TEORIA DE LAS COLAS Y CASO PRACTICO

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DOCENTE
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ASIGNATURA
TEORIA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA 
ESCUELA DE POSTGRADO
UNIVERSIDAD 
– PERU
2023
TEORIA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA 
La teoría de colas es una disciplina matemática que se enfoca en el estudio y análisis del comportamiento de las colas o filas de espera; está presente en una amplia variedad de contextos, como sistemas de transporte, centros de atención al cliente, supermercados, redes informáticas y más. La comprensión y gestión eficiente de las colas es fundamental para mejorar la satisfacción del cliente, optimizar los recursos y garantizar un flujo de trabajo eficiente.
	COLAS MAS COMUNES		
	SITIO	CLIENTE	SERVICIO
	Supermercado	Compradores	Pago en cajas 
	Caseta de pago	Vehículos	Pago de cuota
	Consultorio	Pacientes	Consulta
	Sistema de Cómputo	Programas a ser corridos	Proceso de datos
	Compañía de teléfonos	Llamadas	Efectuar comunicación
	Banco	Clientes	Depósitos y Cobros
	Mantenimiento	Máquinas dañadas	Reparación
	Muelle	Barcos	Carga y descarga
CARACTERÍSTICAS
LLEGADAS:
SERVICIO:
CAPACIDAD:
DISCIPLINA DE LA COLA: 
Representa la tasa a la cual los clientes llegan a la cola. Puede ser constante o variable en el tiempo.
Indica la tasa a la cual los clientes son atendidos y salen de la cola, al igual que las llegadas, puede ser constante o variable.
Es el número máximo de clientes que pueden estar en la cola al mismo tiempo. Si la capacidad se alcanza, los clientes adicionales son rechazados o redirigidos.
Determina cómo se selecciona al próximo cliente para recibir servicio cuando hay varios en espera. Algunas disciplinas comunes son FIFO (el primero en entrar es el primero en ser atendido), LIFO (el último en entrar es el primero en ser atendido) y prioridades basadas en algún criterio establecido.
CAPACIDAD DEL SISTEMA: 
Es el número máximo de clientes que pueden estar dentro del sistema haciendo cola antes de ser atendidos para recibir el servicio, al igual que la fuente de llegada este número puede ser finito o infinito.
NÚMERO DE CANALES DE SERVICIO:
En este nuevo enfoque, se resalta la idea de compartir una única línea de espera para todos los servidores en lugar de tener colas individuales. Además, se menciona que en los canales de servicio paralelo se utiliza una cola común para distribuir la carga entre los diferentes servidores.
TIPOS DE SISTEMAS DE COLAS
MODELOS DE LA TEORIA DE COLAS
Modelo M/M/1 
Modelo M/M/c
Este modelo describe una cola con una única fuente de llegadas y un único servidor que atiende a los clientes. La notación "M/M/1" representa la distribución exponencial tanto para las llegadas como para los tiempos de servicio. Se pueden calcular métricas como la longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera en la cola y la probabilidad de que el sistema esté ocupado.
Este modelo describe una cola con una única fuente de llegadas y múltiples servidores que atienden a los clientes. La notación "M/M/c" indica una distribución exponencial para las llegadas y los tiempos de servicio, y "c" representa el número de servidores disponibles. Las métricas que se pueden calcular incluyen la probabilidad de que todos los servidores estén ocupados y el tiempo promedio de espera en la cola.
Modelo M/G/1: 
Modelo M/D/1:
En contraste con los modelos anteriores, el modelo M/G/1 asume que las llegadas siguen una distribución de probabilidad y sus parámetros específicos, como la media y la varianza en lugar de una distribución exponencial (M); sin embargo, los tiempos de servicio siguen siendo exponenciales y solo hay un servidor.
En este modelo, las llegadas siguen una distribución exponencial (M), mientras que los tiempos de servicio se modelan como una distribución determinística (D). Nuevamente, solo hay un servidor.
Modelo M/M/∞
Este modelo asume una fuente de llegadas con una distribución exponencial y un número infinito de servidores disponibles. Es decir, no hay límite en la capacidad de servicio de la cola.
DISTRIBUCIÓN DE LA TEORÍA DE COLAS 
Existen diferentes distribuciones de probabilidad utilizadas en la teoría de colas, dependiendo de las características del sistema en estudio; las distribuciones comúnmente utilizadas son:
Distribución exponencial:
Distribución de Poisson: 
Distribución determinística: 
Esta distribución se utiliza para modelar los tiempos de llegada y los tiempos de servicio cuando se asume que los eventos de llegada o servicio ocurren de manera continua y aleatoria a una tasa constante. La distribución exponencial es ampliamente utilizada en los modelos M/M/1 y M/M/c.
Esta distribución se utiliza para modelar la ocurrencia de eventos raros e independientes en un intervalo de tiempo o espacio específico. Se utiliza para describir las tasas de llegada de clientes a una cola en modelos como M/M/1.
En algunos casos, se asume que los tiempos de servicio son constantes y determinísticos, es decir, no hay variabilidad en los tiempos de servicio. En este caso, se utiliza una distribución determinística, donde todos los tiempos de servicio son iguales. Se utiliza en el modelo M/D/1.
Además de estas distribuciones, en la teoría de colas también se pueden utilizar otras distribuciones más generales, como la distribución de Erlang, la distribución hiperexponencial, la distribución generalizada de Erlang, entre otras. Estas distribuciones se utilizan para modelar sistemas de colas más complejos y con características más específicas.
CASOS DE USO DE LA TEORÍA DE COLAS
Telecomunicaciones: 
Se utiliza para optimizar el rendimiento de redes y sistemas de comunicación, como la gestión de llamadas telefónicas y el enrutamiento de paquetes en Internet.
Servicios al cliente: 
Ayuda a diseñar y mejorar los centros de atención al cliente, reduciendo los tiempos de espera, asignando prioridades adecuadas y asignando recursos de manera eficiente
Contribuye a la gestión de servidores, el balanceo de carga y la planificación de capacidad en entornos informáticos.
Logística y transporte: 
Permite planificar rutas de transporte, programar llegadas y salidas, y gestionar eficientemente el flujo de bienes y personas.
Administración de sistemas informáticos: 
CASO PRACTICO
CASO PRACTICO NRO. 01; modelo M/M/1: Una tienda de comestibles que acaba de abrir y está evaluando el desempeño de su única caja registradora. Utilizaremos los siguientes datos:
- Tasa de llegada (λ): 10 clientes por hora
- Tasa de servicio (μ): 12 clientes por hora
Paso 1: Calcular la tasa de utilización (ρ): La tasa de utilización se calcula dividiendo la tasa de llegada (λ) entre la tasa de servicio (μ):
Paso 2: Calcular la tasa de llegada efectiva (λe): La tasa de llegada efectiva se calcula restando la tasa de llegada (λ) menos la tasa de salida (μ):
λe = λ - μ 
λe = 10 - 12 
λe = -2
ρ = λ / μ 
ρ = 10 / 12
 ρ = 0.8333
Dado que la tasa de llegada efectiva es negativa, significa que el sistema no está equilibrado y la tasa de llegada es menor que la tasa de servicio. En este caso, no hay suficientes llegadas para mantener al servidor ocupado continuamente.
Paso 3: Calcular la cantidad promedio de clientes en el sistema (L): La cantidad promedio de clientes en el sistema se calcula utilizando la fórmula:
L = ρ / (1 - ρ) 
L = 0.8333 / (1 - 0.8333) 
L = 5
Esto significa que en promedio habrá 5 clientes en el sistema, incluyendo al que está siendo atendido por el servidor y los que están esperando en la cola.
Paso 4: Calcular el tiempo promedio de espera en la cola (Wq): El tiempo promedio de espera en la cola se calcula utilizando la fórmula:
Wq = L / λe 
Wq = 5 / (-2) 
Wq = -2.5
Dado que la tasa de llegada efectiva es negativa, el tiempo promedio de espera en la cola también resulta negativo. Esto indica que el sistema no está equilibrado y no hay suficientes llegadas para mantener a los clientes ocupados en el servidor.
Paso 5: Calcular el tiempo promedio de espera en el sistema (W): El tiempo promedio de espera en el sistema se calcula sumando el tiempo promedio de espera en la cola (Wq) y el tiempo promedio de servicio (1 / μ):
W = Wq + (1 /μ)
 W = -2.5 + (1 / 12) 
W = -2.42
Al igual que en el paso anterior, el tiempo promedio de espera en el sistema resulta negativo debido a la falta de equilibrio en el sistema.
En resumen, en este caso práctico del modelo M/M/1, encontramos que el sistema no está equilibrado y no hay suficientes llegadas para mantener al servidor ocupado continuamente; la cantidad promedio de clientes en el sistema y el tiempo promedio de espera tanto en la cola como en el sistema resultan negativos, lo cual no es una situación realista ni deseable en la práctica. Para un funcionamiento adecuado del sistema, se requiere ajustar la tasa de llegada o la tasa de servicio para lograr un equilibrio y resultados positivos.
CASO PRACTICO NRO. 02; modelo M/M/c : Un centro de atención al cliente con C operadores disponibles para atender las solicitudes de los clientes. Utilizaremos los siguientes datos:
- Tasa de llegada (λ): 20 clientes por hora
- Tasa de servicio (μ): 10 clientes por hora
- Número de servidores (c): 3
Paso 1: Calcular la tasa de utilización (ρ):
La tasa de utilización se calcula dividiendo la tasa de llegada (λ) entre la tasa de servicio (μ):
Paso 2: Calcular la tasa de llegada efectiva (λe):
Dado que estamos considerando un modelo M/M/c, la tasa de llegada efectiva (λe) es igual a la tasa de llegada (λ) multiplicada por el factor de utilización (ρ):
λe = λ * ρ
λe = 20 * 0.6667
λe = 13.3333
ρ = λ / (c * μ)
ρ = 20 / (3 * 10)
ρ = 0.6667
Paso 3: Calcular la cantidad promedio de clientes en el sistema (L): La cantidad promedio de clientes en el sistema se calcula utilizando la fórmula:
L = (ρ^c * (1 - ρ)) / (1 - ρ^(c+1)) 
L = (0.6667^3 * (1 - 0.6667)) / (1 - 0.6667^4)
 L = 0.2963
Esto significa que en promedio habrá 0.2963 clientes en el sistema, incluyendo aquellos siendo atendidos por los operadores y los que están esperando en la cola.
Paso 4: Calcular el tiempo promedio de espera en la cola (Wq):
El tiempo promedio de espera en la cola se calcula utilizando la fórmula:
Wq = L / (λe * (1 - ρ))
Wq = 0.2963 / (13.3333 * (1 - 0.6667)) 
Wq = 0.0222 horas
Esto significa que, en promedio, los clientes esperarán aproximadamente 0.0222 horas en la cola antes de ser atendidos por un operador.
Paso 5: Calcular el tiempo promedio de espera en el sistema (W):
El tiempo promedio de espera en el sistema se calcula sumando el tiempo promedio de espera en la cola (Wq) y el tiempo promedio de servicio (1 / μ):
W = Wq + (1 / μ)
W = 0.0222 + (1 / 10)
W = 0.1222 horas
Esto significa que, en promedio, los clientes pasarán aproximadamente 0.1222 horas en el sistema (tiempo de espera en la cola más tiempo de servicio).
En resumen, en este caso práctico del modelo M/M/c, encontramos que en promedio habrá 0.2963 clientes en el sistema, y los clientes esperarán aproximadamente 0.0222 horas en la cola y pasarán 0.1222 horas en el sistema en total. Estos resultados pueden ser útiles para el centro de atención al cliente para evaluar la capacidad de sus operadores y el tiempo de espera de los clientes.
CONCLUSIONES
La teoría de colas proporciona herramientas y modelos matemáticos para analizar y gestionar eficientemente las colas. Comprender los conceptos clave, como las tasas de llegada y servicio, la tasa de utilización y las estrategias de gestión, es fundamental para mejorar el rendimiento de los sistemas de colas y la experiencia del cliente. Al aplicar los principios de la teoría de colas, las organizaciones pueden optimizar sus recursos, reducir los tiempos de espera y mejorar la eficiencia operativa.