teoria y problemas fisica (79)

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Guía para la Resolución de Problemas 
 
1. Fijar el origen del sistema de referencia y determinar los puntos 
de conservación. 
2. Tomar en cuenta que la energía cinética del cuerpo rígido en 
cualquier punto es la energía cinética total (energía cinética de 
traslación + energía cinética de rotación. 
3. Plantear la ecuación de conservación de la energía mecánica, 
ésta se conserva aunque el rozamiento estático es muy grande, 
no se disipa energía. 
Ejemplo 6.18. Un cilindro de radio R = 0.5[m] y masa M = 2[Kg] rueda 
sin resbalar por un plano inclinado a 37º, de superficie rugosa (µ = 
0.3), cuya altura es h = 1.5[m]. Determinar la velocidad del centro de 
masa cuando llega al pie del plano. 
Estrategia de resolución. Puesto que, por el hecho de que un 
cuerpo rígido tiene distancias constantes entre sus partículas, no 
disipa energía, la energía mecánica se conserva a pesar de que la 
superficie del plano presenta un alto coeficiente estático de 
rozamiento. En el punto donde se inicia el movimiento (1) sólo habrá 
energía potencial gravitacional; en el punto (2), al pie del plano, esa 
energía potencial se habrá convertido en una energía cinética total 
(rotación + traslación), puesto que el cilindro ha tenido movimiento de 
rotación y, a la vez, movimiento de traslación. 
 
1. Plantear el principio de conservación de la energía mecánica: 
𝐸¯� + 𝐸q� = 𝐸¯0 + 𝐸q0 
 
𝑀𝑔ℎ =
1
2𝑀𝑣/^
0 +	
1
2 𝐼Y𝜔
0 
2. Relacionar la velocidad del centro de masa con la velocidad 
angular: 
𝜔 =
𝑣/^
𝑅 
3. Expresar I0 del cilindro en función de la masa y el radio: 
𝐼Y =
1
2𝑀𝑅
0 
4. Reemplazar las dos últimas ecuaciones en la primera: 
𝑀𝑔ℎ =
1
2𝑀𝑣/^
0 +	
1
2 U
1
2𝑀𝑅
0X �
𝑣/^0
𝑅0 � 
𝑔ℎ =
1
2𝑣/^
0 +
1
4𝑣/^
0 	=
3
4𝑣/^
0 
𝑣/^0 =
4
3𝑔ℎ =
4
3
(10)(1.5) 
𝑣/^ = 4.47[𝑚 𝑠⁄ ] 
 
Ejemplo 6.19. ¿Hagamos carreras? ¡Tratar de resolver! Desde el 
mismo plano inclinado del ejemplo anterior, se lanzan al mismo 
tiempo un cilindro y una esfera de iguales masas e iguales radios. 
¿Cuál llega antes al pie del plano? 
 
 
Estrategia de resolución. Puesto que ya hicimos el cálculo para el 
cilindro, haremos lo mismo para la esfera. 
1. Ver en tablas el momento de inercia de una esfera con respecto 
al eje que pasa por su centro: 
𝐼 =
2
5𝑀𝑅
0 
2. Plantear el principiode conservación de la energía: 
𝑀𝑔ℎ =
1
2𝑀𝑣/^
0 +	
1
2 U
2
5𝑀𝑅
0X �
𝑣/^0
𝑅0 � 
𝑔ℎ =
1
2𝑣/^
0 +
1
5𝑣/^
0 	=
7
10𝑣/^
0 
𝑣/^ = 4.63[𝑚 𝑠⁄ ] 
3. Calcular la distancia que recorren ambos cuerpos: 
 
𝑑 =
ℎ
𝑠𝑒𝑛37Y = 2.5
[𝑚] 
4. Calcular la aceleración de cada uno de ellos: 
𝑎/^ =
𝑣/^0
2𝑑 
 Para el cilindro: 
𝑎/^ =
(4.47)0
(2)(2.5) = 4 n
𝑚
𝑠0o p 
 Para la esfera: 
𝑎/^ =
(4.63)0
(2)(2.5) = 4.3
[𝑚 𝑠0⁄ ] 
5. Determinar el tiempo que tarda cada uno en llegar al piso: 
𝑡 = a
2𝑑
𝑎/^
 
 Para el cilindro: 
𝑡 = a
2(2.5)
4 = 1.12
[𝑠] 
Para la esfera: 
𝑡 = a
2(2.5)
4.3 = 1.07
[𝑠] 
¿Quién ganó? La esfera 
 
6.8.1.	MOVIMIENTO	COMBINADO	DE	
ROTACIÓN	Y	TRASLACIÓN.	
 
El movimiento de rotación también puede analizarse considerando un 
movimiento de traslación y un movimiento de rotación alrededor de 
un eje que pasa por el centro de masa, donde se consideran ambos 
tipos de movimiento: 
Movimiento de traslación: 
𝛴�⃗� = 𝑚�⃗� 
Movimiento de rotación: 
	
𝛴𝜏 = 𝐼�⃗�	
 
Si se quiere que un cuerpo rígido tenga movimiento de rodadura, la 
superficie donde se encuentra dicho cuerpo debe tener una fuerza de 
rozamiento muy grande ejercida en el punto de contacto. 
 
 
Fig. 6.21 
Guía para la Resolución de Problemas 
 
1. Ubicar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido. 
2. Realizar el diagrama de cuerpo libre para el cuerpo rígido, 
tomando en cuenta sus dimensiones. 
3. Plantear las ecuaciones de la segunda ley de Newton para 
el movimiento de traslación. 
4. Plantear las ecuaciones de Newton para el movimiento de 
rotación. 
5. Resolver el sistema de ecuaciones. 
Ejemplo 6.20. Resolver el ejemplo 6.19 utilizando consideraciones 
dinámicas. 
 
Estrategia de resolución. Puesto que queremos conocer la 
velocidad del cilindro al pie del plano inclinado usando dinámica, 
debemos ubicar las fuerzas que actúan, incluyendo la fuerza de 
rozamiento (que no fue tomada en cuenta en el ejemplo mencionado) 
y luego plantear las ecuaciones de Newton tanto para el movimiento 
de traslación como para el de rotación, finalmente, por 
consideraciones cinemáticas se relacionará acm con lo que se desea 
calcular, es decir, la velocidad del centro de masa. 
1. Ubicar las fuerzas que actúan y dibujar el DCL: 
 
2. Analizar el movimiento de traslación del cilindro: 
𝛴𝐹© = 𝑚𝑎 
 
𝑀𝑔𝑠𝑒𝑛37Y − 𝑓� = 𝑀𝑎/^ 
 
3. Analizar el movimiento de rotación del cilindro. Tomamos torques 
en el centro de masa para que fr no se anule: 
𝛴𝜏Y = 𝐼�𝛼 
𝑓�𝑅 = 𝐼�𝛼 
4. Relacionar aceleraciones: 
𝛼 =
𝑎/^
𝑅 
5. Anotar I0 del cilindro: 
𝐼Y =
1
2𝑀𝑅
0 
6. Reemplazar las ecuaciones (3) y (4) en la ecuación (2): 
𝑓�𝑅 =
1
2𝑀𝑅
0 r
𝑎/^
𝑅 s