ANALISIS_DE_ESTRUCTURAS_Problemas_resuel (1)

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ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS 
 
 
Problemas resueltos 
 
David Ortiz Soto 
 
Edición revisada 
ACERCA DEL AUTOR 
 
 
 
 
 
 
 
David Ortiz Soto es ingeniero civil egresado de la Universidad Nacional Autónoma 
de México (UNAM), Facultad de Estudios Superiores Aragón (FES Aragón), con 
créditos concluidos en la Maestría en Ingeniería Civil, área disciplinaria de 
Estructuras, por la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación (SEPI) de la 
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, Unidad Zacatenco (ESIA-UZ), del 
Instituto Politécnico Nacional (IPN). 
Actualmente desarrolla su tesis de Maestría denominada “Los efectos de la 
deformación del Creep en columnas de concreto”, siendo el Dr. Ernesto Pineda 
León el director de la misma. 
El Ing. David Ortiz es autor, con los ingenieros Hugo Martínez, Sergio Omar 
Berruecos, Daniel Hernández, etc., del libro “Estructuras Isostáticas en 2D: 
Problemas Resueltos”, el cual presentó oficialmente por primer vez en el evento 
Simposio de Investigación en Sistemas Constructivos, Computacionales y 
Arquitectónicos (SISCCA) 2014 con sede en la Universidad Juárez del Estado de 
Durango, FICA. De igual forma, es autor del libro “Resolución de Armaduras en 2D 
con el método matricial de la rigidez” y es uno de los editores de la WEB de 
Ingeniería Civil más importante de América Latina llamada “CivilGeeks”, en la que 
ha escrito diversos artículos. Estuvo como invitado de honor en el quinto aniversario 
del ITI III, donde ofreció conferencia de “Análisis Estructural”. Así mismo, es uno de 
los creadores de la Biblioteca que lleva por nombre “Problemario de Análisis de 
Estructuras en 2D y 3D”. 
Hoy en día, es el representante de la comunidad estudiantil de posgrado de ESIA 
Zacatenco. 
Ha sido invitado varias veces al Programa de Radio “Ingenio Civil” de Nuestra Voz 
Radio: ¡La Voz del Pueblo Organizado!; en alguna emisión de tal programa, alternó 
con el Ph. D. Genner Villarreal Castro. 
Muchos años vivió en Zumpango, pero actualmente radica en Tecámac, ambos 
municipios del Estado de México, colindantes con el D. F. 
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS 
Problemas resueltos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
México 2014 
 
 
 
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS 
Problemas resueltos 
 
 
 
 
 
DAVID ORTIZ SOTO 
Instituto Politécnico Nacional 
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura 
 
Universidad Nacional Autónoma de México 
Facultad de Estudios Superiores Aragón 
 
 
 
Revisión Técnica: 
Dr. Ernesto Pineda León 
Docente en Instituto Politécnico Nacional 
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura 
Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, y Licenciatura 
 
Universidad de Londres 
Queen Mary College 
 
Universidad de Sonora 
Facultad de Ingeniería 
 
 
 
Datos de Catalogación bibliográfica 
ORTIZ, D. 
Análisis de Estructuras: Problemas Resueltos 
Primera edición 
INDEPENDIENTE, México, 2014 
 ISBN Trámite en proceso 
 Área: Ingeniería 
Formato: Carta 21.6 cm x 27.9 cm 
 
 
 
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento 
informático, ni la transmisión de ninguna forma o cualquier medio, ya sea 
electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, con fines 
lucrativos. 
 
 
 
DERECHOS RESERVADOS 2014, por David Ortiz Soto 
 
 
Impreso en México 
 
V 
 
DEDICATORIAS 
 
El presente libro está dedicado a todos los(as) estudiantes y profesores(as) que han 
levantado la voz para exigir sus derechos y un sistema justo en el Instituto 
Politécnico Nacional (IPN), sin miedo a represalias, haciendo uso del “derecho a 
pensar”. 
Siendo hoy el 27 de Septiembre del 2014, a 10 días del “PARO INDEFINIDO” que 
han organizado diversos estudiantes de la Escuela Superior de Ingeniería y 
Arquitectura, Unidad Zacatenco, bajo el argumento de no haber recibido respuesta 
a su pliego petitorio por parte de las autoridades, el movimiento está más fuerte que 
nunca y nadie dará un paso atrás hasta haber conseguido el objetivo. La principal 
inconformidad es el nuevo plan de estudios (2014) impuesto y de menor calidad al 
precedente (2004), por lo que se exige derogación al mismo. 
Muchos profesores tanto de Licenciatura como de Posgrado se han unido a la 
causa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La presente obra también se ha realizado en apoyo absoluto a los Investigadores 
de SEPI ESIA Zacatenco, quienes han protestado ante lo que ellos han denominado 
“la imposición de un jefe ilegítimo de posgrado”. 
 
DEDICATORIAS 
VI 
 
 
Finalmente, va para todos(as) aquellos(as) que en conjunto han formado la 
“Resistencia Global Politécnica”, manifestándose en contra del “Nuevo Reglamento 
Interno del IPN”, desde vocacionales hasta unidades de nivel superior, así como a 
todos(as) los solidarios(as) pertenecientes a otras universidades como la UNAM, 
UAM, etc., hasta la población en general que se ha solidarizado. 
 
LA RESISTENCIA GLOBAL DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL (IPN) 
Y LAS UNIVERSIDADES SOLIDARIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡Basta ya! nuestro futuro no está en venta 
hermano(a) no te vayas a la deriva 
 mejor pon el puño arriba 
porque mi gente está apoyando la causa 
 aquí estamos todos resistiendo 
vamos todos a bordo, que no se quede nadie 
 cuidando al compañero y que aquí nadie nos calle 
 vamos a demostrarles que somos conscientes 
organización y hay que tener cuidado 
hay muchos que provocan porque vienen infiltrados 
 son tan ignorantes, se olvidan de su pueblo, 
confunden interesantes y creen son parte del dueño 
nuestro delito es ser conscientes 
no caemos en el juego de la desinformación 
disfrutamos del consenso y fomentamos el apoyo mutuo 
 solidaridad y diversidad sexual 
seguirémos creyendo que la razón más justa es la verdad 
 nadie va parar la libertad 
busquemos el derecho de imaginar y opinar 
 
By el artista mexicano Herón Skalo 
VIII 
DONATIVOS VOLUNTARIOS 
Si bien siempre he pensado que “la información no es sólo para el que la paga, es 
para todos”, motivo por el cual coloco con toda humildad para su libre descarga este 
libro, en esta ocasión, se requiere de su apoyo para los estudiantes que se 
encuentran luchando por una causa justa defendiendo el IPN. Si está en tus 
posibilidades el hacer algunos donativos tales como víveres, agua, papel higiénico, 
etc., para los jóvenes que se encuentran salvaguardado sus correspondientes 
escuelas a las que pertenecen, sean Vocacionales o de Nivel Superior, se te 
agradecerá en demasía. Mientras dura este movimiento, puedes acudir 
directamente a cualquiera de las Instalaciones del IPN a visitar a los estudiantes 
citados para hacerles entrega de lo que desees donar. 
 
IX 
CONTACTO 
 
Cuenta Personal 
 
David Ortiz M en I https://www.facebook.com/davidortizMenI 
 
 
Página de la Biblioteca 
 
Se les hace la amable invitación a unirse a la página oficial de Facebook de la 
Biblioteca; para localizarla, se les sugiere teclear en el buscador las palabras 
Problemario de Análisis de Estructuras en 2D Y 3D. 
 
Si buscas un sitio donde se haga válido el supuesto derecho que todos tenemos de 
"La educación es gratuita y no un privilegio", la Biblioteca citada es uno de los 
lugares indicados, pues toda la información que elaboramos (Libros, Tesis, Vídeos 
Tutoriales y Manuales) profesionistas de México, Perú, Bolivia y Ecuador es de libre 
descarga. Si necesitas una dosis de entretenimiento, ahí la encontrarás. Siempre 
serás bienvenido al lugar donde a través de la expresión artística manifestamos 
nuestra inconformidad ante un sistema injusto y carente de oportunidades para 
todos por igual. Es en la literatura de Ingeniería más combativa que jamás hayas 
visto donde podrás notar que pintamos las banderas de un solo color, pues 
todos(as) tienen cabida, y los egos y las envidias no existen. Que disfruten de 
nuestra producciónintelectual: es la novel propuesta del siglo XXI. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.facebook.com/davidortizMenI
 
 
 
 
 
 
 
XI 
 
PREFACIO 
El libro se ha escrito con la finalidad de contribuir en el apoyo a profesores, 
estudiantes y todos los interesados en general en la enseñanza y el aprendizaje del 
análisis estructural, el cual representa un apartado trascendental en el área de la 
Ingeniería Estructural. Esta a su vez, constituye uno de los pilares más importantes 
de la carrera de Ingeniería Civil y de otras carreras como Ingeniería Mecánica, 
Ingeniería Aeronáutica y Arquitectura. 
Una estructura es el conjunto de elementos resistentes, convenientemente 
vinculados entre sí, que accionan y reaccionan bajo los efectos de las cargas; su 
finalidad es resistir y transmitir cargas a otros elementos y a los apoyos, y de ese 
modo garantizar su correcto funcionamiento. Los requisitos o exigencias básicas 
que una estructura debe cumplir son: equilibrio y estabilidad. 
 
Se entiende por análisis de una estructura al proceso sistemático que concluye con 
el conocimiento de las características de su comportamiento bajo un cierto estado 
de cargas; se incluye, habitualmente, bajo la denominación genérica de estudio del 
comportamiento tanto el estudio del análisis de los estados tensional y 
deformacional alcanzados por los elementos y componentes físicos de la estructura 
como la obtención de conclusiones sobre la influencia recíproca con el medio 
ambiente o sobre sus condiciones de seguridad. Es entonces el objetivo del análisis 
de una estructura, la predicción de su comportamiento bajo las diferentes acciones 
para las que se postule o establezca que debe tener capacidad de respuesta. 
 
El énfasis de este libro es resolver de manera minuciosa y clara una gran variedad 
de ejercicios sobre estructuras isostáticas e hiperestáticas, y sistemas de un grado 
de libertad con amortiguación y sin amortiguación. Esto tiene como objetivo ofrecer 
al lector una idea muy acercada de cómo trabajan los software de estructuras 
disponibles hoy en día, por ejemplo, el SAP 2000, ETABS o ANSYS, debido a que 
estos emplean las teorías que en la presente obra se tratan. Por otra parte, en 
automático se le brinda al lector un medio para comprobar los resultados obtenidos 
en los programas de cálculo mencionados, en vez de limitarse simplemente a 
confiar en los resultados generados. 
A continuación se proporciona el enfoque seguido en el presente trabajo. La obra 
se divide en tres capítulos. En el capítulo 1 se analizan estructuras isostáticas 
únicamente, específicamente, vigas, pórticos, armaduras y arcos. Esta parte 
vendría siendo una introducción al análisis estructural; se explica la forma de 
calcular el grado de indeterminación, las reacciones en los soportes, de determinar 
las funciones de las fuerzas cortante y normal, y de momento flexionante empleando 
el método de las secciones, de dibujar los diagramas de los elementos mecánicos, 
de inferir las fuerzas en las barras con el método de los nodos, etc. 
PREFACIO 
XII 
 
En el capítulo 2 se estudian las estructuras estáticamente indeterminadas; los 
métodos que se emplean para ello son el de flexibilidades y el matricial de la rigidez, 
y se aplican solo a armaduras, vigas y marcos. Finalmente, el capítulo 3 se enfoca 
a la resolución de sistemas de un grado de libertad con y sin amortiguamiento, tanto 
para casos en los que la carga es nula como para los casos en los que hay 
excitación armónica. 
DAVID ORTIZ SOTO 
 
 
 
 
 
 
 
XIII 
 
CONTENIDO 
 
1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS .................................................................................. 1 
Ejercicio 1.1 Funciones de Fuerzas cortante y normal, y de momento flector 
de una viga isostática con un soporte inclinado ................................................ 1 
Ejercicio 1.2 Diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga con 
carga triangular ..................................................................................................... 8 
Ejercicio 1.3 Análisis de una viga con carga compleja ................................... 12 
Ejercicio 1.4 Diagramas de fuerza cortante y normal, y de momento para un 
pórtico .................................................................................................................. 25 
Ejercicio 1.5 Fuerzas en las barras de una armadura simétrica .................. 36 
Ejercicio 1.6 Fuerzas en las barras de una armadura no simétrica ............. 42 
 Ejercicio 1.7 Resolución de un arco triarticulado parabólico ....................... 47 
 Ejercicio 1.8 Resolución de un arco triarticulado circular .............................. 54 
 
2 ANÁLISIS ESTRUCTURAL ........................................................................................ 63 
Ejercicio 2.1 Método de flexibilidades aplicado a una viga ........................... 63 
Ejercicio 2.2 Método de flexibilidades aplicado a una viga con un asentamiento 
en un soporte ....................................................................................................... 72 
Ejercicio 2.3 Método de flexibilidades aplicado a una viga con un asentamiento 
en un soporte modelado como resorte helicoidal ............................................ 82 
Ejercicio 2.4 Método de flexibilidades aplicado a un pórtico con un 
asentamiento en un apoyo ................................................................................. 91 
Ejercicio 2.5 Método de la rigidez matricial aplicado a una armadura en 2D 
 ..............................................................................................................................104 
Ejercicio 2.6 Análisis de una armadura con un rodillo en un plano inclinado 
empleando el método de la rigidez matricial ...................................................125 
Ejercicio 2.7 Resolución de una viga con el uso del método de la rigidez 
directa .................................................................................................................134 
Ejercicio 2.8 Solución de una viga con asentamiento en un apoyo por medio 
del método de la rigidez matricial .....................................................................144 
 
 
XIV 
Ejercicio 2.9 Resolución de un pórtico plano con el método de la rigidez 
directa .................................................................................................................150 
 
3 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA ESTRUCTURAL .................................................159 
Ejercicio 3.1 Análisis de un sistema de un grado de libertad, sin amortiguación 
 ..............................................................................................................................159 
Ejercicio 3.2 Análisis de un sistema de un grado de libertad, con 
amortiguación .....................................................................................................162 
Ejercicio 3.3 Respuesta de un sistema de un grado de libertad sin 
amortiguación, a excitación armónica ..............................................................168 
Ejercicio 3.4 Respuesta de un sistema de un grado de libertad amortiguado, 
a excitación armónica ........................................................................................171 
 
BIBLIOGRAFÍA ..............................................................................................................175 
 
 
 
 
 
1 
 
CAPÍTULO 1 
ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
 
Ejercicio 1.1 Funciones de Fuerzas cortante y normal, y de momento flector 
de una viga isostática con un soporte inclinado. 
Instrucciones Determine las reacciones en los apoyos de la estructura mostrada 
en la figura 1-1a producidas por las cargas indicadas. Use el método de las 
secciones para deducir las expresiones algebraicas que describen la variación de 
los elementosmecánicos. 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
Verificación del grado de indeterminación 
Se identifican las fuerzas reactivas en los apoyos (soportes); el soporte な es un 
rodillo, por lo que la reacción �怠 es perpendicular al plano de deslizamiento del 
apoyo, mientras que el soporte に es articulado y en él se generan dos reacciones, 
una horizontal �2諜 y una vertical �2� . Como hay tres incógnitas de reacción, 
0.の�/血� 
な 
に にね´ 
な0´ なに の � 
Plano de deslizamiento del soporte 
Figura 1-1 
(a) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
2 
 
 � = ぬ, tres ecuaciones de equilibrio ∑�� = 0,∑�� = 0, ∑� = 0 , 券 = ぬ, y ninguna 
ecuación de condición (no existe articulación (rótula) ni conexión cortante 
intermedia), � = 0, se concluye que la viga es isostática o estáticamente 
determinada debido a que se cumple que � = 券 + �, puesto que ぬ = ぬ + 0. 
Si � > 券 + � , entonces la viga es estáticamente indeterminada, o bien, en caso de 
que � < 券 + � , se infiere que la viga es inestable. 
 
 Cálculo de las reacciones en los apoyos 
Diagrama de cargas. Este diagrama se muestra en la figura 1-1b. El sentido de 
cada reacción ha sido supuesto arbitrariamente debido a que las fuerzas reactivas 
no son conocidas. Para la carga distribuida se tienen que determinar: a) la carga 
concentrada equivalente, es decir, la magnitud de la fuerza resultante de la carga, 
que es igual al área bajo la curva de carga (en este caso, por ser carga uniforme es 
el área del rectángulo) y b) el centroide de dicha área a través del cual pasa la línea 
de acción de la resultante,o sea, se halla el punto de aplicación de la resultante 
(para una carga rectangular, el centroide se localiza a la mitad de la longitud de la 
base). 
 
 
 
0.の�/血� 
な 
に にね´ 
な0´ なに の � 
�怠諜 = 0.ぬぱねは�な 
�怠� = 0.9にぬ�な 
� �2諜 
�2� 
� = なに� 
�̅ = なに´ � 
� 
(b) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
3 
 
Por otra parte, se han establecido en sus cuadrantes positivos a los ejes 
coordenados � y � más convenientes para aplicar las ecuaciones de equilibrio en 
la estructura; esto último hace que sea necesario descomponer a �怠 en sus 
componentes rectangulares horizontal y vertical, las cuales han sido etiquetadas 
como �怠諜 y �怠� respectivamente. 
La fuerza resultante de la carga uniforme distribuida y su punto de aplicación son � = 0.の�/血� にね血� = なに� �̅ = なに にね´ = なに´ 
De acuerdo a las figuras 1-1c y 1-1d, las componentes rectangulares de la reacción �怠 en el plano � − � son 
 
 � = tan−怠 のなに = にに.はな9ぱ° 
 
 
 
 �怠諜 = �怠 sin � = �怠 ∙ 嫌�券にに.はな9ぱ° = 0.ぬぱねは�怠 
 �怠� = �怠 cos � = �怠 ∙ ��嫌にに.はな9ぱ° = 0.9にぬ�怠 
 
 
 
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para calcular las 
reacciones en los apoyos; la convención de signos que se adopta es arbitraria. En 
caso de que la solución de las ecuaciones de equilibrio proporcione una magnitud 
negativa para una fuerza reactiva, su sentido propuesto debe ser invertido. 
 
Tomando momentos alrededor del punto に considerando los ejes que 
pasan por tal punto, se puede despejar directamente el valor de �怠. +∑�に = 0 ⇒ �怠諜 な0 + �怠� にね − なに なに = 0 
� � なに の 
Plano de deslizamiento del soporte 90° 
� �怠諜 
�怠� 
(c) 
(d) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
4 
 
 0.ぬぱねは�怠 な0 + 0.9にぬ�怠 にね − なねね = 0 ⇒ �怠 = なねねには = の.のぬぱの 
 ∴ �怠 = の.のぬぱの� 
 
Los valores de las componentes rectangulares de �怠 = の.のぬぱの� son �怠諜 = 0.ぬぱねは�怠 = 0.ぬぱねは の.のぬぱの� = に.なぬ� 
 �怠� = 0.9にぬ�怠 = 0.9にぬ の.のぬぱの� = の.ななに� 
 
Finalmente, las reacciones �2諜 y �2� se obtienen al plantear las dos ecuaciones 
de equilibrio restantes, es decir, las de fuerzas. +→ ∑�� = 0 ⇒ �怠諜 − �2諜 = 0 ⇒ に.なぬ − �2諜 = 0 ⇒ �2諜 = に.なぬ ∴ �2諜 = に.なぬ� +菓 ∑�� = 0 ⇒ �怠� − 戟� + �2� = 0 ⇒ の.ななに − なに + �2� = 0 ⇒ �2� = は.ぱぱぱ ∴ �2� = は.ぱぱぱ� 
 
 Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento 
 
 
 (e) 
0.の�/血� 
な 
に にね´ 
な0´ なに の � 
�怠諜 = に.なぬ� 
�怠� = の.ななに� � 
�2� = は.ぱぱぱ� 
� = なに� 
なに´ �2諜 = に.なぬ� 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
5 
 
En la figura 1-1e se visualizan los valores de las reacciones en los soportes con sus 
correspondientes sentidos adecuados. A continuación se aplica el método de las 
secciones (cortes). La distribución de la carga actuante no presenta discontinuidad, 
así que sólo será necesario efectuar un corte perpendicular al eje longitudinal de la 
viga para definir los elementos mecánicos, también llamados acciones internas, que 
corresponden a la fuerza axial o normal �, la cual actúa en la misma dirección que 
la del eje longitudinal de la viga, la fuerza cortante � que es perpendicular a � y el 
momento flexionante �; se considera como origen del sistema coordenado al punto な, así que la coordenada � es positiva hacia la derecha y hacia abajo, y es válida 
para la región な − に 0 ≤ � ≤ には´ , debido a que la longitud de la viga es 詣 = √ にね´ 2 + な0´ 2 = には´.Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio en 
el segmento な − に) a una distancia � del punto な. 
En la figura 1-1f se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga 
con longitud �. El área �� bajo el rectángulo y su centroide �̅� deben determinarse. 
Las acciones internas aparecen actuando en sus direcciones positivas de acuerdo 
a la convención de signos más usual y sus funciones se deducen aplicando las 
ecuaciones de equilibrio cuya convención de signos si puede ser indistinta en el 
diagrama mencionado. 
 0 ≤ � ≤ には´ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(f) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
6 
 
 
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida uniforme del corte y su 
punto de aplicación son, respectivamente �� = 0.の 0.9にぬ� = 0.ねはなの� �̅� = なに � = �に 
 
Con base en la figura 1-1g se determinan las componentes rectangulares de la 
fuerza resultante �� cuyas líneas de acción coinciden con las de � y �, es decir, las 
componentes que actúan en forma paralela y perpendicular al eje longitudinal de la 
viga. 
 
 
 ��諜 = �� sin � = 0.ねはなの� 0.ぬぱねは = 0.なばばの� 
 ��� = �� cos � = 0.ねはなの� 0.9にぬ = 0.ねには� 
 
 
 
Las distancias auxiliares �, 決, � y 穴 se deducen a partir del triángulo rectángulo que 
 se observa en la figura 1-1h. 
 � = � sin � = 0.ぬぱねは� 
 � = � cos � = 0.9にぬ� 決 = �に 穴 = �に 
 
 
Si tomamos momentos alrededor del punto del corte, puede obtenerse directamente 
el momento � en función de �. +∑������ = 0 
 
� �� = 0.ねはなの� 
� � � 
(g) 
(h) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
7 
 
 
 Opción 1. 
Usando los momentos de las fuerzas con respecto a los ejes que pasan 
por el punto del corte se tiene �怠� � + �怠諜 � − �� 決 − � = 0 の.ななに 0.9にぬ� + に.なぬ 0.ぬぱねは� − 0.ねはなの� 0.ねはなの� − � = 0 
simplificando y despejando a � � = −0.になぬ�2 + の.のぬぱ� 
 
 Opción 2. 
Considerando los momentos de las fuerzas con respecto a los ejes que 
pasan por el punto del corte obtenemos �怠 � − ��� 岾�に峇 − � = 0 ⇒ の.のぬぱの � − 0.ねには� 岾�に峇 − � = 0 � = −0.になぬ�2 + の.のぬぱの� 
 
De la suma de fuerzas en la dirección de la fuerza cortante igual a cero se tiene +∑�� = 0 ⇒ �怠 − ��� − � = 0 ⇒ の.のぬぱの − 0.ねには� − � = 0 � = の.のぬぱの − 0.ねには� 
o también � = 穴�穴� = 穴穴� −0.になぬ�2 + の.のぬぱの� = の.のぬぱの − 0.ねには� 
 
Lo anterior se debe a que como se observará en el siguiente tema, la pendiente del 
diagrama de momento 穴�/穴� es igual a la intensidad de la fuerza cortante en ese 
punto. Por otra parte, se establece que la pendiente del diagrama de fuerza cortante, 
en un punto 穴�/穴� es igual a la intensidad de la carga distribuida 拳 � en ese 
punto. 
 
Si la suma de fuerzas en la dirección de la fuerza normal es cero, resulta +∑�� = 0 ⇒ ��諜 + � = 0 ⇒ 0.なばばの� + � = 0 ⇒ � = −0.なばばの� 
� 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
8 
 
Ejercicio 1.2 Diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga con 
carga triangular. 
Instrucciones Para una viga simplemente apoyada de longitud 詣 que soporta una 
carga cuya variación lineal va de 0 en el apoyo� hasta 拳 en el apoyo 稽, figura 
1-2a, dibuje los diagramas de momento y cortante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
Cálculo de las reacciones en los apoyos 
Diagrama de cargas. Las reacciones en los apoyos han sido identificadas y el 
sentido de cada una de ellas se ha supuesto arbitrariamente por desconocerse; por 
otra parte, se ha determinado la carga concentrada equivalente � para la carga 
distribuida de intensidad con variación lineal y su punto de aplicación �̅. La figura 
1-2b indica el diagrama de cargas de la estructura. 
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para obtener las 
fuerzas reactivas en los soportes; la convención de signos a utilizar es indistinta. 
+∑�� = 0 ⇒ (拳詣に ) (にぬ 詣) − �喋� 詣 = 0 ⇒ �喋� = 拳詣2ぬ詣 ⇒∴ �喋� = 拳詣ぬ +→ ∑�� = 0 ⇒∴ �喋諜 = 0 
 
Figura 1-2 
(a) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
9 
 
+菓 ∑�� = 0 ⇒ ��� − 拳詣に + 拳詣ぬ = 0 ⇒∴ ��� = 拳詣は 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funciones de fuerza cortante y de momento 
En la figura 1-2c se visualizan los valores de las reacciones en los soportes con sus 
correspondientes sentidos adecuados; se especifica la coordenada � a utilizar cuyo 
origen asociado está en �. El momento y el cortante deben estar en función de � y 
como no hay discontinuidad de carga a lo largo de la estructura, sólo se efectuará 
un corte perpendicular al eje de la viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
(c) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
10 
 
Un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud � es proporcionado 
en la figura 1-2d. Note que la intensidad de la carga triangular se encuentra en 
proporción, es decir, 
栂� = �� ⇒ 圏 = 栂� �. Se indica la fuerza resultante de la carga 
triangular del corte y su punto de aplicación; � y � aparecen actuando en sus 
direcciones positivas de acuerdo a la convención de signos usualmente adoptada y 
sus funciones se deducen al hacer uso de las ecuaciones de equilibrio cuya 
convención de signos si puede ser cualquiera. 0 ≤ � ≤ 詣 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+∑������ = 0 ⇒ −� + (拳詣は ) � − � 岾拳詣 �峇に 岾�ぬ峇 = 0 � = 拳詣は � − 拳は詣 �戴 
+菓 ∑�� = 0 ⇒ 拳詣は − � 岾拳詣 �峇に − � = 0 � = 拳詣は − 拳に詣 �2 � ���決�é券 � = 穴�穴� = 拳詣は − 拳は詣 ぬ�2 = 拳詣は − 拳に詣 �2 
 
Cálculo del momento máximo 
El momento máximo está posicionado en un punto donde � = 穴�/穴� = 0; 
realizando la sustitución correspondiente y resolviendo la ecuación se tiene 
(d) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
11 
 
0 = 拳詣は − 拳に詣 �2 ⇒ �2 = −拳詣は− 拳に詣 = に拳詣2は拳 = 詣2ぬ ⇒∴ ���� = 詣√ぬ 
Al hacer ���� = � en la ecuación de �, el momento máximo resulta ser 
���� = 拳詣は ( 詣√ぬ) − 拳は詣 ( 詣√ぬ)戴 = 拳詣2は√ぬ − 拳詣2は(√ぬ)戴 = √ぬにば 拳詣2 ⇒∴ ���� = 拳詣29√ぬ 
 
Diagramas de fuerza cortante, momento flector 
Una vez que se han determinado las funciones de fuerza cortante y de momento 
flector, estas se evaluan en el intervalo 0 ≤ � ≤ 詣, tablas 1-1 y 1-2. Luego, los 
respectivos diagramas, figuras 1-2e y 1-2f, se obtienen de graficar los datos 
dispuestos en forma tabular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabla 1-1 
Tabla 1-2 
(e) 
(f) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
12 
 
Ejercicio 1.3 Análisis de una viga con carga compleja. 
Instrucciones Calcule las fuerzas reactivas en los soportes y determine las 
funciones del momento flector y de las fuerzas cortante y normal de la viga isostática 
mostrada en la figura 1-3a. Obsérvese que en los extremos izquierdo y derecho 
están aplicadas cargas puntuales de ば� con una pendiente de ぬ: ね y de の� con una 
pendiente de な: な respectivamente; sobre la región 稽 − 経 se extiende una carga 
cuya intensidad varía linealmente desde 0 en el punto 稽 hasta ぬ�/� en el punto 経 
y sobre la región 経 − � la estructura soporta una carga distribuida irregularmente en 
la que se conocen seis puntos de intensidad de carga cuyos valores son indicados. 
 
 
SOLUCIÓN 
Cálculo de las reacciones en los apoyos 
Diagrama de cargas. Primero se construye una función polinomial que ajuste a los 
puntos conocidos de la carga distribuida irregularmente; como se tienen seis datos, 
se propone una función polinómica de grado cinco (ndatos -1) de la siguiente forma: � = ��泰 + 決�替+��戴 + 穴�2 + �� + 血 − − − � 
Tomando como origen al punto � se sabe que �券 � = ね�, � = 0; �券 � = の�, � = に�/�; �券 � = は�, � = ぬ�/� �券 � = ば�, � = な�/�; �券 � = ぱ�, � = に�/�; �券 � = 9�, � = 0 
Si sustituimos los valores anteriores en la ecuación � , se obtiene el siguiente 
sistema de ecuaciones: 0 = � ね 泰 + 決 ね 替+� ね 戴 + 穴 ね 2 + � ね + 血 0 = な0にね� + にのは決 + はね� + なは穴 + ね� + 血 − − − な に = � の 泰 + 決 の 替+� の 戴 + 穴 の 2 + � の + 血 に = ぬなにの� + はにの決 + なにの� + にの穴 + の� + 血 − − − に 
ぬ�/� に�/� ぬ�/� な�/� に�/� 
� 稽 � 経 罫 
な� に� な� な� な� な� な� な� に� 
な な ぬ ね 
Carga distribuida 
irregularmente 
継 � 
Figura 1-3 
(a) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
13 
 
ぬ = � は 泰 + 決 は 替+� は 戴 + 穴 は 2 + � は + 血 ぬ = ばばばは� + なに9は決 + になは� + ぬは穴 + は� + 血 − − − ぬ な = � ば 泰 + 決 ば 替+� ば 戴 + 穴 ば 2 + � ば + 血 な = なはぱ0ば� + にね0な決 + ぬねぬ� + ね9穴 + ば� + 血 − − − ね に = � ぱ 泰 + 決 ぱ 替+� ぱ 戴 + 穴 ぱ 2 + � ぱ + 血 に = ぬにばはぱ� + ね09は決 + のなに� + はね穴 + ぱ� + 血 − − − の 0 = � 9 泰 + 決 9 替+� 9 戴 + 穴 9 2 + � 9 + 血 0 = の90ね9� + はのはな決 + ばに9� + ぱな穴 + 9� + 血 − − − は 
Expresando el sistema simultáneo de ecuaciones en forma matricial tenemos 
( 
 な0にね にのは はね なは ね なぬなにの はにの なにの にの の なばばばは なに9は になは ぬは は ななはぱ0ば にね0な ぬねぬ ね9 ば なぬにばはぱ ね09は のなに はね ぱ なの90ね9 はのはな ばに9 ぱな 9 な) 
 ( 
 �決�穴�血) 
 = ( 
 0にぬなに0) 
 
 
Resolviendo el sistema resulta 
( 
 �決�穴�血) 
 =
( 
 な0にね にのは はね なは ね なぬなにの はにの なにの にの の なばばばは なに9は になは ぬは は ななはぱ0ば にね0な ぬねぬ ね9 ば なぬにばはぱ ね09は のなに はね ぱ なの90ね9 はのはな ばに9 ぱな 9 な) 
 
−怠
∗ ( 
 0にぬなに0) 
 = ( 
 −0.なははははばの.ぬぬぬぬぬ−はは.ぱぬぬぬね09.なはば−なににな.のなねにに ) 
 
 
Si se reemplazan los resultados obtenidos en la ecuación � , entonces la función 
polinomial que describe la intensidad de la carga distribuida irregularmente es � = −なは�泰 + なはぬ �替 − ね0なは �戴 + ね09.なはば�2 − なににな.の� + なねにに 
Se calculan las cargas concentradas equivalentes �� de las presiones, así como 
su punto de aplicación �̅�. 
- Carga cuya intensidad varía en forma lineal. 
�怠 = ぬ�/� ぬ� に = ね.の� �̅怠 = にぬ ぬ� = に� 
- Carga distribuida irregularmente. 
Para esta carga se conocían seis puntos de intensidad inicialmente; realmente no 
se sabía el comportamiento exacto de la curva que describe la carga distribuida 
hasta que se calculó la ecuación y se graficó. Fue así como se pudo observar que 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
14 
 
una pequeña porción de la carga distribuida, específicamente la que se extiende de ね� a ね.ねの�, actúa hacia arriba; lógicamente en � = ね.ねの�, � = 0. 
La fuerza resultante para esta porción de carga distribuida es �2 = ∫穴� = ∫ �穴��2�迭 
 �2 = ∫ 峭−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに嶌 穴�替.替泰替 �2 = [− なぬは�滞 + なはなの�泰 − ね0なにね �替 + なぬはぬぱ9な000 �戴 − にねねぬね �2 + なねにに�]替替.替泰 
 �2 = − なぬは ね.ねの滞 − ね.00滞 + なはなの ね.ねの泰 − ね.00泰 − ね0なにね ね.ねの替 − ね.00替 + なぬはぬぱ9な000 ね.ねの戴 − ね.00戴 − にねねぬね ね.ねの2 − ね.002 + なねにに ね.ねの − ね.00 ≈ −0.なに � 
 
El signo negativo indica que la resultante �2 actúa hacia arriba. Su punto de 
aplicación es �̅2 = ∫ �̃穴�∫穴� = ∫ ��穴��2�迭∫ �穴��2�迭 
�̅2 = ∫ � 岾−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに峇 穴�替.替泰替∫ 岾−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに峇 穴�替.替泰替 
Resolviendo el numerador se tiene ∫ � (−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに) 穴�替.替泰替 = ∫ (−なは�は + なはぬ �の − ね0なは �ね + ね09.なはば�ぬ − なににな.の�に + なねにに�) 穴�替.替泰替 = [− なねに �7 + ぱ9�滞 − ね0なぬ0 �泰 + ね09なはばね000 �替 − にねねぬは �戴 + ばなな�2]替替.替泰 = − なねに ね.ねの7 − ね.007 + ぱ9 ね.ねの滞 − ね.00滞 − ね0なぬ0 ね.ねの泰 − ね.00泰 +ね09なはばね000 ね.ねの替 − ね.00替 − にねねぬは ね.ねの戴 − ね.00戴 + ばなな ね.ねの2 − ね.002 ≈ −0.ね9 
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto, �̅2 = −0.ね9−0.なに ≈ ね.0ぱぬ� 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
15 
 
Ahora se analiza la parte de la carga distribuida que actúa hacia abajo, es decir, la 
que se extiende de ね.ねの� a 9�. La fuerza resultante es �戴 = ∫穴�= ∫ �穴��2�迭 �戴 = ∫ 峭−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに嶌 穴�9替.替泰 = [− なぬは�滞 + なはなの�泰 − ね0なにね �替 + なぬはぬぱ9な000 �戴 − にねねぬね �2 + なねにに�]替.替泰9 = − なぬは 9滞 − ね.ねの滞 + なはなの 9泰 − ね.ねの泰 − ね0なにね 9替 − ね.ねの替 + なぬはぬぱ9な000 9戴 − ね.ねの戴 − にねねぬね 92 − ね.ねの2 + なねにに 9 − ね.ねの = ぱ.ぱば � 
 
y su punto de aplicación es 
�̅戴 = ∫ �̃穴�∫穴� = ∫ ��穴��2�迭∫ �穴��2�迭 
�̅戴 = ∫ � 岾−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに峇 穴�9替.替泰∫ 岾−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに峇 穴�9替.替泰 
Resolviendo el numerador se tiene ∫ � (−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに) 穴�9替.替泰 = ∫ (−なは�は + なはぬ �の − ね0なは �ね + ね09.なはば�ぬ − なににな.の�に + なねにに�) 穴�9替.替泰 = [− なねに �7 + ぱ9�滞 − ね0なぬ0 �泰 + ね09なはばね000 �替 − にねねぬは �戴 + ばなな�2]替.替泰9 = − なねに 97 − ね.ねの7 + ぱ9 9滞 − ね.ねの滞 − ね0なぬ0 9泰 − ね.ねの泰 + ね09なはばね000 9替 − ね.ねの替 −にねねぬは 9戴 − ね.ねの戴 + ばなな 92 − ね.ねの2 = の9.ぬ 
 
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto, 
 �̅戴 = の9.ぬぱ.ぱば ≈ は.はぱの� 
Luego, se resuelven las fuerzas puntuales �怠 = ば� y �2 = の� en sus componentes 
rectangulares � − �, figuras 1-3b, 1-3c y 1-3d, 1-3e, respectivamente. 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
16 
 
- Para �怠 = ば� ℎ怠 = √ぬ2 + ね2 = の sin �怠 = ねの ; cos �怠 = ぬの 
 
 
 
 
- Para �2 = の� ℎ2 = √な2 + な2 = √に sin �2 = cos �2 = な√に 
 
 
 
 
 
El soporte � es un rodillo, por lo que se genera una fuerza reactiva vertical ���, 
mientras que el soporte � es un pasador y tiene dos incógnitas de reacción, una 
horizontal ��諜 y una vertical ��� . En consecuencia, el diagrama de cargas de la 
viga, figura 1-3f, es 
 
ぬ�/� に�/� ぬ�/� な�/� に�/� 
� 稽 � 経 
ぬ� は� に� 
な ぬ ね 
Carga distribuida 
irregularmente �怠 = ね.の � �2 = ぱ.ぱば � �怠� = の.は � 
�怠諜 = ね.に� 
�2� = ぬ.のぬののぬ � 
�2諜 = ぬ.のぬののぬ� 
��� ��� 
��諜 
�̅2 = は.はぱの� 
�̅怠 = に� ぬ.はぱの� に.ぬなの� 
� 
� �戴 = 0.なに � 
�̅戴 = ね.0ぱぬ� 
継 � 罫 
�怠 ぬ 
ね 
�怠諜 
�怠� �怠 
�2 な 
な 
�2 �2� �2諜 
な 
sin �怠 = �怠�ば� ⇒ �怠� = ば� sin �怠 = ば� (ねの) = の.は� 
cos �怠 = �怠諜ば� ⇒ �怠諜 = ば� cos �怠 = ば� (ぬの) = ね.に� 
 
sin �2 = �2�の� ⇒ �2� = の� sin �2 = の� ( な√に) = ぬ.のぬののぬ� cos �2 = �2諜の� ⇒ �2諜 = の� cos �2 = の� ( な√に) = ぬ.のぬののぬ� 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
17 
 
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para calcular las 
incógnitas ��� y ��� y ��諜 usando una convención de signos arbitraria. +→ ∑�� = 0 ⇒ ね.に − ��諜 − ぬ.のぬののぬ = 0 ⇒∴ ��諜 = 0.ははねねば� +∑�� = 0 ⇒ −の.は ぬ − 0.なに な.0ぱぬ + ぱ.ぱば ぬ.はぱの − ��� は + ぬ.のぬののぬ ぱ = 0 ⇒∴ ��� = ば.ぬね� 
 +菓 ∑�� = 0 ⇒ −の.は − ね.の + ��� + 0.なに − ぱ.ぱば + ば.ぬね − ぬ.のぬののぬ = 0 ⇒∴ ��� = なの.0ねのは� 
La fuerza reactiva vertical del soporte en � también se puede obtener tomando 
momentos alrededor de �. +∑�継 = 0 ⇒ ぬ.のぬののぬ に − ぱ.ぱば に.ぬなの − ね.の は + 0.なに ね.9なば + ��� は − の.は 9 = 0 ∴ ��� = なの.0ねのの� 
 
Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento 
En la figura 1-3g se muestran los resultados obtenidos. 
 
 
La distribución de la carga que actúa sobre la viga presenta discontinuidades en los 
puntos 稽, �, 経, 継 y �; así que, para obtener expresiones algebraicas que definan la 
variación de los elementos mecánicos es necesario cortar a la estructura 
perpendicularmente a su eje a través de secciones arbitrarias en los tramos � − 稽, 稽 − �, � − 経,経 − 継 継 − � y � − 罫. 
ぬ�/� に�/� ぬ�/� な�/� に�/� 
� 稽 � 経 継 罫 
ぬ� は� に� 
な ぬ ね 
Carga distribuida 
irregularmente �怠 = ね.の� �戴 = ぱ.ぱば� �怠� = の.は� 
�怠諜 = ね.に� 
�2� = ぬ.のぬののぬ� 
�2諜 = ぬ.のぬののぬ� 
��� = なの.0ねのは� ��� = ば.ぬね� 
��諜 = 0.ははねねば� 
�̅戴 = は.ばなね� 
�̅怠 = に� ぬ.はぱの� に.ぬなの� 
� 
な � �2 = 0.なに � 
�̅2 = ね.0ぱぬ� 
(g) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
18 
 
Se ha definido una sola coordenada � para toda la viga, por lo que es válida para 
toda la región � − 罫 0 ≤ � ≤ なな� , su origen ha sido asociado en �, y es positiva 
hacia la derecha. 
Corte en el tramo 遖 � − 稽 . Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio 
en el segmento � − 稽) a una distancia � del punto �. En la figura 1-3h se 
proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud �. Al 
aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene 
 0 ≤ � ≤ な� 
 +菓 ∑�� = 0 ⇒ −の.は − �怠 = 0 ⇒ �怠 = −の.は 
o también �怠 = 穴�怠穴� = 穴 −の.は� 穴� = −の.は +→ ∑�� = 0 ⇒ ね.に + �怠 = 0 ⇒ �怠 = −ね.に 
 
Corte en el tramo 遘 稽 − � . En la figura 1-3i se muestra un diagrama de cuerpo 
libre de la sección cortada. A la derecha, figura 1-3j, se proporciona un esquema 
para determinar el valor en función de � de la intensidad �怠. 
 
 
 
 
La fuerza resultante de la carga triangular cortada es �� = � − な � − な に = � − な 2に 
ぬ�/� �怠 
� − な� ぬ� 稽 経 ����� 
� ぬ 
ね 
�怠� = の.は� 
�怠諜 = ね.に� � �怠 
�怠 �怠 
�怠 = � − な 
� 稽 
� 
ぬ ね 
�� = � − な 2に �怠� = の.は� 
�怠諜 = ね.に� � − な� �̅� な� 
�2 
�2 
�2 
な� ≤ � ≤ ぬ� 
 
ぬ�/�ぬ� = �怠� − な� ⇒ �怠 = � − な 
+∑������ = 0 ⇒ −の.は � − �怠 = 0 ⇒ �怠 = −の.は� 
(h) 
(i) 
(j) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
19 
 
y su punto de aplicación es �̅� = なぬ � − な 
Por lo tanto, +∑������ = 0 ⇒ −の.は� − � − な 2に [なぬ � − な ] − �に = 0 �2 = −の.は� − なは � − な ぬ = −の.は� − なは [ � ぬ − ぬ � に な + ぬ な に � − な ぬ] = −の.は� − なは [�戴 − ぬ�2 + ぬ� − な] = −なは�戴 + なに�2 − は.な� + なは +菓 ∑�� = 0 ⇒ −の.は − � − な 2に − �2 = 0 �2 = −の.は − � 2 − に � な + な 2に = −の.は − なに�2 + � − なに = −なに�2 + � − は.な 
o también 
�2 = 穴�2穴� = 穴 岾−なは�戴 + なに�2 − は.な� + なは峇穴� = −なに�2 + � − は.な +→ ∑�� = 0 ⇒ �2 = −ね.に 
Corte en el tramo 遞 � − 経 . Se representa el diagrama de cuerpo libre 
correspondiente al segmento izquierdo de la estructura que se produce al cortarla 
en algún sitio intermedio del tramo � − 経, figura 1-3k. El equilibrio estático del 
cuerpo libre implica que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� 稽 
� − な� 
ぬ ね 
�怠� = の.は� 
�怠諜 = ね.に� 
に� 
��� = なの.0ねのは� 
� 
� 
な� � − ぬ� 
�怠 
�戴 
�戴 
�戴 
�� = � − な 2に 
�̅� 
ぬ� ≤ � ≤ ね� 
(k) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
20 
 
+∑������ = 0 ⇒ −の.は� + なの.0ねのは � − ぬ − � − な 2に [なぬ � − な ] − �ぬ = 0 
 �戴 = −の.は� + なの.0のなね� − ねの.なのねに − なは�戴 + なに�2 − �に + なは �戴 = −なは�戴 + なに�2 + ぱ.9ねのは� − ねね.9ば0な +菓 ∑�� = 0 ⇒ −の.は − � − な 2に + なの.0ねのは − �戴 = 0 ⇒ �ぬ = −なに �に + � + ぱ.9ねのは 
o también 
�戴 = 穴�戴穴� = 穴 岾−なは�戴 + なに�2 + ぱ.9ねのは� − ねね.9ば0な峇穴� = −なに�2 + � + ぱ.9ねのは +→ ∑�� = 0 ⇒ �戴 = −ね.に 
Corte en el tramo 経 − 継 . Se secciona la estructura en un punto arbitrario 
(intermedio en el segmento 経 − 継) a una distancia � de �; a continuación se ofrece 
el diagrama de cuerpo libre que representa la porción de la estructura ubicada a la 
izquierda del corte, figura 1-3l. ね� ≤ � ≤ ね.ねの� 
 
 
 
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida irregularmente cortada es 
ぬ�/� 
� 稽 � 経 
ぬ� 
ぬ ね 
�怠 = ね.の� �怠� = の.は� 
�怠諜 = ね.に� 
��� = なの.0のなね� 
Carga distribuida irregularmente 
� �替 
�替 
�替 
な� 
��� 
�̅�� � − �̅�� 
ね 
(l) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
21 
 
��� = ∫ (−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに) 穴��替 = − なぬは�滞 + なはなの�泰 − ね0なにね �替 + なぬはぬぱ9な000 �戴 − にねねぬね �2 + なねにに� − なぬねは.0の 
 
y su línea de acción está localizada a una distancia de 
 
�̅�� = ∫ � 岾−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに峇 穴��替∫ 岾−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに峇 穴��替 
 
Resolviendo el numerador tenemos ∫ � (−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに) 穴��替 ∫ (−なは�は + なはぬ �の − ね0なは �ね + ね09.なはば�ぬ − なににな.の�に + なねにに�) 穴��替 = − なねに�7 + ぱ9�滞 − ね0なぬ0 �泰 + ね09なはばね000 �替 − にねねぬは �戴 + ばなな�2 − な0はば.ぬの 
 
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto, 
 
�̅� = − なねに �ば + ぱ9�は − ね0なぬ0 �の + ね09なはばね000 �ね − にねねぬは �ぬ + ばなな�に − な0はば.ぬの− なぬは �は + なはなの �の − ね0なにね �ね + なぬはぬぱ9な000 �ぬ − にねねぬね �に + なねにに� − なぬねは.0の 
 
Las acciones internas entre los puntos 経 y 継 quedan definidas como +∑������ = 0 −の.は� − ね.の � − ぬ + なの.0ねのは � − ぬ + �怠� � − �̅� − �替 = 0 
 �替 = − なにのに �7 + ぱねの �滞 − ね0ななに0 �泰 + なぬはぬぱ9ね000 �替 − にねねぬなに �戴 + ばなな�2 − なぬねな.な0ねね�+ な0ぬの.ばなぬに +菓 ∑�� = 0 ⇒ −の.は − ね.の + なの.0ねのは + �な� − �替 = 0 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
22 
 
�替 = − なぬは �は + なはなの �の − ね0なにね �ね + なぬはぬぱ9な000 �ぬ− にねねぬね �に + なねにに� − なぬねは.な0ねね 
o también �替 = 穴�替穴� 
= 穴 岾− なにのに �ば + ぱねの �は − ね0ななに0 �の + なぬはぬぱ9ね000 �ね − にねねぬなに �ぬ + ばなな�に − なぬねな.な0ねね� + な0ぬの.ばなぬに峇穴� �替 = − なぬは �は + なはなの �の − ね0なにね �ね + なぬはぬぱ9な000 �ぬ − にねねぬね �に + なねにに� − なぬねは.な0ねね +→ ∑�� = 0 ⇒ �替 = −ね.に 
Corte en el tramo 継 − � . Se secciona la estructura en un punto arbitrario 
(intermedio en el segmento 継 − �) a una distancia � de �; en la figura 1-3m se 
representa el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo de la viga. En 
consecuencia, ね.ねの� ≤ � ≤ 9� 
 
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida irregularmente cortada es ���� = ∫ (−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに) 穴��替.替泰 = − なぬは�滞 + なはなの�泰 − ね0なにね �替 + なぬはぬぱ9な000 �戴 − にねねぬね �2 + なねにに� − なぬねの.9ぬの 
ぬ�/� に�/� ぬ�/� 
� 稽 � 経 
ぬ� � − ぬ� 
ぬ ね 
�怠 = ね.の� ���� �怠� = の.は� 
�怠諜 = ね.に� 
��� = なの.0ねのは� 
�̅��� 
な�/� 
Carga distribuida 
irregularmente 
� − �̅�� 
� �泰 
�泰 
�泰 
な� 
継 �2 = 0.なに � 
�̅2 = ね.0ぱぬ� 
の 
(m) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
23 
 
y su línea de acción está localizada a una distancia de 
�̅��� = ∫ � 岾−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに峇 穴��替.替泰∫ 岾−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに峇 穴��替.替泰 
Resolviendo el numerador tenemos ∫ � (−なは�の + なはぬ �ね − ね0なは �ぬ + ね09.なはば�に − なににな.の� + なねにに) 穴��替.替泰 ∫ (−なは�は + なはぬ �の − ね0なは �ね + ね09.なはば�ぬ − なににな.の�に + なねにに�) 穴��替.替泰 − なねに�7 + ぱ9�滞 − ね0なぬ0 �泰 + ね09なはばね000 �替 − にねねぬは �戴 + ばなな�2 − な0はは.ぱのぱばの 
El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto, 
�̅��� = − なねに�7 + ぱ9�滞 − ね0なぬ0 �泰 + ね09なはばね000 �替 − にねねぬは �戴 + ばなな�2 − な0はは.ぱのぱばの− なぬは �滞 + なはなの�泰 − ね0なにね �替 + なぬはぬぱ9な000 �戴 − にねねぬね �2 + なねにに� − なぬねの.9ぬの 
 
Las acciones internas entre los puntos 経 y 継 quedan definidas como +∑������ = 0 
 −の.は� − ね.の � − ぬ + なの.0ねのは � − ぬ + 0.なに � − ね.0ぱぬ − �に� � − �̅��� − �替 = 0 
 �泰 = なにのに �7 − ぱねの �滞 + ね0ななに0 �泰 − なぬはぬぱ9ね000 �替 + にねねぬなに �戴 − ばなな�2 + なぬのな.000は�− な09ぱ.9ぱのの +菓 ∑�� = 0 ⇒ −の.は − ね.の + なの.0ねのは + 0.なに − ��2 − �替 = 0 
�泰 = なぬは �は − なはなの �の + ね0なにね �ね − なぬはぬぱ9な000 �ぬ + にねねぬね �に − なねにに� + なぬのな.000は 
o también �泰 = 穴�泰穴� 
= 穴 峭 なにのに �ば − ぱねの�は + ね0ななに0 �の − なぬはぬぱ9ね000 �ね + にねねぬなに �ぬ − ばなな�に + なぬのな.000は� − な09ぱ.9ぱのの嶌穴� 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
24 
 
�泰 = なぬは �は − なはなの �の + ね0なにね �ね − なぬはぬぱ9な000 �ぬ + にねねぬね �に − なねにに� + なぬのな.000は +→ ∑�� = 0 ⇒ �泰 = −ね.に 
Corte en el tramo � − 罫 . Se secciona la estructura en un punto arbitrario 
(intermedio en el segmento 継 − �) a una distancia � de �; en la figura 1-3n se 
representa el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo de la viga. Por 
consiguiente, 9� ≤ � ≤ なな� 
+∑������ = 0 
 −の.は� − ね.の � − ぬ + なの.0ねのは � − ぬ + 0.なに � − ね.0ぱぬ − ぱ.ぱば � − は.はぱの + ば.ぬね � − 9 − �滞 = 0 �滞 = ぬ.のぬのは� − ぬぱ.ぱ90ばね +菓 ∑�� = 0 ⇒ −の.は − ね.の + なの.0ねのは + 0.なに − ぱ.ぱば + ば.ぬね − �滞 = 0 ⇒ �滞 = ぬ.のぬのは 
o también �滞 = 穴�滞穴� = 穴 ぬ.のぬのは� − ぬぱ.ぱ90ばね 穴� = ぬ.のぬのは +→ ∑�� = 0 ⇒ ね.に − 0.ははねねば + �滞 = 0 ⇒ �滞 = −ぬ.のぬののぬ 
ぬ�/� に�/� ぬ�/� な�/� に�/� 
� 稽 � 経 � 
ぬ� は� � − 9� 
ぬ ね 
Carga distribuida 
irregularmente �怠 = ね.の� �2 = ぱ.ぱば� �怠� = の.は� 
�怠諜 = ね.に� 
��� = なの.0ねのは� ��� = ば.ぬね� �̅2 = は.はぱの� � − ぬ� 
��諜 = 0.ははねねば� 
�滞 
�滞 
�滞 
� − は.はぱの� � 
継 
�戴 = 0.なに � 
�̅戴 = ね.0ぱぬ� 
の 
(n) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
25 
 
Ejercicio 1.4 Diagramas de fuerza cortante y normal, y de momento para un 
pórtico. 
Instrucciones Dibuje los diagramas de fuerza cortante, de fuerza normal y de 
momento flexionante del marco visualizado en la figura 1-4a. 
SOLUCIÓN 
Cálculo de las reacciones en los soportes 
なに� 
な0� 
� 
稽 � 
経 
の� 
に� に� に� ぬ� の� 
Figura 1-4 
(a) 
(b) 
なに� 
な0� 
� 
稽 � 
経 
の� 
に� に� に� ぬ� の� 
�怠� = にのに � 
�怠諜 = にのに � � = に.の� � = のぬ� 
穴 = な0ぬ � 
�怠� = ぬに√ねなねな � 
�怠諜 = ね0√ねなねな � 
�怠 
�2 �怠 
�2 �替 �替 
�戴 �戴 
��� ��� 
��諜 
� 
� 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
26 
 
Diagrama de cargas. Se muestra en la figura 1-4b. 
La longitud de los miembros � − 稽 y 経 − � son 詣�喋 = √ ね� 2 + の� 2 = √ねな� 
En consecuencia, 嫌�券�2 = ね √ねな⁄ ��嫌�2 = の √ねな⁄ ね�√ねな� = に�決 ⟹ 決 = に� (√ねな�)ね� = √ねなに � ね�の� = に�� ⟹ � = の� に� ね� = に.の� 詣�� = √ の� 2 + の� 2 = の√に� 
Por lo tanto, 嫌�券�替 = の の√に⁄ = な √に⁄ ��嫌�替 = の の√に⁄ = な √に⁄ �戴 = �替 
Con base en la figura 1-4c, las componentes rectangulares de la carga puntual de ぱ� para el plano � − � son 
sin �2 = �怠��怠 ⇒ �怠� = �怠 sin �2 = ぱ� ( ね√ねな) = ぬに√ねなねな � cos �2 = �怠諜�怠 ⇒ �怠諜 = �怠 cos �2 = ぱ� ( の√ねな) = ね0√ねなねな � 
 
A continuación se efectúa un análisis de la carga con variación lineal. 
La carga concentrada equivalente es 
�怠 = (の√に�) の�/� に = にの√にに � 
y su punto de aplicación se localiza a una distancia de �̅怠 = なぬ (の√に�) = のぬ√に� 
A partir de la figura 1-4d, las componentes rectangulares de la resultante �怠 son sin �替 = �怠��怠 ⇒ �怠� = �怠 sin �替 = にの√にに � ( な√に) = にのに � cos �替 = �怠諜�怠 ⇒ �怠諜 = �怠 cos �替 = にの√にに � ( な√に) = にのに � 
�怠� 
�な� �2 
�怠� 
�な� �替 
(c) 
(d) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
27 
 
Las distancias � y 穴 pueden ser deducidas por trigonometría como sigue: の�の√に� = �のぬ√に� ⟹ � = の� 岾
のぬ√に�峇の√に� = のぬ� 
穴 = √[(の√に�) − (のぬ√に�)]2 − (の� − のぬ�)2 = な0ぬ � 
Ecuaciones de equilibrio. 
+∑�� = 0 ⇒ 峭ね0√ねなねな 嶌 に.の + 峭ぬに√ねなねな 嶌 に + なに は − な0 の + (にのに ) (9 + な0ぬ ) −(にのに ) (のぬ) − ��� なね = 0 ⇒ ��� = なに.9にねば ⇒∴ ��� = なに.9にねば� +→ ∑�� = 0 ⇒ ��諜 + ね0√ねなねな − な0 − にのに = 0 ⇒ ��諜 = なは.にのぬ ⇒∴ ��諜 = なは.にのぬ� 菓 +∑�� = 0 ⇒ ��� − ぬに√ねなねな − なに − にのに + なに.9にねば = 0 ⇒ ��� = なは.のばに9 ∴ ��� = なは.のばに9� 
Como comprobación, se debe cumplir que la suma de momentos respecto de 経 es 
nula. 
+∑�経 = −(にのに ) (のぬ) − (にのに ) (の − な0ぬ ) − な0 の − なに ぱ − 峭ぬに√ねなねな 嶌 なに 
+峭ね0√ねなねな 嶌 に.の + なは.のばに9 なね ≈ 0 �� 
Funciones de la fuerza cortante, de la fuerza normal y del momento flector 
Los resultados obtenidos se muestran en el diagrama de la figura 1-4e. 
En el marco se pueden distinguir cinco regiones distintas. En el miembro � − 稽, un 
primer tramo va desde � hasta el punto de aplicación de la carga puntual de ぱ� y 
un segundo tramo sería la parte restante del miembro. Un tercer y cuarto tramo se 
observan por inspección en el miembro 稽 − � debido a la aplicación de la carga 
puntual de なに�. En el miembro � − 経 no hay variación en la distribución de la carga, 
por lo que toda su longitud comprendería el quinto tramo. Para obtener funciones 
que definan la variación de las acciones internas es necesario cortar la estructura a 
través de secciones arbitrarias en los tramos mencionados. 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
28 
 
Aunque se puede establecer una sola coordenada � por miembro, en este caso se 
opta por definir una coordenada � para cada tramo distinto, lo cual también es 
válido. En la figura pueden notarse claramente la forma en las que han sido 
definidas las coordenadas �怠, �2, �戴, �替 y �泰, las cuales cubren perfectamente cada 
una de las regiones de la estructura. 
Con base en las figuras 1-4f, 1-4g y 1-4h, se calculan las componentes 
rectangulares de las reacciones en los apoyos que serán útiles al efectuar el 
equilibrio en algunos diagramas de cuerpo libre originados al cortar la estructura. 
- Para ��諜 = なは.にのぬ� sin �2 = ��諜���諜 ⇒ ��諜� = ��諜 sin �2 = なは.にのぬ� ( ね√ねな) = な0.なのぬに� cos �2 = ��諜諜��諜 ⇒ ��諜諜 = ��諜 cos �2 = なは.にのぬ� ( の√ねな) = なに.は9なの� 
- Para ��� = なは.のばに9� sin �2 = ���諜��� ⇒ ���諜 = ��� sin �2 = なは.のばに9� ( ね√ねな) = な0.ぬのぬ� cos �2 = ������� ⇒ ���� = ��� cos �2 = なは.のばに9� ( の√ねな) = なに.9ねなぬ� 
 
なに� 
な0� 
� 
稽 � 
経 
の� 
に� に� に� ぬ� の� 
�怠� = にのに � 
�怠諜 = にのに � � = に.の� � = のぬ� 
穴 = な0ぬ � 
�怠� = ぬに√ねなねな � 
�怠諜 = ね0√ねなねな � 
�怠 
�2 �怠 
�2 �替 �替 
�戴 �戴 
��� = なに.9にねば� 
��� = なは.のばに9� 
��諜 = なは.にのぬ� 
�戴 �替 
�戴 �2 
�2 
�2 ��諜 = なは.にのぬ� 
�2 
� ��=
なは.のばに
9� 
(e) 
(f) 
(g) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
29 
 
- Para ��� = なに.9にねば� sin �戴 = ������� ⇒ ���� = ��� sin �戴 = なに.9にねば� ( な√に) = 9.なぬ9なね� cos �戴 = ���諜��� ⇒ ���諜 = ��� cos �戴 = なに.9にねば� ( な√に) = 9.なぬ9なね� 
Miembro �− 稽. 
Corte en el tramo 遖. Se secciona la estructura perpendicularmente al eje del 
miembro a una distancia �怠 de �, antes del punto donde se encuentra aplicada la 
carga puntual de ぱ�; el diagrama de cuerpo libre de la sección cortada, figura 1-4i, 
con su análisis son 
0 ≤ �怠 ≤ √ねなに � 
 +∑������ = 0 ⇒ な0.ぬのぬ �怠 − なに.は9なの �怠 − �怠 = 0 ⇒ �怠 = −に.ぬぬぱの�怠 �券 �怠 = √ねなに �,�怠 = −ば.ねぱはぱの�.� +∑�� = 0 ⇒ なに.は9なの − な0.ぬのぬ + �怠 = 0 ⇒ �怠 = −に.ぬぬぱの 
 +∑�� = 0 ⇒ な0.なのぬに + なに.9ねなぬ + �怠 = 0 ⇒ �怠 = −にぬ.09ねの 
Corte en el tramo 遘. Se secciona al marco perpendicularmente al eje del miembro 
a una distancia �2 del punto de aplicación de la carga puntual de ぱ�; en la figura 
1-4j se muestra el diagrama de cuerpo libre de la porción inferior de la estructura 
para definir las acciones internas. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene 
� �怠 
��� = なは.のばに9� 
��諜 = なは.にのぬ� 
�2 
�2 
�怠 
�戴 
� ��=
なに.9にね
ば� 
(h) 
(i) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 �2 = −な0.ぬぬぱの�2 − ば.ねぱはぱの �券 �2 = 0,�2 = −ば.ねぱはぱの�.�; �券 �2 = √ねなに �,�2 = −ね0.のぱはに�.� +∑�� = 0 ⇒ なに.は9なの − な0.ぬのぬ + ぱ + �2 = 0 ⟹ �2 = −な0.ぬぬぱの +∑�� = 0 ⇒ �2 = −にぬ.09ねの 
Miembro 稽 − �. 
Corte en el tramo 遞. Se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� 
稽 
に� に� 
に.の� 
�怠� = ぬに√ねなねな � 
�怠諜 = ね0√ねなねな � 
�怠 
�2 �怠 
�2 
��� = なは.のばに9� 
��諜 = なは.にのぬ� 
�戴 
�戴 
�戴 
�戴 
の� に.の� 
0 ≤ �2 ≤ √ねなに � 
0 ≤ �戴 ≤ に� 
 
� �怠 
��� = なは.のばに9� 
��諜 = なは.にのぬ� 
�2 
�2 
�2 
+∑������ = 0 ⇒ な0.ぬのぬ − なに.は9なの 峭√ねなに + �2嶌 − ぱ �2 − �2 = 0 
(j) 
(k) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
31 
 
la porción izquierda de la estructura que se produce al cortarla (perpendicularmente 
al eje del miembro) en algún sitio intermedio del tramo comprendido desde 稽 hasta 
el punto de ubicación de la fuerza de なに�, figura 1-4k. Por lo tanto, +∑������ = 0 なは.のばに9 ね + �戴 − なは.にのぬ の − 峭ね0√ねなねな 嶌 に.の − 峭ぬに√ねなねな 嶌 に + �戴 − �戴 = 0 �戴 = なな.のばのぬ�戴 − ね0.のぱの9 �戴 = 0,�戴 = −ね0.のぱの9�.�; �戴 = に�,�戴 = −なば.ねぬのに�.� +菓 ∑�� = 0 ⟹ なは.のばに9 − ぬに√ねなねな − �戴 = 0 ⟹ �戴 = なな.のばのぬ +→ ∑�� = 0 ⟹ なは.にのぬ + ね0√ねなねな + �戴 = 0 ⟹ �戴 = −にに.の 
Corte en el tramo . Se secciona al marco perpendicularmente al eje del miembro 
a una distancia �替 del punto donde está aplicada la fuerza de なに�; en la figura 
1-4l se muestra el diagrama de cuerpo libre de la porción izquierda de la estructura. 
El equilibrio estático del cuerpo libre implica que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 +∑������ = 0 
なは.のばに9 は + �替 − なは.にのぬ の − ね0√ねなねな に.の − ぬに√ねなねな ね + �替 − なに �替 − �替 = 0 �替 = −0.ねにねはは�替 − なば.ねぬのに �券 �替 = 0,�替 = −なば.ねぬのに�.�; �券 �替 = ぬ�,�替 = −なぱ.ば09に�.� 
0 ≤ �替 ≤ ぬ� 
 
� 
稽 
に� に� 
に.の� 
�怠� = ぬに√ねなねな � 
�怠諜 = ね0√ねなねな � 
�怠 
�2 �怠 
�2 
��� = なは.のばに9� 
��諜 = なは.にのぬ� 
�替 
�替 
�替 
�替 
の� に.の� 
なに� 
に� 
ね 
(l) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
32 
 
+菓 ∑�� = 0 ⇒ なは.のばに9 − ぬに√ねなねな − なに − �替 = 0 ⟹ �替 = −0.ねにねはは +→ ∑�� = 0 ⇒ �替 = −にに.の 
Miembro 経 − �. 
Corte en el tramo . Se secciona la estructura perpendicularmente al eje del 
miembro en un punto arbitrario (intermedio en el segmento 経 − �) a una distancia �泰 de 経; en la figura 1-4m se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento de 
estructura con longitud �泰. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se procede a realizar un análisis de la carga trapezoidal. El siguiente esquema, 
figura 1-4n, en el que se ha rotado el miembro 経 − �, es útil para determinar el valor 
en función de �戴 de la intensidad �戴. Aplicando triángulos semejantes se tiene 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
経 �戴 
��� = なに.9にねば� 
�戴 
�泰 
0 ≤ �泰 ≤ の√に� 
 
の 
経 � ����� 
の�/� 
�´ の�/� �´ 
の√に� = ば.0ばな0ば� 
ば.0ばな0ば� − �泰 �泰 
のば.0ばな0ば = �´ば.0ばな0ば − �泰 ⟹ �´ = の ば.0ばな0ば − �泰 ば.0ばな0ば = の − 0.ば0ばな0ば�泰 
 
(m) 
(n) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
33 
 
A partir de la figura 1-4ñ se determina el área �� bajo la recta que representa la 
fuerza resultante. Esta fuerza actúa a través del centroide de su área �̅�. 
 
 
 
 
 �� = �怠 + �2 = �泰 の − 0.ば0ばな0ば�泰 + �泰 0.ば0ばな0ば�泰 に = の�泰 − 0.ば0ばな0ば�泰2 + 0.ぬのぬののね�泰2 = の�泰 − 0.ぬのぬののね�泰2 
 
 
 
Si se aplican las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cuerpo libre, resulta +∑������ = 0 
−9.なぬ9なね�泰 + (の�の − 0.ぬのぬののね�のに) 峭�泰 − に.の�のに − 0.にぬのば0に�のぬの�の − 0.ぬのぬののね�のに 嶌 − �泰 = 0 �泰 = −0.ななばぱのな�泰戴 + に.の�泰2 − 9.なぬ9なね�の �券 �泰 = の√に�,�泰 = なぱ.ば09ぱ�.� +∑�� = 0 ⇒ 9.なぬ9なね − の�泰 − 0.ぬのぬののね�泰2 + �泰 = 0 �泰 = −0.ぬのぬののね�泰2 + の�泰 − 9.なぬ9なね +∑�� = 0 ⇒ �泰 + 9.なぬ9なね = 0 ⇒ �泰 = −9.なぬ9なね 
Diagramas de fuerza cortante, de momento flector y de fuerza normal 
Diagrama de fuerza cortante, figura 1-4o. 
Para encontrar la posición del cortante igual a cero en el miembro 経 − �, es decir, 
donde el momento es máximo, hacemos 0 = −0.ぬのぬののね�泰2 + の�泰 − 9.なぬ9なね 
経 
の�/� 
の�/� �´ 
�泰 ����� 
の�/� − 0.ば0ばな0ば�泰 な に 
0.ば0ばな0ば�泰 
�̅� = ∑ �̅�∑� = の�泰 − 0.ば0ばな0ば�泰2 岾なに �泰峇 + 0.ぬのぬののね�泰2 岾なぬ �泰峇の�泰 − 0.ぬのぬののね�泰2 = に.の�泰2 − 0.にぬのば0に�泰戴の�泰 − 0.ぬのぬののね�泰2 
 
(ñ) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
34 
 
Al resolver la ecuación de segundo grado resulta 
�泰 = −の ± √ の 2 − ね −0.ぬのぬののね −9.なぬ9なね に −0.ぬのぬののね ⟹ �泰,怠 = に.なのはばね; �泰,2 = なな.9ぱのね 
Como la solución debe de estar dentro del intervalo real del miembro [0,の√に�], se 
infiere que �泰��� = に.なのはばね�. 
Diagrama de momento flexionante, figura 1-4p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un valor máximo del momento en el miembro 経 − � puede ser hallado sustituyendo �泰 = �泰��� en la ecuación de �泰. �泰���怠 = −0.ななばぱのな に.なのはばね 戴 + に.の に.なのはばね 2 − 9.なぬ9なね に.なのはばね = −9.にはねにぬ�.� 
El otro momento máximo se determina evaluando �泰 en el extremo �泰 = の√に�. 
� 
稽 � 
経 
の 
に に に ぬ の 
� � 穴 � 
����:�� � �嫌��健� 
 + − 
なな.のばのぬ 
0.ねにねば 
�憲��� 穴� 嫌��憲券穴� ���穴� 
� 
稽 � 
経 
に に に ぬ の 
ね0.のぱは 
�憲��� 穴� ������ ���穴� 
 − なぱ.ば09に 
なば.ねぬのに の 
� � 穴 � 
����:�� � �嫌��健� 
(o) 
(p) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
35 
 
�泰���2 = −0.ななばぱのな(の√に)戴 + に.の(の√に)2 − 9.なぬ9なね(の√に) = なぱ.ば099�.� 
La posición del momento igual a cero en este mismo miembro puede hallarse al 
hacer 0 = −0.ななばぱのな�泰戴 + に.の�泰2 − 9.なぬ9なね�の 
Como el momento nulo debe estar posicionado en el intervalo real del miembro [0,の√に�], se cumple que una de las tres raíces esté dentro del rango de valores 
citado; tal raíz puede ser calculada aplicando el método de tanteos. Para ello, 
evaluamos el polinomio 血 � = −0.ななばぱのな�泰戴 + に.の�泰2 − 9.なぬ9なね�の en el intervalo 
mencionado y en donde haya un cambio de signo tenemos una solución; iteramos 
“n” veces hasta que nuestra solución sea exacta o lo más exacta posible (cuando 血 � = 0 o 血 � ~0). Los resultados obtenidos se visualizan en la tabla 1-3. 
 
 ∴ �泰,怠 = ね.は9の� 
Evidentemente el momento también es cero en �泰,2 = 0, es decir, en el punto 経. 
Diagrama de fuerza normal, figura 1-4q. 
 
 
 
 
 
にに.の 
� 
稽 � 
経 
の 
ね の の 
 − � � 穴 � 
����:�� � �嫌��健� 
(q) 
Tabla 1-3 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
36 
 
Ejercicio 1.5 Fuerzas en las barras de una armadura simétrica. 
Instrucciones Calcule las reacciones en los soportes y use el método de los nodos 
para determinar las fuerzas internas de la armadura que se observa en la figura 
1-5a. Indique si los elementos están en tensión o compresión. 
 
 
SOLUCIÓN 
Verificación del grado de indeterminación 
La armadura de este ejemplo es isostática externamente debido a que se tienen � = ぬ reacciones de apoyo (una horizontal y una vertical en el soporte articulado �, 
y una vertical en el soporte simple 継), tres equilibrios de equilibrio ∑�� = 0,∑�� = 0, ∑� = 0 y ninguna ecuación de condición, es decir,� = 0. Por 
otra parte, hay 決 = なば barras y 倹 = な0 nodos (etiquetados desde � hasta 蛍). Si 決 +� = なば + ぬ = に0 y に倹 = に な0 = に0, entonces 決 + � = に倹. Por lo tanto, la armadura 
es isostática internamente. 
Cálculo de las reacciones en los apoyos 
Las reacciones en los soportes se determinan de la misma forma que en las vigas 
y los marcos. Se realiza un diagramade cargas en el que aparezcan las fuerzas 
externas que se aplican a la armadura y las fuerzas reactivas cuyos sentidos deben 
suponerse arbitrariamente por ser incógnitas. Se orientan los ejes � y � a lo largo 
de las líneas que ofrecen la reducción de fuerzas más simple en sus componentes � y �. Se plantean las ecuaciones de equilibrio y en su caso, las ecuaciones de 
 
� 稽 � 経 継 
� 罫 茎 � 蛍 
は� は� なに� なに� なに� 
ね� ね� ね� なは´ 
なは´ 
なは´ なは´ なは´ 
Figura 1-5 
(a) 
CAPÍTULO 3 ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS 
 
37 
 
condición, y se resuelven; se invierte el sentido de cada fuerza que se propuso en 
el diagrama cuya magnitud resulte negativa en la solución de las ecuaciones de 
equilibrio. En la figura 1-5b se representa el diagrama de cargas de la estructura. 
 
 
Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en una secuencia y al emplear los resultados 
calculados previamente, se obtiene +∑�� = 0 なに なは + ね なは + なに ぬに + ね ぬに + なに ねぱ + ね ねぱ + は はね − ��� はね = 0 ��� = −な9に0−はね ⇒ ∴ ��� = ぬ0� +菓 ∑�� = 0 ⇒ −は − なに − ね − なに − ね − なに − ね − は + ぬ0 + ��� = 0 ⇒∴ ��� = ぬ0� 
+→ ∑�� = 0 ⇒∴ ��諜 = 0 
Como era de esperarse, al ser todas las cargas verticales, la reacción horizontal es 
nula. Los resultados obtenidos se visualizan en la figura 1-5c; obsérvese que sólo 
es necesario determinar las fuerzas en la mitad de los elementos debido a la 
simetría en la estructura tanto con respecto a la carga como a la geometría. 
(b) 
 
� 稽 � 経 継 
� 罫 茎 � 蛍 
は� は� なに� なに� なに� 
ね� ね� ね� なは´ 
なは´ 
なは´ なは´ なは´ 
��� 
��� �継� 
� 
� 
CAPÍTULO 3 ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS 
 
38 
 
Método de los nodos 
Nodo 蛍. Para calcular las fuerzas internas, se empieza con el nodo (junta) 蛍, ya que 
en él sólo hay dos fuerzas desconocidas, que es el número máximo de fuerzas 
desconocidas que puede haber en un nodo a analizar, así que también se pudo 
haber iniciado con el nodo �. Se representa el diagrama de cuerpo libre del nodo, 
figura 1-5d; el sentido de las incógnitas 蛍� y 蛍� se propone arbitrariamente. Los ejes � − � han sido orientados de manera horizontal y vertical para mayor facilidad. Se 
plantearon entonces, para este nodo, las dos ecuaciones de equilibrio que 
corresponden a fuerzas concurrentes en un plano, y a partir de estas ecuaciones 
se determinaron ambas fuerzas desconocidas. Una respuesta positiva indica que el 
sentido propuesto es correcto, mientras que una respuesta negativa indica que el 
sentido que se supuso debe ser invertido. Así mismo, recuerde que un elemento en 
 +→ ∑�� = 0 ⇒∴ 蛍� = 0 
+菓 ∑�� = 0 ⇒ −は + 蛍� = 0 ⇒∴ 蛍� = は� ������嫌�ó券 
 
 
 
� 稽 � 経 継 
� 罫 茎 � 蛍 
は� は� なに� なに� なに� 
ね� ね� ね� なは´ 
なは´ 
なは´ なは´ なは´ 
継倹� 穴� 嫌�����í� 
��諜 = 0 
��� = ぬ0� �継� = ぬ0� 
� 
 
 � � 
� � 
(c) 
(d) 
CAPÍTULO 3 ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS 
 
39 
 
compresión “empuja” a la junta y un elemento en tensión “jala” a la junta. Una vez 
calculada una fuerza de barra desconocida, deben usarse su magnitud y sentido 
correctos (tensión o compresión) en los diagramas de cargas de los nodos 
subsecuentes. Lo explicado corresponde al algoritmo que debe seguirse para 
analizar un nodo. 
Nodo �, figura 1-5e. A continuación se analiza este nodo, ya que al haber calculado 
anteriormente la fuerza del elemento 蛍 − �, sólo quedaban dos incógnitas, las 
fuerzas �稽 y ��. 
 
 
 
 
 
 ��̅̅ ̅ = √なは2 + なは2 = なは√に� 
sin � = 稽�̅̅ ̅��̅̅ ̅ = なはなは√に = な√に ; cos � = �稽̅̅ ̅̅��̅̅ ̅ = なはなは√に = な√に 
Con base en la figura 1-5f, se han determinado sin � y cos � debido a que las 
componentes rectangulares horizontal y vertical de la fuerza �� involucran esos 
términos, en forma respectiva. Como el carácter (tensión o compresión) debe ser el 
mismo en los dos nodos que definen el elemento, se observa que la fuerza interna 
de la barra � − 蛍 empuja a la junta � tal y como lo hace con 蛍. El análisis se hace 
también con las dos ecuaciones de equilibrio correspondientes a fuerzas 
concurrentes en un plano. +菓 ∑�� = 0 ⇒ ��� − �蛍 − ��� = 0 ⇒ ぬ0 − は − �� cos � = 0 
にね − �� ( な√に) = 0 ⇒ �� = − にね− な√に ⇒∴ �� = ぬぬ.9ねなな� ������嫌�ó券 +→ ∑�� = 0 ⇒ �稽 − ��諜 = 0 ⇒ �稽 − �� sin � = 0 
(e) 
(f) 
CAPÍTULO 3 ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS 
 
40 
 
�稽 = ぬぬ.9ねなな ( な√に) ⇒∴ �稽 = にね� ��券嫌�ó券 
De forma análoga, se efectúa el análisis de cada uno de los nodos restantes. 
Nodo 稽, figura 1-5g. +→ ∑�� = 0 ⇒ −稽� + 稽� = 0 ⇒ 稽� = 稽� ∴ 稽� = にね� ��券嫌�ó券 +菓 ∑�� = 0 ⇒ 稽� − ね = 0 ∴ 稽� = ね� ��券嫌�ó券 
 
Nodo �, figura 1-5h. 
 
 
 
 
 
 
 
 +菓 ∑�� = 0 ⇒ −なに − �稽 + ��� − ��� = 0 ⇒ �� sin � = −なに − ね + �� cos � 
�� ( な√に) = −なは + ぬぬ.9ねなな ( な√に) ⇒ �� = ぱな√に ⇒∴ �� = なな.ぬなぬば� ��券嫌�ó券 +→ ∑�� = 0 ⇒ ��諜 + ��諜 − �茎 − �蛍 = 0 ⇒ �� sin � + �� cos � − �茎 − 0 = 0 
�茎 = ぬぬ.9ねなな ( な√に) + なな.ぬなぬば ( な√に) ⇒∴ �茎 = ぬに� ������嫌�ó券 
(g) 
(h) 
CAPÍTULO 3 ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS 
 
41 
 
Nodo 茎, figura 1-5i. 
 +→ ∑�� = 0 茎� − 茎罫 = 0 ⇒ 茎� = 茎罫 ∴ 茎罫 = ぬに� ������嫌�ó券 +菓 ∑�� = 0 茎� − なに = 0 ⇒∴ 茎� = なに� ������嫌�ó券 
 
Por lo tanto, �罫 = 蛍� = 0 継� = 蛍� = は� ������嫌�ó券 継罫 = �� = ぬぬ.9ねなな� ������嫌�ó券 継経 = �稽 = にね� ��券嫌�ó券 �経 = 稽� = にね� ��券嫌�ó券 経罫 = 稽� = ね� ��券嫌�ó券 �罫 = �� = なな.ぬなぬば� ��券嫌�ó券 
Los resultados obtenidos se visualizan en la figura 1-5j. 
 
� 稽 � 経 継 
� 罫 茎 � 蛍 
は� は� なに� なに� なに� 
ね� ね� ね� なは´ 
なは´ 
なは´ なは´ なは´ 
��諜 = 0 
��� = ぬ0� �継� = ぬ0� 
� 
 
 � � 
� � にね� にね� にね� にね� 
ぬに� ぬに� 
は� は� ね� ね� なに� 
0 0 
(i) 
(j) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
42 
 
Ejercicio 1.6 Fuerzas en las barras de una armadura no simétrica. 
Instrucciones Determine la fuerza en cada elemento de la armadura que se 
muestra en la figura 1-6a. 
 
SOLUCIÓN 
Verificación del grado de indeterminación 
Obsérvese que 決 = なな, � = ぬ, 倹 = ば y � = 0. Debido a que � − � = ぬ se cumple, la 
armadura se describe como determinada externamente desde el punto de vista 
estático. Además, 決 + � = なな + ぬ = なね y に倹 = に ば = なね conducen a 決 + � = に倹, 
así que la armadura es estáticamente determinada externamente. 
 
 
ね� ね� ね� なの� なの� なの� 
は� 
� 
稽 
� 
経 
継 
� 
罫 
Figura 1-6 
(a) 
 
 
ね� ね� ね� なの� なの� なの� 
は� 
� 
� 
� 
稽 
� 
経 
継 
� 
罫 
�稽� 
�稽� 
��� 
(b) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
43 
 
Cálculo de las reacciones en los apoyos 
Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cargas, figura 1-6b, resulta +菓 ∑�� = 0 ⇒ −なの − なの − なの + �喋� = 0 ⇒∴ �喋� = ねの� 
+∑�� = 0 ⇒ なの ね + なの ぱ + なの なに − �喋諜 は = 0 ⇒ �喋諜 = −ぬは0−は ⇒∴ �喋諜 = は0� +→ ∑�� = 0 ⇒ ��諜 − は0 = 0 ⇒∴ ��諜 = は0� 
Los resultados obtenidos se visualizan esquemáticamente en la figura 1-6c. 
 
Método de los nodos 
Para calcular las fuerzas en los elementos, no hubo otra opción más que iniciar con 
el nodo 罫 por ser el único en poseer dos incógnitas, las fuerzas 罫継 y 罫�. A 
continuación se analizó el nodo �, debido a que al haber calculado anteriormente la 
fuerza en el elemento � − 継, sólo quedaban dos incógnitas en este nodo. Después 
se pasó al nodo 継, se siguió con los nodos � y �, y se concluyó con la junta 稽, ya 
que conforme se obtenían resultados, se iban utilizando en los diagramas de cuerpo 
libre de las juntas subsecuentes. 
Un cambio en la orientación de los ejes � y � en el nodo �, lo cual puede ser 
observado en el correspondiente diagrama, evitó una solución simultánea de 
ecuaciones. 
 
 
ね� ね� ね� なの� なの� なの� 
は� 
� 
稽 
� 
経 
継 
� 
罫 
 
 
�怠 
�な �に �に 
�喋� = ねの� 
�稽� = は0� 
��� = は0� 
�ぬ 
(c) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
44 
 
Las fuerzas internas de la armadura son 
Nodo 罫, figura 1-6e. Con base en la figura 1-6d, se tiene �稽̅̅ ̅̅�罫̅̅ ̅̅ = �継̅̅ ̅̅継罫̅̅ ̅̅ ⇒ はなに = �継̅̅ ̅̅ね �継̅̅ ̅̅ = は ね なに = に� tan �怠 =�継̅̅ ̅̅継罫̅̅ ̅̅ = にね �怠 = tan−怠 にね = には.のはのな° 
 +菓 ∑�� = 0 ⇒ 罫�� − なの = 0 ⇒ 罫� sin �怠 − なの = 0 
罫� sin には.のはのな° = なの ⇒ 罫� = なのsin には.のはのな° ∴ 罫� = ぬぬ.のねな0� ��券嫌�ó券+→ ∑�� = 0 ⇒ 罫継 − 罫�諜 = 0 ⇒ 罫継 − 罫� cos �怠 = 0 
 
 
Nodo �, figura 1-6f. +∑�� = 0 ⇒ −�継� = 0 
�継 sin �戴 = 0 ⇒ �継 = 0cos �戴 ⇒∴ �継 = 0 +∑�� = 0 
 
 
 
−�経 + �罫 + �継諜 = 0 ⇒ �経 = �罫 + �継 cos �戴 �経 = ぬぬ.のねな0 + 0 cos �戴 ∴ �経 = ぬぬ.のねな0� ��券嫌�ó券 
罫継 = ぬぬ.のねな0 cos には.のはのな° ⇒∴ 罫継 = ぬ0� ������嫌�ó券 
(d) 
(e) 
(f) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
45 
 
Nodo 継, figura 1-6h. A partir de la figura 1-6g, se obtiene 
 �稽̅̅ ̅̅�罫̅̅ ̅̅ = 経�̅̅ ̅̅�罫̅̅ ̅̅ ⇒ はなに = 経�̅̅ ̅̅ぱ 経�̅̅ ̅̅ = は ぱ なに = ね� tan �2 =�継̅̅ ̅̅継罫̅̅ ̅̅ = ねね �2 = tan−怠 ねね = ねの° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nodo �, figura 1-6i. +菓 ∑�� = 0 �経 − なの = 0 ⇒∴ �経 = なの� ��券嫌�ó券 +→ ∑�� = 0 �� − �継 = 0 ⇒ �� = �継 ⇒∴ �� = ねの� ������嫌�ó券 
 
+菓 ∑�� = 0 ⇒ −なの + 継� + 継経� = 0 ⇒ 継経 cos �2 = なの + 0 
 継経 cos ねの° = なの ⇒ 継経 = なのcos ねの° ⇒∴ 継経 = にな.になぬに� ��券嫌�ó券 
 +→ ∑�� = 0 ⇒ −継経諜 + 継� − 継罫 = 0 ⇒ 継� = 継経 sin �2 + 継罫 
 継� = にな.になぬに sin ねの° + ぬ0 ⇒∴ 継� = ねの� ������嫌�ó券 
 
(g) 
(h) 
(i) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
46 
 
Nodo �, figura 1-6j. 
 
�経 = なのcos ねの° ⇒∴ �経 = にな.になぬに� ������嫌�ó券 +菓 ∑�� = 0 ⇒ �稽 − �経� = 0 ⇒ �稽 = �経 sin �2 �稽 = にな.になぬに sin ねの° ⇒∴ �稽 = なの� ��券嫌�ó券 
 
Nodo 稽, figura 1-6k. +→ ∑�� = 0 ⇒ �喋諜 + 稽経諜 = 0 ⇒ 稽経 cos �怠 = は0 
稽経 = は0cos には.のはのな° ⇒∴ 稽経 = はば.0ぱにな� ������嫌�ó券 
 = ねの − なの − はば.0ぱにな sin には.のはのな° = 0 �� 
 
En la figura 1-6l se muestran los resultados obtenidos. 
 
 
 
 
 
 
+→ ∑�� = 0 ⇒ ��諜 − �� − �経諜 = 0 ⇒ �経 cos �2 = は0 − ねの 
+菓 ∑�� = �喋� − 稽� − 稽経� = ねの − なの − 稽経 sin �怠 
 
 
 
ね� ね� ね� なの� なの� なの� 
は� 
� 
稽 
� 
経 
継 
� 
罫 
�喋� = ねの� 
�稽� = は0� 
��� = は0� ねの� ねの� ぬ0� 
なの� なの� 0 
(j) 
(k) 
(l) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
47 
 
Ejercicio 1.7 Resolución de un arco triarticulado parabólico 
 
Instrucciones El arco de tres articulaciones que se muestra en la figura 1-7a tiene 
una forma parabólica. El arco soporta una carga uniforme distribuida de ぬ�/� y 
tiene las dimensiones indicadas, lo cual hace que sea simétrico. Demuestre que 
toda la estructura está sometida únicamente a compresión axial. 
 
SOLUCIÓN 
Cálculo de las reacciones en los soportes 
Como todo arco triarticulado, el de este ejemplo es isostático. Para calcular las 
reacciones en los soportes, el arco se desmonta y luego se realiza un diagrama de 
cuerpo libre de cada segmento, figura 1-7b. La articulación se ubica en la clave, es 
decir, en el punto 稽. Entonces, se aíslan los segmentos � − 稽 y 稽 − �. Obsérvese 
que se tienen seis incógnitas de reacción (el sentido de cada una se supone 
arbitrariamente), pero como se pueden aplicar las tres ecuaciones de la estática a 
cada segmento, hay seis ecuaciones de equilibrio disponibles. En los diagramas se 
indican las resultantes de las cargas distribuidas y su punto de aplicación de cada 
una. 
ぬ�/� 
� 
稽 
� 
に0� 
ぱ� ぱ� 
Figura 1-7 
(a) 
CAPÍTULO 4 RESOLUCIÓN DE ARCOS ISOSTÁTICOS 
 
48 
 
Para determinar las reacciones 稽諜 y 稽� en la articulación, tomamos momentos 
alrededor de � en el segmento � − 稽 y alrededor de � en el segmento 稽 − �. Las 
dos ecuaciones resultantes se resuelven simultáneamente. 
Segmento � − 稽 del arco: +∑�� = 0 ⇒ −�喋諜 に0 − �喋� ぱ + にね ね = 0 ⇒ −に0�喋諜 − ぱ�喋� = −9は − − − な 
Segmento 稽 − � del arco: +∑�� = 0 ⇒ �喋諜 に0 − �喋� ぱ − にね ね = 0 ⇒ に0�喋諜 − ぱ�喋� = 9は − − − に 
 
Si se despeja �喋� de la ecuación な se tiene �喋� = −9は + に0�喋諜−ぱ = なに − のに�喋諜 − − − ぬ 
Combinando las ecuaciones ぬ y に resulta に0�喋諜 − ぱ(なに − のに�喋諜) = 9は ⇒ �喋諜 = 9は + ぱ なに に0 + ぱ 岾のに峇 ⇒ �喋諜 = にねの 
Reemplazando el valor calculado de �喋諜 en la expresión ぬ da 
ぬ�/� 
� 
� 
ぱ� ぱ� 
に0� 
ぬ�/� 
稽 稽 
� ��諜 
��� ��� 
��� 
�稽� �稽� 
�稽� �稽� 
�怠 = ぬ�/� ぱ� = にね� �に = ぬ�/� ぱ� = にね� 
�̅怠 = ね� �̅2 = ね� 鯨����券�� � − 稽 鯨����券�� 稽 − � (b) 
CAPÍTULO 4 RESOLUCIÓN DE ARCOS ISOSTÁTICOS 
 
49 
 
�喋� = なに − のに (にねの ) = 0 
Dado que se obtuvo una magnitud positiva para �喋諜, el sentido de esta reacción es 
el mismo que se muestra en ambas porciones del arco; luego, note como en realidad �喋� no existe. A continuación se determinan las reacciones en los soportes con base 
en las ecuaciones de equilibrio de fuerzas. 
Segmento � − 稽 del arco: +→ ∑�� = 0 ⇒ ��諜 − にねの = 0 ⇒∴ ��諜 = にねの � +菓 ∑�� = 0 ⇒ ��� − にね = 0 ⇒∴ ��� = にね� 
Segmento 稽 − � del arco: +→ ∑�� = 0 ⇒ にねの − ��諜 = 0 ⇒∴ ��諜 = にねの � +菓 ∑�� = 0 ⇒ ��� − にね = 0 ⇒∴ ��� = にね� 
Se dibuja un diagrama del arco completo mostrando los resultados, figura 1-7c; las 
reacciones de la articulación se omiten por anularse entre sí. ぬ�/� 
� = 0,0 
稽 
� 
� = に0� 
ℎ = ぱ� ぱ� 
��諜 = にねの � ��� = にねの � 
��� = にね� ��� = にね� 
� = ℎ, � = ぱ,に0 
� 
� 
� 
� = − のなは �2 + の� 
(c) 
CAPÍTULO 4 RESOLUCIÓN DE ARCOS ISOSTÁTICOS 
 
50 
 
Ecuación que define al arco parabólico 
Se ha elegido al punto � como el origen del sistema de coordenadas, sin embargo, 
el lector debe estar consciente de que el origen bien pudo haberse seleccionado en 
cualquier otro punto. Por consiguiente, el vértice �, ubicado en 稽, no está en el 
origen. La ecuación de una parábola es � − ℎ 2 = −ね� � − � − − − � 
Al sustituir ℎ = ぱ y � = に0 en la ecuación � se tiene � − ぱ 2 = −ね� � − に0 − − − 決 
Si se despeja � de la ecuación 決 se llega a � = − � − ぱ 2ね � − に0 − − − � 
Reemplazando las coordenadas del origen en la ecuación � obtenemos 
� = − � − ぱ 2ね � − に0 = − 0 − ぱ 2ね 0 − に0 = はねぱ0 = ねの 
Al expandir la ecuación 決 , sustituir el valor calculado de � y despejar � da �2 − なは� + はね = −ね�� + ぱ0� ⇒ �2 − なは� + はね = −ね(ねの) � + ぱ0 (ねの) �2 − なは� + はね = −なはの � + はね ⇒ −なはの � = �2 − なは� � = − のなは �2 − なは� = − のなは �2 + の� − − − 穴 
La expresión 穴 es la ecuación que define al arco parabólico de este ejemplo. 
 
Funciones de la fuerza cortante, de la fuerza normal y del momento flector 
Ya que se han calculado las reacciones en los soportes y se ha deducido la ecuación 
parabólica del arco, es posible determinar las variaciones de las fuerzas normal � 
y cortante � internas, y del momento flector �, en función de la posición � 
empleando el método de las secciones. La distribución de la carga y la geometría 
de la estructura no varían, así que sólo se distingue un único segmento, el � − �, 
por lo que se efectúa nada más un corte perpendicular al eje del arco para definir 
las acciones internas a lo largo de él. La coordenada � con origen en �, es positiva 
hacia la derecha y puede usarse para analizar en su totalidad a la región 
mencionada. En la figura 1-7d se proporciona un diagrama de cargas de la sección 
cortada. Los elementos mecánicos actúan en su dirección positiva. La fuerza 
CAPÍTULO 4 RESOLUCIÓN DE ARCOS ISOSTÁTICOS 
 
51 
 
resultante �� de la carga distribuida uniforme del corte y su punto de aplicación �̅� 
se determinan como de costumbre. Lógicamente, la fuerza normal, que es tangente 
a la curva parabólica en el punto de corte, es perpendicular a la fuerza cortante, y 
esta última a su vez, es perpendicular al eje del arco en tal punto considerado. Estas 
dos últimas fuerzas deben descomponerse de manera individual en sus 
componentes rectangulares horizontal y vertical. 0 ≤ � ≤ なは� 
 
 
 
 
La pendiente del segmento cortado en el punto del corte es igual a la derivada. 
��券� = 穴�穴� = 穴 岾− のなは �2 + の�峇穴� = の − のぱ� = ね0 − の�ぱ = ���� 
� 
� 
� = − のなは �2 + の� 
ぬ�/� 
� 
�� = ぬ�/� � = ぬ� 
�̅� = �に 
 � 
� 
� 
� �� = ���嫌� 
�諜 = �嫌�券� �諜 = ���嫌� 
�� = �嫌�券� 
��� = にねの � 
��� = にね� 
� 
(d) 
CAPÍTULO 4 RESOLUCIÓN DE ARCOS ISOSTÁTICOS 
 
52 
 
Siendo el cociente del cateto opuesto �� entre el cateto adyacente �� la definición 
para la tangente de un determinado ángulo �, lo anterior puede ser acomodado en 
un triángulo rectángulo como el de la figura 1-7e. 
 
 
Se calcula la hipotenusa ℎ a través del Teorema de Pitágoras. ℎ = √ ぱ 2 + ね0 − の� 2 = √にの�2 − ね00� + なははね 
Ahora, ya es posible determinar los valores en función de � de 嫌�券� y ��嫌�, los 
cuales son útiles cuando se resuelven lasfuerzas � y � en sus componentes. 
嫌�券� = ��ℎ = ね0 − の�√にの�2 − ね00� + なははね ��嫌� = ��ℎ = ぱ√にの�2 − ね00� + なははね 
Se aplican las ecuaciones de equilibrio en el cuerpo libre. Tomando momentos 
respecto del punto del corte, se calcula el momento interno �. 
+∑������ = 0 ⇒ にね � − にねの (− のなは �2 + の�) − ぬ� 岾�に峇 − � = 0 ⇒ � = 0 
A partir del planteamiento de las ecuaciones de equilibrio para fuerzas en las 
direcciones horizontal y vertical, se origina un sistema simultáneo de ecuaciones 
que al resolverse proporciona los valores de las fuerzas normal � y cortante � 
internas. 
+→ ∑�� = 0 ⇒ にねの + �諜 + �諜 = 0 ⇒ にねの + ���嫌� + �嫌�券� = 0 にねの + � ( ぱ√にの�2 − ね00� + なははね) + � ( ね0 − の�√にの�2 − ね00� + なははね) = 0 − − − � +菓 ∑�� = 0 ⇒ にね − ぬ� + �� − �� = 0 ⇒ にね − ぬ� + �嫌�券� − ���嫌� = 0 
�� = ぱ 
�� = ね0 − の� ℎ = √にの�2 − ね00� + なははね � 
(e) 
CAPÍTULO 4 RESOLUCIÓN DE ARCOS ISOSTÁTICOS 
 
53 
 
にね − ぬ� + � ( ね0 − の�√にの�2 − ね00� + なははね) − � ( ぱ√にの�2 − ね00� + なははね) = 0 − − − �� 
Al despejar � de la ecuación � obtenemos 
� = −� ( ね0 − の�√にの�2 − ね00� + なははね) + にねの( ぱ√にの�2 − ね00� + なははね) − − − ��� 
Al combinar las ecuaciones �� y ��� resulta 
にね − ぬ� + (−� ( ね0 − の�√にの�2 − ね00� + なははね) + にねの( ぱ√にの�2 − ね00� + なははね) )( ね0 − の�√にの�2 − ね00� + なははね) −� ( ぱ√にの�2 − ね00� + なははね) = 0 ⇒ � = 0 
Si se reemplaza el valor calculado de � en la ecuación ��� da 
� = − 0 ( ね0 − の�√にの�2 − ね00� + なははね) + にねの( ぱ√にの�2 − ね00� + なははね) = −ぬ√にの�
2 − ね00� + なははねの 
 
De acuerdo con los resultados obtenidos, se concluye que un arco de forma 
parabólica, con una rótula en la clave y dos apoyos articulados posicionados a la 
misma altura, que se somete una carga vertical uniformemente distribuida de 
manera horizontal que abarca una longitud igual a la distancia que hay entre apoyo 
y apoyo, sólo resistirá fuerzas a compresión axial. Bajo estas condiciones, el arco 
recibe el nombre de arco funicular, porque dentro de él no se generan fuerzas de 
flexión ni fuerzas cortantes, ya que como se dedujo, tanto � como � son nulos a lo 
largo de la estructura. Un arco de tres articulaciones, tal y como se mencionó al 
inicio, es estáticamente determinado, en consecuencia, no se ve afectado por 
cambios de temperatura o en el asentamiento. Puede ser construido de concreto, 
madera o metal. El lector puede dibujar fácilmente el diagrama de carga axial 
(cortante) de este ejemplo al evaluar la función de � en el intervalo 0 ≤ � ≤ なは� y 
después graficar los datos. 
 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
54 
 
Ejercicio 1.8 Resolución de un arco triarticulado circular 
Instrucciones Calcule las reacciones en los soportes y las funciones de las 
acciones internas en el arco de forma circular mostrado en la figura 1-8a que soporta 
una carga puntual � en 稽. 
 
 
 
SOLUCIÓN 
Cálculo de las reacciones en los soportes 
El arco circular triarticulado es isostático y además simétrico tanto con respecto a la 
carga como a la geometría. Para evitar la solución de un sistema simultáneo de 
ecuaciones, se aplican las ecuaciones de equilibrio en la siguiente secuencia y se 
van usando los resultados calculados previamente. 
Arco completo: +∑�� = 0 ⇒ � � − ��� に� = 0 ⇒∴ ��� = �に +菓 ∑�� = 0 ⇒ ��� − � + �に = 0 ⇒∴ ��� = �に 
Recuerde que el momento en la rótula 稽 es nulo. 
Segmento � − 稽 del arco: +∑�稽 = 0 ⇒ �に � − ��諜 � = 0 ⇒∴ ��諜 = �に 
 
� 
� � 
� � 
稽 
� 
Figura 1-8 
 
(a) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
55 
 
Arco completo: +→ ∑�� = 0 ⇒ �に − ��諜 = 0 ⇒∴ ��諜 = �に 
 
 
Funciones de la fuerza cortante, de la fuerza normal y del momento flector 
En la figura 1-8b se presentan esquemáticamente los resultados obtenidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El centro de la circunferencia se elige en el origen 頚 de los ejes globales �, �, los 
cuales se muestran en la figura en su dirección positiva. Obsérvese como a los 
puntos �, 稽 y � les corresponden, de forma respectiva, los ángulos de なぱ0°, 90° y 0°. Las funciones internas son discontinuas en el punto 稽 debido a que justo ahí se 
encuentra aplicada una carga �. Entonces, la estructura debe seccionarse en dos 
ocasiones, una en el tramo � − 稽 y otra en el tramo 稽 − �. Se utilizará una sola 
coordenada � cuyo origen está en 頚 y que es positiva hacia adelante y negativa 
hacia atrás. Al emplear el método de las secciones se tiene 
Parte 稽 − �. Se secciona el arco en un punto arbitrario (intermedio en el segmento 稽 − �) a una distancia horizontal � del origen 頚, figura 1-8c. 
 
� 
� � 
� � 
稽 
� 0° 
90° 
なぱ0° 
� 
� � − � + ��諜 =
�に 
��� = �に ��� = �に 
��� = �に 頚 0,0 
(b) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
56 
 
0° ≤ � ≤ 90° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con base en la figura anterior, del triángulo rectángulo inscrito en el cuarto de 
circinferencia derecho se deduce sin � = �� ⇒ � = � sin � cos � = �� ⇒ � = � cos � 
Note como en el diagrama anterior aparacen las fuerzas normal y cortante internas, 
y el momento flector, tanto de la cara izquierda como de la cara derecha del 
elemento cortado. 
. 
� 
� � 
� � 
稽 
� 0° 
90° 
なぱ0° 
� 
� ��諜 = �に 
��� = �に ��� = �に 
��� = �に 頚 0,0 
� 
� � 
� 
� 
� 
� 
稽 
� 
90° 
なぱ0° ��諜 = �に 
��� = �に 
頚 0,0 
� = ���嫌� 
� = �嫌�券� 
� 
� 
�怠諜��� = �怠��� ��嫌� �怠���� = �怠��� 嫌�券� 
�怠���� = �怠��� ��嫌� 
�怠諜��� = �怠��� 嫌�券� 
(c) 
(d) 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
57 
 
En la figura 1-8d se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente a la 
porción izquierda. 
Ahora veamos las implicaciones del equilibrio estático del cuerpo libre. Tomando 
momentos alrededor del punto del corte, se determina el momento interno �. +∑������ = 0 ⇒ −�に � + �に � + � − � � − �怠��� = 0 −�に �嫌�券� + �に � + ���嫌� − � ���嫌� − �怠��� = 0 ⇒ �怠��� = �に � な − 嫌�券� − ��嫌� 
Las fuerzas normal �怠��� y cortante �怠��� internas se obtienen de resolver el sistema 
simultáneo de ecuaciones que se origina al establecer el equilibrio para fuerzas en 
las direcciones horizontal y vertical. +菓 ∑�� = 0 ⇒ �に − � − �怠���� − �怠���� = 0 �に − � − �怠��� 嫌�券� − �怠��� ��嫌� = 0 ⇒ �怠��� 嫌�券� + �怠��� ��嫌� = −�に − − − な +→ ∑�� = 0 ⇒ �に − �怠諜��� + �怠諜��� = 0 �に − �怠��� ��嫌� + �怠��� 嫌�券� = 0 ⇒ −�怠��� ��嫌� + �怠��� 嫌�券� = −�に − − − に 
Al despejar �怠��� de forma individual en las ecuaciones な y に se tiene 
�怠��� = −�に − �怠��� ��嫌� 嫌�券� − − − ぬ �怠��� = �に + �怠��� 嫌�券� ��嫌� − − − ね 
Al Igualar las ecuaciones ぬ y ね y simplificar resulta −�に − �怠��� ��嫌� 嫌�券� = �に + �怠��� 嫌�券� ��嫌� ⇒ − �に嫌�券� − �怠��� ��嫌� 嫌�券� = �に��嫌� + �怠��� 嫌�券� ��嫌� �怠��� (��嫌�嫌�券� + 嫌�券���嫌�) = −�に ( な嫌�券� + な��嫌�) �怠��� 峭嫌�券2� + ��嫌2�嫌�券���嫌� 嶌 = −�に (��嫌� + 嫌�券�嫌�券���嫌� ) ⇒ �怠��� な = −�に (��嫌� + 嫌�券�嫌�券���嫌� ) 嫌�券���嫌� �怠��� = �に −嫌�券� − ��嫌� 
 
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
58 
 
Al reemplazar el valor obtenido de �怠��� en la ecuación ね se obtiene 
�怠��� = �に + �に −嫌�券� − ��嫌� 嫌�券� ��嫌� = �に 峭 な��嫌� − 嫌�券に���嫌� − ��嫌�嫌�券���嫌� 嶌 = �に 峭 な��嫌� (な − 嫌�券に� − ��嫌�嫌�券�)嶌 = �に 峭 な��嫌� ��嫌に� − ��嫌�嫌�券� 嶌 = �に ��嫌� − 嫌�券� 
Si se quiere evitar la solución simultánea de ecuaciones, el equilibrio de fuerzas 
puede ser efectuado en las direcciones que coinciden con las líneas de acción de 
las fuerzas �怠��� y �怠���. De ser así, reacciones ��諜 y ��� y la carga � tendrían que 
resolverse en sus componentes rectangulares para tales direcciones. Por otra parte, 
cabe mencionar que las acciones internas se pudieron haber calculado analizando 
la porción derecha del seccionamiento. 
Parte � − 稽. Se secciona el arco en un punto arbitrario (intermedio en el segmento � − 稽) a una distancia horizontal −� del origen 頚, figura 1-8e. 90° ≤ � ≤ なぱ0° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la figura 1-8f se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente a la 
porción izquierda y se aplican las ecuaciones de equilibrio en él. 
� 
� � 
� � 
稽 
� � 0° 
90° 
なぱ0° 
� 
� −� 
��諜 = �に 
��� = �に ��� = �に 
��� = �に 頚 0,0 
� − −�