ÁLGEBRA - JUNTOS 365

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Álgebra
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Contents
1 Leyes de Exponentes 4
1 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Leyes para un Radical 16
1 RADICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Ecuaciones Exponenciales 24
1 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Productos Notables 31
1 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 IDENTIDADES DE LEGENDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 DIFERENCIA DE CUADRADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 CUBO DE UN BINOMIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6 BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8 CUBO DE UN TRINOMIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9 IDENTIDADES CONDICIONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Expresiones Algebraicas 42
1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 NOTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 TÉRMINOS SEMEJANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 TÉRMINO ALGEBRAICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7 POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10 VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Y CAMBIO DE VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
11 GRADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 División Algebraica 57
1 DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2 MÉTODO COMÚN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 MÉTODO DE HORNER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 MÉTODO DE RUFFINI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 TEOREMA DEL RESTO O DE DESCARTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7 Cocientes Notables 65
1 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8 Factorización de Polinomios 71
1 NÚMERO DE FACTORES PRIMOS Y NÚMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO . . . . . . . . 71
2 MÉTODO DEL FACTOR COMÚN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 MÉTODO DE AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 MÉTODO DE LAS IDENTIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 MÉTODO DEL ASPA SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 MÉTODO DEL ASPA DOBLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 MÉTODO DE ASPA DOBLE ESPECIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1
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8 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9 M.C.D y M.C.M 80
1 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10 Fracciones Algebraicas 87
1 SIGNO DE UNA FRACCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2 CLASES DE FRACCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3 CARACTERÍSTICAS NOTABLES DE ALGUNAS FRACCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4 OPERACIONES CON FRACCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11 Radicación 95
1 RADICACIÓN EXACTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2 RADICACIÓN INEXACTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3 RADICALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
12 Racionalización 103
1 RACIONALIZACIÓN DE MONOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2 RACIONALIZACIÓN DE BINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3 TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A RADICALES SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
13 Números Complejos 111
1 UNIDAD IMAGINARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2 FORMA BINÓMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3 FORMA CARTESIANA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4 TIPOS DE NÚMEROS COMPLEJOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5 CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 113
6 OPUESTO DE UN NÚMERO COMPLEJO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7 FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8 Operaciones con Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
14 Ecuaciones 124
1 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2 ECUACIONES EQUIVALENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3 ECUACIONES POLINOMIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
15 Matrices 131
1 NOTACIÓN DE LEIBNITZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3 OPERACIONES CON MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
16 Sistema de Ecuaciones Lineales 145
1 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
17 Logaritmos 151
1 SISTEMA DE LOGARITMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2 PROPIEDADES GENERALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3 COLOGARITMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4 ANTILOGARITMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2
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18 Función Logarítmica y Función Exponencial 160
1 FUNCIÓN LOGARÍTMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2 FUNCIÓN EXPONENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3 RELACIÓN ENTRE FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
19 Desigualdades 166
1 TEOREMA SOBRE DESIGUALDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2 Tipos de Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3 VALOR ABSOLUTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4 MÁXIMO ENTERO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
20 Relaciones y Funciones 176
1 RELACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2 FUNCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3 FUNCIONES ESPECIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4 Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3
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Leyes de Exponentes
Es el conjunto de teoremas que estudian las diferentes relaciones que hay entre ellas,
mediante las leyes de Potenciación.
POTENCIACIÓN: Es la operación que consiste en repetir un número denominado base,
tantas veces como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le
denomina potencia.
Exponente Natural
Dada una cantidad elevada a un exponente ”n” mayor que 1, equivale a multiplicar ”n”
veces dicha cantidad, es decir:
a · a · a ... a︸ ︷︷ ︸
“n” factores
= an
Ejemplos:
� 25 = 2·2·2·2·2 = 32
� 34 = 3·3·3·3 = 81
� 45 = 4·4·4·4·4 = 1024
No es lo mismo (-3)2
que -32
(-3)2: se eleva al
cuadrado el signo
negativo de la base y
el resultado es 9.
-32: el signo no forma
parte de la base, por lo
cual no se eleva al
cuadrado, el resultado
va a ser negativo. En
este caso será -9.
IMPORTANTE�
Exponente Cero
Todo número elevado a la potencia cero será igual a la unidad.
a0 = 1
Ejemplos:
� 90 = 1
�
(
-
2
3
)0
= 1
� 00 = 1
“a” puede ser todo
número entero (Z)
diferente de cero.
Esto porque:
00 = Indeterminado
ADEMÁS +
4
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Exponente Unitario
Toda base elevada a la potencia uno es igual a la misma base.
a1 = a
El exponente 1, no se
escribe, se
sobreentiende.
EXTRA�
Ejemplos:
� 101 = 10
�
(
5
2
)1
=
5
2
� 20191 = 2019
Multiplicación de Bases Iguales
El producto de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de
los exponentes.
am · an = am+n
2
× =
2+1
=
3
Ejemplos:
� 23· 24 = 23+4 = 27 = 128
� 32 · 32 = 32 + 2 = 34 = 81
� 5 · 52 = 51 + 2 = 53 = 125
División de Bases Iguales
El cociente de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la diferencia
de los exponentes.
am
an
= am-n
Ejemplos:
�
25
22
= 25-2 = 23 = 8
�
325
321
= 325-21 = 34 = 81
�
049
047
= 049 - 47 = 02 = 0
“a” puede ser todo
número entero (Z)
diferente de cero.
Porque:
0
m
0
n = Indeterminado
IMPORTANTE �
5
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Potencia de unaMultiplicación
Es el producto de dos bases diferentes elevado a un mismo exponente.
(a · b)n = an · bn
“a” y “b” puede tomar
cualquier valor real (R).
ADEMÁS+ Ejemplos:
� (2 · 3)5 = 25 · 35
� (3 · 5)4 = 34 · 54
Potencia de una División
Es el cociente de dos bases diferentes elevadas a un mismo exponente.
(a
b
)n
=
an
bn
Ejemplos:
�
(
3
4
)3
=
33
43
�
(
4
5
)2019
=
42019
52019
�
(
4
0
)2
=
42
02
“b” es diferente de cero.
Porque:(
4
0
)2
= Indeterminado
IMPORTANTE �
Exponente Negativo
La potencia de una base con exponente negativo, es igual al inverso de la base elevada
al mismo exponente en positivo.
a-n =
1
an
Ejemplo:
� 2-3 =
1
23
=
1
8
� 3-2 =
1
32
=
1
9
El exponente negativo
nos indica cuántas
veces dividir por ese
número.
Ejemplo:
4-1 = 1 ÷ 4 = 1
4
EXTRA�
6
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Exponente Negativo de una División
La potencia de una fracción con exponente negativo, es igual al inverso de la fracción
elevada al mismo exponente en positivo.
(a
b
)-n
=
(
b
a
)n
“a” y “b” no pueden ser
cero (0), mientras que
“n” puede tomar
cualquier valor entero
positivo (Z+).
IMPORTANTE� Ejemplo:
�
(
2
3
)-2
=
(
3
2
)2
=
9
4
�
(
2
7
)-2
=
(
7
2
)2
=
49
4
Potencia de una Potencia
Para elevar una potencia a otra potencia, copiamos la misma base y la elevamos al
producto de los exponentes.
(am)n = am.n = (an)m
Ejemplos:
� (23)2 = 23.2 = 26 = 64
� [(am)n]p = am.n.p
(am)n 6= amn
se operan de manera
diferente.
EXTRA �
Exponentes Sucesivos
am
n
= a(m
n) = ar ; mn = r
Ejemplos:
� 23
2
= 23
2
= 29 = 512
� 52
30
= 52
1
= 52 = 25
� 33
20
4
= 33
20
= 33
1
= 33 = 27
am
np
..
.x
Se empieza a
desarrollar desde la
parte superior hasta
llegar a la base.
IMPORTANTE �
7
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Aplicando lo aprendido1
Identifiquemos:
an = P
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
¿Cuál es el símbolo del exponente en la siguiente expresión matemática?
A) P B) a C) n
D) 2a E) n.a
Identifiquemos:
I. 32 II. 4-1 III. 60
¿Cuál de ellos cumple la definición de exponente natural?
A) I y II B) II C) III
D) Sólo I E) Sólo II
Señala cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:
I. - 52 = 25 ( )
II. (- 2x)3 = - 8x3 ( )
III. - (12y)2 = - 144y2 ( )
A) Solo I B) II y III C) Solo III
D) I yII E) I y III
Respecto al exponente cero, señalar (V) si es verdadero y (F) si es Falso.
I. Todo número elevado a la potencia cero es igual a la unidad. ( )
II. 0 elevado a la 0 es igual a 1. ( )
III. a0 = 1, entonces: “a” puede ser todo número entero, diferente de cero. ( )
A) FFF B) FVF C) VFF
D) VVV E) FFV
8
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https://9-9.be/2ZM?c=6p
https://9-9.be/2ZN?c=6p
https://9-9.be/3F7?c=6p
https://9-9.be/2ZO?c=6p
314
Resolver la siguiente expresión matemática:
A = 2(3)0 + 40 - 20200
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 2020
Identifiquemos:
I. 0365 II. 00 III. 30
¿Cuál de ellos cumple la definición de exponente Cero?
A) I B) II y III C) I y II
D) Sólo II E) Sólo III
Respecto al exponente unitario, señalar (V) si es verdadero y (F) si es Falso.
I. Todo número elevado a la potencia uno es igual a la misma base. ( )
II. El exponente 1 no se escribe se sobreentiende. ( )
III. a1 = a, entonces: 21 = 2. ( )
A) FFF B) FFV C) FVV
D) VVV E) VVF
Identifiquemos:
I. 3651 II. 1365 III. 3
¿Cuántos cumplen la definición de exponente unitario?
A) I B) I y II C) I y III
D) Solo III E) Solo II
Resolver la siguiente expresión matemática:
B = 2(3)1 + 61 - 1
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
9
http://www.3.14.school/account/3142023
https://9-9.be/2ZP?c=6p
https://9-9.be/2ZT?c=6p
https://9-9.be/2ZS?c=6p
https://9-9.be/2ZU?c=6p
https://9-9.be/2ZW?c=6p
314
Encuentra el valor de ”z”
54· 5-3· 57· 5z -6 = 625
A) 4 B) 3 C) 2
D) 1 E) 0
Respecto a la ”multiplicación de bases iguales”, señalar (V) si es verdadero y (F) si es
Falso.
I. Siempre se realiza en bases similares o iguales. ( )
II. 3 × 27 = 81 = 34; entonces la base es 3. ( )
III. a2 ·b3 = a5, entonces: a = b. ( )
A) FFF B) FFV C) FVV
D) VVV E) VVF
Andrea desea calcular losmetros cuadrados que posee el corral rectangular que su abuelo
construyó hace tres años, el plano indica que la base mide 34 metros y la altura 27
metros.
¿Cuál será el valor de dicha área ?
A) 729 m2 B) 1 345 m2 C) 1 400 m2
D) 1 980 m2 E) 2 187 m2
Si:
A = 22 × 8 × 2 = 2m
B = 25 × 53 = 5n
Calcular ”m + n”.
A) 9 B) 11 C) 12
D) 21 E) 25
10
http://www.3.14.school/account/3142023
https://9-9.be/2LH?c=6p
https://9-9.be/2ZV?c=6p
https://9-9.be/32Z?c=6p
https://9-9.be/330?c=6p
314
Respecto a la ”División de bases iguales”, señalar (V) si es verdadero y (F) si es
Falso.
I. a(m-n), ”a” puede ser todo número entero diferente de cero. ( )
II.
0m
0n
es indeterminado. ( )
III.
25
22
= 8. ( )
A) VVV B) VVF C) VFF
D) FFV E) FFF
Si:
75m
72m
= 343
Calcular el valor de ”m”.
A) 1 B) 2 C) 5
D) 7 E) 9
Para calcular la velocidad de un objeto en movimiento, se divide la distancia recorrida
entre el tiempo. Si la distancia recorrida por un auto fue 23 · 32 metros y le tomó 33 · 2
segundos, ¿a qué velocidad iba el auto?
A)
3
2
m/s B) 4 m/s C)
2
3
m/s
D)
4
3
m/s E)
8
3
m/s
Calcular el cociente de potencias:
65
25 · 33
A) 5 B) 8 C) 9
D) 11 E) 15
Calcula el exponente final luego de operar la siguiente división de producto de potencias:
23x · 54x · 2-x · 52x
53x · 2-2x · 53x · 24x
A) -x B) -3x C) x
D) x + 3 E) 3x
11
http://www.3.14.school/account/3142023
https://9-9.be/302?c=6p
https://9-9.be/331?c=6p
https://9-9.be/332?c=6p
https://9-9.be/333?c=6p
https://9-9.be/334?c=6p
314
Reducir:
M =
152 · 25 · 49
352 · 452
A) -
1
3
B)
1
3
C) -
1
9
D)
1
9
E)
1
27
Calcular:
A = (5÷ 2)m+2 × (2÷ 5)m ×
22m
22m-5
A) 2 B) 25 C) 80
D) 100 E) 200
Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
I.
(
0
16
)5
es indeterminado ( )
II. a4 ÷ b4 =
(
a
b
)4
( )
III.
1
xy
=
(
1
x
)y
( )
A) FFF B) FVF C) FVV
D) VFV E) VVF
Reducir:
N =
2 n+4 - 2 n+3
4 n · 2 3
A)
1
2 n
B)
1
2
C)
1
8 n
D)
1
n
E)
1
16
12
http://www.3.14.school/account/3142023
https://9-9.be/3F8?c=6p
https://9-9.be/335?c=6p
https://9-9.be/336?c=6p
https://9-9.be/3F9?c=6p
314
Resolver la siguiente expresión matemática:
N = 2(2)-1 + 27(3)-2 - 1-365
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Identifiquemos:
I. 72 II. 4-1 III. 6-3
¿Cuál de ellos cumplen con la definición del exponente negativo?
A) Sólo I B) Sólo II C) I y II
D) Solo III E) II y III
Respecto al exponente negativo, señalar (V) si es verdadero y (F) si es Falso.
I. El exponente negativo nos indica cuántas veces dividir por ese número. ( )
II. 4-1 no es un exp. negativo. ( )
III. a-1 =
1
a
. ( )
A) VFV B) VVF C) FVV
D) VVV E) FFF
Si:
A =
(
5
3
)-1
B =
(
1
2
)-3
Calcular ”A + B”.
A)
3
5
B)
28
5
C)
43
5
D)
8
5
E)
98
5
13
http://www.3.14.school/account/3142023
https://9-9.be/306?c=6p
https://9-9.be/308?c=6p
https://9-9.be/30a?c=6p
https://9-9.be/337?c=6p
314
Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
I.
(
5
6
)-7
= -
(
6
5
)7
( )
II.
(
2
13
)-1
=
13
2
( )
III.
(
1
4
)-12
= -
(
1
4
)12
( )
A) VFF B) VVF C) FFF
D) FVV E) FVF
Calcular A · B:
A =
(
-
3
2
) -4
B =
(
4
3
) -3
A)
1
2
B)
1
7
C)
1
12
D)
1
15
E)
1
16
Hallar “ x ” (
2 x
)2
= 232
A) 2 B) 4 C) 8
D) 16 E) 32
Hallar “ y ” (
3 2y
)2
= 340
A) 10 B) 9 C) 8
D) 7 E) 6
14
http://www.3.14.school/account/3142023
https://9-9.be/338?c=6p
https://9-9.be/3Fa?c=6p
https://9-9.be/2LQ?c=6p
https://9-9.be/2LR?c=6p
314
Reduce la siguiente expresión:
M =
(x) ·
(
x2
)2
·
(
x3
)2
·
(
x4
)2
(
x3
)3 · (x4)3
A) x-1 B) 3x-1 C) x
D) 3x2 E) x-7
Simplifica la siguiente expresión:
P = 8m + 1 × 4m + 2 × 2m + 3
A) 26m + 6 B) 26m + 8 C) 26m + 10
D) 26m + 12 E) 26m + 18
Reducir la siguiente expresión:
23
50
21
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
Reducir la siguiente expresión:
0.25-18
01
3977
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Reducir la siguiente expresión:
32
01
2020
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
15
http://www.3.14.school/account/3142023
https://9-9.be/339?c=6p
https://9-9.be/33a?c=6p
https://9-9.be/2LI?c=6p
https://9-9.be/2LJ?c=6p
https://9-9.be/2LK?c=6p
314
Leyes para un Radical
a
c b
RADICACIÓN1
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos
números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado
al índice, sea igual al radicando.
n
√
a = r; tal que rn = a
signo radical
índice
radicando
raíz enésima
• ”n” es un número N .
• ”n” es mayor que 1.
• a y r son números R .
ADEMÁS +
Exponente Fraccionario
Un radical es equivalente a unapotencia de exponente fraccionario en la que el denominador
de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente del
radicando.
a
m
n = n
√
a
m
; a
1
n = n
√
a
“n” puede tomar
cualquier valor real (R)
diferente de cero (0).
ADEMÁS+
Ejemplos:
� 23/4 =
4
√
2
3
� 71/2 =
√
7
16
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314
Raíz de unaMultiplicación
n
√
a · b = n
√
a · n
√
b
• “a” y “b” son
diferentes de cero.
Además
• si n es par:
a ≥ 0 y b ≥ 0
• si n es impar: “a” y “b”
pertenecen a los
números reales.
IMPORTANTE�
Ejemplos:
�
4
√
3 · 4 = 4
√
3 · 4
√
4
�
5
√
2 · 3 = 5
√
2 · 5
√
3
Raíz de una División
n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
• “b” es diferente de
cero.
• “n” es diferente de
uno.
• si n es par:
a ≥0 y b ≥ 0
• si n es impar: “a” y “b”
pertenecen a los
números reales.
ADEMÁS +
Ejemplos:
�
4
√
2
3
=
4
√
2
4
√
3
�
3
√
7
2
=
3
√
7
3
√
2
Raíz de Raíz
m
√
n
√
p√a = m.n.p
√
a
Ejemplos:
�
4
√
2
√
3
√
4 =
4.2.3
√
4
�
3
√
2
√
5
√
9 =
3.2.5
√
9
• “a” es diferente de
cero.
• Los índices m, n y p
son números naturales
diferentes de uno.
ADEMÁS+
17
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314
Raíz de una Potencia o Potencia de Raíz
( n
√
a)m = n
√
am
Ejemplos:
� ( 2
√
5)3 =
2
√
53
� (
3
√
8)5 =
3
√
85
18
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314
Aplicando lo aprendido2
Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
• La radicación es la operación inversa de la potenciación. ( )
• Si bn = a, b es la raíz enésima de a. ( )
• El índice puede ser cualquier número natural. ( )
• El radical
√
125 se lee raíz cúbica de 125. ( )
A) FFVV B) FVFV C) VFVV D) VVFF E) FVFF
Un depósitode agua en forma de cubo tiene una capacidad de 125m3. ¿Cuál es la longitud
de la arista del depósito de agua?
A) 2 m B) 15 m C) 5 cm
D) 25 m E) 4 m
El pastel de forma cúbica que horneó Andrea tiene un volumen de 27 000 cm3. Si corta la
mitad superior, ¿cuáles serán las dimensiones del pastel resultante?
A) Largo: 10 cm ; Ancho: 30 cm ; Alto: 25 cm
B) Largo: 15 cm ; Ancho: 40 cm ; Alto: 15 cm
C) Largo: 20 cm ; Ancho: 30 cm ; Alto: 10 cm
D) Largo: 30 cm ; Ancho: 30 cm ; Alto: 15 cm
E) Largo: 10 cm ; Ancho: 40 cm ; Alto: 25 cm
Un terreno cuadrado tiene un área de 2209m2 y se quiere rodear con una valla que cuesta
S/ 2,50 cada metro. ¿Cuánto cuesta la obra?
A) S/ 420 B) S/ 380 C) S/ 470
D) S/ 260 E) S/ 410
Respecto al exponente fraccionario, indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa
(F).
• Una potencia de exponente racional se puede expresar como un radical. ( )
• El radical 3
√
5 no puede ser expresado como una potencia de exponente
fraccionario.
( )
• El índice del radical equivale al denominador del exponente fraccionario. ( )
• El radicando corresponde a la base elevada al numerador. ( )
A) VFVV B) VFVF C) FFVV D) VFFF E) FFFV
19
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https://9-9.be/2ZX?c=6p
https://9-9.be/300?c=6p
https://9-9.be/368?c=6p
https://9-9.be/369?c=6p
https://9-9.be/2ZY?c=6p
314
Valida cada caso y halla el/los incorrectos.
I.
5√
21 =
10
√
212
II.
8
√
115 =
7
√
116
III.
4
√
72 =
30
√
715
IV.
3
√
352 =
12
√
356
A) II y III B) I y IV C) III y IV
D) II y IV E) I y II
Calcula los valores de las siguientes potencias y ordena de mayor a menor.
A = 16
3
2
B = 8
2
3
C = 810,75
A) A < B < C B) A < C < B C) B < A < C
D) B < C < A E) C < B < A
Resolver:
3
√
a
5
7 · 3
√
a
5
√
a
2
3
A) a B) 1 C) a
1
95 D) a2 E) a
46
105
Hugo afirma que A es igual a B, índica la afirmación correcta.
A =
3√
2 · 3
√
4
B =
5√
4 · 5
√
-4 · 5
√
-2
A) Hugo tiene razón B) Hugo se equivoca
C) Lo correcto es que A > B D) Lo correcto es que A < B
E) Lo correcto es A2 = B
20
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https://9-9.be/304?c=6p
https://9-9.be/36a?c=6p
https://9-9.be/36b?c=6p
https://9-9.be/2ZZ?c=6p
314
Simplificar: √
49x3
A) 7x
√
x B) x
√
x C) 7
D) 3x E) 3
√
x
Reducir:
M =
3√
a 2 · 3
√
a 3 · 3
√
a 4
A) a 2 B) a 3 C)
a
3
D) a 1/3 E) a 9
El área de un rectángulo es
5√
36x cm2, si su base mide 5
√
3y cm. Calcula la medida de la
altura del rectángulo.
A) 5
√
12xy B)
12x
y
C) 5
√
12x
y
D)
5√
12x
y
E)
12x5
y
Dividir: √
75x2y3
5
√
3xy
A) y
√
x B) y
√
5x C) 2x
√
y
D) 3
√
y E)
√
yx
Dividir:
3
3√
16a5
4
3
√
2a2
A)
5
2
a B) 3a C)
3
2
a
D) 5a E)
7
2
a
21
http://www.3.14.school/account/3142023
https://9-9.be/36c?c=6p
https://9-9.be/3Fb?c=6p
https://9-9.be/303?c=6p
https://9-9.be/36d?c=6p
https://9-9.be/36e?c=6p
314
Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
I. m
√
n√x = n
√
m√x ( )
II. m
√
n√x = x
1
mn ( )
III. m
√
n√x =
n
√
x
1
m ( )
A) FVV B) FFV C) VFV
D) VVV E) VVF
simplificar: (√
3
√
4√
16
)12
A) 4 B) 2 C) 8
D) 1 E) 3
Calcular:
S =
 3√ 4√ 5√x 4
 ( 5√ 4√ 3√x)
A) x 60 B) x
1
15 C)
1
x
D) x 2 E) x
1
12
Resolver: (
3√
18
3 · 6
√
12
)2
A) 3 B) -5 C) 3-2
D) -3 E) 3-1
22
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https://9-9.be/36f?c=6p
https://9-9.be/36h?c=6p
https://9-9.be/3Fc?c=6p
https://9-9.be/36g?c=6p
314
Simplificar:
E =
3
√
60 veces︷ ︸︸ ︷
3
√
x 2 · 3
√
x 2 · ... · 3
√
x 2
3
√√
x ·
√
x · ... ·
√
x︸ ︷︷ ︸
20 veces
A) x 5 B) x 8 C) x 20
D) x 10 E) x 30
Efectuar:
F =
48 radicales︷ ︸︸ ︷
8√x · 8
√
x · ... · 8
√
x
10
√√
x ·
√
x · ... ·
√
x︸ ︷︷ ︸
100 radicales
A) x B) x 2 C) x 3
D) x 4 E) x 5
Un arquitecto diseña un almacén cuadrado de 400m2 de superficie en un establecimiento
industrial. Al cliente le parece exagerado y decide que el lado mida la mitad. ¿Cuántos
metros cuadrados tendrá el nuevo diseño?
A) 80 m2 B) 90 m2 C) 100 m2
D) 110 m2 E) 70 m2
23
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https://9-9.be/3Fd?c=6p
https://9-9.be/3Fe?c=6p
https://9-9.be/301?c=6p
314
Ecuaciones Exponenciales
Son aquellas en las cuales la incógnita figura en el exponente o en la base.
1er. Principio
ax = ay ⇒ x = y ; ∀ a ∈ R− {-1; 0; 1}
Ejemplos:
� 9x = 27
(32)x = 33 ⇒ 32x = 33 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 3
2
� 2x + 2x+3 = 288
2x + 2x · 23 = 288 ⇒ 2x + 8·2x = 288 ⇒ 9·2x = 288
2x =
288
9
⇒ 2x = 32 ⇒ 2x = 25 ⇒ x = 5
2do. Principio
xn = yn ⇒ x = y
Ejemplos:
� Hallar z, en (2z-1)7 = (17-z)7
Solución: Siendo los exponentes iguales
las bases deben serlo.
2z-1 = 17-z ⇒ z = 6
� Resolver: (3x)2 = (16-x)2
Solución: Siendo los exponentes iguales
y pares.
3x = ± (16-x)
i) 3x=(16-x)⇒ x = 4 ii) 3x = -(16-x)⇒ x = -8
“n” es un número real
(R) diferente de cero.
Además:
Si “n” es par⇒ x = ± y
IMPORTANTE �
24
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314
3er. Principio
xx = bb ⇒ x = b
“b” es un número real
(R) diferente de cero.
IMPORTANTE�
Ejemplos:
� xx =
√
1
2
=
(
1
2
)(1
2
)
⇒ x = 1
2
� xx =
(
1
3
)(1
3
)
⇒ x = 1
3
4to. Principio
xx
n
= aa
n ⇒ x = a
Ejemplos:
� xx
3
= 22
3 ⇒ x = 2
� aa
a5
= 33
35 ⇒ a = 3
� zz
2
= y4
2 ⇒ z = y = 4
5to. Principio
xx
n
= n ⇒ x = n
√
n
Ejemplos:
� xx
3
= 3 ⇒ x = 3
√
3
� yy
2
= 2 ⇒ y = 2
√
2
� zz
6
= 6 ⇒ z = 6
√
6
6to. Principio
xx
..
.x
n
= n ⇒ x = n
√
n
Ejemplos:
� xx
x4
= 4 ⇒ x = 4
√
4
� zz
zz
z3
= 3 ⇒ z = 3
√
3
� aa
aa
6
= 6 ⇒ a = 6
√
6
25
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314
Aplicando lo aprendido1
Indica el valor de ”x”.
22x+1 = 24
A)
1
2
B)
3
2
C)
5
2
D)
3
4
E)
5
4
Resolver la siguiente ecuación exponencial y hallar ”x”.
2x-1
√
3x-3 =
√
27
A)
2
7
B)
3
4
C) -3
D) -
2
3
E) -
3
4
Hallar el valor de “ x ”.
a2x - 5 = a15
A) 5 B) 7 C) 9
D) 4 E) 10
Hallar “ x ”.
(
2 x
)2
= 232
A) 12 B) 18 C) 17
D) 16 E) 14
Hallar “ x ”
8 x + 2 = 16 x - 5
A) 1 B) 7 C) 13
D) 26 E) 28
26
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https://9-9.be/31q?c=6p
https://9-9.be/31D?c=6p
https://9-9.be/31F?c=6p
https://9-9.be/31G?c=6p
314
Halla el valor de ”x”.
(
2
√
x+1
)5
-
(√
x+1 + 2
)5
= 0
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Halla ”x” en la siguiente ecuación exponencial.
2 · (2x + 5)2 = 162
A) 2 B)
2
3
C) 5
D)
1
3
E) 3
Un mago con dos sombreros nos dice que escondió en uno 7x conejos y en el otro 3x
palomas, para luego indicarnos que tiene las mismas cantidades en ambos sombreros.
¿Cuántos animales tiene en total?
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
Hallar el valor de “ x ”
13 x = 6 x
A) 4 B) 0 C) 1
D) 2 E) 3
Resolver.
(3x + 1) · (3x + 1)5x
(3x + 1)2x
= 22
A)
1
2
B)
3
2
C)
1
3
D)
1
4
E)
3
4
27
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https://9-9.be/31B?c=6p
https://9-9.be/31C?c=6p
https://9-9.be/31t?c=6p
314
Resolver la ecuación.
2x+1 + 5 · 2x = 28
A) 2 B) 5 C)
1
3
D)
2
3
E)
2
5
En el gráfico, encuentra el valor de ”a + b”.
22
aa
bb 33
A) 4 B) 20 C) 5
D) 25 E) 15
Resolver:
xx
x+1
= 256
A) 0 B) 2 C) 8
D) 16 E) 32
En la figura, el área del cuadrado es igual a 22
4
. Calcula el valor de ”x”.
xx
x
A) 2 B) 6 C) 12
D) 18 E) 21
28
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https://9-9.be/32b?c=6p
https://9-9.be/31v?c=6p
https://9-9.be/31w?c=6p
314
Calcula el valor de ”aa”, si se sabe que ”a” es un número entero positivo.
aa
2
= 16
A) 0 B) 1 C) 4
D) 27 E) 256
En la lucha contra el lado oscuro de la fuerza, Hugo intenta rescatar a Andrea, pero ella
arremete contra el un bloque con fuerza ”M” y Hugo responde con una fuerza de ”N” , si
ambas fuerzas se igualan. ¿Cuál es el valor de Z?
M = zz
z5
y N = 33
35
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
Resuelve la ecuación:
(x + 1)
(
x + 1
)4
= 4
Y calcula (x + 1)
2
.
A) 1 B) 2 C) 4
D) 9 E) 16
Si ”m” es tal que se cumple: mm
3
= 3. Calcula m6 - 3.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
29
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https://9-9.be/31J?c=6p
https://9-9.be/31y?c=6p
https://9-9.be/31z?c=6p
314Calcular “x” si:
xx
3
= 36
A) 36 B) -
3√
6 C)
3√
6
D) 12 E)
3√
9
Si se cumple que aa
4
= 4 y bb
..
.b
3
= 3, halla ”a6 + b6”.
A) 6 B) 9 C) 12
D) 17 E) 23
Hallar el valor de “ x ”.
b3x - 5 = b10
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2
En un laboratorio se investiga el virus del COVID -19, si este crece de manera exponencial
con la siguiente ecuación:
xx
..
.4
= 4
Encuentre le valor de ”x”.
A)
3√
3 B)
4√
4 C)
3√
4
D)
4√
3 E) 4
30
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https://9-9.be/31A?c=6p
https://9-9.be/31E?c=6p
https://9-9.be/31K?c=6p
314
Productos Notables
Se llaman productos notables a ciertos productos que se basan en reglas fijas y cuyo
resultado puede ser escrito por simple inspección.
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS1
(x + y) (a + b) = ax + bx + ay + by
Las variables x, y, a y b
deben pertenecer a los
números reales para
que se cumpla el
siguiente principio.
IMPORTANTE�
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO2
(a + b)2 = a2 + (2ab) + b2
También es conocido
con el termino TPC.
EXTRA �
Demostración:
� (a + b)2 = (a + b) (a + b)
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
31
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314
IDENTIDADES DE LEGENDRE3
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
Demostración:
� (a + b)2 + (a - b)2 = (a2 + 2ab + b2) + (a2 - 2ab + b2)
(a + b)2 + (a - b)2 = a2 + b2 + a2 + b2
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
Demostración:
� (a + b)2 - (a - b)2 = (a2 + 2ab + b2) - (a2 - 2ab + b2)
(a + b)2 - (a - b)2 = a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2)
Demostración:
� (a + b)4 - (a - b)4 = (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) - (a - b) (a - b) (a - b) (a - b)
(a + b)4 - (a - b)4 = (a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4) - (a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4)
(a + b)4 - (a - b)4 = 4a3b + 4a3b + 4ab3 + 4ab3
(a + b)4 - (a - b)4 = 8a3b + 8ab3 = 8ab(a2 + b2)
32
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314
DIFERENCIA DE CUADRADOS4
(an + bn)(an - bn) = a2n - b2n
Ejemplo:
� (2x + 3y)(2x-3y) = (2x)2 - (3y)2
= 22 · x2 - 32 · y2
= 4x2 - 9y2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Ejemplo:
� (
√
7 +
√
2) (
√
7 -
√
2) = (
√
7)2 - (
√
2)2
= 7 - 2
= 5
CUBO DE UN BINOMIO5
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ejemplo:
� (2x + 3)3 = (2x)3 + 3(2x)2(3) + 3(2x)(3)2 + (3)3
= 23x3 + 3(4x2)(3) + 3(2x)9 + 27
= 8x3 + 36x2 + 54x + 27
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Ejemplo:
� (y2 - 2)3 = (y2)3 - 3(y2)2(2) + 3(y2)(2)2 - (2)3
= y6 - 3(y4)(2) + 3(y2)(4) - 8
= y6 - 6y4 + 12y2 - 8
33
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314
Forma abreviada:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a - b)3 = (a)3 - (b)3 - 3ab(a - b)
BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN6
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ejemplo:
� (y + 3)(y + 4) = (y)2 + (3 + 4)y + (3)(4)
= y2 + 7y + 12
(x + a) (x + b) (x + c) = (x)3 +(a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x + abc
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS7
(a+b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a-b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
34
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314
CUBO DE UN TRINOMIO8
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3b2a + 3c2a + 3c2b + 6abc
Otras formas de expresar:
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a+b) (a+c) (b+c)
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a+b+c) (ab+bc+ac) -3abc
IDENTIDADES CONDICIONALES9
Si: a + b + c = 0, entonces se cumple que:
a2 + b2 + c2 = -2(ab+bc+ac)
a3 + b3 + c3 = 3abc
35
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314
Aplicando lo aprendido10
En la figura se muestran las medidas de una parcela cuadrangular. Calcula el área.
m - 2
m + 10
�
� �
�
Donde:
m > 2
A) m2 - 20m + 8 B) m2 - 8m - 20 C) m2 + 8m + 20
D) m2 + 8m - 20 E) m2 + 20m - 8
Efectuar:
(a + 5)2 - (a + 4) (a + 6)
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Reducir:
F = (x + 1) (y + 1) - (x - 1) (y + 1)
A) 2y + 2 B) 2x - 2 C) 2y
D) 2x E) x + 2
Si:
• a + b = 2
• ab = 1
Calcular: ”a2 + b2”.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 6
36
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https://9-9.be/352?c=6p
https://9-9.be/359?c=6p
https://9-9.be/353?c=6p
314
Si:
a - b =
√
5 y ab = 1
Calcular ”a2 + b2”
A) -2 B) 2 C) 7
D) 4 E) -4
Hallar el valor numérico de:
x =
√
4 +
√
15 +
√
4 -
√
15
A) 4 B) 10 C) 15
D)
√
10 E)
√
15
Si:
x2 + y2 = 3
Resolver: (x + y)2 + (x - y)2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
Si:
x · y = 5
Resolver (x + y)2 - (x - y)2
A) 15 B) 20 C) 25
D) 30 E) 40
Efectuar:
M =
[
(x + y)2 - (x - y)2
xy
]1
2
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 8
37
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https://9-9.be/35a?c=6p
https://9-9.be/354?c=6p
https://9-9.be/355?c=6p
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314
Reducir la siguiente expresión:
E =
(√
7 +
√
5
) (√
7 -
√
5
)
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Reducir la siguiente expresión:
M = 4
√
257× 17× 5× 3 + 1
A) 4 B) 8 C) 16
D) 32 E) 64
Reducir:
N = (
√
4 +
√
15) (
√
4 -
√
15)
A) 4 B) 2 C) 6
D) 5 E) 1
Efectúa: (2x + 3y)
3
Luego, indica la suma de todos los exponentes de ”x”.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
Si: (x + 1)
3
= ax3 + b2 + cx + d
Hallar:
b + c
a + d
A) 1 B) 3 C) 4
D) 1/3 E) 2/3
38
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314
Si:
• a + b = 5
• ab = 2
Calcular: a3 + b3
A) 83 B) 64 C) 78
D) 80 E) 95
Si:
• x - y = 3
• xy = 5
Calcular: E = x3 - y3
A) 18 B) -18 C) -72
D) 72 E) 27
En la figura se muestran las medidas de una parcela cuadrangular. Calcula el área.
m - 2
m + 10
�
� �
�
Donde:
m > 2
A) m2 - 20m + 8 B) m2 - 8m - 20 C) m2 + 8m + 20
D) m2 + 8m - 20 E) m2 + 20m - 8
Reducir:
P =
(x + 5) (x + 8) + 2x
(x + 10) (x + 4) + x
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
39
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https://9-9.be/35n?c=6p
https://9-9.be/351?c=6p
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314
Multiplicar:
M = (a + b)(a2 + ab + b2)(a - b)(a2 - ab + b2)
A) a6 - b3 B) a3 - b6 C) (a - b)6
D) a6 - b6 E) (a + b)6
Efectuar:
R =
(
3√
7 -
3√
5
) (
3√
49 +
3√
35 +
3√
25
)
+ 3
E indicar lo correcto:
A) R + 1 = 0 B) 2 ≤ R < 3 C) R ∈ N
D) R2 +1 = 3 E) R - 1 = 7
Si a + b + c = 0
Hallar:
R =
a3 + b
3
+ c3
(a + 2b + c)(a + b + 2c)(2a + b + c)
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) N.A.
Si a + b + c = 0
Simplificar:
A =
a3 + b
3
+ c3
(a + b)(a + c)(b + c)
A) 3 B) -3 C) 1
D) a + b + c E) N.A.
40
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https://9-9.be/35j?c=6p
https://9-9.be/35d?c=6p
https://9-9.be/35e?c=6p
314
Simplificar:
(x + a + b) (x + a + c) - bc
x + a + b + c
- a
A) 1 B) 2x C) x
D) 3x E) 8x
Si m + 2n + 3p = 0
Calcular:
M =
8mn + 24np + 12mp
2m2 + 8n2 + 18p2
A) -1 B) 1 C) m + n + p
D) 1/2 E) m2 + 4n2 + 9p2
Si (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0
Reducir:
B =
(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
9(x - y) (y - z) (z - x)
A) x + y + z B) 1 C) 1/3
D) 1/2 E) x2 + y2 + z2
41
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314
Expresiones Algebraicas
Son formasde representar a ciertas expresiones para diferenciar la funciónque representa
cada una de ellas.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS1
Se denomina al conjunto de números y letras ligados entre sí por los signos de las
operaciones del álgebra (adición, multiplicación y sus inversas).
Ejemplos:
� F(x, y) = 8x2 - 3x3y3 + 21y5 (racional entera o polinomio)
� H(x, y) = x +
2
y
- 8 (racional fraccionaria)
� P(x, y, z) = x2 + 10y5 -
3
√
x2z8 (irracional)
NOTACIÓN2
CONSTANTE: Es un valor numérico determinado, las cuales pueden ser absolutas (nunca
varían) o relativas (se mantienen en una situación o problema pero pueden variar en
otro).
VARIABLE: Es un valor desconocido, se representan mediante letras.
P(x, y) = 2xy3 - 5y2 + 4x7
variables
constantes
42
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314
TÉRMINOS SEMEJANTES3
Son aquellos que presentan la misma parte literal o variables, ejemplo:
2 x2y5z; -
5
2
x2y5z;
√
3 x2y5z
TÉRMINO ALGEBRAICO4
Es aquella expresión algebraica que no presenta operaciones de adición ni sustracción.
F(x, y) = -8︸︷︷︸
coeficiente
x2y3︸︷︷︸parte
literal
o variables
signo exponentes
También puede tener
un coeficiente literal.
En: P(x) = ax3, el
coeficiente es a.
ADEMÁS +
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS5
Las operaciones de adición o sustracción entre términos algebraicos solo se pueden
efectuar entre términos semejantes, para lo cual se calcula la sumao resta de los coeficientes
numéricos, mientras que la parte literal permanece invariable.
Ejemplos:
� 18x2 + 2x2 = (18 + 2)x2 = 20x2
� 3x3y - 14x3y + 5x3y = (3 - 14 + 5)x3y = -6x3y
� 12x5z3 + x5z3 - 8x5z3 + 4x5z3 = (12 + 1 - 8 + 4)x5z3 = 9x5z3
43
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314
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS6
Por su Naturaleza
a) ExpresiónAlgebraica Racional: los exponentes que afectan a las variables sonnúmeros
enteros.
b) Expresión Algebraica Irracional: es aquella donde al menos uno de los exponentes
que afectan a las variables es fraccionario o aparecen bajo radicales.
Ejemplos:
� 2x3 + 7x2y8 -xy Expresión Algebraica Racional
� x5 - 11x5z + 4xz-3 Expresión Algebraica Racional
� y2/3 + x2y = 5
√
z Expresión Algebraica Irracional
Por su Número de Términos
a) Monomios: Cuando tienen un solo término.
b) Multinomios: Cuando tienen dos o más términos, un caso particular es el polinomio.
Ejemplos:
� A(x, y) = 4x7y3 Monomio
� P(x, y) = 4x7y3 - x5y +
3
√
x+3 Multinomio
POLINOMIOS7
Es aquella expresión algebraica cuyos términos son todos racionales enteros.
Ejemplos:
� P(x, y) = 4x7y3 - x5y + 9x10y6 Polinomio
� F(x, y) = 3xy2 + 12x6 -
√
2x5y3 Polinomio
44
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314
Polinomio de una Variable
P(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n
•“n” es un número
entero positivo ( Z+).
• “an” es diferente de 0.
• “an”: Coeficiente
principal
• “a0”: T. independiente
IMPORTANTE� Ejemplos:
� P(x) = 5 - x + 3x2 + 2x3
� M(y) = 9 + 3y2 + 2y5 - y7
� F(z) = z + 8z2 + z3 - 14y4
Polinomio Ordenado
Se dice que un polinomio es ordenado respecto de una variable, si los exponentes de
dicha variable aumentan o disminuyen.
Ejemplos:
� P(x) = 4x10 -
√
3 x7 +
1
3
x3 + x - 8
Ordenando descendentemente respecto a x.
� P(x; y) = 2xy9 - x2y5 + 3x5y
Ordenado ascendentemente con respecto de x.
Ordenado descendentemente con respecto de y.
Polinomio Completo
Sedice queunpolinomio es completo respecto a una variable si contiene comoexponentes
a todos los números naturales desde un valor máximo hasta el cero.
Ejemplos:
� F(x) = 2 - 7x4 + 5x2 +
√
2x3 + 2x
� P(x) = 11 + 2x +
√
5x2 - x3 + 8x4
� M(x; y) = -3x2y2 + x4y + x7 - 5
1. En todo polinomio
completo en una
variable, el número de
términos es igual a su
grado aumentado en
uno.
# términos = grado +1
2. En todo polinomio
completo y ordenado
de una variable, la
diferencia de grados
de los términos
consecutivos es:1
ADEMÁS +
45
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314
Polinomio Homogéneo
Si sus términos hacen el mismo grado absoluto.
Ejemplos:
� P(x; y) = 2x5y - x2y4 + 11y6
� F(x; y) = xy3 +
√
5x2y2 + 3x3y
� Q(x; z) = 5x6y6 -
3
2
x2y10 - x12
Polinomios Idénticos
Dos polinomios reducidos del mismo grado y en las mismas variables son idénticos, si
tienen elmismo valor numérico para cualquier valor o valores asignados a sus variables.
Ejemplos:
� ax2 + bx + c = 11x2 - 5x +3 ⇒ a = 11; b = -5; c = 3
� mx4 - nx2 + p = 2x4 - 8x2 + 13 ⇒ m = 2; n = -8; p = 13
� qx + rx3 - sx9 = x +
√
2x3 -
1
3
x9 ⇒ q = 1; r =
√
2; s= -
1
3
Polinomio Idénticamente Nulo
Es aquel polinomio de grado no definido, cuyo valor numérico resultante siempre es
igual a cero, para cualquier sistema de valores que asumen sus variables.
Ejemplo:
� ax2 + bx + c = 0 ⇒ a = 0; b=0; c=0
PolinomioMónico
Es aquel polinomio de una variable cuyo coeficiente principal es 1.
Ejemplos:
� P(x) = x8 - 2x2 + 15x6 +
√
3x3
� Q(x) = x12 + 6x4+x
� R(x) = x3 -
5
3
x2 + x - 20
46
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314
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS8
Se reducen términos semejantes.
Ejemplo: Tenemos
P(x) = 7x4 - 8x3 + 3x2 + x - 5 y
Q(x) = x4 + 2x3 + 7x2 - 3x + 4
� P(x) + Q(x) = (7 +1)x4 + (-8 +2)x3 + (3 +7)x2 + (1 -3)x + (-5 +4)
8x4 - 6x3 + 10x2 - 2x - 1
� P(x) - Q(x) = (7 -1)x4 + (-8 -2)x3 + (3 -7)x2 + (1 +3)x + (-5 -4)
6x4 - 10x3 - 4x2 + 4x - 9
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS9
P(Q + F) = P·Q + P·F
Ejemplo:
� (2x2 + y3)(x3 - y2) = 2x5 - 2x2y2 + x3y3 - y5
47
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314
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Y CAMBIO
DE VARIABLES
10
Es el resultado que se obtiene a partir de un polinomio al reemplazar sus variables por
valores asignados.
Ejemplos:
� P(x) = 8x2 - 3x3 + 2
P(-2) = 8(-2)2 - 3(-2)3 + 2 = 58
� F(x, y) = 2xy2 -
√
2x3y + 5y4
F(1,
√
2) = 2(1)(
√
2)2 -
√
2(1)3(
√
2) + 5(
√
2)4
= 22
En todo polinomio la
suma de coeficientes
se obtiene:∑
coeficientes = P(1)
Mientras que el
término
independiente:
T.I. = P(0)
EXTRA�
GRADOS11
Es una característica atribuida a los exponentes de las variables; esto significa que el
grado es un número natural.
Grado Relativo (GR)
Está referido a una sola variable.
a) En un Monomio: Es el mismo exponente de dicha variable.
P(x, y) = 3x5y
GR(x) = 5
GR(y) = 1
b) En un Polinomio: Es el mayor exponente que presenta dicha variable en uno de los
términos del polinomio.
F(x, y, z) = x3y2z17 -
√
5x12y4z6
GR(x) = 12
GR(y) = 4
GR(z) = 17
48
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314
Grado Absoluto (GA)
Está referido al conjunto de todas las variables.
a) En un Monomio: Es la suma de los exponentes de las variables.
P(x, y) = 3x5y6
GA(P) = 5 + 6 = 11
b) En un Polinomio: Es la mayor suma de exponentes de variables obtenidas en unos
de sus términos.
F(x, y, z) =
15︷ ︸︸ ︷
x3y2z10 -
√
5
22︷ ︸︸ ︷
x12y4z6
GA(F) = 22
49
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314
Aplicando lo aprendido12
Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
I. Los números son constantes. ( )
II. 16 puede ser una variable. ( )
III. Sea P(x) = -4x→ -4 es la constante y ”x” la variable. ( )
A) VVF B) FVF C) VFF
D) VFV E) FFV
Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
I. En la expresión x2y3 la parte constante no existe. ( )
II. Las únicas letras que se pueden utilizar para representar a las variables son: x,
y, z, w.
( )
III.
5
x
es un término algebraico. ( )
A) VFV B) FFV C) VVF
D) FVV E) FVF
Señala cuál o cuales de las siguientes proposiciones no son ciertas:
I. 8x2 es un término algebraico. ( )
II. Tres veces el dinero que gasté se puede representar como un término
algebraico.
( )
III. El número de estaciones del año es una variable. ( )
A) II y III B) Solo II C) I y III
D) I y II E) Solo III
¿Cuál de los siguientes términos son algebraicos?
I. -10
√
5
II. x2yz5
III. 5 + x
A) Solo III B) II y III C) Solo I
D) I y II E) Solo II
50
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314
Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
I. En un término algebraico los exponentes de las variables pueden ser letras. ( )
II. En P(x) = abx5 el coeficiente es 1. ( )
III. -2x5y7z2 y 15y5x7z2 son términos semejantes. ( )
A) FFF B) FFV C) FVF
D) FVV E) VFF
Relacionar los términos semejantes:
I. 5abc A) 12y7z3x3
II. 4y B) bca
III. -x3y7z3 C) 2lmn
IV. mnl D) -5y
A) IB – IID – IIIA - IVC B) IB – IIA – IIIC - IVD C) IA – IID – IIIB - IVC
D) IA – IIC – IIIB - IVD E) IB – IID – IIIC - IVA
Dado los términos semejantes:
16x3 + m ; -
√
24x15
Calcular: P =
m + 2
2
A) 9 B) 8 C) 7
D) 6 E) 5
Dado los términos semejantes :
(2a + b)x4yb+3 ; (b - 3a)x2ay6
Calcular la suma de coeficientes.
A) 7 B) 6 C) 5
D) 4 E) 3
51
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314
Reducir las siguientes expresiones algebraicas:
A = 2x2 + x2 – 7x2 + 12x2
B = 2x + 4x – 5x – 10x2
Luego calcular A + B.
A) x + 2x2 B) x – 3x2 C) x – 2x2
D) x2 E) 2 – x2
Reducir la expresión:
axa + bxb + cxc +dxd + x7
Si todos los términos son semejantes.
A) 29x7 B) 17x7 C) 34x7
D) 23x7 E) 19x7
Reducir la expresión:
a3b4c5 + 5b3c4a5 + 33b4c5 - 8b3c4a5 + 2a3b4c5 - 9b3c4a5
A) - 6a3b4c5 B) - 6b3c4a5
C) 8a3b4c5 - 15b3c4a5 D) 3a3b4c5 - 6b3c4a5
E) a3b4c5 - 15b3c4a5
Señala cuál o cuales de las siguientes proposiciones no son ciertas:
I.
√
2x2 es un término algebraico racional. ( )
II.
5
6
x2y3 es un término algebraico irracional. ( )
III. xx - 10x no es una expresión algebraica. ( )
A) Solo I B) II y III C) Solo II
D) I y II E) Solo III
52
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314
Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
I.
5
6
xy3z2w7 es un multinomio. ( )
II. -a2b3 + 4ab3 es un multinomio. ( )
III. 4x9 no es un monomio. ( )
A) FFV B) VFF C) FVV
D) VFV E) FVF
Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
I.
√
3x3 es un monomio. ( )
II. x5y3 - 3y2 + 6x2y no es un multinomio. ( )
III. a7 + b7 + c7 es un multinomio. ( )
A) VVF B) VFV C) VFF
D) VVV E) FVF
Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
I. P(x) = x2 + 5x3 - 3x5 es un polinomio ordenado en forma ascendente. ( )
II. P(x) = 5x + 3 es un polinomio completo. ( )
III. P(y) = y2 + 4y2 - 8y2 es un polinomio ordenado. ( )
A) VFF B) VVV C) FVF
D) VVF E) FFV
Si el polinomio:
P(x) = abxc + caxb + bcxa + abc
Es completo y ordenado. Calcular: a + b + c
A) 7 B) 6 C) 5
D) 4 E) 3
53
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314
Dado el polinomio homogéneo:
P(x,y) = 2bxbyc + 5x7y2 + 3cxb+7y
Calcular la suma de coeficientes.
A) 31 B) 29 C) 27
D) 25 E) 23
Si P(x) y Q(x) son idénticos:
P(x) = ax5 + 3x2 - 4
Q(x) = (2a - 3)x5 + (c + 2)x2 + b
Calcular : a + b + c
A) -1 B) -2 C) 0
D) 2 E) 1
Dado el polinomio idénticamente nulo:
P(x) = (a - 2)x2 + bx + c + 3
Calcular : a · b · c
A) 4 B) 3 C) 2
D) 1 E) 0
De los siguientes polinomios:
P(x) = 8x3 - x2 + 4x - 16
Q(x) = 10x2 + 7
Señala cuál o cuáles de las siguientes proposiciones no son ciertas:
I. P(x) + Q(x) = 8x3 + 9x2 + 4x - 9 ( )
II. El término independiente de P(x) + Q(x) es 9. ( )
III. La suma de coeficientes de P(x) - Q(x) es 20. ( )
A) Solo I B) Solo II C) Solo III
D) I y III E) II y III
54
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314
Dados los polinomios:
M(x) = x3 + 5x2 - 2x
N(x) = 6x + 4
Hallar el término independiente de:
L =
4M(x) + 3N(x)
2
A) 8 B) 7 C) 5
D) 6 E) 4
Dada la igualdad:
(2x + 3)(4x2 - 6x + 9) = ax3 + bx2 + c
Calcular : a · b · c
A) -1 B) 0 C) 2
D) 3 E) 4
Calcula el volumen del sólido:
2
x
-
4
y
5x
3y
A) 30x2y - 60xy2 B) 30x2y - 40xy2 C) 12x2y - 60xy2
D) 30x2y - 20xy2 E) 15x2y - 60xy2
Si: P(x) = 3x47 – 81x44 + 5x – 3
Hallar:
M = P(3) + P(1) – P(-1)
A) 23 B) 24 C) 32
D) 28 E) 48
55
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Si:
f(x) = 21x – 7
g(x) = 3x2 - 2
Hallar: f(-2) + g(4)
A) -3 B) 3 C) 9
D) -9 E) 49
Si: P(x) = 5x – a; P(6) = 26
Hallar: P(-4)
A) -15 B) -20 C) -10
D) -24 E) -30
Dado el monomio: M(x, y) = 4x2a+3by5b-a
Donde: GA(M) = 10; GR(x) = 7
Halla el valor de a y b.
A) 3 y 1 B) 2 y 3 C) 3 y 2
D) 2 y 1 E) 1 y 3
Dado el polinomio:
P(x, y) = xa+2yb-1 + xa+6yb + xa+4yb+4
Donde: GR(x) = 10; GA(P) = 16
Calcular: GR(y)
A) 4 B) 8 C) 7
D) 3 E) 5
Dado el polinomio:
P(x, y) = 2xmyn-1 + 3xm+1yn + 7xm-2yn+2 + 6xm+3yn+1
Si: GR(x) = 12 y GA(P) = 18, ¿Cuál es el GR(y)?
A) 4 B) 5 C) 6
D) 3 E) 7
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314
División Algebraica
La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas
dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un
algoritmo.
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA1
Se dice que un polinomio F(x) es divisible por otro G(x) si existe otro polinomio Q(x) tal
que:
F(x) = G(x)·Q(x)
Teoremas
� Si un polinomio se anula para x = a ó P(a) = 0, entonces dicho polinomio será
divisible por (x -a).
� Si un polinomio es divisible separadamente por los binomios (x-a), (x-b) y (x -c) con
a6= b6= c, entonces dicho polinomio será divisible por el producto de dichos binomios.
� Si unpolinomio es divisible por el producto dedos omásbinomios diferentes, entonces
dicho polinomio es divisible separadamente por cada uno de los binomios.
� Si al dividir un polinomio por los binomios (x -a), (x -b) y (x -c) en forma separada se
obtiene un mismo resto, entonces al dividir dicho polinomio entre el producto de los
binomios se obtendrá como resto el mismo resto común.
Restos Especiales
Teorema 1
En una división de
polinomios, si al dividendo
y al divisor se le multiplica
por un polinomio no nulo,
el cociente no se altera,
pero el residuo queda
multiplicado por dicho
polinomio.
Teorema 2
En una división de
polinomios, si al dividendo
y al divisor se le divide por
un polinomio no nulo, el
cociente no se altera pero
el residuo queda dividido
por dicho polinomio.
57
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314
MÉTODO COMÚN2
D(x) d(x)
r(x) Q(x)
Polinomios:
D(x): Dividendo
d(x): Divisor
Q(x): Cociente
r(x): Residuo
Se cumple:
D(x) = d(x) · Q(x) + r(x)
Donde:
grado(D) ≥ grado (d)
grado(r(x)) < grado (d(x))
Si r(x) = 0 ⇒ la division es exacta
Si r(x) ≤ 0 ⇒ la division es inexacta.
También lo puedes
encontrar como:
D d
R q
EXTRA �
Propiedades
1. El grado del cociente es la diferencia entre el grado del dividendo y divisor.
[Q]◦ = [D]◦ - [d]◦
2. El maximo grado del resto es igual al grado del divisor disminuido en uno.
[R]◦max = [d]
◦ - 1
Los polinomios dividendo D(x) y divisor d(x) se deben ordenar descendentemente y
completar, es decir: xn + xn-1 + xn-2 + ... + x
Además:
[D]◦ ≥ [d]◦
�
58
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MÉTODO DE HORNER3
Esquema general:
Coef. del dividendo︷ ︸︸ ︷
︸ ︷︷ ︸
coef. del Q(x)
︸ ︷︷ ︸
coefic. del r(x)

Coef.
Del
divisor
Signo
cambiado
Líneas divisoras
Primer coef. del divisor
La linea divisoria se ubica en el esquema, contando de
derecha a izquierda tantas columnas como el grado del
divisor
MÉTODO DE RUFFINI4
Se aplica cuando el divisor es de la forma.
(x + b), ∀ b ∈ R
Esquema general:
x + b = 0
x = -b Coefic. del dividendo︷ ︸︸ ︷
︸ ︷︷ ︸
coef. del Q(x)
︸ ︷︷ ︸
resto
-b
59
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Método de Ruffini con Divisor de la Forma (ax + b)
Esquema general:
ax + b = 0
x = -
b
a Coefic. del dividendo︷ ︸︸ ︷
︸ ︷︷ ︸
coef. del Q(x)
︸ ︷︷ ︸
resto
-
b
a
÷ a
TEOREMA DEL RESTO O DE DESCARTES5
Permite obtener el resto de dividir un polinomio P(x) entero en x, por un binomio de la
forma (ax + b).
Descartes fue filosofo,
fisico y matematico,
realizo aportes a
diferentes ramas
cientificas
EXTRA �
i) Se iguala el divisor a cero:
ax + b = 0 ⇒ x = -
a
b
ii) Se evalúa P
(
-
a
b
)
r = P
(
-
a
b
)
60
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314
Aplicando lo aprendido6
Señala cuál o cuales de las siguientes proposiciones no son ciertas:
I. El grado del dividendo es mayor o igual que del divisor. ( )
II. El grado del cociente es la diferencia entre el grado del dividendo y divisor. ( )
III. Si el residuo es igual a cero, la división es inexacta. ( )
A) Solo I B) II y III C) Solo II
D) I y II E) Solo III
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. Si el polinomio P(x) = M(x) · N(x), entonces P(x) es divisible por M(x). ( )
II. Un polinomio no puede dividirse entre un monomio. ( )
III. Si Q(2) = 0, entonces Q(x) es divisible por (x - 2) . ( )
A) FFV B) VFV C) VFF
D) FVF E) VVF
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. El máximo grado del restoes igual al grado del divisor. ( )
II. Si P(x) es divisible por (x-a) y (x-b), entonces será divisible por (x-a)(x-b). ( )
III. Si el grado del residuo es cero, la división es exacta. ( )
A) VFV B) VFF C) FFV
D) FVV E) FVF
Al dividir: 12x3y entre 4xy
Se obtiene: axb
Hallar:
b√
a + 1
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2
61
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https://9-9.be/2yJ?c=6p
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314
Luego de dividir:
16x3 + 8x2
2x
Calcular la suma de coeficientes del cociente.
A) 14 B) 8 C) 12
D) 4 E) 16
Calcular el cociente en
32x8y5 + 16x7y12
8x4y2
Dar por respuesta GR(x) + GR(y) de este cociente.
A) 18 B) 16 C) 15
D) 14 E) 10
Cuál será el residuo de dividir:
4x3 + 4x2 + 1 - 3x entre x + 2x2 - 3.
A) 2x + 4 B) 4x + 3 C) x + 4
D) 2x + 5 E) 3x + 4
Indicar si la siguiente división es exacta o inexacta.
3x3 + 2x2 + 9x + 6
x2 + 3
Si es inexacta indicar el resto.
A) Es exacta B) 1 C) 2x
D) 3 E) 4x - 2
62
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314
En la siguiente división:
6x3 - x2 + 2x + 6
3x2 + x + 1
Indicar el término independiente del resto.
A) 0 B) 1 C) 7
D) -1 E) 4
Calcular el término independiente del cociente por el método de Ruffini.
6x3 + 29x2 - 7x - 10
x + 5
A) -2 B) -3 C) 2
D) 1 E) 3
Aplicando Ruffini calcular el cociente de dicha división.
5x2 - 2x + 1
x - 2
A) 5x + 7 B) 4x + 8 C) 5x + 6
D) 3x + 8 E) 5x + 8
Hallar el cociente de la división por el método de ruffini.
x3 +
1
8
x +
1
2
A) x2 - x +
1
2
B) x2 -
x
2
+
1
2
C) x2 -
x
2
+
1
4
D) x2 - x +
1
4
E) x2 -
x
4
+
1
2
Calcular el término independiente del cociente por el método de ruffini.
4x3 + 4x2- 29x + 21
2x - 3
A) -1 B) -14 C) -5
D) 1 E) 5
63
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https://9-9.be/3cR?c=6p
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314
Hallar el resto de:
5x4 - 7x + 6
x + 1
A) 14 B) 15 C) 16
D) 17 E) 18
Hallar el resto en la siguiente expresión algebraica.
2x4 - 3x2 - 2x + 1
x - 2
A) 18 B) 16 C) 17
D) 15 E) 14
Calcular el resto de la siguiente expresión algebraica.
x3 - 3x2 + x + 4
x - 3
A) 8 B) 7 C) 9
D) 6 E) 4
Aplica el teorema de descartes y calcula el residuo.
x4(x + 2)4 + (x + 1)2
x2 + 2x - 1
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
64
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314
Cocientes Notables
Llamaremos cocientes notables (C.N) a los cocientes exactos obtenidos en formadirecta,
es decir, sin necesidad de efectuar la operación de división.
Las divisiones exactas de la forma:
xn ± an
x± a
“n” es un número
natural (n ∈ N). “x” y “a”
son bases.
RECUERDA �
Propiedades
1) Para que
xp ± aq
xr ± as
de lugar a un cociente notable, se debe cumplir:
p
r
=
q
s
= n
“n” es un número
natural mayor o igual
que dos.(“n”≥ 2).
Además: “n”⇒ # de
términos.
IMPORTANTE �
2) Término de lugar K
Si
xn ± an
x± a
da lugar a un C.N. entonces el término de lugar K se calcula con:
tK=± xn - K · aK - 1
3) Si el divisor es de la forma (x - a), todos los términos son positivos.
Si el divisor es de la forma (x + a), los términos de lugar impar son positivos y los términos
de lugar par son negativos.
65
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314
1er. Caso: “n” Par o Impar
xn- an
x - a
= xn - 1+ xn - 2 · a + xn - 3 · a2+ ... + an - 1
Ejemplos:
�
x4- 81
x - 3
= x3+ x2 · 3 + x · 32+ 33
�
x3- 64
x - 4
= x2+ x · 4 + 42
Llamaremos cocientes notables (C.N) a los cocientes exactos obtenidos en formadirecta,
es decir, sin necesidad de efectuar la operación de división.
Las divisiones exactas de la forma:
xn ± an
x± a
“n” es un número
natural (n ∈ N). “x” y “a”
son bases.
RECUERDA �
2do. Caso: “n” Impar
xn+ an
x + a
= xn - 1- xn - 2 · a + xn - 3 · a2- ... + an - 1
Ejemplos:
�
x7+ 128
x + 2
= x6- x5 · 2 + x4 · 22- x3 · 23+ x2 · 24- x · 25+ 26
�
x3+ 125
x + 5
= x2- x · 5 + 52
66
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314
3er. Caso: “n” Par
xn- an
x + a
= xn - 1- xn - 2 · a + xn - 3 · a2-...+ an - 1
Ejemplos:
�
x4- 625
x + 5
= x3- x2 · 5 + x · 52- 53
�
x6- 729
x + 3
= x5- x4 · 3 + x3 · 32- x2 · 33+ x · 34- 35
Propiedades
1) Para que
xp ± aq
xr ± as
de lugar a un cociente notable, se debe cumplir:
p
r
=
q
s
= n
“n” es un número
natural mayor o igual
que dos.(“n”≥ 2).
Además: “n”⇒ # de
términos.
IMPORTANTE �
2) Término de lugar K
Si
xn ± an
x± a
da lugar a un C.N. entonces el término de lugar K se calcula con:
tK=± xn - K · aK - 1
3) Si el divisor es de la forma (x - a), todos los términos son positivos.
Si el divisor es de la forma (x + a), los términos de lugar impar son positivos y los términos
de lugar par son negativos.
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314
Aplicando lo aprendido1
Es considerado cociente notable, cuando el residuo de la división es igual a:
A) -1 B) 1 C) Cero
D) Mayor que 1 E) n.a
En las siguientes proposiciones, señalar (V) si es verdadero o (F), si es falso.
I. El residuo del cociente notable de su división es nula. ( )
II. Se caracteriza por ser completo y ordenado. ( )
III. El GA( t1) siempre es mayor que el GA( t2). ( )
A) VVV B) FVF C) VVF
D) FVV E) VFV
¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?
A) tk = ± xn + k - ak + 1 B) tk = ± xn - k · ak - 1 C) tk = ± xn · ak
D) tk = ± xn - k + ak + 1 E) tk = ± xn + k · ak - 1
Resolver la siguientes proposiciones
x12 - a18
x2 + a3
I. Posee 6 términos ( )
II. t4 = x
4a9 ( )
A) VF B) FV C) FF
D) VV E) N.A.
Determinar (m+n) si el t17 del cociente notable
xn - ym
x5 - y7
es x115y112
A) 85 B) 200 C) 280
D) 480 E) 620
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https://9-9.be/3cw?c=6p
https://9-9.be/3cx?c=6p
https://9-9.be/3cy?c=6p
https://9-9.be/3cF?c=6p
https://9-9.be/2yC?c=6p
314
Hallar el coeficiente de x24 en el cociente de:
x45 - 243
x3 -
3√
3
A) 3 B) 9 C) 15
D) 24 E) 45
Indique el equivalente de:
a5 - b
5
a - b
+
a5 + b
5
a + b
A) 2
(
a4 - a3b + b
4
)
B) 4
(
a2 + ab +b
3
)
C) 2
(
a3 + a3b + b
3
)
D) 2
(
a4 + a2b
2
+ b
4
)
E)
(
a2 + a3b + b
2
)
Calcular el número de términos del siguiente cociente notable:
x25 - 2n
x5 - 2
A) 2 términos B) 3 términos C) 4 términos
D) 5 términos E) 6 términos
Calcular el valor de “m” para el siguiente cociente notable.
x6m + 1 - y5m
x2m - 3 - ym
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
Hallar el grado absoluto del tercer término.
x12 - y6
x2 - y
A) 9 B) 6 C) 5
D) 7 E) 8
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https://9-9.be/2yE?c=6p
https://9-9.be/3cz?c=6p
https://9-9.be/3cA?c=6p
https://9-9.be/3cB?c=6p
314
En el siguiente cociente notable:
x22 - m33
x2 - m3
Determine la posición del término, donde GR(x) = GR(m)
A) 7 B) 6 C) 5
D) 4 E) 3
Convertir la expresión algebraica, en un cociente notable:
x2 - x · 5 + 52
A)
x3 + 53
x + 5
B)
x2 + 53
x + 4
C)
x3 + 52
x + 3
D)
x2 + 53
x + 5
E)
x3 + 54
x + 4
Hallar el término del lugar 7 en la siguiente expresión.
x9 + y9
x + y
A) x2y7 B) x4y6 C) x2y5
D) x3y6 E) x2y6
Calcular “R”.
R =
29 - 28 + 27 + ... - 1
29 + 28 + 27 + ... + 1
A) 1/5 B) 1/4 C) 1/2
D) 1/3 E) 1/6
70
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https://9-9.be/3cC?c=6p
https://9-9.be/3cD?c=6p
https://9-9.be/3cE?c=6p
https://9-9.be/3cG?c=6p
314
Factorización de Polinomios
Factorizar consiste en descomponer un polinomio comoproducto de otrosmás simples.
Cuando un polinomio no se puede poner como producto de otros más simples se dice
que es irreducible.
NÚMERO DE FACTORES PRIMOS Y NÚMERO DE
FACTORES DE UN POLINOMIO
1
Sea “P” un polinomio totalmente factorizado:
P ≡ Aα · Bβ · Cθ
1) Número de factores primos
# F.P. = 3 ¡cantidad de bases!
2) Número de factores
# Fact = (α + 1) · (β + 1) · (θ + 1)
Por lo general se
trabaja en el conjunto
de los números
racionales (Q), salvo se
indique lo contrario.
ADEMÁS+
MÉTODODEL FACTOR COMÚN2
Es el factor que está presente en cada término del polinomio.
ab + ac = a (b + c)
Ejemplos:
� x3y5 + x2y7 = x2y5(x + y)
factor común: x2y5 (monomio)
� (x2 - 2)(x + 1) + (x2 - 2)(x + 8) = (x2 - 2)[(x + 1) + (x + 8)]
factor común: (x2 - 2) (polinomio)
El factor común
puede ser un monomio
o un polinomio.
EXTRA �
71
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314
MÉTODO DE AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS3
Existen polinomios cuyos términos no contienen un mismo factor común en toda la
expresión. Para lograr su factorización debemos primero agrupar términos que tengan
el mismo factor común y así poder factorizar el polinomio por el método de factor
común.
Ejemplo:
� mx + ny + nx + my = (mx+ nx )(n y + my)
= x(m + n) + y(n + m)
= (m + n)(x + y)
MÉTODO DE LAS IDENTIDADES4
Es la aplicación de identidades notables para polinomios conocidos.
a2n ± 2an bn + b2n = (an ± bn)2
Ejemplos:
� x2 + 2xy2 + y4 = x2 + 2(x)(y2) + (y2)2
= (x + y2)2
� x2 + 6xy4 + 9y8 = x2 + 2(x)(3y4) + (3y4)2
= (x + 3y4)2
� 4x4 - 20x2y + 25y2 = (2x2)2 - 2(2x2)(5y) + (5y)2
= (2x2 - 5y)2
Identidad notable:
“Trinomio cuadrado
perfecto”
RECUERDA �
a2n - b2n = (an + bn)(an - bn)
Ejemplos:
� a2 - b8 = (a + b4)(a - b4)
� m4 - n6 = (m2 + n3)(m2 - n3)
� x20 - y14 = (x10 + y7)(x10 - y7)
Identidad notable:
“Diferencia de
cuadrados”
RECUERDA �
72
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a3n ± b3n = (an ± bn)(a2n ∓anbn + b2n)
Ejemplos:
� x3 + 8 = x3 + 23
= (x + 2)(x2 - 2x + 4)
� 27x3 + 64 = (3x)3 + 43
= (3x + 4)(9x2 - 12x + 16)
� 8x6 - y12 = (2x2)3 - (y4)3
= (2x2 - y4)(4x4 + 2x2y4 + y8)
Identidad notable:
“Suma o diferencia
de cubos”
RECUERDA
�
MÉTODO DEL ASPA SIMPLE5
Se utiliza para factorizar expresiones trinomias o aquellas que adopten esa forma.
Ax2m + Bxmyn + Cy2n
Ejemplo: Factorizar 6x2 - 17x -14
� 6x2 - 17x - 14
3x +2 → +4x
2x -7 → -21x
-17x
Respuesta: (3x +2)(2x -7)
73
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MÉTODO DEL ASPA DOBLE6
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma.
Ax2m + Bxmyn + Cy2n + Dxm + Eyn + F
Ejemplo: Factorizar 2x2 - 3xy - 2y2 + 5x + 5y - 3
� 2x2 - 3xy - 2y2 + 5x + 5y - 3
2x + y - 1
x - 2y + 3
Respuesta: (2x + y - 1)(x - 2y + 3)
verificación
MÉTODO DE ASPA DOBLE ESPECIAL7
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma.
Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E
Procedimiento:
1. Se descompone el término de mayor grado y el término independiente; se calcula la
suma del producto en aspa.
2. A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el término
central. La expresión agregada es la que sedescomponepara verificar los otros términos
del polinomio.
74
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314
Aplicando lo aprendido8
Señalar el número de factores de la siguiente expresión:
P(x) = (x - 3)2 (x - 2)(x - 1)(x - 5)
A) 24 B) 32 C) 21
D) 18 E) 16
Sean:
P(x) = (x + 1)3 (x + 2)2 (x + 3)
Q(x) = x (x + 1) (x - 2)5 (x - 7)9 (x - 1)
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. El número de factores primos de cada polinomio es el mismo. ( )
II. El número de factores de P(x) es 3. ( )
III. El número de factores de Q(x) es 240. ( )
A) FFV B) VFF C) VFV
D) FFF E) FVF
Señala el número de factores de la expresión:
R(x) = (x + 7)2 (x + 2)(x - 5)(x - 5)4(x + 7)
A) 12 B) 24 C) 48
D) 50 E) 64
Indique el número de factores primos:
F(x, y) = 5x9y3 + 15x6y7
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 7
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https://9-9.be/3cW?c=6p
https://9-9.be/3dU?c=6p
https://9-9.be/3cX?c=6p
314
Indicar uno de los factores de:
M(y) = (y2 + y + 7)c2 - (y2 + y + 7)(c - 3) + y2 + y + 7
A) (c + 2) B) (c - 1) C) (c2 - c - 2)
D) (c2 - c + 4) E) (c2 + c + 4)
Indicar uno de los factores de:
P(x, y) = (m2 + n)(x - 2y) + (n + m2)(2x + 5y)
A) (x + y) B) (3x - 1) C) (m + n)
D) (m2 - x) E) (x + 3y)
Indica uno de los factores de:
M(x, y) = a3 + a2b + ab2 + b3
A) (a - b) B) (a2 + b2) C) a2
D) b2 E) ab
Factorizar:
P(x, y) = a2x - ax2 - 2a2y + 2axy + x3 - 2x2y
A) (x - y)(a2 - ax + x2) B) (a2 - ax + x2) C) (x - 2y)
D) (x - 2y)(a2 - ax + x2) E) (x - y)(a2 + ax - x2)
Factorizar:
A(m, n) = mn4 - 5m2n3 + 4m3n2 - 20m4n
dar el número de factores primos:
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
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https://9-9.be/3cZ?c=6p
https://9-9.be/3d0?c=6p
https://9-9.be/3d1?c=6p
https://9-9.be/3d2?c=6p
314
Factorizar:
P(x) = 9x2 - 16
y dar como respuesta el menor factor primo:
A) 3x B) 3x - 4 C) x - 4
D) -1 E) 3x + 4
Si:
E = a16 - 2a8b2 + b4
Calcular
√
E
A) a4 + b2 B) a8 - b2 C) a4 + b4
D) a4 - b2 E) a8 + b4
Hallar uno de los factores de ”M”:
M = 27x9 - 8y6
A) 3x3 - 2y2 B) 3x3 + 2y C) 3x - 2y2
D) 3x3 + 2y2 E) 3x - 2y
Hallar uno de los factores de ”Q”:
Q = y4 + 2y2 + 1
A) y + 1 B) y2 - 1 C) y2 + 1
D) y - 1 E) y3 + 1
Factorizar usando el método de aspa simple:
A = 10x2 + 17xy + 3y2
A) (3x2 + 1)(2x2 - 3) B) (5x2 - 1)(3x2 + 3) C) (3x2 + 1)(2x2 + 3)
D) (5x2 + 1)(3x2 - 3) E) (5x2 + 1)(2x2 + 3)
77
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https://9-9.be/3d3?c=6p
https://9-9.be/3d4?c=6p
https://9-9.be/3d5?c=6p
https://9-9.be/3d6?c=6p
https://9-9.be/3d7?c=6p
314
Hallar uno de los factores de ”P(x)”:
P(x) = (x + 1)4 - 5(x + 1)2 + 4
A) x + 3 B) x + 5 C) x + 7
D) x + 10 E) x + 8
Factorizar:
3x2 – 5xy – 2y2 + 11x – 8y + 10
A) (x + y + 5) (3x – 2y + 2) B) (x - y + 2) (3x – y + 5)
C) (3x + y + 5) (x – 2y + 2) D) (3x - 2y - 2) (x + y - 5)
E) (3x + 4y + 5) (x – y + 2)
Factorizar e indicar la suma de factores.
5x2 – 6xy + y2 + 13x – 5y + 6
A) 6x - 2y + 5 B) 5x + y + 8 C) 6x + 2y - 3
D) 5x - 2y - 6 E) 10x + 5y + 2
Indicar un factor de:
6x2 – 13xy + 2y2 - 8x + 5y + 2
A) 6x + y + 2 B) 6x + y - 2 C) x + 2y - 1
D) x + 2y + 1 E) x – 2y - 1
Indicar un factor de:
x4 – 4X3 + 10X2 - 11x + 10
A) x2 + x + 5 B) x2 – x + 2 C) x2 – 3x - 5
D) x2 – 2x + 5 E) x2 – 2x - 2
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https://9-9.be/3d8?c=6p
https://9-9.be/3IM?c=6p
https://9-9.be/3IN?c=6p
https://9-9.be/3IO?c=6p
https://9-9.be/3IP?c=6p
314
Indicar un factor de:
x4 – 3x3 + 8x2 - 7x + 5
A) x2 + 2x + 5 B) x2 - 2x - 5 C) x2 – x + 5
D) x2 - x + 1 E) x2 – x - 2
Indicar un factor de:
x4 – 4x3 + x2 - 8x - 35
A) x2 – 3x - 7 B) x2 + x + 7 C) x2 - 3x - 5
D) x2 – x + 5 E) x2 – x - 7
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https://9-9.be/3IQ?c=6p
https://9-9.be/3IR?c=6p
314
M.C.D y M.C.M
Máximo Común Divisor deMonomios
� Se halla el M.C.D. de los coeficientes:
a. Se descomponen los números en sus factores primos
b. Se multiplican los factores primos comunes y con el menor exponente
c. Para representar el M.C.D. “k”, de los números a y b, se utiliza la simbología (a, b) = k
� Luego se escriben los factores comunes con elmenor exponente.
Ejemplo:
� Sean los monomios: 4x2 y 6xy2
4x2 = 2 · 2 · x · x
6xy2 = 2 · 3 · x · y · y
Obserba que ambos monomios tienen 2 y x como factor común.
Por lo tanto M.C.D. (4x2, 6xy2) = 2x.
Máximo Común Divisor de Polinomios
� Se factoriza cada polinomio
� Se identifican los factores comunes
� El M.C.D. será el producto de los factores comunes
Ejemplos:
� Sean los polinomios: x + 2 y x2 + 5x + 6
x + 2 = (x + 2)
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Observa que ambos polinomios tienen como factor común a (x + 2)
Por lo tanto el M.C.D. es (x + 2)
Cuando no exista un
factor común el M.C.D.
será 1
IMPORTANTE �
80
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314
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)1
El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas, es la expresión de
menor grado posible, que contiene un número entero de veces como factor de dichas
expresiones. Para determinar elM.C.M. se factoriza las expresiones y se formael producto
de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Un polinomio P(x) es el mínimo (M.C.M) de un conjunto de polinomios dados, si P(x) es el
polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto. Para
encontrar el M.C.M debemos, en primer lugar, factorizarcada uno de los polinomios
en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos,
eligiendo en cada caso el de mayor exponente.
M.C.M. - Regla Práctica
� Se considera los factores primos comunes elevados a su mayor expo-
nente y los factores primos no comunes en sus respectivos exponentes.
Ejemplo:
� Sean los monomios: 4x2 y 6xy2
4x2 = 22 · x2
6xy2 = 2 · 3 · x · y2
El M.C.M. (4x2, 6xy2) = 22 · 3 · x2 · y2
� Sean los polinomios: x + 2 y x2 + 5x + 6
x + 2 = (x + 2)
x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
El M.C.D. es (x + 2) (x + 3)
81
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314
M.C.M. - Regla Práctica
� Se considera los factores primos comunes elevados a su mayor expo-
nente y los factores primos no comunes en sus respectivos exponentes.
Ejemplo:
� Sean los monomios: 4x2 y 6xy2
4x2 = 22 · x2
6xy2 = 2 · 3 · x · y2
El M.C.M. (4x2, 6xy2) = 22 · 3 · x2 · y2
� Sean los polinomios: x + 2 y x2 + 5x + 6
x + 2 = (x + 2)
x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
El M.C.D. es (x + 2) (x + 3)
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)2
El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas, es la expresión de
menor grado posible, que contiene un número entero de veces como factor de dichas
expresiones. Para determinar elM.C.M. se factoriza las expresiones y se formael producto
de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Un polinomio P(x) es el mínimo (M.C.M) de un conjunto de polinomios dados, si P(x) es el
polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto. Para
encontrar el M.C.M debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios
en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos,
eligiendo en cada caso el de mayor exponente.
Teorema
Sean dos monomios ó polinomios A y B, se cumple que:
A · B = MCD(A; B) ·MCM(A; B)
82
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314
Aplicando lo aprendido3
Hallar el M.C.D. de:
A = x5 y2 z6
B = x2 y3 z2
C = x6 y z5
A) xy B) x y2 z2 C) x2 y2 z3
D) x2 y z2 E) x6 y3 z6
Hallar el M.C.D. de los monomios:
P(x; y; z) = 6x y4 z
Q(x; y; z) = 3x2 y2
R(x; y; z) = 15x3 y3 z5
A) xyz B) 3xy2 C) 5x2y
D) xyz4 E) 30x3y4z5
Si el M.C.D. de:
A = 6xm+1 y n-2
B = 4xm+3 y n-4
Es: px4 y2
Calcular: m · n · p
A) 12 B) 18 C) 24
D) 36 E) 48
Hallar el M.C.D.
P = xy + y
Q = x2 + 2x + 1
A) x + 1 B) x2 C) (x + 1)2
D) x2 - 1 E) 1
83
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https://9-9.be/3e8?c=6p
https://9-9.be/3e9?c=6p
https://9-9.be/3ea?c=6p
https://9-9.be/3eb?c=6p
314
Si:
A = x2 + 3x - 10
B = x2 - 25
C = x2 - 10x + 25
Calcular el M.C.D.
A) x - 5 B) x + 5 C) x2 + 10
D) x2 - 10 E) x2 + 1
Si: M(x) es el M.C.D. de los polinomios:
P(x) = 12x2 (x + 1)3 (x - 1)3
Q(x) = 6x (x + 1)2 (x + 2)
R(x) = 8x2 (x + 1)3 (x + 3)2
Hallar el valor de ”M(5)”.
A) 480 B) 240 C) 360
D) 300 E) 120
Hallar el M.C.M. de:
P = 8x5 y3 z4
Q = 6x4 y2 z5
R = 5x6 y3 z6
A) x4y2z4 B) 5xy2z4 C) 240x6y3z6
D) 12x3yz3 E) 120x6y3z6
Siendo el M.C.M. de:
M(x) = 2x b+2 y c-1
N(x) = 4x b+6 y c-2
Igual a: ax7 y2
Calcular: a · b · c
A) 24 B) 12 C) 36
D) 18 E) 48
84
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https://9-9.be/3ed?c=6p
https://9-9.be/3ee?c=6p
https://9-9.be/3ef?c=6p
314
Si el M.C.M. de:
A = 6xm-5 y n+3
B = 4xm-1 y n+1
Es: px4 y4
Calcular: m + n + p
A) 18 B) 19 C) 20
D) 21 E) 22
Hallar el M.C.M. en:
P = x2 - y2
Q = x2 - 2xy + y2
A) (x + y)(x - y)2 B) (x + y)2 C) x2 - y2
D) (x + y)(x - y) E) (x - y)2
Hallar el M.C.M. de los polinomios:
A(x) = x4 + x2 + 1
B(x) = x6 - 1
E indicar el número de factores.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Hallar el M.C.M. de los polinomios:
P = x2 (x + 1)2 (x + 2)3
Q = (x + 1)3 (x + 2)
R = x3 (x + 1) (x - 5)2 (x + 4)
E indicar el número de factores.
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2
85
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314
El M.C.D. y M.C.M. de dos polinomios son respectivamente:
MCD(A; B) = (x + 2)(x + 1)
MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Si uno de los polinomios es:
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Hallar el otro polinomio.
A) (x + 2)2(x + 5) B) (x + 2)(x + 5) C) (x + 1)(x + 3)
D) (x + 2)(x + 3)(x + 5) E) (x + 2)(x + 1)(x + 5)
El cociente de dos polinomios es 2x y el resto es cero. Además el producto del M.C.M. con
el M.C.D. de dichos polinomios es 2x3(x - y)2. Indica uno de los polinomios.
A) x2 - xy B) xy + y2 C) (x + y)2
D) 2x + 2y E) x + xy
El producto de los valores de dos polinomios es (x2 - 1)2, si el cociente entre su M.C.M. y
su M.C.D. es (x - 1)2. Calcula el M.C.D.
A) x2 - 1 B) x2 + 1 C) (x - 1)2
D) x + 1 E) x - 1
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https://9-9.be/3el?c=6p
https://9-9.be/3em?c=6p
314
Fracciones Algebraicas
La fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas racionales
enteras.
Ejemplos:
5x3 + x - 3
x2 - 1
;
x4 + 3x2 - 7x + 1
x2 + x + 3
F =
A
B
; A y B son polinomios de grado definido tal que B es de grado no nulo.
(A = numerador y B = denominador)
SIGNO DE UNA FRACCIÓN1
F =
+A
+B
=
-A
-B
= +
A
B
=
A
B
1)
F =
-A
+B
=
-A
B
= -
A
B
2)
No olvidar la ley de
signos.
+ · + = +
- · - = +
+ · - = -
- · + = -
IMPORTANTE �
CLASES DE FRACCIONES2
Fracciones Propias
Una fracción se llama propia si su numerador es menor que su denominador.
Ejemplos:
�
2
4
;
5
10
;
x + 1
x2 + 1
87
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314
Fracciones Impropias
Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador.
Ejemplos:
�
15
5
;
18
3
;
x2 + 1
x + 1
Fracciones Irreductibles
Son aquellas fracciones donde el numerador y denominador no comparten factores en
común.
Ejemplos:
�
3
5
;
7
2
;
11x
2y
Fracción de valor Constante
PROPIEDAD: Si P(x; y) =
ax + bxy + cy
a1x + b1xy + c1y
; es de valor constante se verifica lo siguiente:
Valor constante =
a
a1
=
b
b1
=
c
c1
Ejemplo:
� P(x) =
3x + 6
x + 2
⇒
3
1
=
6
2
= 3 (Constante)
FraccionesMixtas
Es la combinación de un número entero y una fracción.
Ejemplos:
� 2
1
3
; 4
5
3
; x
1
x + 1
88
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314
Fracción Compleja
Son aquellas donde el numerador o el denominador, o ambos, contienen fracciones.
Ejemplos:
�
x - 3
1
x2+ 1
;
1 +
2
x
x
x - 5
;
7
1 +
5x
x - 1
CARACTERÍSTICAS NOTABLES DE ALGUNAS
FRACCIONES
3
De acuerdo a sus denominadores las fracciones pueden ser:
FRACCIONES HOMOGÉNEAS ⇒ 7x - 3
x5 - 2
∧ x
2
x5 - 2
Tienen el mismo denominador.
FRACCIONES HETEROGÉNEAS ⇒ x + 13
x2 - 1
∧ x
2- 9
x + 2
Tienen diferente denominador.
FRACCIONES EQUIVALENTES ⇒ x
2- 1
x2 - 2x + 3
<>
x - 1
x - 2
Tienen el mismo resultado.
� Propiedad:
A
B
<>
C
D
⇒ A · D = B · C
OPERACIONES CON FRACCIONES4
89
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314
Adición y/o Sustracción
� Para fracciones homogéneas:
m
x
+
n
x
=
m + n
x
;
m
x
-
n
x
=
m - n
x
� Para fracciones heterogéneas:
m
x
+
n
y
=
my + nx
xy
;
m
x
-
n
y
=
my - nx
xy
;
m
x
-
n
y
+
p
z
=
myz + nxz + pxy
xyz
Multiplicación
� Para fracciones homogéneas:
m
x
· n
x
=
m · n
x · x
=
m · n
x2
� Para fracciones heterogéneas:
m
x
· n
y
=
m · n
x · y
División
m
x
÷ n
y
<>
m
x
n
y
=
m · y
n · x
⇒
Producto de extremos
sobre producto de
medios
90
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314
Aplicando lo aprendido5
Indica verdadero (V) o falso (F).
I.
x - 8
x2+4x+3
es fracción algebraica. ( )
II.
3
x3 - 5
no es fracción algebraica. ( )
III.
x2 - 5
3
es fracción algebraica. ( )
A) VFV B) VVV C) VVF
D) VFF E) FFF
Simplificar:
P = -
1 - m2
m2 - 1
A) m2 B) m + 1 C) m
D) - 1 E) 1
Simplificar:
M(x) = -
x4 - 7x + 2
7x - 2 - x4
A) - 1 B) 1 C) - x
D) x E) 7x
Efectuar:
A =
1
x + 1
+
1
x + 2
B =
1
x - 1
-
1
x + 2
Indicar la diferencia de los numeradores de A y B.
A) x + 1 B) x C) 1
D) 2 E) 3
91
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https://9-9.be/3hh?c=6p