teoria y problemas fisica (76)

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de donde: 
𝐼 =
2
5𝑀𝑅
0 
Las unidades del momento de inercia pueden expresarse en [kg-
m2] 
Ejemplo 6.13. Determinar el momento de inercia de un triángulo 
respecto a un eje que pasa por su base. 
Estrategia de resolución. Se tomará un elemento paralelo al eje 
que pasa por la base, con altura será dy y base b’. Utilizar la 
ecuación para calcular el momento de inercia, teniendo en cuenta 
que, en este caso, se trata de un área. 
 
1. Aplicar la ecuación para calcular I: 
𝐼 = �𝑦0𝑑𝐴 
2. Determinar dA: 
𝑑𝐴 = 𝑏´𝑑𝑦 
 
3. Comparar triángulos semejantes: 
𝑏´
ℎ − 𝑦 =
𝑏
ℎ 
𝑏´ =
𝑏ℎ − 𝑏𝑦
ℎ 
4. Multiplicando (2) por y2: 
𝑦0𝑑𝐴 = 𝑏𝑦0𝑑𝑦 −
𝑏
ℎ 𝑦
�𝑑𝑦 
5. Integrando: 
𝐼 = 𝑏� 𝑦0𝑑𝑦
�
�
−
𝑏
ℎ� 𝑦
�𝑑𝑦
�
�
 
𝐼 =
𝑏ℎ�
12 
6.5.4	RADIO	DE	GIRO(K)	
 
Se entiende por radio de giro a la distancia que separa al centro de 
masa de un cuerpo rígido irregular, de un eje principal. Su utilización 
es relevante cuando se desea encontrar el momento de inercia de un 
cuerpo irregular. Esto puede ser apreciado en la figura 6.12. 
 
Fig.6.12 
El radio de giro K de una masa M respecto a un eje, para el cual el 
momento de inercia es I, será: 
 
 𝐾 = ` �
�
 (6.13) 
El momento de inercia en función del radio de giro, por tanto será: 
𝐼 = 𝑀𝐾0 
En la Tabla 1 del Apéndice I se muestran los momentos de inercia de 
algunos cuerpos geométricos. 
 
6.5.5	TEOREMA	DE	STEINER	(EJES	
PARALELOS)	
 
El teorema de Steiner establece que, si se conoce el momento de 
inercia de un cuerpo respecto a un eje que pasa por el centro de 
masa, puede hallarse el momento de inercia respecto a un eje 
paralelo al primero. Observemos la figura 6.13, si Io es el momento de 
inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa del cuerpo de 
masa M e I el correspondiente a cualquier eje paralelo situado a una 
distancia d del anterior: 
 
𝐼 = 𝐼Y +𝑀𝑑0																												(6.14) 
 
 
Fig.6.13 
 
Este cambio solo puede ser realizado si un eje pasa por el centro de 
masa y es paralelo al eje principal. 
La ecuación 6.14 está demostrada al final de la siguiente sección. 
Ejemplo 6.14. Determinar el momento de inercia de un cilindro con 
respecto a un eje que pasa por uno de sus extremos. 
 
1. Determinar I,según el teorema de Steiner: 
𝐼 = 𝐼Y +𝑚𝑑0 
2. Reemplazar Io de la tabla: 
 
𝐼 =
1
2𝑀𝑅
0 +𝑀𝑅0 
𝐼 =
3
2𝑀𝑅
0 
¿De qué depende el momento de inercia? 
 
1. De la masa del cuerpo rígido. 
2. Del eje de rotación. 
3. De la forma del cuerpo rígido. 
6.6.	ENERGÍA	CINÉTICA	DE	
ROTACIÓN	(EKR)	
 
Se define a la energía cinética de rotación, como el trabajo realizado 
sobre un cuerpo rígido, en virtud de su velocidad angular. ¿Te 
acuerdas de la definición de la energía cinética de traslación?, el 
 
concepto es el mismo, sólo que ahora tratamos con cuerpos rígidos, 
ya no con partículas. 
Como un cuerpo rígido tiene un número infinito de partículas, la 
energía cinética de ese cuerpo rígido, cuando se encuentra en 
movimiento de rotación es la suma de todas y cada una de las 
energías cinéticas de las partículas que lo componen. La energía 
cinética de la partícula i de masa mi y velocidad vi será: 
𝐸� =
1
2𝑚�𝑣�
0 
Si sumamos las energías cinéticas de todas las partículas tendremos: 
𝐸� =�
1
2𝑚�𝑣�
0
0
���
 
 
Tomando en cuenta que𝑣� = 𝑟�𝜔 y reemplazando este término en 
la ecuación 6.11, se tiene: 
 
𝐸� =�
1
2
�
���
𝑚�(𝑟�𝜔)0 =�
1
2
�
���
(𝑚�𝑟�0)𝜔0 
 
pero ∑ (𝑚�𝑟�0)���� es el momento de inercia I respecto al eje de 
rotación, entonces, la energía cinética de rotación será: 
 
𝐸�� =
�
0
𝐼𝜔0																																			(6.15) 
 
La energía cinética total de un cuerpo rígido que se desplaza 
rodando es la suma de la energía cinética de traslación más la 
energía cinética de rotación, es decir: 
𝐸�(1�1� ) = 𝐸�(1��¡ �/�ó�) + 𝐸�(�Y1�/�ó�) 
 
									𝐸�(1�1� ) =
�
0
𝑀𝑣/^0 +
�
0
𝐼�𝜔0																		(6.16) 
 
Fig. 6.14 
6.7.	MOVIMIENTO	DE	ROTACION	DE	
UN	CUERPO	RIGIDO	
 
En la figura 6.15, el cuerpo rígido tendrá movimiento de rotación por 
efecto de la fuerza �⃗�. Durante un tiempo infinitesimal dt, la partícula 
que se encuentra en el punto P recorre hasta P’ el arco ds, el mismo 
que, como ya se sabe, puede ser relacionado con el ángulo dq. 
 
Fig. 6.15 
 
 Fig. 6.16.a Fig. 6.16.b Fig. 6.16.c Fig. 6.16.d