Geometría de Masas - Definiciones

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GEOMETRÍA DE MASAS 
 
FACULTAT DE NÀUTICA DE BARCELONA 
Departament de Ciència i Enginyeria Nàutica 
 
 
 
 
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Geometría de Masas: Definiciones y expresiones de cálculo 
 
Estas páginas recogen definiciones y expresiones de cálculo de las distintas propiedades del 
sólido plano. 
 
 
Centro de gravedad (Xg, Yg): 
 
El centro de gravedad es el lugar geométrico en el que se puede concentrar toda la masa de un 
sólido de modo que, el momento que produce la masa concentrada respecto a un punto 
cualquiera, es igual al momento de la masa distribuida respecto ese mismo punto. 
 
Cálculo en el caso de un sólido continuo: 
 
El centro de gravedad de una sección plana se obtiene a partir de la posición de los distintos 
diferenciales de área del sólido, divididos por el área total del mismo. Referido a unos ejes x e 
y, el centro de gravedad se puede calcular como: 
 
Centro de gravedad: 
 
 
A
A
dA
dAx
Xg 
 
 
A
A
dA
dAy
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Momento de Inercia (Ix, Iy) y Producto de Inercia (Ixy): 
 
El momento de inercia es una propiedad del sólido que indica la capacidad de giro de la sección 
respecto a un eje. Cuanto mayor sea el momento de inercia, mayor será el radio de giro 
característico de la sección. El momento de inercia también se puede interpretar como una 
medida de lo alejados que están los distintos puntos de una sección del eje: cuanto más 
alejados, mayor es el producto de inercia. 
 
Cálculo en el caso de un sólido continuo: 
 
En el caso de un sólido continuo, el momento de inercia se obtiene como la distancia al 
cuadrado de los distintos puntos del sólido al eje de rotación. Esto es: 
 
 
Momento de inercia 
respecto el eje x: 
 
 
A
dAyIx 2 
 
 
 
 
 
Momento de inercia 
respecto el eje y: 
 
 
A
dAxIy 2 
 
 
 
 
El producto de inercia Ixy se obtiene como la distancia al eje x por la distancia al eje y de los 
distintos puntos del sólido. Éste proporciona una indicación de la simetría de la sección respecto 
los ejes x e y; a menor simetría, mayor valor del producto de inercia. 
 
 
Producto de inercia 
respecto los ejes x e y: 
 
 
A
dAyxIxy 
 
 
 
 
 
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Cálculo en el caso de un sólido discreto: 
 
Si el sólido está formado por n piezas, en las que la pieza i tiene un área iA , los momentos y 
productos de inercia se obtienen como: 
 
Momentos y productos de inercia: 
 
 
n
i
ii AyIx
1
2 
 
 
n
i
ii AxIy
1
2 
 
 
n
i
iii AyxIxy
1
 
 
 
Importante: Los productos y el momento de inercia se obtienen siempre referentes a unos 
ejes x e y . Si cambiamos los ejes, cambiarán también los valores de los productos y del 
momento de inercia. Por tanto, para sumar los n momentos y productos de inercia de un sólido 
discreto, es necesario que cada uno de ellos esté calculado respecto los mismos ejes x e y . 
 
 
Traslación del momento de inercia (Teorema de Steiner): 
 
Tal como se ha mostrado, el momento de inercia de una pieza es siempre referente a un eje 
(sobre el que se mide la capacidad de giro de la pieza). El teorema de Steiner permite calcular 
los momentos y el producto de inercia respecto unos ejes )ˆ,ˆ( yx , paralelos a ),( yx . 
 
Momentos y productos de inercia: 
 
 AyIxxI 2ˆ 
 
 AxIyyI 2ˆ 
 
 AyxIxyyxI ˆˆ 
 
 
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Rotación del momento de inercia: 
 
Igual que se ha obtenido el momento de inercia respecto a unos ejes paralelos a ),( yx , 
también puede interesar obtener el momento de inercia respecto a unos ejes ),( yx rotados un 
ángulo respecto los ejes ),( yx . 
 
 
 
Momentos y productos de inercia: 
 
 2sin2cos
22
Ixy
IyIxIyIx
xI
 
 2sin2cos
22
Ixy
IyIxIyIx
yI
 
 2cos2sin
2
Ixy
IyIx
yxI 
 
 
 
 
Ejes principales de inercia y momentos principales de inercia (I1, I2): 
 
Existe un ángulo para el que el producto de inercia es igual a cero. Además, el momento de 
inercia de respecto unos ejes de coordenadas rotados este ángulo proporcionan el valor 
máximo y mínimo de inercia. Estos ejes reciben el nombre de ejes principales de inercia y los 
momentos de la sección respecto estos ejes son los momentos principales de inercia. . 
 
El ángulo que proporciona los ejes principales de inercia (girado en sentido antihorario), así 
como los productos principales de inercia, se obtienen con las siguientes expresiones: 
 
IyIx
Ixy2
2tan 
 
2
2
1 22
Ixy
IyIxIyIx
I 
 
2
2
2 22
Ixy
IyIxIyIx
I