teoria y problemas fisica (7)

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𝑠𝑒𝑛𝜑 =
30𝑠𝑒𝑛45
55.4 = 0.38 
𝜑 = 22.5\ 
 
2.4.5.	MÉTODO	DE	LAS	COMPONENTES	
 
Consiste en dibujar la cola de todos los vectores en el origen de un 
sistema de ejes y descomponerlos a lo largo de ellos; las 
componentes en x e yse suman independientemente, de tal forma 
que quede una componente en x (Rx) y otra en y (Ry), la resultante es 
la suma vectorial de las resultantes hallada usando el teorema de 
Pitágoras, con lo que se encuentra la magnitud de la resultante R; 
como las componentes son perpendiculares entre sí, la dirección de 
R se encontrará utilizando la tangente del ángulo que forma ésta con 
el eje x.Las componentes de un vector pueden ser observadas en las 
siguientes figuras. 
 Fig. 2.13.a. Fig. 2.13.b Fig. 2.13.c 
En la figura 2.13.a se puede ver el vector desplazamiento 𝐷U....⃗ de un 
cuerpo, el mismo que puede ser “descompuesto” a lo largo de los 
ejes coordenados; en el eje x se encontrará D1x, ( D1cosa), en tanto 
que, en el eje y estará D1y = D1sena. En la figura 2.13.b se observa 
el vector velocidad �⃗� que forma un ángulo b con la horizontal, sus 
componentes a lo largo de los ejes coordenados serán vcosb y -
vsenb, esto porque la componente en y está dirigida en sentido 
negativo. La figura 2.13.c muestra al vector desplazamiento 𝐷C....⃗ que 
forma un ángulo g con la horizontal, pero su inicio está desplazado 
una cierta distancia del origen, sus componentes serán (D+D2cosg) y 
D2seng. Las componentes de la suma de dos vectores, se presentan 
a continuación: 
 
 Fig. 2.14 
Reglas Para Resolver Problemas 
En física existen muchos problemas en los que se utilizan vectores. 
Para facilitar el trabajo de resolverlos se da el siguiente resumen:| 
1.- La magnitud A y la dirección, θ, deben ser especificadas para 
encontrar el vector 𝐴....⃗ 
2.-Ax = Acosθ y Ay = Asenθ 
3.-Si se tienen A y θ es posible calcular Ax y Ay. 
4.-Si se conocen θ y Ax o Ay, pueden ser calculadas A y la otra 
componente. 
5.-Conociendo Ax y Ay, se pueden calcular A y θ. 
Ejemplo 2.4. Una canica llega al punto necesario para golpear a otra, 
en tres desplazamientos. El primer golpe mueve la canica 12.00[cm] 
al norte, el segundo 6.00[cm] al SE y el tercero 3.00[cm] al SO. ¿Cuál 
hubiera sido el desplazamiento de la canica para que choque con la 
otra al primer golpe? 
Estrategia de Resolución. La figura, muestra el recorrido de la canica. 
Para que choque con la otra en un solo golpe, es necesario que recorra 
la distancia dada por el vector 𝑅.⃗ . Para ello se determinan las 
componentes de cada uno de los vectores a lo largo de los dos ejes 
para luego calcular las componentes de la resultante en X e Y, 
posteriormente se hallará la magnitud del vector𝑅.⃗ mediante el teorema 
de Pitágoras. Sin embargo, como los vectores se definen por su 
magnitud y su dirección, se deberá encontrar la dirección del vector. 
 
 
1. Determinar las componentes de los tres vectores: 
𝐴T = 0.00 
𝐴S = 12.00[𝑐𝑚] 
𝐵T = 6.00𝑐𝑜𝑠45 = 4.24[𝑐𝑚] 
𝐵S = −6.00𝑐𝑜𝑠45 = −4.24[𝑐𝑚] 
𝐶T = −3[𝑐𝑚]𝑠𝑒𝑛45 = −2.12[𝑐𝑚] 
𝐶S = −3[𝑐𝑚]𝑠𝑒𝑛45 = −2.12[𝑐𝑚] 
2. Calcular las componentes de la resultante: 
𝑅T = 𝐴T + 𝐵T + 𝐶T = 0.00 + 4.24 − 2.12 = 2.12[𝑐𝑚] 
𝑅S = 𝐴S + 𝐵S + 𝐶S = 12.00 − 4.24 − 2.12 = 5.64[𝑐𝑚] 
3. Hallar la magnitud de R. 
𝑅 = ^𝑅TC + 𝑅TC = 6.03[𝑐𝑚] 
4. Determinar la dirección del vector: 
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑅T
𝑅S
=
5.64
2.12 = 2.6 
Ejemplo 2.5. ¡Trata de resolver! .Una cooperativa minera intenta 
alcanzar una veta de minerales complejos de plata. Para lograr su 
objetivo, un miembro de ésta confeccionó el esquema de ubicación de 
la veta, tal como se muestra en la figura 2.33. La intención de los 
cooperativistas es construir un túnel que recorra desde el lugar elegido 
como bocamina del grupo ubicada en el punto 0, hasta la veta ubicada 
en el punto B. Si la empresa ha de tener éxito ¿Que longitud y 
orientación debe tener el túnel? (Considerar que las distancias son A = 
24[m], B = 9[m] y C = 6[m]). 
 
Estrategia de Resolución. Se determinarán las componentes de cada 
uno de los vectores, así como las componentes de la resultante de la 
suma a lo largo de los ejes X e Y, para luego “componer” la magnitud 
del vector a partir de sus componentes utilizando el teorema de 
Pitágoras, luego se hallará el ángulo que el vector forma con el eje x. 
 
 Determinar las componentes de todos los vectores: 
𝐴S = (24.0[𝑚])𝑠𝑒𝑛21.5 = 8.8[𝑚] 
		𝐴T = (−24.0[𝑚])𝑐𝑜𝑠21.5 = −22.3[𝑚] 
𝐵T =0.0 
		𝐵S =9.0[𝑚] 
𝐶T = (6.0[𝑚])𝑐𝑜𝑠37 = 4.8[𝑚] 
									𝐶T = (6.0[𝑚])𝑠𝑒𝑛37 = 3.6[𝑚] 
 Calcular las componentes de la resultante: 
𝑅T = 𝐴T + 𝐵T + 𝐶T = −22.3 + 0.0 + 3.8 = −17.7[𝑚] 
𝑅S = 𝐴S + 𝐵S + 𝐶S = 8.8 + 9.0 + 3.6 = 21.4[𝑚] 
 Hallar la magnitud de la resultante por Pitágoras: 
𝑅 = ^𝑅TC + 𝑅SC = `(−7.5)C + (21.4)C = 27.6[𝑚] 
 Calcular la dirección a partir de la figura: 
𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑅S
𝑅T
=
21.4
17.5 = 1.223 
 
 
Ejemplo 2.6. ¡Trata de resolver! Un avión vuela desde su 
acampamento base hasta la ciudad A , ubicada a una distancia de 
520[km] en una dirección 75º al norte del este. Otro avión vuela desde 
la misma base hasta la ciudad B ubicada a 490[km] y 55º al oeste del 
norte. Demostrar, utilizando el método de las componentes, la distancia 
y la dirección desde la ciudad A hasta la ciudad B. 
Estrategia de resolución. Si bien no se tiene la gráfica del problema, 
la misma puede ser construida puesto que se tienen los datos para ello. 
Después de construida, te darás cuenta de que se trata de una resta de 
los vectores 𝐴𝑦𝐵.⃗ , es decir: 𝐷..⃗ = 𝐴 − 𝐵.⃗ . Tomando en cuenta esto, se 
usará el método de las componentes para encontrar lo requerido. 
 
 Determinar las componentes de los vectores𝐴𝑦𝐵.⃗ : 
𝐴T = (520)𝑐𝑜𝑠75 = 135[𝑘𝑚] 
𝐴S = (520)𝑠𝑒𝑛75 = 502[𝑘𝑚] 
						𝐵T = (−490)𝑠𝑒𝑛55 = −401[𝑘𝑚] 
𝐵S = (490)𝑐𝑜𝑠45 = 281[𝑘𝑚] 
 Calcular las componentes de la resultante: 
 
𝐷T = 𝐴T − 𝐵T = 135 + 401 = 536[𝑘𝑚] 
𝐷S = 𝐴S − 𝐵S = 502 − 281 = 221[𝑘𝑚] 
 Hallar la magnitud de la resultante por Pitágoras: 
𝐷 = ^𝐷TC + 𝐷SC = `536C + 221C = 580[𝑘𝑚] 
 Calcular la dirección a partir de la figura: 
tanα =
Dg
Dh
=
221
536 = 0.41 
α = 22.43\ 
Ejemplo 2.7. ¡Tratar de resolver! Dos turistas entran en un ex socavón 
de la mina de Huanuni. Parten de la bocamina y recorren juntos las 
siguientes distancias: 100[m] hacía el norte, 300[m] hacía el este, luego, 
el primero de ellos va a ver una veta que se encuentra a 125[m] 
formando un ángulo de 30o al norte del este, mientras que el segundo 
quiere ir a ver al “tío Ilaco”, para lo cual recorre una distancia 𝐷..⃗ , 
perpendicular a𝐶. Si la distancia entre los puntos V y T es E = 200[m] 
hacía el sur. ¿Cuánto caminó el segundo turista para llegar a su 
objetivo y en que dirección respecto al punto donde se separó de su 
compañero?. ¿Qué distancia separa la bocamina del punto T y cuál es 
la dirección de este último vector? 
 
Estrategia de Resolución. Hallar el desplazamiento utilizando el 
método analítico de la suma, teniendo en cuenta que 𝐸.⃗ = 𝐷..⃗ − 𝐶. 
Para determinar la distancia entre el punto 0 y el punto T se usa el 
método de las componentes, considerando el polígono formado por A, 
B, D y F; sumar todas las componentes en x para hallar Fx y todas las 
componentes en y para determinar FY; Usar el teorema de Pitágoras 
para hallar la magnitud de la resultante y, finalmente, calcular la 
dirección. 
 Calcular D: 
𝐷C = 𝐶C + 𝐸C − 2𝐶𝐸𝑐𝑜𝑠60 
𝐷C = (125)C + (200)C − 2(125)(200)𝑐𝑜𝑠60 
𝐷 = 175[𝑚]