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MATEMÁTICA II
CURSO 2020
PRÁCTICA IV: Recta, Circunferencia y Parábola
1. Encontrar la ecuación de la recta que:
(a) pasa por A(−1, 2) y tiene pendiente −2;
(b) pasa por B(3,−2) y su ángulo de inclinación es 7
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π;
(c) pasa por D(−3, 0) y es perpendicular al eje x.
(d) pasa por P (2,−1) y es paralela al eje y;
(e) pasa por Q(0,−2) y es perpendicular a la recta que pasa por Q1(−3,−2) y
Q2(3, 1).
En todos los casos representar gráficamente.
2. Consideramos los puntos P0(−1, 3), P1(1,−1) y P2(−5, 0) y sea r la recta de ecuación
x+ y − 3 = 0. Hallar en cada caso la distancia entre:
(a) los puntos P0 y P1; y los puntos P1 y P2;
(b) el punto P0 y la recta r; y el punto P2 y la recta r.
3. Hallar la ecuación de demanda de la producción de luces de emergencia si cuando
el precio es 80 u.m. se venden 10 unidades, mientras que si el precio es de 60 u.m.
se venden 20. ¿A qué precio no se venderá ninguna luz de emergencia?
4. Encontrar en cada caso la ecuación de la circunferencia tal que:
(a) tiene centro C(2, 3) y pasa por A(3,−2);
(b) tiene centro en C(−1,−5) y es tangente al eje y;
(c) es tangente a los ejes coordenados y tiene radio 4;
(d) tiene centro en C(−1,−3) y es tangente a la recta que pasa por los puntos
A(−2, 4) y B(2, 1);
En todos los casos representar gráficamente.
5. En cada caso encontrar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia
cuya ecuación es:
(a) x2 + y2 − 5x+ 9y + 26 = 0;
(b) x2 + y2 + 2x+ 10y + 1 = 0;
(c) 3x2 + 3y2 − 114x− 64y + 276 = 0
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En todos los casos representar gráficamente.
6. (a) Hallar el radio de una circunferencia de centro C(−1, 1) tangente a la recta de
ecuación x+ 2y = 4.
(b) Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia de ecuación
x2 + y2 − 12x+ 10y − 11 = 0, paralelas a la recta de ecuación x+ y + 4 = 0.
(c) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el eje x y pasa por
los puntos A(1, 3) y B(4, 6).
(d) Determinar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta
de ecuación x+ y = 2 y pasa por los puntos A(−3, 0) y B(2,−1).
En todos los casos representar gráficamente.
7. Una imprenta puede vender x unidades de volantes a p pesos por unidad, estando
x y p relacionados por:
x2 + p2 + 200x+ 150p = 49400.
Graficar la curva de demanda y decidir cuál es el precio más alto por encima del
cual no hay posibilidades de venta.
8. Hallar la ecuación de la parábola que verifica:
(a) su foco es F (0, 6) y la ecuación de su directriz es y + 6 = 0;
(b) tiene vértice en V (3, 2) y foco en F (5, 2);
(c) su vértice es V (0, 0) y pasa por los puntos A(2,−3) y B(−2,−3);
(d) su vértice es V (1, 1) y su directriz la recta de ecuación y = −2.
En todos los casos representar gráficamente.
9. Encontrar los elementos de cada una de las siguientes parábolas y representar
gráficamente:
(a) 3x2 = 8y;
(b) y2 = −4x.
(c) 4x2 − 8x+ 3y − 2 = 0;
(d) −y2 + 2y + x = 0;
(e) y2 − 6x+ 2y + 13 = 0.
10. Una empresa de elaborados lácteos produce principalmente quesos y manteca. La
curva de transformación asociada a dichos productos responde a la ecuación:
Q2 + 2Q+ 4M − 168 = 0,
siendo Q la producción de quesos (en cientos de unidades) y M la producción de
manteca (en cientos de panes). Hallar:
(a) máxima producción de quesos;
(b) máxima producción de manteca;
(c) hay valores para los cuales ambas se equiparan?
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Ejercicios adicionales:
1. (a) Hallar las ecuaciones de las rectas perpendiculares a la recta de ecuación
−x+ 2y + 3 = 0
y que forman con los ejes coordenados un triángulo de área 8. Representar
gráficamente.
(b) Sea r la recta que pasa por P0(−1, 4) y es perpendicular a la recta de ecuación
x − y = 0. Hallar el área determinada por la recta r y los ejes coordenados.
Representar gráficamente.
2. Cuando el precio de un modelo de memoria externa es de 25 dólares no hay unidades
disponibles en el mercado, pero a medida que aumenta el precio, se dispone de más
oferta a razón de 20 unidades por cada 10 dólares que aumenta su valor de venta.
Cuál es la ecuación de oferta?
3. Qué condiciones deben cumplir D y F para que la ecuación x2 + y2 + Dx + F = 0
tenga como gráfica a una circunferencia? Justificar y dar las coordenadas del centro.
4. La curva de transformación de una pyme que fabrica carteras y zapatos responde a
la ecuación:
c2 + z2 + 2c+ 4z − 20 = 0,
donde c y z son la cantidad (en decenas) de carteras y zapatos que producen en una
semana.
(a) ¿Cuál es la máxima cantidad de carteras que pueden fabricar y cuál es la
producción de zapatos en ese caso?
(b) ¿Cuál es la cantidad de ambos productos para la que están igualados?
5. Definición: Se llama lado recto de una parábola a la cuerda determinada por
los puntos de intersección de la parábola con la recta que pasa por su foco y es
perpendicular al eje de la parábola.
(a) Dada la parábola de ecuación y2 = 2px, hallar la longitud de su lado recto y
representar gráficamente. Esta longitud coincide si consideramos una parábola
de ecuación x2 = 2py?
(b) Hallar la longitud del lado recto de la parábola de ecuación y2−4y+6x−5 = 0.
Representar gráficamente.
6. (a) Hallar la ecuación de la parábola con vértice V (1, 3), eje focal paralelo al eje
x y que pasa por el punto P (6, 13). Graficar y dar los otros elementos de la
parábola.
(b) Hallar la ecuación de la parábola con véértice V (−5, 1), eje focal paralelo al
eje y y que pasa por el punto P (1, 0). Graficar y dar los otros elementos de la
parábola.
7. A partir de la parábola P1 : y = x2, graficar y observar qué relación guarda con
(a) P2 : y = x2 + 2 y P3 : y = x2 − 1.
(b) P4 : y = (x+ 2)2 y P5 : y = (x− 1)2.
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Extraer conclusiones.
8. La curva de Ingresos de un emprendimiento es tal que pasa por los puntos P1(0, 0),
P2(3, 0) y P3(4, 4). Ajustar una ecuación de la misma sabiendo que responde a una
parábola con eje paralelo al eje y. Considerando que el eje de abscisas es t (meses)
y el de ordenadas I (miles de pesos), graficar y explicar qué está sucediendo en la
economı́a del emprendimiento.
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