Libro RM

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i n d i c e
13
Página
25
Mgina
97
Página
• Lectura............................................................. 14
• Objetivos e in lroducci^ ............................ ..... 15
• Consideracionesparaelsdueáítor................. 15
• Consideraciones para el alumno..................... 1#
. Primeras ideas matemáteas d d Ivsmto« 17
. Ejercicios de iniroducción................................ 22
. Biografía: Giordano Bruno............................... 24
t ó y k i i
• Lectura........................................................ L.. 26
. Objetivos • In to d ia jd ó ii .................. 27
• P tust« Prrtm inar,............................. Zi
• Situaciones lógieasrecfwrtiVB«....................... 33
. Ejercicios con cerrBas ...... 35
• Situaciones (Sversas................... 42
• Protdemas sobre parentescos......................... 49
. Problemas sobre relación de tiempos 55
. Orden de información...................................... 63
. Problemas propuestos.................................... 83
. Bibliografía: Thales de Mileto......................... 96
. Lectura............................................ 98
. O t^fivos e Introducción. ,................... 99
. Nociones prevtes.............................................. 100
. Métodos Razona&/os........................................101
. Ejercicios resueltos........................................... 110
. Ejercicios propuestos..........................................130
. Biografia: Tycho Braiie .................................. 136
/ O | »W 0 f!V à
. Lectura..............................................................138
. Objetivos a Introducción...................................130
137
PigBia
211
Plígio»
243
. Métodos prácticos para efectuar cálculos
rápidos...............................................................140
. Protslemas resueltos........................................ 148
. Problenas propuestos..................................... 163
. Biografía: Srinivasa Ramanuján...................... 168
I H
. Lectura.............................................................. 170
. Ob^fivos e Introducción...................................171
. Nociones previas...............................................172
, Ecuaciones üneates.......................................... 174
• isuaciones cuadráticas....................................176
,f)Ü teim deeou8eiefles....................................177
, ^ fir te de plantear une ecuaciones................. 180
. ^gobtemas resueltos........................................ 185
 ̂PiableroaB propueetp» « )3
. Sobra la ecuadón de tercer grado «09
.Lectura.,.:......................................................... 212
. Objetivos e Introducción...................................2 l3
. Nociones previas..............................................214 -
. Tipos de probienias.......................................... 215
. ProWemM reweltos.........................................221
. Problemas prepuestos......................................237
. B to jrsfb : Dioftinto (te Alejandría ..................242
. Lectura............................................................. 844
. Objetivos 9 Introducción...................................245
. Nociones previas,............................................. 246
. Tiennpo de encuentro y tiempo
de alcancs........................................................250
. Probteroas resueltos.........................................258
. Problenws propuestos..................................... 282
. Biogratfa: Nicolás Copémico........................... 289
' £ /í}ÍJyiii3íii
291
Página
■ Lectura
• Objetivos e introducción 
Tipos de problenias.......
• Problemas resueltos
■ Problemas propuestos..
' Biografía; Galileo Galilei. 46»Mgam
Lectura 470
Objetivos e Introducción..................................471
Nociones previas............................................. 473
Prppiedades.....................................................481
gjercicios resueltos..........................................490
■jercicios propuestos ............................503
Biograffa; Evariste Galois................................ 508
; Fracaones
333
Página
•Lectura.............................................................39*
• O t^tivos e Inbaduocjón.................................. 335
• Números racionales ............................... S3t
• Número fraccionaiio y fracción........................ 336
• Números decimales........................................ 358
• Problemas resueltos ^ 7
• Prot^emas propuestaK .........................384
■ Biografía: Iván MatvMtctcn ^flgoerádov...........390
Sucesiones
• Lectura............................................ 510
• Ot>|e»K>s e IntroduccMn ..........................511
• Nocionss da sucesión ..............................512
•S u ce s io n w n u in ó ilca s-D e fin id dasM ..... 513
• B W S i^ d e P a s c a l......................................534
• Problemas resuellos.........................................543
• Probletnas propuestos..................................... S85
• Biografía: Leonanío (te Pisa............................ 582
391
L f I Tanto por 
: Cuanto
•Lectura....................................... 392
• Objetivos e bitrodueción.................................. 393
• El tanto por cuanto................................ 394
■ B tanto por ciento................................ 395
• Variación poroemutf........................................ 408
• Aplicación comercial ........................ 415
■ Problemas resuelto»....................................... 418
• Problemas propuestos.....................................430
• Biografia: l̂ racois Meta...................................435
Seijcs y 
Suinatonas
563
•Leaura .............................................................564
• Ot^etivos a Introducción.................................. 565
• Serie numérica....................... 686
• Serie arnmétíca.................................. 56®
• Serie gaomMica..............................................573
• Principales serias y sunu» notables............... 5M
• Problemas resueltos........................................ 587
•PfoWeftiaspropuesto«.....................................600
• Biografía: Cari Friedrich Gauss....................... 606
437
Página
Comparación 
de Magnitudes
* Lectura 438
• Ot)jetivose Introducdón..... ...... ...... ............439
• Nodones generales........................... ............ 440
■ Comparación de Magníudes..... .........441
• Problemas resueltos.......................... 448
• Prc^lemas propuestos....................... ............462
• Biografía: Johannes Keplet............... ............468 607
Página
• O t^tivos a Introducción...................................609
• En busca de la l^u ra ....................................... 6 ii
• Nociones previas. Método de conteo.............. 612
• Conteo directo.................................................. 614
• Conteo por inducción,...................................... 617
• Problemas resueltos........................................ 633
• Problemas propuestos..................................... 647
• Biografia: Tartaglia y Cardano (parle 2).......... 653
655
Página
675
719
Página
761
Página
T o p o l o g í a
• Lectura 656
• Objetivos e introducción..................................657
• Recorridos euíerianos..................................... 659
• Nociones importantes......................................661
• Prolilemas resuelto* 669
• Prot)lenfMS pr<^xie«tos................................... 672
• Biografía: Euler...............................................673
Razonamiento
Geométrico
•Lectura......................................................... ...67 Í
• Objetivos e Introducción.................................. 677
• Nociones básicas da geomettla ......... 678,
• Triángulo., k T...................................................8 7 í’
• Polígono plano *r::...........................................689
• Cuadrilátero,.................................................. 6S9
•Circunferencia........................ 6 ^
• Proporciotiriidad da ios aegníentos ,r. ............694
• Problemas resueltos............................ .696
• Problenws (»-opuestos ......................... 712
• Biografia: Euclides ............................... 718
Pcjfímctros 
y Arcas de 
Régíones Planas
•Lectura.............................................................720
• Objetivos e Introducción.................................. 721
• Perímetro y átea de una región plana,,,,":........ 722
• Perímetros..................................... 723
•Áreas............................................ 727
• Problemas resueltos........................................733
• Problemas propuestos ........................754
• Biografía: Pitágoras................... 760
• Lectura...................... ........................ ............ 762
• Objetivos e Introducción................... ........ 763
• Sistema de coordenadas.................. 764
• Área de una región poligonal............ ............ 768
• La linea recta..................................... 771
• La circunferencia............................... .............781
• La parábola................... .................... ........... 783
• Problemas resueltos......................... 786
• Problemas propuestos................................... 802
• Biografías: Descartes........................ ............ 809
ccipn 
¡sis 
a'
811
Pápna
509
eágina
913
i%ÍIM
947
Pápna
Lectura.............................................................81
Objetivos e IrUroducdón..................................81
Concepto* previos.......................................... 81
Principios fundamentales de conteo...............Sí
TécnicaB de conteo.........................................82
Permutadones................................................ 82
Combinaciooes................................................84
Problemas resueltos........................................84
probtemas propuestos.................................... 8í
Biografía; Pierre U piace.................................86
Introducción 
al Cálculo de 
Probabilidades
• Lectura............................................................
• (Mjjefivos e Introducoún................................. -661
• Nociones previas............................................ ■66
• Probabilidad................................................... .-«7
• Propiedades de te probat)9Wad..................... -ee-
• Problemas resumios........................................ 89
• Pn^Memas propuestos.....................................80'
rB iografla;B lasP M cal.....................................91
Logica
Proposicional 
y de Clases
•La<aufa............................................................. 91¿
• ObjetivQS e introducción......................... ....... 91 í
•Nociones previas.............................................0H
• Leyes dal Algebra Proposicional..................... 92
• Problemas resueltos........................................92:
•lóg ica de dase*..............................................92:
• Pnobleroas resueltos........................................93í
• Problemas propuestos.................................... 94C
• B io g r^ ; Hipatia de At^andrla......................94(
Temas
Complementarios x
•Lectura.............................................................94:
• Objetivos e Introducción.................................. 94
•C arleas.................. 9S(
• Pfohiwnas resueltos........................................98'
•C ifnB tB firtnales..............................................M
• Problemas resueltos........................................06
• Problemas propuestos.....................................98í
• Bioflrafla; Oiógenes.........................................9T.
b r i R O D U C C I Ó N
La matemática ha jugado un papel fundamental en el desarrollo de 
las tecnologías creadas por el hombre a lo largo de toda $u existencia. 
Dicho desarrollo tecnológico ha tenido y tíene manifestatíones 
imfxtrtantes en el ámbito educativo a lo largo de la t^ iw ia humana.
importancia de 
losMúmeros «sta Vida Humana
amas, hacia tici^tHÍKfitodusUm i^dai 
t Matfnm ipu nutstra mttUgtHcia ts
Bavanct de la títncia 
impuhtáa p»r la Matmática, 
tttvá ti iMmbrt al tspacio.
^ pt̂ paáa. JMantt dt nutstn müúda sotprtiiSda, bu 
V L X tstrtBassoHunacaravtaialummiua^tdtifilaportl 
dtsitrto iiuondaNt dil infinito, las ntbulosas inmensas y los 
planetas tiran, según leyes eternas, por lot abismos del espacio.
UnattádáKapmt¿it, aitnUuHa, bienniüda, tn nuestro e s p ^ : la 
' natíSndiiiúmm. .
V ñ ibf-at'd Séc^ eaandt est paù era dominado par el 
pagaitÌ$moi im/Béto/onotaUeaamadoPlatón. Consultado por un 
dU e^alfío^ka^rztidom inantes dt los destinos del hombrt, 
tf gnm ̂m íiivffaiataé: "Im námtros gobiernan et mundo”.
R t t í t i ^ ^ i i i - S t pnuamknto más seneUlo no puede ser 
: úmlucre, btyo mtUt̂ les aspectos, ti
conceptoftfndmiitíaldinámtro. Del número, que nía bou dt la 
rosón ji:M enímámitnkî surgt otra noción dt indiscutiUt importancià: la noción de medida. 
M téirr tt eoá^tnn For consiguiente, sólo son susceptibles dt medast ¡as magntudes qut 
admltin untltmtnia como base de comparación ¿SerúposiMt medirla extensión delespaeloTDt 
ninguna mantra. El tspacio es infinito, y siendo así, no adnúte tirmno-de comparadóm ¿Será 
posibk tvaluar Ut títntídadT De ninguna manera. Dentro dé las posibilidades humanas, ti üempo 
e$sitmprtfiiátaiytnticá¡euiodtlaettmtiad,uoputdeloeJímtTOStrvirdtunidaddtmtditíón.
« Bn muclm oum , sin embargo, ts posiUt rtpreientar una magnitud que no se adapit a los 
tísttmiás dt n ú ^ ^ p » otra qut putda ser determinada con exactitud. EsmtamHo dt nu^nitudes, 
I ttMBknUsa HmfSfiéarUu p reso s dt medidas, constituye el otjtto prtndpol 4t una dtncia, 
ipit los hombm dinominm Matemática. Para alcanzar su objetivo, , precisa la matemótica 
atudùtr lot nàm^osi sus pnpitdadts y tranî ormacionts. En esa paittf̂ ella toma el nombre de 
Arìtm ica. C o n o r s h s HÚmtros; es posib/e eplieailos a la evaluación de magnitudes qut 
cambiáni o qut son desconocidas, pero que se presentan expresadas por mtdio de reltteiones y 
J&rmulasii Tenemos Algebra. Los voiorts qut mtdimot tn ti campo dt la rtéSáaá son 
y^pttstntaaot por euttpos mattriedts o por súnbolos; en cualquier cado, esos aurpos o esos 
simibalos-tìaàm dotados át^matributoK Joma, lamado y posición. Es imctsario, pues, estudiar 
a0ttH ttatrSb0to^ttt^$Kéoe»m tíluyt^ol^dtlaG tom tíria,
tu rna édgunos áe t e CShmm M atrnUns, «amo ú « i AritméUea, a Á ¡g ^ y la 
Geometría fim m paimt etHerameiOe d f̂emarnt. >ío as asi todas se ayudan rte^
 ̂unas tn ta*^Hmt,jh em ík ites puntos te i'iw0iwiliii, Bey mm eiemeia dmiea. Ja 
Matemátiea, la cual nadie se poet e jatlarét w a n ir , penque tus couodmietaos son, por s» 
natumfeia, ütfbtitot, ydelacm tudofhtdim , svbKftedt írn »■ Jifynwwwi
Por ikot kíMaumáácá enstña ai hoesibre a ser sendBo y modesto; et ia bast dt ledas ba 
dendasyMalasmnu.'^ '
BREVE RESENA HISTORICA
OL^etivoá
r ■' ■ ' ■ 'V-Ì4
f. Conocer la evoluáón de ¡a matemática.
2. Determinar ef m a tio existente entre la realidad y la matemática.
3̂ Inducir al lector alfozonami^nta^al desápvllo desu fB fw idad^ t a ^ is .
^ n t r o d iucción
A L C m ^ €0NSIDERA(X»iE5 PAM U EDVQWOÍ:
En la resohidón de problema siempre hay detalles qae muchas veces no percibimos por estar 
esmerados en conocer el resultado; per eHo, cuando estemos frente al abtmno enfrentando un problema, 
debemos incentivarlo a peñeren práctica su mriosidad, su intelecto, susfacultades inventivas, su capacidad 
de relación con el medio fisico y social que h rodea, para despertar en ellos el encante de resolverlo con 
alegría y convicción. Si esto sucede en una edad conveniente, puede provocaren él una afición a la actividad 
intelectual que, acompañada de una formación moraí adecuada y la disaplina constante,dará como fruto 
estudiantes idóneos.
M ora, si dedicamos todo el tiem¡«) a ejercitarlos mecánicamente sólo en la resokción de problemas 
matemáticos, mermaremos en ellos d interés por el curso de razonamiento matemático; pero, si ponemos 
a prueba su ingenio, proponiendo problemas adecuados a sus capacidades y se les orienta a resolverlos por 
medio de métodos estimulantes, podremos despertarles el gusto por el pensamiento aeativo y el análisis 
en la matemática. Así; habiendo gustado del placer de la matemática ya no la ohñdará fácilmente, 
presentándose entonces una buena oportunidad para que la matemática adquiera en él un sentido, ya sea 
como diversión en sus ratos libres, o cor„u ..erramienta en la profesión que estudie o ejerza.
En cuanto a la importancia del estudio de la historia de la matemática, atemos las palabras del 
matemático noruego Bekken: “El biólogo E. Haeckel nos dio su k y biogenètica básica "Ontogenia 
recapitula Filogenia", es decir el individuo repite las principales etapas del desarrollo áe la raza humana. 
Una analogía de esto es el principio genético en pedagogía que afirma que el aprendizaje de, por ejemplo, 
ideas matemáticas puede ser mejorado incluyendo en la experiencia del niño las etapas principales del 
desarrollo histórico de eses ideas. Como profesor de matemática, que tos probiemas que suscitan los 
mayores debates en la historia de la matemática frecuentemente ríprescirtan. también, k s mt^orf» 
dificultades pedagógicas para el estudiante (y por io tanto para el profesor) de matemática de ftegr“.
En el estilo deductívista, se suele considerar a todas las proposiciones como verdaderas y todas las 
inferencias como válidas. La matemática es presentada como un conjunto siempre creciente de verdades 
eternas: inmutables. Este estilo oculta la aventura. Toda ¡a historia desaparece, las sucesivas 
formulaciones tentativas de cierto modo del procedimiento de demostración están condenadas al olvido 
mientras que el resultado final es elevado ai rango de ¡nfalitílUúd sagrada. Aún no se ha comprendido 
suficientemente que ia actual educecióa matemática y cient0ca es m foco de autoritarismo y es el peor 
enemigo del pensamiento creativo y crítico.
El pensamiento matemático no es puramente “formal": no está interesad» solamente en axiomas, 
d^nidones y demostraciones estrictas. Muchas otras cosas le pertenecen: la generalizaáón, a partir de 
casos observados, argumentos inductivos, argumentos por analogía, reconocimiente ée un concepto 
matemático: o abstracción a partir de una situadón concreto, etc. B prefesor áe matemática tiene una 
excelente oportunidad de familiarizar a sus estudiantes con estos importantes procesos de pensamiento 
denominados ‘‘informales’’, para que de esta manera afiance su rol de maestro.
El docente tiene, en el presente texto, un marco teórico adecuado que inaementará sus notas de clase 
y servirá de punto de partida para una investigaaóa más prtfitnda; todo ello enriquecido con muchos 
templos, ejercidos, problemas resuekos y prepuestos. Dejamos ̂ les m sus maaos este humilde material 
que esperamos ioayvde.
CONSIDERM:K»mPARAELAUJMm:
En et desarrollo del presente texto cada capítulo se ha expuesto de mmma detallada en la parte teórica 
y práctica, para que desarrolles un método razonado y analítico de cada protiltma a chantar en tu 
preparadón pre-universitaria.
Te recomendamos leer, con mucha atendón, b)s otgetivosy la iatrodacdón de cada tema pues en ellos 
encontrarás información importante que te servirá de a^ d a en t i estudio detcula capítulo. Lo que no se 
entienda en un primer intento vuelve a leerlo, <mcéntrate y agjuze a b ien io . Nunca te desanimes, sé 
humilde al aprender y humildeol enseñar lo gue^remfes a tes cabañeros, pues enseñando aprenderás 
más.
Uno de los aspectos, en los cuales se da mayor énfasis, es en t o ^ m a de abordar t í problema para lo 
cual debes hacer uso de tu pensamiento creativo, que se irá acrecentaná) día a día mediante la práctica 
de los ejercicios en cada uno de los capítulos.
No olvides que:
“Si al abordar un problema h hacemos pensando, primero, en recordar algún teorema o una fórmula, 
entonces así no desarrollaremos las cualidades innatas que todos poseemos como el pensamiento creativo, 
la agilidad mental, ¡a capacidad de abstracdón, etc."
Por ello, el libro te brindará no sólo una gran cantidad de problemas tipos, sino la disaplina necesaria 
pare desarrollar tu capacidad razonativa en general.
jPRlMERÁS IDEAS M A T E R ^T IC ^ DEL HOMBRE
Como en toda ciencia, el dato que escapa casi totalmente a la precisión de su conocimiento es la 
iniciación del hombre en la matemática. ¿Cuándo aprendió a diferenciar dos cantidades?, ¿cuándo 
desarrolló la primera operación matemática?, ¿cuándo dibujó por primera vez la línea?, etc. Sin embargo, 
si bien es cierto que no se puede precisar las fechas en las cuales el hombre fue formalizando sus 
conceptos matemáticos; sí se puede, a base de hipótesis y conjeturas muy bien fundadas, tejer la trama 
de aquellos lejanos y tímidos inicios del amanecer matemático que se pierden en la inmensa bruma de 
la pre-historia.
LA M ATEM ÁTICA ES INHERENTE AL H O M B RE
Desde la aparición del hombre, mucho antes 
de que aprendiera a pensar de sí mismo, a razonar 
o a tener el primer concepto, todo lo que le 
rodeaba le “hablaba” ya de “matemática” . El 
número de plantas, la distancia de su cueva al río, 
el tamaño de la presa que debía atrapar, el grupo 
formado por un conjunto de mamuts, la altura para 
coger los frutos, la comparación de la rapidez entre 
los animales que debía atrapar, el lapso entre la 
noche y el amanecer, el transcurrir de los días, el 
crecimiento de su tribu; todo lo que le rodeaba no 
hacía sino conducirlo por un camino incipiente e 
inevitable de la matemática: el de com parar, 
agrupar y contar. La escena de un escarabajo
que amasa pelotítas de estiércol quizá le sugirió que la forma esférica era la más adecuada para hacer 
rodar y transportar cuerpos; de la araña que teje su tela para capturar sus presas posiblemente aprendió 
a entretejer fibras, construyendo redes adecuadas para capturar sus alimentos, etc.
Así nació la matemática junto con el hombre, no porque el hombre la inventara, sino por sus 
necesidades propias y porque el lenguaje de la naturaleza está dado en conceptos de relaciones y 
fundones maiemáticas.
Por ello debemos tener en cuenta que la matemática tiene aplicación en la vida diaria, en nuestras 
experiencias cotidianas y nunca debemos aislarla de ellas.
La observación, fase importante en el aprendizaje.
¿C Ó M O APRENDIÓ A CONTAR?
Al comparar dos grupos de animales, o las 
frutas que había recolectado respecto a su vecino, el 
hombre ya tenía el concepto rudimentario de lo que 
era contar, más tarde verá que era necesario hacer 
marcas en las cuevas, en los árboles o en las hojas 
grandes para llevar la “contabilidad” de cantidades 
más complejas; aún cuando este hecho implicaba 
inconscientemente la propiedad de los números, 
distaba todavía mucho de lo que es el número 
natural; sin embargo ya la aritmética había nacido 
con este hecho, una aritmética primitiva y simple 
com o sus propias necesidades.
£ / ser humano aprende a contar.
LOS DEDOS DE LA M A N O EN LOS INICIOS DE 
CONJUNTOS Y LOS SISTEMAS DE NUM ERACIÓN
Como producto de la comparación entre objetos, el hombre no 
tardará en darse cuenta de que los dedos de la mano son una ayuda 
estupenda para fijar las colecciones, no muy grandes, de objetos o 
animales. Al observar cinco liebres o cinco ovejas y compararlos con 
los cinco dedos de una mano habrá dado el primer paso para formar 
sistemas de numeración, sea quinario, decimal o vigesimal, según la 
cantidad de los dedos tomados como base de comparación.
Hoy en día encontramos muchos ejemplos concretos de la 
importancia de los dedos en la comparación de conjuntos:
♦ ¡Señor! Me vende, por favor, una “mano” de plátanos.
♦ ¿Me vende, por favor,una “mano” de conchas de abanico?
♦ ¿Me vende, por favor, un “manojo” de perejil?, etc.
LA CO M PARACION DE
SE AM PLÍA EL CONJUNTO DE COM PARACIÓN
Cuando el hombre observa que los elementos de 
su tribu van aumentandé y hay que recolectar más 
(hitas y cazar más animales se da cuenta que es 
necesario una forma más práctica de comparar 
conjuntos más grandes, ya que los dedos de las 
extremidades eran insuficientes. Fue entonces com o 
ideó el uso de guijarros, piedrecitas y marcas en los 
árboles y cuevas, para una mejor “contabilidad” . Al 
sacar, por las mañanas, el gran número de sus ovejas 
para alimentarlas no sabía si al retomo estaban todas, 
o si eügún depredador había comido algunas; ¡¡¡tSfíto, 
producto de la necesidad y después de mucho lletnSJO, 
fue ideando una contabilidad incipiente, a base de 
piedrecitas. Cuando a sus ovejas, a cada una hacía 
corresponder con una piedrecita y todo el conjunto lo
deja al costado del corral; al regreso, conforme iban entrando una a una, fue separando cada piedrecita 
d d montón que dejó; si no sobraba ninguna era porque, estaban completas y si sobraba, era porque las 
había perdido. De esta manera comienza a familiarizarse con la comparación de conjuntos cada vez más 
gandes.
Comparando conjuntos, animales -piedras.
TN PASO IM PORTANTE H ACIA EL CONCEPTO DE NU M ERO
A! observar dos conjuntos de elementos completamente diferentes como son las ovejas y las 
piedrecitas, el hombre dio un paso transcendental en la abstracción, que más adelante le ayudará a 
manejar conceptos matemáticos de mayor dificultad. Por primera vez el hombre observa dos conjuntos 
diferentes que tienen algo en común, algo que no se f)alpa, ni se ve, algo que sólo es una idea, que 
formará más adelante la base de lo que hoy llamamos “número natural” .
La idea del conjunto de números naturales quedó plasmado en la pintura dejada por hombres 
primitivos en las paredes de cuevas que hasta hoy subsisten: prueba irrefutable de la evolución del 
pensamiento humano. Así, en Altamira (España) y Toquepala (Perú), encontramos pinturas rupestres 
que muestran cómo nuestros antepasados entendían lo que era agrupar animales y personas por 
separado, distinguiéndolos y estableciendo una com paración entre dichos grupos. Nace así la ¡dea de 
conjunto asociado al número de elementos que posee.
Pinturas rupestres en Akamira (E ^ ñ a ): nótese h noddn de conjunto que aparece claramente.
LAS PRIM ERAS NOCIONES SOBRE U N ID AD , PLURALIDAD “ M E N O R Y M AYO R 
Q U E”
De la comparación de dos conjuntos a la 
afirmación de cuál de ellos era mayor no distaba 
mucho; el hombre ya sabía diferenciar entre uno y 
muchos, entre pocos y muchos. Cuando salían de 
caza o a recolectar frutos tenían la noción, algo 
vaga se entiende, de que los animales cazados 
debían alcanzar para todos, es decir, dichos 
animales debían ser “más que” los cazadores (aquí 
es muy importante tener en cuenta que cada 
hombre desea un animal para él sólo, tratándose de 
una presa pequeña). Quizá durante muchos si^os 
el hombre utilizó el concep' de muchos, pocos o 
igual antes de llegar a la formalidad “d e mayor 
que” o “m enor que” .
Hasta hoy, en muchas poblaciones nativas, 
todavía se cuenta: uno, dos y muchos.
Al repartirse comparan lo que cada uno recibe.
m \\
DE LA COM PARACIÓN DE OBJETOS AL CONJUNTO
Al comparar dos conjuntos de elementos diferentes, el de los dedos y ias ovejas, por ejemplo, su afán 
por comunicarlo hacia otro hombre, ilumina su mente y hace que asocie una voz, un sonido a cada dedo 
de la mano - así como los niños aprenden a contar separando un dedo del otro y van diciendo: uno, dos, 
tres, .... El ser humano en un inicio relacionó a cada elemento o elementos de un conjunto, con un 
sonido o voces especiales que lo identificasen.
= ; DOS 7 o* • • • • •
m̂ = ¿ c m c o 7
¿Cuáles fueron hs sonidos o voces que relacionaron los elennentos con las cantidades?
'Entonces, el haber inventado voces correspondientes a cada dedo de la mano, abrió un nuevo 
horizonte hacia un progreso inminente que le ayudará a calcular en forma práctica para luego enseñar a 
interpretarlos a los que no lo entendiesen. Es así como el hombre supera la etapa primitiva para luego 
ingresar a una nueva donde aprende rápidamente los secretos de la naturaleza y logra transformar 
constantemente lo aprendido, de acuerdo a sus necesidades.
CREA LA AGRICULTURA
Al hacer girar su vida alrededor de la 
tierra cultivada, el hombre tuvo 
necesidades de protegerla, para lo cual 
formó sus primeros villorios o 
campamentos rústicos los cuales le 
permitieron soportar las inclemencias del 
tiempo.
Cuando la agricultura se desarrolló 
más y las cosechas fueron abundantes, la 
lucha por dominar la naturaleza lo llevó a 
edificar graneros y secar las carnes de los 
animales que había cazado para utilizarlos 
en tiempos difíciles.
Las excavaciones de muchas de las viviendas neolíticas han puesto en evidencia el desarrollo gradual 
de la alfarería: el amasado, el coloreado, la forma que se le daba. Los motivos que adornaron dichas 
vasijas hablan de figuras geométricas que tienden a la simetría y regularidad.
La creación de la agricultura volvió al hombre sedentario.
LOS PRIM EROS NUM ERALES IDEADO S POR EL HOMBRE
Como ya se sabe, el hombre ideó en un inicio objetos comunes para identificar cantidades, es por 
ello que los cinco dedos de la mano le indicaban “la cantidad 5", luego empleará símbolos que le serán 
más útiles en cantidades grandes. Los fenicios seguían dos métodos: escribían los números con rayas 
verticales para indicar unidades y marcas horizontales para indicar grupos de 1 0 .
¿O
Introducción
En una tumba cerca de las grandes pirámides de Gizeh, en Egipto, algunos exploradores encontraron 
en la pared, números más antiguos en los cuales el uno es una raya vertical; el 1 0 , una herradura; el 1 0 0 , 
un espiral; el 1 0 0 0 0 , un dedo que parece señalar; el 1 0 0 0 0 0 , una rana, y el millón, un hombre que tiene 
una cara de asombro.
Entonces tengamos presente que el número es una idea, un concepto; mientras que el humeral es êl 
símbolo del que nos valemos para representar esa idea. Se dice que un mismo número puede estar 
representado por numerales distintos, según el sistema numérico del cual se trate o la cultura al cual 
pertenece. De acuerdo al asunto que estamos tratando, diremos que los numerales son precisamente las 
rayas, marcas, piedrecitas, etc.
B.
1
10
© O © O 
c. © © =
© © ® © 1 0 0
C) o © o 
D. © © © = 3 7 8
En los cálculos de los tiempos primitivos, 
el número uno podía representarse por 
un dedo o ur> palito (A). □ número
diez podía representarse por diez dedos, 
ambas manos o por una piedra pequeña 
(B). Diez piedras pequeñas serían 
equivalentes a una piedra grande, que 
representaría cien (C). En este sistema, 
el número diez marcaba el número tope 
en la cuente; en otras palabras, el 
sistema estaba basado en la de^na. 
Teniendo cn cuenta lo anterior, el 
gráfico (D) demuestra la representación 
del númeró 378.
EL N U M ER O C O M O ENTE ABSTRACTO
Tuvo que transcurrirmuchos años para que el hombre llegue 
a entender formalmente lo que es un número. Los primeros 
conceptos fueron más bien cualitativos antes que cuantitativos. 
Al decir, por ejemplo, tres manzanas o dos ovejas, no podían 
concebir la idea de “tres” o “dos” independientemente de esas 
manzanas o esas ovejas; al percatarse más adelante que un 
conjunto de cinco ovejas y cinco hombres represe.itaban una 
misma pluralidad y que tenían en común algo que no se veía 
pero que podían ser “igualadas” , se va formando en su mente la 
idea de número.
Sólo cuando tiene conciencia cabal de este hecho se elevó el 
número a la categoría de ente abstracto; formando uno de los 
pilares fundamentales sobre el cual se apoya la matemática 
moderna.
Primeros dibujos que ilustran las nociones geométricas 
alcamadas gradualmente por el ser humano.
E J E R a ^ fO S DE INTI^iUÇlÎIÔJM,
Asícomo hay ejercicios físicos específicos para un atleta, cuando empieza su entrenamiento, 
análogamente, empezaremos el curso desarrollando algunos ejercicios sencillos en los cuales usted deberá 
pensar en la forma de resolverlos sin emplear teoremas y fórmulas, pues estos ejercicios están diseñados 
para iniciarte en el razonamiento matemático; luego abordaremos temas con un mayor grado de 
abstracción.
EJERCICIO 1
El piso de la cocina tiene cuatro ángulos, en cada ángulo está un gato, 
además, frente a cada gato hay tres gatos. En cada rabo está sentado 
un gato ¿cuántos gatos hay como mínimo en la cocina?
EJERCICIO 2
Si el pJancta A tarda 4 años (terrestres) en dar una vuelta 
completa al Sol y ei planeta B tarda dos años. ¿Cuántos 
años deberán transcurrir, como mínimo, para que los dos 
tomen la posición inicial?
EJERCICIO 3
En una reunión familiar se encuentran tas siguientes relaciones de 
parentesco entre los presentes; padre, madre, hijo, hija, tío, tía, 
hermano, hermana, primo, prima, sobrino, sobrina; sin embargo, sólo 
habían 4 personas ¿cómo puede ser posible?
EJERaCIO 4
Tres personas A, B y C deben repartirse 21 vasos iguales, 
de los cuales 7 están llenos, 7 medie» Henos y 7 vacíos. Si 
' cada uno debe corresponderle ta misma cantidad de 
líquido y el mismo número de vasos. ¿Cuál es el número 
de vasos vacíos que le conresponde a la persona que tiene 
3 vasos llenos?
EJERCICIO 5
Calcular la medida del ángulo formado por las líneas punteadas:
EJERaao 6
Una llave está construida con 10 cerillas, en ella se cambia de lugar 4 cerillas, de manera que resulten 3 
cuadrados iguales.
\ /
E JB iaC IO ?
Distribuir ios dígitos dei 1 al 6 en k» círculos de la siguiente figura (un dígito 
en cada círcub), de tal manera la suma áe los dígitos en cada uno de tos 
lados del triángulo sea 9.
Biografía
Vk oy enem igo de toda creencia. Tal era su lema.
kmJr Cuando niño, no se llamaba Giordano sino Filtppo. A los diecisiete años, al convertirse en 
novicio del convento de los dominicos, recibió el nombre de Giordano. Desde entonces todo el 
mundo empezó a llamarlo Giordano Bruno, el Nolanés, por el nombre de su patria, la ciudad 
napolitana de Ñola. Los monjes tenían una magnífica biblioteca donde Giordano prácticamente pasó 
toda su juventud. Hasta los enemigos del Nolanés lo consideraban como una persona de altísimos 
conocimientos que Giordano adquinó en su juventud. Bruno era, entre sus contemporáneos, el más 
destacado conocedor de Aristóteles, de toaos sus intérpretes cristianos, hebreos y árabes, de los 
filósofos, científicos, escritores y poetas de la Antigüedad: tal fu e el resultado de los diez años
dedicados a los libros. "¡La ignorancia - ironizaba Bruno -es la m ejor ciencia en el mundo, es 
fá c il de aprender^ fto entristece el alm a!". D e no haber sido un gran científico, en qué tremendo 
inquisidor se habría convertido este joven amante de los libros. Pero ía Iglesia y la ¡nquisición lo 
perdieron muy temprano: púes desde su mocedad la gran duda se apoderó de el. En medio de la fusión 
de los conocimientos cristalizaba una infirúdad de interrogantes. Cuanto más leía, más se le 
dilucidaba la incongruencia de los dogmasreliposos, los libros más religiosos alimentaban su ateísmo, 
los invitados del embajador de Francia se pusieron a adivinar en el libro de Ariosto, y al abrir al azar 
le correspondió la estrofa: "Enem igo de toda ley, enem igo de toda creen cia . . . " A sí fue toda su 
vida.
Los siglos pasados desvalorizaron muchas de las pasiones de Giordano Bruno, pero su doctrina 
sobre la infinidad del universo y de la multiplicidad de los mundos similares a nuestra Tierra, nunca 
se olvidará. Desarrollando las ideas de Copémico, Bruno destrozó las cúpulas de ¡as esferas celestes 
con las estrellas eternamente fijas en ella y fu e el primero en no temer al cosmos infinito.
Cuando leemos acerca de los sufrimientos de Bruno y Galileo, a mentido estanws dispuestos a 
catalogar a sus verdugos, como a una especie de fuerza terrible oscura y obtusa, como encamación de 
ana ignorancia beligerante. Pero no es así, y precisamente porque esto no es asi. la tragedia de 
Giormno Bruno se vuelve aúnrtm profunda. Es ingenuo suponer que el clero se proponía exterminar 
todo conocimiento en la mente humana, pisotear los brotes de cualquier ciencia. No, no eran capaces 
de hacerlo, y lo comprendían. La ciencia no solam ente no se perseguía, sino que, p o r el 
contrario, se estim ulaba, siem pre y cuando sirviera o pudiera servir a los intereses de la 
iglesia.
Bruno tuvo que morir no por haber afirmado qi^ existían numerosísimos mundos, ¡no!
Lo ajusticiaron por la idea de que estos rmmdos eran semejantes al mundo terrenal, porque 
atentaba contra la exclusividad del ser humano, por reducir la Tierra a la categoría de un cuerpo 
celeste ordinario, c¡ue en nada se distinguía de los demás. Se levantaba contra los dogmas que 
mstentaban la religión. Su doctrina amenazaba la propia existencia de ésta, y si era así, esta 
doctrina tenía que ser exterminada de inmediato.
Durante ocho años estuvo encarcelado el Nolanés: los “santos padres” de aquel tiempo aspiraban 
a obligarlo a ¡me abjurara. Confesó muchas cosas: en efecto, había pecado mucho contra la fe y sus 
libros eran defectuosos; ciertamente no iba a la iglesia y le gustaban mucho las mujeres, todo eso era 
cierto. Pero sus puntos de vista, su doctrina, no; en eÜo, él tenía la razón. Le dieron cuarenta días 
¡ ra pensar; le enviaron teólogos a su prisión, pero todo en vano. Cuando en el palacio del cardenal 
Madruzi le leyeron la sentencia, Giordano dijo: "¡Ustedes me dictan la sentencia con más temor del 
que yo siento al oírla!”
La ejecución tuvo lugar al amanecer. Se le trincó la lengua con tenazas especiales para que no 
gritara impertinencias. Lo último que vio la muchedumbre antes de que lo envolviera el humo fue 
:ómo Giordano sacudió y volvió la cabeza, cuando en una larga pértiga le acercaron un crucifijo a sus 
labios.
CAPITU LO
L ó g ic a
RECREATIVA
Para transformar la naturaleza adecuadamente en beneficio de la 
humanidad, el ser humano necesita primero Imaginar, crear y diseñar 
estrategias y tecnología. Por ello es importante desarrollar y potenciar 
la imaginación y el pensamiento creativo.
H e tk ü ta l La paradoja de Russell
Btrtrand Russell (I S72 - 1970) 
Se interesó por la Lógica y por 
la íeona del conocimiemo, 
autor de Principio Matemático
> ottlob Frege, ocupa en la historia de la Lógica un lugar 
de privilegio; dedicó las mejores energías de su vida a sus 
Grundgesetze der Arithmetik, un libro fundamental, 
donde se hacia por primera vez un serio intento por 
definir lo que es un número a partir del concepto de conjunto. En 
1 903, antes de publicar el segundo tomo de su obra, recibió una 
carta de un lógico inglés de 30 años, llamado Bertrand Russell, 
donde se planteaba una pregunta "sin " respuesta.
En esencia, lo que Rusell decía es esto: Llamamos normal a todo 
conjunto que no se tiene a sí mismo como elemento; por ejemplo, el 
conjunto de las bellotas de una encina es un conjunto nonnal, 
puesto que tal conjunto no es una bellota sino un conjunto de ellas y, 
por consiguiente, no se tiene a sí mismo y como elemento. Llamemos 
anormales a los conjuntos que se tienen a sí mismo como elementos.
Por ejemplo, el conjunto de los conjuntos es, a su vez, un conjunto; 
por consiguiente, se tiene a sí mismo como elemento. Ahora bien, 
consideremos el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿Es 
nonnal o anormal? Si es nonnal, no es elemento de sí mismo, lo cual 
Ueva a una contradicción, pues entonces habría un conjunto nonnal no perteneciente al conjunto 
de todos los conjuntos normales. Si es anormal, es elemento de sí mismo y por consiguiente un 
conjunto anormal pertenece al conjunto de todos los conjuntos normales, lo que equivale a afinnar 
que un conjunto anonnal es normal. De nuevo llegamos aúna contradicción.
Cuando Frege recibió la carta,estaba terminando el segundo tomo de sus Grudgesetze y, dan­
do muestras de una irreprochable probidad científica, la publicó al final de su obra esbozando un 
intento de respuesta. Sus palabras textuales fueron: “Difícilmente puede encontrarse un científico 
con algo más indeseable que ver venirse abajo los fundamentos de su trabajo justamente cuando ¡o 
está dando por terminado
La carta de Russell contiene una paradoja: conteste lo que se conteste, nos vemos abocados a 
una contradicción flagrante. Una situación como para hacer engordar de felicidad al más tibio 
anticantoriano. Henri Poiiicaré, que era un pensador de primerisima magnitud, pero un crítico 
bastante duro, situaba el cantorismo entre las enfennedades y lo consideraba desde el punto de vista 
matemático, como “un interesante caso patológico”. Otros en cambio, y no de los menos 
imporíantes, le animaron en su calvario; Hermitte, Mittag - Leflery Hilbert se contaban entre sus 
admiradores, y personajes de la talla de Dedekind entre sus buenos amigos, si bien no llegaban a 
comprenderle por completo. A la pregunta ¿en qué piensa cuando piensa en un conjunto?, 
Dedekind respondía como un prosaico: “en un saco lleno de elementos”, mientras Cantor, 
horrorizado, se llevaba las manos a la cabeza y soltaba una sentencia lapidaria: “ Un conjunto es 
para mí como un abismo profundo
RECREATIVA
OLj^etivoá
1. Afianzar el desarrollo de la creatividad y el ingenio.
2» Potenciar la habilidad analítica.
3. Ejercitar la capacidad recreativa de la realidad con la matemática.
^ n t r o d iucción
Parafraseando a M. Gardner, la Lógica recreativa, como el ajedrez, tiene su propio y curioso encanto. 
El ajedrez combina la belleza de una estructura matemática con las delicias recreativas de un juega 
competitivo y la Lógica recreativa combina la belleza de una estructura matemática con el entretenimiento 
que aporta la resolución de un problema dado, haciendo así que la matemática sea fascinante.
En efecto, la matemática es fascinante... iSí, señor no ponga esa cara de asombro ...I 
Aún así, no es fascinante, ni mucho menos interesante, para aquellos que sólo recuerdan largas 
demostraciones de teoremas o resoluciones tediosas de dißciles problemas; pero si incluimos adecuadamente 
a los teoremas fimdamentales cierta lógica recreativa y hacemos didácticas las soluciones, lograremos que 
la matemática se torne divertida e, inclusive con un poco de humor, podemos aprender jugando con 
pasatiempos matemáticos. '
Los problemas que se presentan en las situaciones lógicas recreativas aportan, en ese sentido, diversión 
y desarrollo del pensamiento creativo. Para dar con las respuestas deberemos previamente plantearnos 
preguntas como: "¿He comprendido bien el enunciado del problema?, ¿he identificado claramente lo que 
me están pidiendo calcular, encontrar, discernir o resolver?”; entonces, ¿qué estrategia debo aplicar?, ¿cpít 
pasos me conducirán hasta la respuesta?; pues, primero debemos precisar lo que realmente está pasando 
en la situación dada para luego situarnos fiente a ella y proponer un abanico de posibilidades que nos 
conduzcan a la respuesta requerida.
Los ejercicios dados a continuación muestran situaciones, a vecesfamiliares, a veces imaginarías, pero 
relacionadas con el pensamiento creativoy a medida que los resuelvas mejorará notoriamente tu capacidad 
para presuponer, hacer preguntas, deducir y emplear tu imaginación adecuadamente, permitiendo que las 
piezas del rompecabezas mental encajen correctamente para darnos una visión de la respuesta.
De este modo podrás aplicar las técnicas mencionadas para resolver los ejercicios dados en h 
resolución de situaciones reales de la vida cotidiana; finalmente te aconsejamos resolver los ejercicios 
realizando siempre enfoques creativos, nuevos, que desafíen el pensamiento convencional, que conduzcan 
a soluciones novedosas, y mejores, en cada problema.
PRUEBA PRELIMINMI
A continuación presentamos 13 ejercicios de diversa índole, los cuales tienen como objetivo despertar 
y evaluar, en primera instancia, los alcances de tu creatividad; herramienta con la cual cuentas para
abordar el presente capítulo. Si consigues resolverlos todos ¡felicitaciones!, has cultivado y desarrollado 
una habilidad muy importante, pero ten presente lo siguiente: si logras resolver algunos quizá ninguno no 
te preocupes; pues, intentando nuevamente y poniendo empeño y constancia lograrás, finalmente, 
resolverlos. Si es así, has dado ya el primer paso, plantéate, entonces, el objetivo de potenciarte y asume 
con responsabilidad y conciencia tu desarrollo; para ello revisa bien los alcances teóricos dados, así como 
los ejemplos de aplicación correspondientes para cada tipo de problemas y estudia con ahínco la sección 
de ejercicios resueltos.
Le recomendamos no ver las respuestas hasta que haya realizado el máximo esfuerzo en la resolución 
de los ejercicios y esto va tanto para la prueba de entrada como para todos ios demás problemas 
propuestos en el libro.
PRUEBA
1. ¿Cuánto perdió el carafcero7
Una señora compra carne por un valor de
S/. 3 y paga con un biHcte d« S/. 10. Ei 
carnicero que no tenía cambio, cruza la 
calzada y se dirige hacia ia botica, cambia el
billete en dos de S/. 5. Cruza nuevamente la 
calzada y cambia en la panadería uno de los
billet« de s/. 5 en 5 monedas de S/. 1, con lo
cual consigue dar vuelto. Luego de algunos
minutos ei boticario le devuelve el billete de
S/. 10 soles, pues iera falso! Y carnicero
compungido le entrega un billete de SI. 10
verdadero. ¿Cuánto perdió cl carnicero?
iNo, la respuesta no es S/. 20, ni tampoco
SI. 17, ...I
2.
3.
Un cuadrado de monedas
A continuación mostramos un cuadrado 
compuesto por 8 monedas. Se le pide que 
cambiando de iu^r a cuatro monedas, forme 
un cuadrado que presente cuatro monedas en 
cadá lado.
© 0 ©
© ©
® ©®
El trozo perdido dei pastel
La imaginación sobre las condiciones de un 
problema es necesaria al momento de 
empezar a resolverlo. Es importante, por 
tanto, hacerse una idea correcta de lo que 
quiere dar a entender un ejercicio.
Una de las ilusiones más divertidas es la 
que mostramos en seguida;
¿Dónde está la porción de torta que falta?
4.
6.
La suma
Hagamos referencia ahora a un ejemplo 
sumamente interesante y divertido.
Escribe seis veces la cifra (1) y tres veces el 
signo de adición (+ ) en una fila de modo tal 
que obtengas ccmo suma un total de 24,
5. Contando y contando
¡Atención a este ejercicio!
Dos personas contaron durante una hora a 
los transeúntes que pasaron, junto a ellos, por
la acera. Una contaba desde la puerta de su 
casa y la otra yendo y viniendo por la acera.
¿Quién contó más transeúntes?
£1 lápiz
He aquí una pregunta que sin duda aparecerá 
muy cándida o demasiado sutil. ¿Cuántas 
caras tiene un lápiz convencional nuevo sin 
tajar?
7.
8 .
9.
Cerillas
Con ocho cerillas pueden construirse 
numerosas figuras de contorno cerrado, su 
superficie es, naturalmente, distinta, por 
ejemplo, las que se ven en el gráfico:
/ \
V
Se plantea construir con 8 cerillas una figura 
plana, de superficie máxima, ¿cómo será 
dicha superficie?
Las gemelas
En el aula 1 de la academia ADUNI, el primer 
día de ciases, dos hermanas gemelas, de 
nombres Nena y Nina, se presentan ante sus 
compañeros.
Una de ellas dice: “Yo soy Nena” .
La otra comenta: “Si lo que ella dice es 
cierto, Yo soy Nina” .
Si una de las dos miente siempre y la otra 
nunca lo hace, indique el nombre de la 
alumna sincera.
El foso
Un campo cuadrangular está rodeado por un 
foso de ancho constante, Emmanuel desea 
cruzarlo, pero sólo dispone de dos tablones 
muy resistentes cada uno de los cuales tiene 
un largo, exactamente igual al ancho üel foso. 
¿Cómo haría para cruzar el foso, utilizando 
únicamente estas dos tablas? (No tien¿ ni 
clavos, ni martillos, ni nada por el estilo).
fiiímanuelfi’ ‘
10. Deducción
Tenemos la siguiente información;
mentía los lunes, martes y miércoles
y el resto de días de la semanadecía la 
verdad.
♦ Ror mentía los jueves, viernes y sábados 
y el resto de días de la semana decía la 
verdad.
Con el propósito de saber qué día de la 
semana es hoy, José los busca y les hace una 
pregunta (ver la figura):
En base a las respuestas obtenidas, José (que 
era un chico muy listo) fue capaz de deducir 
qué día de la semana es hoy. ¿Qué día es?
11. Distribución numérica
Distribuir los dígitos del 1 al 7 usándolos una 
sola vez para conseguir que la suma de los 
números que ocupan cada fila sea 1 2 .
12. Una operación sencilla
Dos profesores de matemática se miraban 
disgustados mientras examinaban la misma 
operación elemental resuelta por un niño de 
1 0 años.
* Esta operación es correcta decía uno de 
ellos.
♦ iNo! está en^da por completo replicaba 
el otro.
¿Cómo pueden dos expertos tener un 
desacuerdo tan absoluto acerca de una 
operación simple?
13. El misterioso caso del cubo escondido
Se trata de una ilusión óptica muy famosa. 
Mira fijamente estos seis cubos. ¿Puedes ver, 
por casualidad, un cubo extra?
Resolución
1. ¿Cuánto perdió el carnicero?
Lo que perdió el carnicero fue el valor de los 
S/. 10 falso que le dio la señora y que él 
asumió, pues el boticario recuperó su dinero.
2. Un cuadrado de monedas
Coloque la moneda 2, 4, 6 y 8 sobre las 
monedas 1, 3, 5, y 7, respectivamente, (de 
m odo superpuesto).
3. El trozo perdido de pastel
El hecho de nuestra ilusión es que casi 
siempre vemos los grabados desde arriba y 
casi nunca desde abajo. Por lo tanto pon de 
cabeza la hoja donde se encuentra el 
problema y encontrarás la porción que falta.
4. La suma
El objetivo de este ejercicio es medir la 
habilidad del estudiante en el empleo rápido 
de una de las ofjeraciones básicas (adición). 
1 + 1 + 11 + 11 = 24
5. Contando y contando
A primera impresión pareciera que el que va 
yendo y viniendo contó más, pero realmente 
los dos contaron el mismo número de 
transeúntes. Efectivamente, quien estaba en 
la puerta contó a los transeúntes que pasaban 
en ambos sentidos; mientras quien iba y 
venía por la acera contó a ellos mismos y al 
que estaba en la puerta, ya sea en la ida o cn 
la venida.
6. El lápiz
Un lápiz convencional nuevo y sin tajos tiene 
ocho caras, como se puede apreciar en el 
gráfico mostrado.
7.
Cara superior
carcis laterales
Cara inferior
Cerillas
Puede demostrarse que de todas las figuras 
con perímetros iguales, la que tiene mayor 
área es el círculo. Naturalmente que a base 
de 8 cerillas no es posible construir un círculo; 
sin embargo, sí es posible construir la figura 
“más próxima” al círculo, un octógon o 
regular.
8. Las gemelas
Recordemos las afirmaciones dadas.
Hay que tener en cuenta que el análisis debe 
hacerse en función de io que la primera 
afirma. Si la primera dice la verdad entonces 
la segunda es Nina; por lo tanto, ambas 
dirían la verdad, lo cual es una contradicción 
con las condiciones del problema, pues por 
dato una debe mentir.
Esto quiere decir que la primera debe mentir 
(sería Nina) y la segunda diría la verdad (por 
dato debe ser Nena).
9. El foso
Observa el gráfico y comprenderás cómo se 
resuelve este problema, ¿interesante ... no?
O bservación :
Para el análisis matemático de este ejercicio, 
asume como ancho del foso 3 unidades 
cualesquiera arbitrarias y demuestra que el 
cruce del foso es posible, usando la
desigualdad 2yj2 < 3.
10. Deducción
Haremos un esquema en cl cual mostrarenit» 
ios días de la semana en los que fes 
protagonistas son sinceros o mcn&osos;
Ciro miente Ciro dica la verdad
 ------------/s------------
D L M M J V S D
Flor dice la verdad Ror miente
Según cl esquema vemos que no existe un 
mismo día en que mientan los dos.
Luego:
« Si el día de hoy, los dos dijesen la 
verdad, entonces sería domingo (hoy); 
pero según las afirmaciones los dos 
debieran mentir el día de ayer (sábado) 
lo cual no es cierto.
♦ Entonces el día de hoy uno dice la 
verdad y el otro miente. Además por las 
afirmaciones dadas, se deduce que quien 
dice la verdad hoy, ayer mentía y quien 
miente hoy, ayer decía la verdad (dado 
que no existe un día en que 
coincidentemente mientan los dos).
Fir»alnKnte, según el esquema 
concluimos que el único día que cumple 
con las condiciones dadas es el día 
jueves.
11. Distribución numérica
Empiearemos conocimientos básicos de 
matemática, pues sumarenKJS todas las filas 
como se indica. Veamos:
a + b + c + a + x+ f + d + e + f + b + x + e +
n n
c+ x + d = 60
n n
5 n = 60 n = 12
n
Agrupando:
a + b + c+ d + e + f+ x + a + b + c+ d + e + f+ x + x = 6 0
Suma de los dígitos 
del uno al siete
------Y"
Suma de los dígitos 
del uno al siete
I+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + l“f-2+3+4+5+6+7+x — 60 
56 + X = .60 X = 4 
Resumiendo : tenemos 1; 2; 3; 4; b\ 1 y 
hemos ubicado ya el número que va en el 
centro: es el 4. En efecto y al ponerio se 
tendría:
1 . 2 . 3 , ® , 5 , 6 , 7
Como la suma de las filas deber ser 12 y el 4 
está ya en el centro; entonces los extremos 
deben de sumar 8 ; lo que se consigue al
relacionar los dígitos de la siguiente manera:
1; 2; 3 : 0 ; 5; 6; 7;
t _ 8 — 1
 8 ------
 8 ------
Ubicando ahora el resto tendremos:
12. Una operación sendlla
La operación era: 9 x 9 = 81, en efecto, 
muy sencilla.
Lo que ocurría era que los profesores la 
miraban desde costados distintos de la mesa, 
. por ello, para un profesor estaba 
correctamente, pero para el otro no, puesto 
que leía:
18 = 6 X 6 , lo cuai es evidentemente 
erróneo.
13. El misterioso caso del cubo escondido
Tan sólo invierte la hoja y verás el cubo que 
falta.
«TU ACIÓ N E# tÓ G lC ^ fiEI^REATÍVA^
Encontramos aquí interesantes ejercicios en los cuales tendrás que poner en práctica tu habilidad e 
ingenio. En algunos de ellos utilizarás conocimientos elementales de aritmética y geometría; en otros, 
reflexión y un modo de pensar lógico.
Cada situación presente contiene en sí mismo los datos necesarios para ser resuelta; quizá las 
preguntas que debes hacerte al afrontar cada ejercicio serían: ¿Qué es lo que estoy observando?, ¿qué 
alcances me dan los datos y qué puedo deducir de ellos?, ¿qué estrategia a seguir me sugieren dichos 
datos?
El propósito al proceder así es empezar a ejercitar y desarrollar aún más nuestras capacidades 
intelectuales. Es cierto que algunos ejercicios son sencillos, pero otros no son tan fáciles de resolver a 
simple vista y eso es lo que los vuelve interesantes. En este último caso es posible llegar a la respuesta 
de cada uno de ellos, de una manera lógica, deducida a partir de los datos mencionados.
Sugerencias;
♦ Lee y observa cuidadosamente, según sea el caso, la situación descrita y esfuérzate en inteipretar ias 
preguntas que se planteen. ■
♦ Los datos necesarios para resolver los ejercicios se encuentran en ellos mismos. Identifícalos y a partir 
de ahí deduce y razona. No pretendas adivinar ni sacar conclusiones apresuradas.
♦ Aún cuando te sientas desorientado, cálmate y empieza de nuevo, intenta plantear nuevas hipótesis 
y otras posibilidades.
En ocasiones te servirá despojarte del pensamiento convencional y emplear un enfoque creativo y 
nuevo; el pensamiento lateral. Los procedimientos que aconseja el pensamiento lateral son;
- No atascarse en caminos sin salida.
- No dejarse llevar por ideas preconcebidas y
- Cambiar constantemente el punto de vista o enfoque del problema.
J
Hemos distribuido ios problemas en cinco grupos;
I. Ejercicios con ceriHas,
Ii. Situaciones diversa?.
Hl. Problemas sobre parentesco.
IV. Problemas sobre relación de tiempos.
V. Orden de información
En cada grupo, los problemas son de distinto nivel, desde los elementales hasta los difíciles. El 
objetivo del primer grupo es despertar y ejercitar tu ingenio y destreza visual; el de los siguientes tres 
grupos, es el de despertar, desarrollar e incrementar tu habilidad analítica; finalmente, el último grupo de 
ejercicios pretende ayudarte a desarrollar tu pensamiento creativo mediante el empleo denuevos enfoques 
ingeniosos.
Algunos ejercicios son ya conocidos, digamos “clásicos” ; pero son considerados aquí por su gran valor 
pedagógico; otros no son tan conocidos y algunos son nuevos. En conjunto, el material que ahora está 
en tus manos aspira humildemente a ayudarte en el desarrollo de todo el potencial oculto de tu intelecto 
para hacer de ti una persona más brillante, ingeniosa y aguda, que aplique su capacidad para resolver 
creativamente los problemas que enfrente diariamente.
Para poder desarrqllar nuestras habilidades intelectivas eficazmente es necesario impulsar y desarrollar, 
nuestro ingenio y creatividad, así nos enfrentaremos adecuadamente a situaciones diversas y saldremos 
airosos de ellas.
i l EjéRCÍCÍOS CON CÌERILÙii
Observa el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
La figura mostrada es un famoso “templo griego” que está hecho con once cerillas. Cambia de lugar 4 
cerillas de manera que obtengas 5 cuadrados.
Rm o Iucíóq;
Observamos que ya tenemos 2 cuadrados formados consecutivamente de maneta horizontal; ahora 
deslicemos hada abajo los dos cerillos verticejes dentro de los 2 cuadrados mencionados, y completando 
adecuadamente con los 2 cerillos de afuera (encima), tendremos:
Contando tes cuadrados de la figura obtenida hallaremos 3 cuadrados grandes y 2 pequeños; es 
decir, 5 cuadrados en total.
Como habrás notado, utilizando unas cuántas cerillas o palitos de fósforo hemos planteado un 
ejercicio muy interesante e ilustrativo. Para poder desarroliar los siguientes ejercicios te aconsejamos 
aprovisionarte de una caja de fósforos (aunque podrías también utilizar mondadientes, siempre y cuando 
tengan la misma longitud).
El objetivo es desarrollar tu poder de reflexión y tu destreza visual, empleando para ello imaginación 
e ingenio.
A continuación presentamos 20 ejercicios, dedica a cada ejercicio un tiempo prudencial; te 
aconsejamos no ver las soluciones hasta haber agotado tus posibilidades. ¡Esfuérzate; tú puedes!
Ejercicios Propuestos
1. Se tienen doce cerillas dispuestas en cuatro 
cuadrados pequeños como sigue:
1
4. En la disposición de la figura siguienie. es 
sencillo dejar sólo dos triángulos equiláteros, 
retirando cuatro cerillas; asimismo eliminando 
tres. ¿Pero sabrá ei lector suprimir sólo dos 
cerillas y dejar dos triángulos «quüáferos? ( no 
deben quedar cerillas sueHas).
a) Retira dos cerillas, dejando dos
cuadrados.
b) Retira cuatro cerillas, dejando dos
cuadrados iguales.
c) Mueve tres cerillas, para hacer fres
cuadrados del mismo tamaño.
d) P^eve cuatro cerillas, para hacer tres 
cuadrados del mismo tamañcx
e) Mueve dos cerillas para hacer siete
cuadrados de tamaños diferentes.
f) Mueve cuatro cerillas para hacer diez 
cuadrados, no todos dcl mismo tamaño.
2. Observa cl siguiente esquema :
a)
b)
c)
Mueve dos cerillas y forma una fi^ra 
equivalente al área de 5 cuadraditos juntos. 
Mueve tres cerillas y forma una figura 
con un área equivalente a la de cuatro 
cuadraditos juntos.
Mueve cuatro cerillas y forma una figura 
con un área equivalente a ia de tres 
cuadraditos juntos.
5. Mbvtendo sobmente w a ecriBa debemos 
lograr una igualdad verdadera No es váiKk) 
tachar cl s i ^ ‘‘ igual" con una cerilla y 
obtener una desigualdad verdadera; la 
expresión final debe ser una auténtica 
igualdwi.
V I
6 . Cambiando la posición de dos cerillas hay 
que reducir, de 5 a 4, el número de 
cuadrículas unitarias de la figura. No es lícito 
dejar “cabos su ^ ós" -e s decir, cerillas no 
utilizadas com o lados de un cuadrado. Una 
notable característica de este clásico problema 
es que, incluso una vez resuelto, podemos 
ponerio al revés, volverlo cabeza abajo, o 
ambas cosas y seguirá siendo casi tan difícil 
de resolver com o lo era inicialmente.
3. Retirando once cerillas, d ^ seis.
□ □ O □ 
U U U L
7. Moviendo solamente una cerilla hay que 
fonnar un cuadrado. (La vieja broma de 
deslizar uno o dos milímetros hacia arriba la 
cerilla central superior, y dejar en el centro de 
la cruz un minúsculo hueco cuadrado no es 
válida. La solución también es humorística, 
pero la broma va ahora por distinto camino).
8 . Como se ve, las ocho cerillas forman en este 
caso catorce cuadrados.
1
Retira dos ccirillas y deja sólo tres cuadrados.
9. Cambia de lugar cuatro cerillas en esta espiral 
para construir tres cuadrados.
__J
to. Se ha construido una casa utilizando 10 
cerillas. Cambiar en ella la posición de dos 
cerillas, de tal forma que la casa aparezca de 
otro costado.
11. En la figura apreciamos una flecha construida 
con dieciseis cerillas.
\\\\\ \
/ / / / / /
a) Mueve siete cerillas, de manera que se 
formen cinco figuras iguales de cuatro 
lados.
b) Mueve diez cerillas de la flecha, de manera 
que se icxtnen ocho triángulos iguales.
12. La llave está hecha con diez cerillas, cambiar 
de lugar cuatro cerillas de tal forma que 
resulten tres cuadrados.
O
13. Una balanz:^ compuesta por nueve cerillas se 
halla en un estado de desequilibrio. Es 
preciso cambiar la posición de cinco cerillas, 
de tal foitna que la balanza quede er> 
equilibrio.
14. Hay que cambiar d e sitio catorce cerillas 
de esta “rejifte” para lograr formar tres 
cuadrados.
15. Un cangrejo de cerillas camina hacia anriba 
(ver figura), cambiar la posición de tres 
cerillas de tal forma que el cangrejo camine 
hacia abajo.
A 
\AA/ 
A
16 Coloca ocho ceriilas de manera que formen 
ck)s cuadrados, ocho triángulos y una estrella 
de ocho puntas. Las cerillas pueden 
superponerse.
18. He aquí un campo, un cuadrado de cuatro 
cerillas de lado. En su interior hay un 
establo, un cuadrado de una cerilla de lado. 
El granjero desea parcelar el campo en cinco 
corrales iguales, en forma de L. ¿Cómo 
hacerlo? (Se necesitan diez cerillas más para 
efectuar la parcelación).
m....
u i
!
t. mt
17. Mira el rectángulo de la izquierda. Tiene tres 
veces el área del rectángulo de la derecha 
(puede observarse “seis cuadrados” y en ei 
otro lado “dos cuadrados” com o muestran 
las Kneas de pwntos).
19. Cambiando la posición de seis ceriilas, es 
preciso transformar un farol (figura) en cuatro 
triángulos iguales.
Añade una cerilla al rectángulo p>equeño para 
que tenga siete cerillas y transfórmalo ahora 
en un polígono cóncavo de siete lados en 
donde puede “apreciarse cinco triángulos 
equiláteros” (claro está que como en el inicio 
emplea líneas punteadas). Añade ahora 
cuatro cerillas al rectángulo de la izquierda y 
transfórmalo en una figura compuesta por 
qumce triángulos equiláteros, es decir, un 
área equivalente a tres veces la figura 
anterior.
20 . En una lámpara, compuesta por doce cerillas, 
cambiar la posición de tres cerillas, de tal 
forma que resulten cinco triángulos iguales.
Resolución
¿Qué tal te fue con los ejercicios?..., ¿bien?, ¿más o menos?..., ¿qué tan bien?... No te preocupes; recién 
estamos comenzando. Comprueba, ahora, tus respuestas:
1.
a)
b)
• .....
1 I
1— •
1
•==)
c)
□
e)
P -
□
2. Observa que las áreas de las figuras pedidas 
se calculan por diferencia de áreas.
c)
<r|
3. E15
áíW\
4.
5.
6.
7.
/
8.
9.
11.
a)
)~ 7 T
" y g x
13.
jhsf
14.
15.
\/\
A /W
Com o puedes apreciar, ias soluciones son muy 
sencillas en algunos casos y en otros, un tanto niáts 
elaboradas; pero todas presentan, en menor o 
mayor grado, dosis de ingenio y creatividad.
II. SITUACIONES DIVERSAS
Los esposos inseparables.
Tres parejas de esposos se fueron
de excursión a Loreto. En uno de sus 
paseos, llegaron a la orilla de un río y 
acordaron cruzarlo. Disponían para 
ello de una balsa inflable con 
capacidad máxima para dos 
personas. Sin embargo, un obstáculo 
por poco impidió hacerio: las
esposas se negaban rotundamente a
quedarse en compañía de otros que no fuesen sus esposos; manteniéndose inflexibles en este 
requerimiento. Aceptada la condición, las seis personas pasaron a la otrá orilla utilizando el bote 
disponible. ¿Cómo lo hicieron?
Iniciamos con este problema la sección de situacioneslógico-recreativas en la cual tratamos ejercicios 
de diferentes tipos que requieren para su resolución de matemáticas elementales, reflexión y persistencia. 
B objetivo; ejercitar tu poder de análisis.
Veamos ahora la solución de este primer ejercicio.
Denominemos A; B; C; a los esposos y a; b; c; a las esposas, respectivamente.
Tenemos:
Primera orilla
A B C
a b e
Segunda orílla
4. Uno de los esposos vuelve con su esposa a la
primera orilla, la d^a en ella y regresa a la
segunda orilla con el tercer esposo.
A B C
a
1. Primero cruzan el río dos esposas.
A B C . . .
c a b .
2. Una de ellas regresa y luego cruza el río con
la tercera esposa.
B C
b c
3. Regresa una de las esposas y 5 « queda con su
cónyuge; tos otros dos esposos cruzan el río.
C
c
A B 
a b
5. La esposa ■ cruza el río y recoge a una de
ias esposas en la otra orilla (digamos pot
ejemplo a b).
A B C
a b
6 . Finalmente, el esposo C recoge a su esposa.
A B C 
a b e
Ejemplo 1
Si “n es la cantidad de rñeses del año que 
contiene 30 días, ¿cuál es el valor de n*?
Resolución:
¿Acaso nos están diciendo que “n” es el número 
de meses que tiene exactamente 30 días? iPues 
no!
El ejercicio está indicando que “n” es el número 
de meses que contiene 3 0 días y no el número 
de meses que exactamente contienen 30 días. 
Por lo tanto, excepto el mes de febrero, todos los 
meses contienen 30 días (algunos exactamente 30 
días y otros 31 días). Luego n = 11
n̂ = 121
Ejemplo 2 .
En cierto código secreto para descifrar mensajes 
en claves, por cada consonante se escribe la 
consonante inmediata anterior y cada vocal se 
cambia por la vocal inmediata posterior.
Por ejemplo; José se escribirá como Hurí 
¿Qué palabra daría origen a “examen”?
Resolución;
J 0 s E
CmtL VtKd Coa VmÍAflL hm. Má.
i 4 *
H U R 1
Aat PM. A » PMt A lt
 ̂ ̂ ^
I B 1 ® ® ® (g) ® (Ó
Luego;
En el lugar vacío debe ir la consonante Ñ. 
Ejemplo 3
Se tiene ei tablero mostrado y una pieza de 
ajedrez. Empezando del lugar indicado, se debe 
recorrer con el caballo todos ios casilleros de un 
solo intento, sin que éste pise, es decir, que se
detenga más de una vez, un mismo casillero. 
Recuerda que ei desplazamiento del caballo de 
ajedrez es en forma de “L” . i Adelante!...
Con líneas punteadas íe damos un ejemplo de a 
dónde puede llegar el caballo con el movimiento 
indicado.
Resolución:
Existe más de una solución, para este ejercicio. 
Te presentamos una,de ellas. Para mejor 
comprensión hemos enumerado cada movimiento 
en forma ordenada y de manera creciente.
là
- f
% 3“ 6°
9 0
i r 8 " 1“ 4“
2' 5* 10” 7 0
Ejemplo 4
En el esquema mostrado, reemplaza cada letra 
por un número escogido del 1 al 8 , de modo que 
no aparezcan dos números consecutivos en dos 
círculos conectados directamente por una línea. 
Dar com o respuesta la suma de los valores de B, 
C, E. F.
Al distribuir : i 1,2,3,4,5,6 ,7,8
existe más de una distribución, pero una sola
respuesta. /
/
Resolución;
Si colocamos úna de las cifras en cualquiera de los 
casilleros de la pertferia, quedarían más de dos 
casilleros libres para ccJocar los consecutivos de 
dicho número. Pero si colocamos un dígito en 
uno de los 2 cikSiUeros centrales (El casillero G por 
ejemplo), quedaría un solo casillero libre para 
colocar el consecutivo de dicho número (casillero 
D para el ejemplo). Por tanto se concluye que en , 
los casilleros G y H debemos ubicar los dígitos X
y 8 (pues tienen un solo consecutivo que son ei 2
y el 7, respectivamente).
á tm
Veamos: Ejemplo 5
Un frasco contiene dos bacterias, otro frasco, de 
doble capacidad, tiene ocho bacterias y se sabe 
que dichas bacterias se duplican en cada minuto 
transcurrido. Si el primer frasco tardó 3 horas en 
llenarse completamente. ¿Cuánto tardará el 
segundo frasco en llenar su capacidad total?
Luego ponemos el 2 y el 7 Resolución:
Como puedes ver nos quedan solamente 2 lugares 
adecuados para colocar el consecutivo de 2 , que 
es 3, en la gráfica « t á señalado con asteriscos. 
Elegimos, de ellos, por ejemplo el de la parte 
inferior izquierda y ubicamos lo faltante. 
Finalmente, completando la solución tenerne«;
Luego: calculando lo que nos piden tendremos: 
B + C + E + F = 4 + 6 + 5 + 3 = 18 
Las demás distribuciones se obtienen por simetría, 
ya sea vertical u horizontal, como te mostramos a 
continuación: 
h
Simetria vertical ^etr<a horizonte!
y leis que se obtienen combinando ambos 
movimientos.
P «o... dtjcma* pasar tan sólo 1 minuto 
yvcamo*qu<succd«... ¡Sfrascoya 
conlicnc 4 bacterias!
Y a partir d* « t u 
4bact«rtai,(I{tasca 
s* llena en 2h 59*
AiMts IcncmiM un frasco de 
deble c^wddad. ee eem» 
>2p>rei«tiuntM
Claro..., y si ftsunümos, como 
tú dices, que son dos frasco* 
juntos cada uno con 4 bacterias 
como «t ’caso que vimos hace 
un momento, entonces “amboe” 
se Benarfan simultáneamente en 
2h 59'... POT lo cu^, podemos 
conduir que este frasco de d o ^ 
cepaddad se llenará en ese
Luego, el segundo frasco se llenará 
completamente en 2h59'
Ejem plo 6
Tres alumnas; Daniela, Tania y Sonia responden 
verdadero (V) o falso(F) en un examen de tres 
preguntas de la siguiente manera:
Daniela Tania Sonia
Ira. Pregunta 
2da, Pregunta 
3ra. Pregunta
V
V 
F
V
F
F
F
F
V
Se sabe que una de ellas contestó todas 
correctamente; otra falló en todas y la otra sólo 
falló cn una pregunta. ¿Quién acertó todas las 
preguntas?
Resolución:
Según la condición del problema, una acertó en 
todas y otra falló en todas; entonces la respuesta 
cn cada pregunta de estas dos personas deberán 
ser contrarias y esto se cumple con Daniela y 
Sonia. Además como la alumna restante (en este 
caso Tania) sólo falló cn una, debe coincidir, por 
lo tanto, en dos respuestas con la que contestó 
todas acertadamente y concluimos que esto se da 
entre Tania y Daniela.
(^ í íó en u n ^
Daniela Tania Sonia
F
F
V
Coinciden en 
2 respuestas
Luego: Daniela acertó en todas sus preguntas, 
Sonia falló en todas las preguntas y Tania falló en 
una pregunta.
Daniela acertó en todas las preguntas.
Ejem plo 7
Un barril contiene 8 litros de vino, los cuales 
deben ser divididos en dos partes iguales, 
empleando solamente el barril y dos jarros vacíos 
de 5 y 3 litros de capacidad, (los 3 recipientes no 
tienen marcas que permitan hacer mediciones). 
¿Cuántos trasiegos (traspaso de uno a otro) se 
deben hacer, como mínimo, para lograr que e. 
barril y el jarro de 5 litros, contengan cada uno 4 
litros de vino?
Resolución;
No es posible vaciar exactamente 4 litros del barril 
al jarro “A” , puesto que no hay forma de medirlo; 
sin embargo es posible hacerlo y para ello 
presentamos et procedimiento en et siguiente 
esquema;
I CóntenÍ¿B'eii''\ar>Q dé^^arecipíente i
8 3 3 6 !B 1 1 H
0 5 2 2 0 5 4 4
i
0 0 3 0 2 2 3 0
Respuesta: 1 trasiegos
Ejemplo 8
De tres prisioneros que se hallaban en una cárcel, 
uno tenía visión normal, el otro era tuerto y el 
tercero era ciego. El carcelero ordenó a los 
{Misioneros que de un conjunto de 5 sombreros (3 
blancos y 2 negros), podían elegir 3 al azar, y 
luego colocárselas sobre sus cabezas.
Se prohibió a cada uno de ellos ver el color del 
sombrero sobre su propia cabeza, pero se les 
permitió ver el de los otros. El carcelero ofreció 
libertad a aquel que acertara el color del sombrero 
que llevaba en su cabeza, con ia condición de que 
el afortunado explique cómo llegó a la respuesta, 
r-vTazonando y no por pura suerte. Se le preguntó 
aTprtsionero de visión normal y falló; por ello fue 
devuelto a su celda. Se preguntó luego al tuerto 
y también faHó; finalmente se le preguntó al ciego 
y respondió acertadamente, con lo cual, este 
último logró su ansiada libertad. ¿Cuál fue el 
razonamiento del ciego y cuál fue su respuesta?
Resolución:
El ciego razonó de la siguiente manera: 
“Tenemos 5 sombreros en total: 3 blancos y 2 
negros. El carcelero ha escogido al azar 3 de 
ellos y los ha colocado sobre nuestras cabezas, 
pero mis dos compañeros han fallado. ¿Por qué 
falló el primero?”
“IHumm ...I, veamos, él tenía visión normal mí, 
que pudo ver el color del sombrero del segundo 
compañero y el color del mío también. Si hubiera 
visto dos sombreros negros no habría fallado 
porque sólo hay 2 sombreros de ese color y 
hubiera concluido que el suyo era blanco. Pero 
... ifalló!, lo cual quiere decir que no vio dos 
sombreros negros. ¿Qué vio entonces? Lo que él 
vio fue una de estas 3 posibilidades:
lera, posibilidad 2da. posibilidad 3era. posibilidad
I----------------- *------------------! i----------------- -̂---------------- 1 I------------------ »
B N N B B B
tuerto ciego tuerto dego tuerto dego\_______________________ ;_____ f
▼
En ambos casos, el dege 
tiene sombrero de color blanco
Por eso es que el primero falló; porque tuvo dudas 
sobre el color de su sombrero. Pero el segundo 
también falló a pesar de que tenía visión en un 
ojo. ¿Por qué razón falló el segundo? Analizando 
he llegado a establecer que sólo pueden darse las 
posibilidades mencionadas arriba” .
“Sin embargo, la primera posibilidad es fácil de 
eliminar, veamos por qué: Habiendo fallado el 
primero, le tocaba el tumo al tuerto quien pudo 
mirar el color del sombrero que estaba sobre mi 
cabeza; y si él hubiera visto un sombrero de color 
negro, hubiera dicho:
‘V eo que el ciego tiene un sombrero negro y si el 
mío también fuera negro, el primer compañero, 
viendo dos sombreros negros, no se hubiera 
equivocado y estaría libre, entonces mi sombrero 
debe ser de color blanco” .
Razonando así, en base a la primera posibilidad, 
el tuerto no hubiera fallado y en estos momentos 
estaría libre. Pero se equivocó porque tuvo 
dudas, lo que vio sobre mi cabeza no fue un 
sombrero negro, sino uno blanco. 
iEn conclusión, mi sombrero es de color blanco!".
Ejemplo 9
Las cifras del 1 al 9 hay que distribuirlas en la 
rueda de la figura, una cifra debe ocupar el centro 
del círculo y las demás los extremos de cada 
diámetro, de manera que tres dígitos de cada 
diámetro sumen siempre 15.
Llamemos x al número que va a éstar ubicado en 
el centro.
Notamos que hay 4 diámetros y todos ellos 
comparten el número central, siendo la suma de 
los tres números distribuidos en cada uno de ellos 
siempre 15 (por dato).
Si sumamos todos los números de Ips cuatro 
diámetros; como cada diámetro tiene 3 números 
estaremos sumando doce números en total, pero 
sólo tenemos nueve (los dígitos son desde 1 hasta 
9). Esto quiere decir que uno de los números (en 
este caso evidentemente el central) se está 
tomando 3 veces más, luego:
Di + D2 + Da + D4 = 1+ 2+3+4+ 5+ 6 + 7 + 8 + 9 + 3xi 1 i i
15 15 15 15
60 » 45+3X 
15 =. 3x 
5 = X
Así, el número 5 va en el centro de la 
“rueda” , faltando colocar los demás. La suma de 
los números de los extremos de cada diámetro 
deberá ser 1 0 , veamos:
Observa como se obtiene la suma 10:
; 2; 3; 4; (§): 6 ; 7; 8 ; 9;
I
— > 1 0 < — j
— ►10-*---------
— ►10-«--------
Entonces queda :
El patio de una cárcel fiene dos puertas una de las 
cuales da a la calle y la otra conduce nuevamente 
a las celdas. Las puertas están vigiladas por dos 
guardianes; uno que dice siempre la verdad y otro 
que siempre miente. Tito está preso y tiene la 
oportunidad de salir, si acierta con la puerta que 
da al exterior, para ello le está permitido hacer 
una única pregunta a cualquiera de los dos 
guardianes, ,pero no sabe cuál de ellos es el 
mentiroso. Luego de un rato, acercándose a uno 
le preguntó; ‘¿Qué puerta me indicaría tu 
compañero si le preguntase por la puerta que da 
a la calle?” . Si con la respuesta recibida logró 
salir, ¿cuál fue la puerta que eligió y cuál fue su 
razonamiento?
jim \
Resolución:
Designemos con “A” la puerta que da a la calle y 
con B, la que da a las celdas.
Tito se acercó a uno de los guardianes, pero 
no se sabe a quién. Hay dos posibilidades: el 
guardián es mentiroso o el guardián es sincero; y 
ambas deben de ser analizadas por Tito antes de 
formular su pregunta.
Ira. Posibilidad:
Se ?xercó al guardián mentiroso (aunque Tito 
ignora si es mentiroso o sincero) y le hizo la 
pregunta dada.
Como el guardián es mentiroso - pero Tito no 
lo sabe- le dirá una mentira. “Mi compañero te 
va a contestar que la puerta que da a la calle es la 
puerta B” , (gran mentira y si Tito le hiciera caso 
volvería a las celdas!)
2da. Posibilidad:
Sin saberlo, se acercó al guardián sincero y le 
hizo la pregunta dada. ¿Qué puerta me indicaría 
tu compañero si le pregunto por la puerta que da 
a la calle?
Como dicho guardián siempre dice la verdad 
- pero repetimos: Tito no lo sabe-, lo que él diga
será cierto. Su pensamiento sería: “Mi compañero 
es un guardián mentiroso y le va a decir a este 
muchacho que !a puerta que da a la calle es la 
puerta B. Debo, pues, decirle a este joven la 
verdad” ; y, en efecto, el guardián sincero al hablar 
diría: “Mi compañero te indicaría que la puerta 
que da a la calle es la puerta B” .
En cualquiera de las 2 posibilidades 
analizadas, Tito recibiría la misma respuesta: “La 
puerta que da a la calle es la B” , ijusto la que 
conduce a las celdas es la B!; luego, para salir 
tendría que elegir la otra puerta, es decir, la puerta
“A".
Dígame, ¿qué puerta 
me indicaría su com­
pañero si le pregunto 
por la puerta que da 
a la calle?
Muchos problemas de lógica recreativa nos presentan situaciones^ de relaciones familiares 
(parentescos) en los cuales, por lo general, se aprecian enunciados de difícil comprensión por lo 
“enredado” de su texto; por este motivo se requiere de una atención adecuada pará llevar a cabo el 
proceso lógico - deductivo que nos conduzca a la solución.
Debemos tener presente, al momento de realizar la resolución, que cada uno de los integrantes de 
la familia puede desempeñar en un mismo problema papeles diferentes; así por ejemplo, una persona 
puede ser al mismo tiempo, y según se indique: padre, hijo, hermano, cuñado, esposo , abuelo, etc. En 
el problema de esta dase deberemos asumir que básicamente la familia la componen padres e hijos, pero 
hay problemas en los cuales es necesario “extender” dicha composición incluyendo a los hermanos de 
nuestros padres (tíos) y los hijos de éstos (nuestros primos); abuelos; bisabuelos etc.
CLASES
Usualmente las interrogantes más frecuentes versan sobre un tipo específico de relación familiar entre 
algunos componentes de la familia; sobre cl número de integrantes que la componen o el rol que 
desempeñan.
A . P R O B L E M A S SO B RE UN T IP O E SP E C ÍF IC O D E R E LA C IO N FAM ILL\R 
E jem plo 1
¿Qué parentesco tiene conmigo Elena, si se sabe que su madre fue la única hija de mi madre?
R esolución:
En el texto encontramos a los siguientes integrantes.
- Elena
-M adre de Elena
- Mi madre 
-Y o
Observación:
La madre de Elena 
es hija única de mi madre.
La líneas punteadas nos señalan las relaciones que estamos deduciendo según el enunciado. 
Luego, el parentesco que tenemos Elena y yo es de tío - sobrina
m \\
W í -
Otro m étodo
Consiste en fijarnos atentamente en todo el enunciado que nos dan y enumerar ciertas partes, veamos:
(4) (3) (2)
“¿Qué parentesco tiene conmigo Hena, si se sabe que su madre es hija única de mi madre T
A propósito, hemos reproducido aquí el texto del ejemplo con las líneas visualmente separadas y 
hemos numerado algunas partes del mismo. Pero, ¿cómo se sabe qué parte de! texto se debe numerar? 
Además ¿por que la numeración se hace de manera decreciente en el sentido en que hacemos la lectura?
Bueno, demos respuesta a estas interrogantes.
En principio, las partes numeradas resaltan a los integrantes de la familia identificados en el texto 
como en el método anterior. Ahora la numeración se realiza del modo y sentido indicado por razón de 
su utüjdad en la construcción del siguiente diagrama:
Mi madre
de madre a hijo
líÍ) madre a hija
y ^
(Hija única de mi madre)
Of o) hermanos ® de madre a hija 
Elenade tío a sobrina''--.
En este método estamos trabajando directamente con el texto del problema