2ejercicios

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0
2
1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA
LISTA DE EJERCICIOS №02
Curso: Cálculo II Semestre: 2021 - B
1 Integración por partes.
1. Sea I un intervalo de R y f; g : I ! R funciones diferenciables en I. Muestre que
Z
f(x) � g0(x) dx = f(x) � g(x)�
Z
g(x) � f 0(x) dx
2. Calcule las siguientes integrales inde�nidas :
(1)
Z
sen2x dx;
(2)
Z
arcsenx dx;
(3)
Z
x senx dx;
(4)
Z
x2 cosx dx;
(5)
Z
x2 senx dx;
(6)
Z
x ln(x) dx;
(7)
Z
ex cosx dx;
(8)
Z
sen
p
x dx;
(9)
Z
arctan
p
x dx;
(10)
Z
x2 arctanx3 dx;
(11)
Z
esenx sen2x dx;
(12)
Z
x
1 + senx
dx.
3. Sea n un entero positivo > 1. Muestre que:
(a)
Z
xn cosx dx = xn senx� n
Z
xn�1 senx dx
(b)
Z
xn cosx dx = �xn cosx+ n
Z
xn�1 cosx dx
4. Si n es un entero positivo y a , 0. Muestre que
Z
xneax dx =
eax
a
"
xn � nx
n�1
a
+
n(n� 1)xn�2
a2
� � � �+ (�1)
nn!
an
#
+ C
donde n! = n � (n� 1) � (n� 2) � � � � � 3 � 2 � 1.
5. Calcule Z
e�st sent dt
donde s es una constante real > 0.
6. Sean a; b 2 R n f0g. Calcule Z
eax cos bx dx:
1
G
A
A
M
2
0
2
1
7. Veri�que que para todo n�umero natural n � 1 y todo n�umero real s > 0
Z
tne�st dt = �1
s
tne�st +
n
s
Z
tn�1e�st dt:
8. Calcule las siguientes integrales inde�nidas :
(1)
Z
(lnx)2 dx;
(2)
Z
x3ex
2
dx;
(3)
Z
xn lnx dx;
(4)
Z
2x sen4x cos 2x dx;
(5)
Z
x cos2 x dx;
(6)
Z
x2ax dx.
9. Calcule las siguientes integrales inde�nidas :
(1)
Z
e3x cos 2x dx;
(2)
Z
2x sen6x dx;
(3)
Z
ax cos bx dx;
(4)
Z
e2x cos2 x dx;
(5)
Z
sen(lnx) dx;
(6)
Z
e�x cosx dx.
10. Si f(x) es una funci�on diferenciable de x. Muestre que
Z
ex[f(x) + f 0(x)] dx = exf(x) + C
11. Evalue :
(1)
Z
ex
�
1 + senx
1 + cosx
�
dx;
(2)
Z
xex
(x+ 1)2
dx;
(3)
Z
(5 + tanx+ sec2 x)ex dx;
(4)
Z
x2 + 1
(x+ 1)2
ex dx;
(5)
Z
esenx(senx cosx+ cosx) dx;
(6)
Z
ex[cotx+ ln (senx)] dx.
2 Integración de funciones trigonométricas.
En esta secci�on ser�an utilizadas las siguientes identidades:
(i) sena cos b = sen(a+b)+sen(a�b)
2
;
(ii) cos a cos b = cos (a+b)+cos (a�b)
2
;
(iii) senasenb = cos (a�b)�cos (a+b)
2
;
(iv) sen2x = 1
2
� cos 2x
2
;
(v) cos2 x = 1
2
+ cos 2x
2
.
12. Calcule
(1)
Z
sen3x cos 2x dx;
(2)
Z
cos2 x dx;
(3)
Z
sen3xsen5x dx;
(4)
Z
sen3x dx;
(5)
Z
cos3 x dx;
(6)
Z
sen33x dx;
(7)
Z
sen4x dx;
(8)
Z
cos5 x dx;
(9)
Z
sen33x cos3 3x dx;
(10)
Z
sen2x cos2 x dx;
(11)
Z
secx dx;
(12)
Z
sec3 x dx.
2
G
A
A
M
2
0
2
1
13. Sea n un entero positivo > 1. Muestre que:
(a)
Z
sennx dx = � 1
n
senn�1x cosx+
n� 1
n
Z
senn�2x dx
(b)
Z
cosn x dx =
1
n
cosn�1 x senx+
n� 1
n
Z
cosn�2 x dx
14. Calcule
(1)
Z
sen3x cos
4
3 x dx;
(2)
Z
sen2x dx;
(3)
Z
sen2x cos4 x dx;
(4)
Z
sen3x cos 7x dx;
(5)
Z
tan2 x dx;
(6)
Z
tan5 x dx;
(7)
Z
sec4 x dx;
(8)
Z
tan7 x sec4 x dx;
(9)
Z
tan3 x sec5 x dx;
(10)
Z
tan2 x secx dx;
(11)
Z
cos3 x
p
senx dx;
(12)
Z
cos10 x sen7x dx;
15. Calcule
(1)
Z
x2 arctanx3
1 + x6
dx;
(2)
Z
x arctanx
(1 + x2)
3
2
dx;
(3)
Z
arctan
0
@
s
1� x
1 + x
1
A dx;
(4)
Z
em arcsinxp
1� x2 dx;
(5)
Z sec (arctanx)
1 + x2
dx;
(6)
Z
x arcsinxp
1� x2 dx.
Existen seis funciones hiperb�olicas de�nidas de la siguiente manera:
(i) sinhx = e
x
�e
�x
2
;
(ii) coshx = e
x+e�x
2
;
(iii) tanhx = e
x
�e
�x
ex+e�x
;
(iv) cothx = e
x+e�x
ex�e�x
;
(v) sechx = 2
ex+e�x
;
(vi) cosechx = 2
ex�e�x
.
Adem�as existen las siguientes identidades:
(i) sinh 0 = 0;
(ii) cosh 0 = 1;
(iii) cosh2 x� sinh2 x = 1;
(iv) sech2x = 1� tanh2 x;
(v) cosech2x = �1 + tanh2 x;
(vi) sinh 2x = 2 sinhx coshx;
(vii) cosh 2x = 2 cosh2 x� 1;
(viii) tanh 2x = 2 tanhx
1+tanh2 x
.
(ix) sinh�1 x = ln (x+
p
x2 + 1);
(x) cosh�1 x = ln (x+
p
x2 � 1);
(xi) tanh�1 x = 1
2
ln (1+x
1�x
).
16. Calcule las siguientes integrales inde�nidas:
(1)
Z
sinhx dx;
(2)
Z
coshx dx;
(3)
Z
sech2x dx;
(4)
Z
cosech2x dx;
(5)
Z
sechx tanhx dx;
(6)
Z
cosechx cothx dx;
3
G
A
A
M
2
0
2
1
(7)
Z
dx
sinhx
; (8)
Z
sinh 3x cosh 3x dx.
Gabriel Andre Asmat Medina
Lima, Setiembre del 2021
4
	Integración por partes.
	 Integración de funciones trigonométricas.