5 - elip_hiper

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MATEMÁTICA II
CURSO 2020
PRÁCTICA V: Elipse e Hipérbola
1. Hallar la ecuación de la elipse que verifica:
(a) sus focos son F1(5, 0) y F2(−5, 0) y la longitud del eje mayor es 26;
(b) tiene sus focos en F1(0, 3) y F2(0,−3) y su excentricidad es 35 ;
(c) los extremos de su eje menor son B1(0, 4) y B2(0,−4), y la longitud del eje
mayor es 10;
(d) tiene centro en C(−5, 1), un foco es F1(−5, 3) y su eje mayor tiene longitud 8;
(e) tiene centro en C(3,−2), la longitud del semieje menor es 3 y su excentricidad
es 3
7
.
En todos los casos representar gráficamente.
2. Encontrar los elementos de cada una de las siguientes elipses y representar gráficamente:
(a) x
2
9
+ y
2
49
= 1;
(b) 4x2 + y2 = 16;
(c) 4x2 + 9y2 = 36;
(d) (x−1)
2
81
+ (y+3)
2
25
= 1;
(e) (x−1)
2
16
+ (y+2)
2
25
= 1.
3. Hallar los valores de k ∈ R para que la recta de ecuación x + 2y = k sea tangente
a la elipse de ecuación x2 + 2y2 = 16. En cada caso hallar el punto de tangencia y
representar gráficamente.
4. La curva de transformación de una pyme que fabrica pan y facturas responde a la
ecuación:
25p2 + 16f 2 + 50p+ 32f = 359,
donde p y f son las cantidades (en cientos) de kilos de pan y facturas, respectiva-
mente, que producen en una semana. Cuál es la máxima capacidad de fabricación
de pan y cuál es la producción de facturas en ese caso? Y a la inversa?
5. Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a
los puntos F1(0, 3) y F2(0,−3) es igual a 5. De qué curva se trata?
6. Encontrar todos los elementos de las hipérbolas cuyas ecuaciones son:
(a) x2 − 4y2 = 36;
1
(b) 4y2 − 4x2 = 1;
(c) (x−2)
2
25
− (y+2)
2
16
= 1;
(d) (y−1)
2
16
− (x+3)
2
25
= 1.
Dar en cada caso las ecuaciones del eje focal y de las aśıntotas. Representar
gráficamente.
Ejercicios adicionales
1. Definición: Se llama lado recto de una elipse al segmento determinado por los
puntos de intersección de la elipse con la recta que pasa por alguno de sus focos y
es perpendicular al eje focal de la elipse.
(a) Dada la elipse de eje mayor sobre el eje x cuya ecuación es
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
probar que la longitud de uno cualquiera de sus lados rectos es 2b
2
a
.
(b) Hallar la ecuación de la elipse con focos F1(3, 0) y F2(−3, 0), sabiendo que la
longitud de cada uno de sus lados rectos es 9. Representar gráficamente.
2. Hallar la ecuación de la hipérbola tal que: sus vértices reales sonA1(3,−5) yA2(3, 1),
las ecuaciones de sus aśıntotas son y = 2x − 8 e y = −2x + 4. Encontrar las
coordenadas de los focos y de los vértices imaginarios; hallar la excentricidad de la
hipérbola y representar gráficamente.
3. Definición: Se llama lado recto de una hipérbola al segmento determinado por los
puntos de intersección de la hipérbola con la recta que pasa por alguno de sus focos
y es perpendicular a su eje focal.
(a) Hallar la lingitud de un lado recto de la hipérbola con centro C(α, β) y eje
focal paralelo al eje y.
(b) Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en C(2,−2), uno de sus vértices
reales A2(0,−2) y longitud de un lado recto igual a 8. Indicar las coordenadas
de los focos y de los otros vértices. Hallar las ecuaciones de las aśıntotas y
representar gráficamente.
4. En cada caso decir de que curva se trata, dar sus elementos y representar gráficamente.
(a) 9x2 + 4y2 − 18x+ 8y − 23 = 0;
(b) 4x2 + y2 − 32x+ 16y + 124 = 0;
(c) 9x2 − 4y2 − 36x− 8y − 4 = 0;
(d) 25y2 − 9x2 − 50y − 54x− 281 = 0.
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