Apunte de catedra Estadistica Descriptiva. Lic. Maldonado Cristian_113106

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 Estadística Descriptiva Y Probabilidad 
 
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Apunte de catedra 
Estadística Descriptiva 
y 
Probabilidad 
 
 
 
Lic. Cristian Maldonado 
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UNIDAD I 
INTRODUCCIÓN 
La palabra Estadística proviene del latín status (estado). Precisamente la primera aplicación de la 
estadística consistió en la recopilación de datos y la construcción de gráficos para describir el estado 
de un país. Con el correr del tiempo esta herramienta fue evolucionando hasta que en la actualidad 
podríamos decir que no hay aspectos de la vida cotidiana donde no se aplique la Estadística. Hogares, 
gobiernos y negocios se apoyan en datos estadísticos para dirigir sus acciones. 
El objetivo que se persigue con este módulo es proporcionar al docente herramientas y técnicas para 
obtener datos, procesarlos para obtener información que sirva para la interpretación correcta de 
fenómenos que se producen en su ámbito de trabajo. 
ESTADÍSTICA. CONCEPTOS. 
La Estadística es una colección de métodos para planear experimentos, obtener datos, y 
después organizar, resumir, presentar, analizar, interpretar y llegar a conclusiones basadas 
en ellos (Triola, 2004). 
Otra definición considera a la Estadística como una disciplina perteneciente a la Matemática Aplicada 
que se dedica al estudio cuantitativo de fenómenos colectivos. Proporciona los métodos para: 
• La recolección de datos 
• Su ordenamiento, resumen y presentación, 
• Su análisis e interpretación y 
• Posterior enunciado de conclusiones. 
Los cuatro pasos que se han enumerado constituyen las etapas del trabajo estadístico. 
La primera etapa tiene como objetivo recolectar datos provenientes de medición, conteo u observación 
efectuado sobre el material objeto de estudio en base a un plan formulado según los principios del 
diseño experimental y las técnicas de muestreo. 
La segunda etapa consiste en ordenar los datos en tablas estadísticas, presentarlos mediante gráficos 
y diagramas y resumirlos a través del cálculo de promedios, porcentajes e índices. 
En la tercera etapa se analizan los resultados obtenidos en la etapa anterior, y comienzan a 
distinguirse las características del fenómeno, lo que permite utilizar diferentes métodos para 
analizarlos e interpretarlos. 
En la última etapa se debe concluir acerca del estudio realizado. 
Si las conclusiones, se refieren exclusivamente a los datos de los que se dispone (una parte de la 
población que se desea estudiar), se dice que la Estadística es Descriptiva. 
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Si, por el contrario, las conclusiones van más allá de los datos que se dispone y se refieren a un 
conjunto mayor (población), del cual se extrajeron, se dice que la Estadística es Inferencial; las 
conclusiones van de lo particular (muestra) a lo general (la población). Esta se basa en el estudio de 
la teoría de probabilidades que nos permite medir el error de nuestras afirmaciones. 
Las estadísticas (en plural) se obtienen como resultado del trabajo estadístico y están constituidas 
por porcentajes, promedios, tablas, gráficos y otros elementos que describen un fenómeno y ayudan 
a su comprensión (Ej.: estadísticas demográficas, estadísticas del fútbol, estadísticas de accidentes 
de tránsito, estadísticas universitarias, etc.). 
 
 
Unidad de observación: es aquélla sobre la cual se efectúan las mediciones u observaciones. La 
unidad de observación puede ser una persona, una familia, una planta, una parcela, etc. 
Dato: es el valor que se obtiene de la medición, observación o conteo efectuada en la unidad de 
observación o unidad de muestreo. 
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Por ejemplo, si el objetivo de una investigación es el rendimiento de los alumnos, la unidad de 
observación es el alumno. 
El número de materias rendidas contadas en un alumno es el dato. 
El conjunto de datos obtenidos de cada unidad de observación constituirá la base para el análisis 
estadístico del rendimiento de los alumnos. 
Variables. Concepto y tipos. 
Variable. Una variable es cualquier característica que varía de una unidad de muestreo a otra en la 
población o en la muestra 
Ejemplo 1: Supóngase que interesa conocer la salud de los alumnos, entonces la variable a observar 
en cada alumno será el estado de salud, el que podrá asumir dos valores: sano o enfermo. 
Ejemplo 2: Si interesa saber el número de hermanos que posee cada alumno, se tendrá valores 
que van desde 0(ningún hermano), 1, 2..., n y se deberá contar cuantos hermanos posee cada 
alumno. 
Ejemplo 3: Si el objetivo de un estudio fuera la talla alcanzada por alumnos, se debe medir la variable 
altura la que, expresada en metros podrá tener valores mayores a 1 metro. 
En los tres ejemplos anteriores, el nombre de la variable y la forma de obtener sus valores está 
resaltado en negrita. En el primer ejemplo, los valores que puede asumir la variable son calidades, por 
lo que se dice que la variable es cualitativa. Las calidades o categorías pueden ser naturales como 
al definir la variable sexo, o arbitrarias como la clasificación de alturas en bajas, medianas y altas. Por 
el contrario, en los otros dos ejemplos los valores que asumen las variables pueden expresarse 
mediante números, por lo que las dos últimas variables son cuantitativas. En el caso de número de 
hermanos, la variable toma sólo determinados valores en el intervalo que va de cero a n, por lo que 
se la denomina variable cuantitativa discreta o discontinua; cuando la variable toma los infinitos 
valores dentro del intervalo se dice que la variable es cuantitativa continua 
Otra forma de clasificación de las variables es mediante el empleo de cuatro niveles de medición: 
nominal, ordinal, de intervalo y de razón. 
Cuando se manejan datos reales el nivel de medición es importante porque orienta sobre el 
procedimiento estadístico a utilizar. 
Un nivel de medición es nominal cuando los valores de variables son nombres, etiquetas o 
categorías y no se puede establecer un orden entre ellos. 
Ejemplo: colores de ojos, estado de salud, lugar de nacimiento de un alumno. Aunque las ciudades 
pueden ser ordenadas según su tamaño, densidad poblacional, grado de contaminación del aire, etc., 
en general, la variable “lugar de nacimiento” no tiene un orden establecido. Con estos datos no es 
posible realizar cálculos. A veces se asignan números a las diferentes categorías; a la variable salud 
que posee dos valores sano y enfermo, podemos codificarlas numéricamente de la siguiente manera 
1= sano, 2= enfermo, pero esto no es nada más que una codificación y tales números no tienen 
significado computacional. 
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Un nivel de medición es ordinal cuando se puede establecer un orden entre las categorías de la 
variable. Ejemplo: máximo nivel de instrucción alcanzado por los padres de los alumnos: analfabeto, 
primario, secundario, terciario, universitario. 
Lo único que podemos decir es que el nivel de instrucción secundario es mayor que el primario y que 
el universitario es mayor que el primario, secundario o terciario, pero no podemos decir cuanto mayor 
es una categoría de la variable respecto a la otra. 
Supongamos que se codifican dichos niveles con 1, 2, 3, 4 y 5. Si bien se podría hacer la diferencia 
entre 2-1=1 y 4-3=1, este resultado 1 no significa que entre el primario y el analfabeto hay la misma 
cantidad de conocimiento que entre el universitario y el nivel terciario. 
Otro nivel de medición es el de intervalo. En este nivel la diferencia entre dos valores de datos tiene 
un significado. En este nivel no hay un cero natural, donde nada de la cantidad esté presente. El valor 
del ceroes convencional 
Ejemplo: La variable Temperatura está medida en escala de intervalo. Un termómetro, por ejemplo, 
mide la temperatura en grados que son del mismo tamaño en cualquier punto de la escala. Aquí no 
existe un punto de partida natural, el valor 0° es arbitrario y no representa la ausencia total de calor. 
La diferencia entre 20ºC y 21ºC es la misma que entre 12ºC y 13º. Se pueden realizar operaciones de 
suma y resta, pero no cociente entre valores. 
Por último, el nivel de medición de razón o cociente, aunque se parece al nivel de medición de 
intervalo tiene un punto de partida o cero inherente (donde cero indica que nada de la cantidad está 
presente). 
Para los valores en este nivel tanto las diferencias como los cocientes tienen significado. 
 
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Distribuciones de frecuencias 
Los datos en bruto, tal cual fueron obtenidos, sin agrupar constituyen una serie simple. 
Tablas y gráficos 
Organización de datos categóricos o cualitativos. 
Cuando la masa de datos obtenidos es muy grande y éstos están desordenados, no dan información 
alguna; conviene por lo tanto ordenarlos y tabularlos, haciendo uso de tablas estadísticas, que deben 
confeccionarse de tal modo que los datos resulten fáciles de ser leídos e interpretados. 
Tabla de frecuencias. Una tabla de frecuencias para variable cualitativa, es una tabla que asocia 
cada categoría de la variable con el número de veces que se repite la categoría. 
 
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Los datos organizados en tabla de simple entrada para variable cualitativa, pueden presentarse 
mediante gráficos, que tiene la finalidad de que la información entre por los ojos. El gráfico que puede 
usarse en éste caso es el gráfico de barras. 
 
Otro gráfico adecuado para representar series de frecuencias de variable cualitativa es el gráfico de 
sectores circulares, llamado gráfico de tortas o pie charts. 
 
 
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Para el caso de variables cuantitativas continuas como los datos del ejemplo 3 (altura en cm de 25 
alumnos de una sección maternal de la Escuela San Francisco) que fueron obtenidos por medición, 
se recomienda construir intervalos de clase, cuya amplitud depende de la cantidad de intervalos que 
se deseen construir y la cantidad de datos que posee la serie simple. Es recomendable que los 
intervalos de clases sean iguales, es decir que la amplitud de los mismos (a) sea constante. La técnica 
a emplear para el agrupamiento de una serie simple de variable cuantitativa continua es sencilla. 
xi (cm): 70, 75, 74, 87, 88, 89, 72, 83, 84, 79, 98, 99, 95, 87, 84, 85, 79, 78, 95, 99, 97, 84, 86, 78, 74 
1. -Se ubica el valor mayor que toma la variable (99 cm) y el valor menor (70 cm). 
2. - Se obtiene la diferencia, la que se denomina Rango o amplitud de variación y se designa con la 
letra R. 
 
3.– El número de intervalos aproximado se puede 
calcular con la siguiente formula: 
 
dónde n: n° de valores de la serie o tamaño de la 
muestra. log: logaritmo decimal 
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Cuando en la variable que se estudia existen intervalos predeterminados, el número de clases o 
intervalos dependerá de la amplitud que se usa habitualmente. 
4. - El rango se divide entre el nº de clases o intervalos de clases, 5 para éste ejemplo, (se recomienda 
que el número de intervalos no sea menor que 5, ni mayor de 15, pues en el primer caso se reduce 
demasiado la información y en el segundo no se cumple con el objetivo del agrupamiento) 
obteniéndose una idea aproximada de la longitud o amplitud del intervalo de clase. 
 
Éste valor de amplitud es orientativo, por lo que se decide tomar una amplitud de intervalo 5 cm para 
facilitar el agrupamiento. 
5.- Se delimitan las clases buscando preferentemente valores enteros para sus límites. Se debe elegir 
el límite inferior del 1er intervalo de tal manera que contenga al menor valor de la serie (70 cm). La 
elección recae en el 70. El límite superior del 1er intervalo, se obtiene sumando al Li la amplitud. 
Li del 1° intervalo = 70 
Ls del 1° intervalo = Li + a= 70 + 5 = 75 
El límite inferior del 2do intervalo debe coincidir con el límite superior del primer intervalo. 
Li del 2° intervalo = 75 
Ls del 2° intervalo Li + a= 75+ 5 = 80 
El límite inferior del 3° intervalo debe coincidir con el límite superior del 2° intervalo, y así 
sucesivamente, hasta que el límite superior del último intervalo, contenga el valor observado más alto 
de la variable. 
6.- Una vez formadas las clases se procede al conteo, que consiste en determinar el nº de 
observaciones (frecuencias) de cada clase. Una manera sencilla de hacerlo es leyendo la serie simple 
y ubicando mediante marcas cada valor de la variable en su clase correspondiente. De ésta manera 
cuando se termine de pasar lista a la serie simple, el agrupamiento ha sido efectuado. 
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Un problema que se puede presentar es el siguiente: si un valor de la variable coincide con uno de los 
límites del intervalo, por ejemplo, la altura 95 cm ¿dónde se lo ubica? ¿en el quinto o en el sexto 
intervalo de clase? La respuesta es: puede ubicarlo en cualquiera de los intervalos, pero si se elige un 
criterio se lo debe respetar hasta el final del agrupamiento. En éste ejemplo al nº 95 se lo ubica en el 
6° intervalo, de la misma manera, cuando aparezca por ejemplo un valor 85, debe ser anotado como 
perteneciente al intervalo en el que el nº 85 se encuentra como límite inferior. El intervalo de clase es 
cerrado en el límite inferior y abierto en el superior. Esto se indica de la siguiente forma [75;80) los 
valores del intervalo van desde 75 a 79,9999. 
7.- Se agrega una tercera columna, titulada “marca de clase” o “punto medio de clase” que se designa 
con xi que contiene los valores correspondientes a los puntos medios de cada uno de los intervalos y 
se calcula así: 
 
Un gráfico adecuado para representar una serie de frecuencias de variable cuantitativa continua es el 
histograma (gráfico nº 5). Su construcción es fácil. Se utiliza el sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonales. En el eje de las ordenadas (vertical) se marcan las frecuencias (fi) y en el de las abscisas 
(horizontal), la variable según la cual se efectuó la clasificación (altura). Consiste en rectángulos 
adyacentes (uno por cada clase) con bases materializadas por la amplitud de clases (5 cm). La altura 
está dada por la frecuencia correspondiente a la clase. Cuando las clases son iguales, el área del 
histograma es proporcional a la frecuencia total. 
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Otro gráfico adecuado para representar la serie de frecuencias de variable cuantitativa continua es el 
polígono de frecuencias (gráfico). 
6). Se emplea para su realización el sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Se coloca la 
variable clasificadora en el eje horizontal y las frecuencias en el vertical. 
La principal ventaja de los polígonos de frecuencias consiste en que ellos permiten dibujar en el mismo 
sistema de eje dos o más polígonos correspondientes a series diferentes que tengan similar posición 
sobre el eje de las x, así se puede compararlos, lo cual resulta engorroso efectuar con los histogramas 
a causa de la superposición de las superficies de los rectángulos. 
 
 
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Medidas descriptivas 
Introducción 
En todo trabajo estadístico luego de recolectar los datos, ordenarlos, agruparlos en tablas y 
presentarlos gráficamente, es preciso extraer alguna información que caracterice a la población de la 
cual se los extrajo. Por ello, el objetivo de éste capítulo es interiorizarlos acerca de las medidas de 
posición y, variación más utilizadas para caracterizar a la población en estudio, y en qué caso se 
emplea cada una de ellas, interpretando los resultados a través del pensamiento crítico. Los métodos 
de éste capítulo suelen denominarse métodos de estadística descriptiva, porque su objetivo es resumir 
o describir las características importantes de un conjunto de datos. Éstas características se refieren al 
centro, variación, distribución, datos distantes y cambios a través del tiempo. 
 
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Supongamos que una directora está preocupada por las inasistencias de los alumnos del jardín bajo 
su dirección. Necesita resumir los datos y dar un único valor sencillo y representativo que pueda servir 
de referencia para todos los alumnos; esta medida que sirve para ubicar el conjunto de datos en una 
escala de medición, se denominan Medidas de Posición, y si además indican el centro de ése 
conjunto de valores, se denominan Medidas de posición y tendencia central. 
Se conocen varias formas de determinar el centro de un conjunto de datos. A continuación, se 
indicarán tres que son las más comúnmente utilizadas: media aritmética, mediana y modo. 
 
 
 
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Media aritmética 
La media (aritmética) es la medida de posición y tendencia central, generalmente, la más importante 
de todas las medidas numéricas utilizadas para describir los datos; constituye lo que la mayoría de la 
gente denomina promedio. Es quizás la más conocida y usada. 
 
 
En la fórmula se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que indica que los valores de la variable 
deben sumarse. El símbolo n denota el tamaño de la muestra. 
Cuando los datos provienen de una muestra el símbolo de la media aritmética es x (se denomina “x 
barra”); si se calcula la media aritmética con los datos de toda la población se simboliza con: 
 
 
 
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Media aritmética. (Para datos agrupados en intervalos) 
Como en una serie de frecuencias, fi nos indica las veces que se repite el valor de la variable, debemos 
considerarlas en el cálculo de la media aritmética. 
 
 
 
Mediana. 
La mediana (de un conjunto de datos): es una medida de tendencia central que divide a la serie 
ordenada de datos en dos partes iguales. La mediana se designa con Me, es un valor de variable que 
expresa que el 50% de los datos son menores o iguales a la mediana y el otro 50% mayores o iguales 
a ella. 
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Relación entre media, mediana y modo 
Cuando la media, la mediana y el modo coinciden, la serie de datos presenta una distribución simétrica 
unimodal (figura 1). 
 
Cuando esa coincidencia no existe, se dice que la distribución unimodal es asimétrica. 
La asimetría es positiva (figura 2) cuando la media es mayor que la mediana y la mediana mayor que 
el modo, en éste caso vemos que la media aritmética se dirige hacia el o los valores extremadamente 
grandes 
 
La distribución presenta asimetría negativa (figura 3) cuando la media es menor que la mediana y la 
mediana menor que el modo; en éste caso vemos que la media aritmética se dirige hacia el o los 
valores extremadamente pequeños. 
 
La distancia entre la media aritmética y el modo podría usarse como una medida de asimetría (Ya-Lun 
Chou, 1990). 
Asimetría = media – modo 
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Coeficiente de asimetría de FISHER 
 
 
 
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Medidas de Orden 
Son Medidas de Posición que dividen los valores ordenados de una serie en cuatro, diez o cien partes 
iguales y se denominan cuartiles, deciles y percentiles. 
 
 
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Deciles 
Los Deciles son nueve valores de la variable que dividen a la serie ordenada de datos en 10 partes 
iguales, el decil 5 coincide con la Mediana, es decir el 50% de los valores son menores o iguales al 
D5. 
Rango percentil 
Se puede presentar, el problema inverso, es decir, conocer cuántos profesores de nivel inicial toman 
52 días de licencia o menos, es decir nos dan como dato un valor de la variable y nos preguntan qué 
percentil le corresponde; a este procedimiento se lo denomina calcular el Rango percentil. Es decir, 
el rango percentil de un valor dado es el porcentaje de valores comprendidos debajo del valor 
solicitado. 
Ejemplo: 
Calcular el rango percentil que le corresponde a 52 días de licencia de los de los profesores de las 
escuelas de nivel inicial en la ciudad de Santiago del Estero en el año 2004. Repetimos la tabla 6 para 
visualizar mejor el cálculo. Días de inasistencia de los profesores de las escuelas de nivel inicial en la 
ciudad de Santiago del Estero en el año 2004. 
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Solución 
1.- Ubicamos en la tabla el intervalo de clase donde se encuentra el valor 52 es el intervalo que va de 
50 a 60. 
2.- Se calcula la Frecuencia acumulada que le correspondería al valor 52 con la siguiente fórmula: 
 
 
 
Interpretación: 
El 62% de los profesores de las escuelas de nivel inicial en la ciudad de Santiago del Estero en el año 
2004, toman 52 días de licencia o menos. 
 
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Cálculo gráfico de percentiles y rango percentil 
Ejemplo: Calcular gráficamente el percentil 20 
Solución Se debe construir un gráfico de líneas; los pares de valores a graficar corresponden al límite 
superior del intervalo con el porcentaje acumulado correspondiente. 
1.- Calcular porcentaje acumulados. Para ello se necesita calcular: 
a) frecuencia relativa para cada intervalo 
b) Porcentaje 
c) Porcentaje acumulado 
2.- Se grafica un polígono (Lsup; %acum.). El gráfico que se obtiene se denomina ojiva. Días de 
inasistencia delos profesores de las escuelas de nivel inicial en la ciudad de Santiago del Estero en 
el año 2004. 
 
 
Si deseamos calcular el valor que corresponde al percentil 20. Se ubica el valor 20 en el eje vertical y 
se traza una paralela al eje horizontal hasta la curva y luego se traza una vertical hasta encontrar el 
valor de días correspondiente, el que aproximadamente es 23. 
 
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Medidas de variabilidad o dispersión 
Las Medidas de Posición no son suficientes para describir el conjunto de datos, sino que es necesario 
tener una idea de cómo se distribuyen los datos alrededor del centro de la distribución. Para eso 
surgen las 
Medidas de Dispersión 
RANGO 
Es llamado también amplitud total de variación de la variable. Se lo obtiene como la diferencia entre 
el valor máximo y mínimo de la variable. 
Distribución A: 1, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 9 
Distribución B: 1, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9 
Rango = Valor mayor – Valor menor 
RA = 9 -1 = 8 
RB = 9 -1 = 8 
Estas series tienen igual valor del rango, a pesar de que notamos que la variabilidad de las dos 
distribuciones es diferente. 
La desventaja de esta medida es que solo considera los valores extremos sin tener en cuenta el 
comportamiento del resto de las observaciones. 
Por lo que observamos que a pesar de tener variabilidades diferentes las dos distribuciones, el rango 
no la capta. 
Para solucionar este problema surgen otras medidas como el desvío medio. 
¿Cómo se puede medir la variabilidad de un conjunto de datos? Si por variabilidad se entiende el 
grado en que los valores de la distribución difieren de la media y entre sí, entonces la desviación 
promedio de los valores a partir de la media puede resultar una medida razonable de variabilidad. 
 
Como esta medida de variabilidad parece razonable, debemos redefinir nuestra medida para evitar los 
valores negativos. Una manera de hacerlo es considerar el valor absoluto de los desvíos; la medida 
que se obtiene se denomina: DESVIO MEDIO: 
 
 
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Desvio medio: 
Se define como el promedio del valor absoluto de los desvíos; se designa con: DM 
 
 
Pero generalmente no se puede operar fácilmente cuando se trabaja con valor absoluto, por eso se 
considera una segunda forma de modificar esos signos negativos y consiste en elevar los desvíos al 
cuadrado, lo que dará desvíos al cuadrado positivos. Esta nueva medida de variabilidad se denomina 
varianza. 
Varianza es el promedio de los desvíos al cuadrado y se designa con S2 cuando se trata de una 
muestra y es un mejor estimador de la varianza poblacional (σ 2) cuando la suma de los desvíos al 
cuadrado se divide entre el tamaño de la muestra menos 1; por ello la fórmula para calcular es para: 
Variancia de una Muestra 
 
 
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Variancia Poblacional 
 
Cuántos más tiendan los valores a diferir de la media, mayor será la varianza. El valor numérico de la 
varianza de una distribución depende de la unidad de medida que se utilice. Por consiguiente, cuando 
se compara la varianza de dos o más distribuciones, hay que estar seguro que la unidad de medida 
empleada es igual en todas las distribuciones. 
 
 
Otra desventaja es que la varianza se expresa, en unidades al cuadrado y no en término de las 
unidades originales de medición, lo que hace difícil la tarea de relacionar en forma significativa el valor 
de la varianza con el conjunto original de datos. Por eso es conveniente, considerar una medida de 
variabilidad que se exprese en unidades originales. Esta nueva medida denominada desviación 
estándar se obtiene al extraer a la varianza la raíz cuadrada. 
 
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Desviación estándar muestral 
 
S = 2 hermanos 
Desviación estándar poblacional 
 
Debe quedar claro que la desviación estándar mide la variación entre los valores. Los valores cercanos 
producirán una desviación estándar pequeña, mientras que los valores dispersos producirán una 
desviación estándar más grande. 
Medidas De Variabilidad En Series De Frecuencia Simple. Su Cálculo 
Ejemplo: Calcular la variabilidad de las inasistencias de 32 alumnos. 
 
Cuando se trata de variables cuantitativas discretas el Rango se calcula: 
Rango = Valor máximo - Valor mínimo + 1 
Rango = R = 23 – 11 + 1 = 13 inasistencia 
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Desvío medio en serie de frecuencia 
 
1) Se calcula la media aritmética 
2) Se calculan los desvíos 
3) Se obtiene el valor absoluto y se los multiplica por sus frecuencias 
4) Se aplica la fórmula 
 
 
 
Varianza en serie de frecuencia simple 
 
 
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Desviación estándar en serie de frecuencia 
 
 
Medida De Variabilidad En Serie De Frecuencias De Intervalos De Clase 
 
Ej.: Peso de los alumnos del Jardín de una escuela rural. 
 
 
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 Estadística Descriptiva Y Probabilidad 
 
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Rango: R = L. superior de la última clase – L. inferior de la primera clase. 
 
Como los límites superiores de las clases son abiertos, es decir no toma el valor 20, debemos colocar 
el valor 19,99 
 
R =19,99 – 6 = 13,99 kg 
 
Desvío medio en serie de frecuencia de intervalos 
 Se calcula la marca de clase y luego la media aritmética: 
 
 Se calcula los desvíos: 
 
 
Variancia en serie de frecuencia de intervalos 
1) Se calcula la media aritmética 
2) Se calculan los desvíos 
3) Se elevan los desvíos al cuadrado 
4) Se multiplica cada desvío al cuadrado por su frecuencia 
5) Se aplica la fórmula 
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Varianza en serie de frecuencias de intervalos, la única diferencia con las fórmulas para serie de 
frecuencias simples es que xi, representa el punto medio de la clase o marca de clase. 
 
 
Desviación estándar en serie de frecuencias de intervalos 
 
 
COEFICIENTE DE VARIACIÓN 
 
Las cuatro medidas de variabilidad enunciadas precedentemente son medidas de variabilidad 
absoluta. El coeficiente de variación es una medida de variabilidad relativa. 
Expresa la desviación estándar como un porcentaje de la media. Es una medida adimensional, se 
expresa en % y sirve para comparar la variabilidad entre dos o más distribuciones que provengan de 
diferentes unidades de medidas o teniendo igual unidad de medida los valores de diferente magnitud. 
 
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𝐶𝑉 =
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎
 . 100% 
 
 
 
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El Diagrama de Caja y bigotes o Diagrama BoxPlot 
El Diagrama de Caja y bigotes es un tipo de gráfico que muestra un resumen de una gran cantidad de 
datos en cinco medidas descriptivas, además de intuir su morfología y simetría. 
Este tipo de gráficos nos permite identificar valores atípicos y comparar distribuciones. Además de 
conocer de una forma cómoda y rápida como el 50% de los valores centrales se distribuyen. 
Se puede detectar rápidamente los siguientes valores: 
 Primer cuartil: el 25% de los valores son menores o igual a este valor 
 Mediana o Segundo Cuartil: Divide en dos partes iguales la distribución. De forma que el 
50% de los valores son menores o igual a este valor 
 Tercer cuartil: el 75% de los valores son menores o igual a este valor 
 Rango Intercuartílico(RIC): Diferencia entre el valor del tercer cuartil y el primer cuartil.