teoria y problemas fisica (5)

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CAPÍTULO 2 
 
CINEMÁTICA 
DE LA 
PARTÍCULA 
2.1.	VECTORES	Y	ESCALARES	
 
Puesto que la cinemática requiere de magnitudes vectoriales tales 
como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, haremos una 
introducción a los vectores para ver como se expresan estas 
magnitudes que deben ser consideradas como tal. 
 
2.1.1.	 SISTEMAS	 DE	 COORDENADAS	
CARTESIANAS	O	RECTANGULARES 
 
Los sistemas coordenados sirven para posicionar a un cuerpo o para 
determinar donde está él. Un sistema de coordenadas cartesianas 
tiene tres ejes perpendiculares entre sí, (X, Y, Z) que se interceptan 
en el punto que cruza por los tres ejes (origen O); este esquema es 
una representación en el espacio tridimensional. En el plano 
cartesiano, el sistema se restringe a un par de ejes perpendiculares 
entre sí, denominados “Eje X o de abcisas” y “Eje Y o de 
ordenadas”. El origen representa el punto desde donde se miden 
magnitudes, así, la distancia de un punto A que será medida desde el 
origen al punto. 
 
Ejemplos de utilización de los sistemas de ejes rectangulares son los 
siguientes: 
 
2.1.2.	CONCEPTOS	NUMÉRICOS	
(ESCALARES	Y	VECTORES)	
 
Un concepto numérico (expresado) por un solo número se 
llama“escalar”, por ejemplo, la temperatura promedio en La Paz es 
de 12oC, esto significa que la temperatura es un escalar ya que 
puede ser descrita por medio de un simple número. Si la masa de 
una pequeña esfera es de 77[g], la masa es un escalar puesto que 
puede ser descrita por un número ¿verdad? 
Sin embargo, en la naturaleza existen también conceptos numéricos 
que requieren más de un número para su descripción. A un 
concepto numérico expresado mediante dos o más números se 
le denomina “vector”. Entonces un vector es un grupo ordenado 
de números lo que, como demostraremos enseguida, es equivalente 
a “un segmento de recta que tiene magnitud, dirección, sentido y 
que parte de un origen”. Por ejemplo, todo estudiante de la Carrera 
de Química Industrial sabe que una disolución está compuesta por un 
Solvente (el compuesto que disuelve)y un soluto (el que se disuelve 
 
 
en el solvente), si se disuelven en 10[g] de agua, 2[g] de cloruro de 
sodio (sal común), el vector disolución será: 
𝑑 = (𝑆, 𝑠) = (10,2) 
Donde el primer número (10) representa al Solvente, en tanto que, el 
segundo número (2) representa al soluto. 
Los Constructores Civiles saben que, para preparar una mezcla de 
hormigón, necesitan juntar arena, grava y cemento; de acuerdo a lo 
que se requiere los mezclarán, si un hormigón tiene la característica 
3:1:2, significa que tiene tres partes de arena, una de grava y dos de 
cemento. Se trata de un vector representado por: 
𝐻-.....⃑ = (𝐴, 𝐺, 𝐶) = (3,1,2) 
Los estudiantes de electrónica, electricidad y electromecánica saben 
queel circuito R-C-L de corriente alterna (fig. 2.6) necesita tres 
números para ser descrito, es decir, el valor de la resistencia (5W), el 
de la inductancia (2 H) y el del la capacitor (4 F), en el orden descrito. 
 
El vector circuito de la Fig. 2.3 será expresado entonces en la 
siguiente forma: 
𝐶 = (5,2,4) 
Los ejemplos muestran que los vectores pueden ser utilizados en el 
álgebra de pares ordenados y triadas.Un sistema de coordenadas es 
una colección de n-adas, que muestran un arreglo matemático. En un 
vector, el orden de los números es de suma importancia, no pudiendo 
ser intercambiados, por ejemplo, el vector forma de miss Universo 
será: 
�⃗� = (90,60,90) 
No es necesario decir de que se trata, todos lo sabemos. Pero, si se 
intercambiaran los números en la forma = (90,60,90), aunque los 
números sean los mismos, este vector no expresa ya la idea original. 
2.1.3.	COMPONENTES	DE	UN	VECTOR	
 
Son los números que forman parte de un vector, así el vector 
disolución 𝑑 = (10,2) tiene dos componentes y puede ser 
representado en el plano (x, y). El vector circuito 𝐶 = (5,2,2) tiene 
tres componentes y deberá ser representado en el espacio (x, y, z). 
El vector disolución es mostrado en la fig. 2.4.(a) y el vector circuito 
en la fig. 2.4.(b). 
 
Como puede verse, decir que un vector es un grupo ordenado de 
números es lo mismo que decir: Un vector es un segmento de recta 
con magnitud, dirección y sentido, y que, además tiene un punto 
de aplicación, como se esquematiza en la figura 2.5. 
 
2.1.4.	Magnitud	de	un	vector.	
 
Se denomina "magnitud de un vector" al tamaño o longitud que tiene 
dicho vector. La magnitud de un vector�⃗� puede ser representada de las 
siguientes formas: 
9𝐴9 = 𝐴 
 
 
Para fines prácticos, usamos la notación para representar a la 
magnitud del vector𝐴. 
 
2.1.5.	DIRECCIÓN	DE	UN	VECTOR.	
 
La “dirección de un vector” puede representarse por el ángulo que 
forma dicho vector con el eje de abcisas. Cuando se trata de un vector 
en una sola dimensión (horizontal o vertical)éste no formará ningún 
ángulo y podría ser expresado por su magnitud, sin embargo, en este 
libro será expresado como un vector. 
 
2.1.6.	SENTIDO	DE	UN	VECTOR	
 
El sentido de un vector es la orientación que éste tiene una vez 
definida su dirección, geométricamente, se representa por una flecha 
dirigida en un sentido al que consideramos positivo, si esa flecha gira 
en 180º, el sentido del vector será negativo, como puede verse en la 
figura 2.6. 
 
2.1.7.	PUNTO	DE	APLICACIÓN	DE	UN	
VECTOR	
 
Es el punto donde “empieza” el vector o donde se ubica la “cola” del 
vector. En general se encuentra ubicado en el origen de un sistema 
de coordenadas, pero también puede ubicarse en un punto diferente. 
 
En física, hay vectores de gran importancia. El vector desplazamiento 
es uno de ellos, pero ¿de qué se trata?, bien, diremos que el vector 
desplazamiento es el cambio de posición que experimenta un 
cuerpo. Por ejemplo, si un carro recorre una distancia D se trata de 
un desplazamiento y necesita dos números para su descripción. 
2.4.	SUMA	DE	VECTORES	
 
La suma de vectores se obtiene sumando sus componentes una a 
una, obteniéndose de este proceso un “vector resultante de la 
suma”.En la suma de vectores podemos ver claramente la diferencia 
entre un vector y un escalar. Por ejemplo, si tardas 9[s] en llegar a la 
puerta de tu casa y desde allá, 800[s] en llegar a la Facultad, el 
tiempo total de tu recorrido es 809[s], pues el tiempo es un escalar 
(sólo tiene magnitud, no dirección). 
Si se quieren sumar vectores debe tomarse en cuenta la dirección 
de los mismos, para hallar un vector resultante que tendrá 
magnitud, dirección y sentido. Lo que significa que la suma 
(incluyendo la resta) de vectores tienen su “propia álgebra” que es 
muy diferente a la simple aritmética de la suma de escalares. 
Si se tienen los vectores𝐴 = (2,3) y 𝐵.⃗ =(4,2), la suma será: 
𝑅.⃗ = (2 + 4; 3 + 2) = (6,5) 
 
Que representa un vector. 
 
A