥 < 0 𝑓′ 𝑥 < 0 𝑓′ 𝑥 > 0
𝒇(𝒙) decreciente decreciente creciente
Tipo de punto x = 3 es un mínimo
coordenadas 𝑃𝑚í𝑛 = (3; f(3))
f ′ 𝑥 = 4𝑥3 − 12𝑥2 = 0Determinando los puntos críticos: f ’(x) = 0 
x = 0 x = 3 Puntos críticos
0 3
(-∞ ; 0) (0 ; 3) (3 ; +∞ )
Aplicando el Criterio de la primera derivada 
EJEMPLO 3
GRÁFICA 3
𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3 + 7
1) Si 𝒇′ 𝒙 > 𝟎 a ambos lados de 𝑥0, entonces en 𝑥0 no existe ni máximo relativo
ni mínimo relativo.
2) Si 𝑓′(𝑥) < 𝟎 a ambos lados de 𝑥0, entonces en 𝑥0 no existe ni máximo relativo
ni mínimo relativo.
𝑥0
𝑓′ 𝑥 > 0 𝑓′ 𝑥 > 0
𝑥0
𝑓′ 𝑥 < 0 𝑓′ 𝑥 < 0
OBSERVACIÓN
Ahora, ¿Podrás ahora resolver el 
caso: La venta máxima?
Formemos equipos de trabajos para potenciar nuestros 
aprendizajes
TALLER DE CLASE
1) ¿Qué he aprendido en esta sesión?
2) ¿Qué dificultades se presentaron en la solución de ejercicios o problemas?
3) ¿Qué tipo de problemas cotidianos o de gestión empresarial se podrían resolver usando
este tema?
REFLEXIÓN DEL TEMA
GRACIAS