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CALCULO II
Msc. Edinson R. Montoro Alegre
Universidad Nacional del Callao
Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
Ciclo académico: Verano 2022
Msc. Edinson R. Montoro Alegre Universidad Nacional del Callao Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
CALCULO II
Tema: Integración de Potencias de Funciones
Trigonométricas
Msc. Edinson R. Montoro Alegre Universidad Nacional del Callao Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
CALCULO II
Contenido
1 Integración de Potencias de Senos y Cosenos
• Caso 1:
∫
senn xdx ó
∫
cosn xdx,
• Caso 2:
∫
senm x cosn xdx
• Caso 3:
∫
senn xdx ó
∫
cosn xdx
• Caso 4:
∫
senm x cosn xdx
2 Integración de Potencias de Tangentes, Cotangente, Secante y
Cosecante
• Caso 1:
∫
tann xdx ó
∫
cotn xdx
• Caso 2:
∫
secn xdx ó
∫
cscn xdx
• Caso 3:
∫
secn xdx ó
∫
cscn xdx
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CALCULO II
Contenido
1 Integración de Potencias de Senos y Cosenos
• Caso 1:
∫
senn xdx ó
∫
cosn xdx,
• Caso 2:
∫
senm x cosn xdx
• Caso 3:
∫
senn xdx ó
∫
cosn xdx
• Caso 4:
∫
senm x cosn xdx
2 Integración de Potencias de Tangentes, Cotangente, Secante y
Cosecante
• Caso 1:
∫
tann xdx ó
∫
cotn xdx
• Caso 2:
∫
secn xdx ó
∫
cscn xdx
• Caso 3:
∫
secn xdx ó
∫
cscn xdx
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CALCULO II
Contenido
• Caso 4:
∫
tanm x secn xdx ó
∫
cotm x cscn xdx
• Caso 5:
∫
tanm x secn xdx ó
∫
cotm x cscn xdx
• Caso 6:
∫
tanm x secn xdx ó
∫
cotm x · cscn xdx
• Caso 7:∫
sen(mx) sen(nx)dx,
∫
cos(mx) cos(nx)dx,
∫
sen(mx) cos(nx)dx
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CALCULO II
Integración de Potencias de senos y cosenos:
Caso 1.∫
senn xdx ó
∫
cosn xdx, donde n es un entero impar.
En este caso, obtener un factor sen xdx ó cos xdx.
usar:
sen2 x = 1− cos2 x
cos2 x = 1− sen2 x
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CALCULO II
Ejemplo (1)
Calcule
∫
sen3 xdx.
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CALCULO II
Ejemplo (1)
Calcule
∫
sen3 xdx.
Solución ∫
sen3 xdx =
∫
sen2 x sen xdx
=
∫ (
1− cos2 x
)
sen xdx
=
∫
sen xdx−
∫
cos2 x sen xdx
= − cos x + 13 cos
3 x + c.
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Ejemplo (2)
Calcule
∫
cos5(2x)dx
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Ejemplo (2)
Calcule
∫
cos5(2x)dx
Solución∫
cos5(2x)dx =
∫
cos4(2x) cos(2x)dx
=
∫ (
cos2(2x)
)2
cos(2x)dx
=
∫ (
1− sen2(2x)
)2
cos(2x)dx
=
∫ (
1− 2 sen2(2x) + sen4(2x)
)
cos(2x)dx
=
∫
cos(2x)dx− 2
∫
sen2(2x) cos(2x)dx +
∫
sen4(2x) cos(2x)dx
= 12 sen(2x)−
1
3 sen
3(2x) + 110 sen
5(2x) + c
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Caso 2.∫
senm x cosn xdx, donde por lo menos uno de los exponentes es
impar.
En este caso obtener un factor sen xdx ó cos xdx.
usar:
sen2 x = 1− cos2 x
cos2 x = 1− sen2 x
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Ejemplo (3)
Calcule
∫
sen3 x cos2 xdx
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Ejemplo (3)
Calcule
∫
sen3 x cos2 xdx
Solución∫
sen3 x cos2 xdx =
∫
sen2 x cos2 x sen xdx
=
∫ (
1− cos2 x
)
cos2 x sen xdx
= −
∫
cos2 x(− sen x)dx +
∫
cos4 x(− sen x)dx
= −13 cos
3 x + 15 cos
5 x + c
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CALCULO II
Caso 3.∫
senn xdx ó
∫
cosn xdx, donde n es un entero par.
usar:
sen2 x = 1− cos(2x)2
cos2 x = 1 + cos(2x)2
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Ejemplo (4)
Calcule
∫
sen2(2x)dx
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CALCULO II
Ejemplo (4)
Calcule
∫
sen2(2x)dx
Solución ∫
sen2(2x)dx =
∫ 1− cos(4x)
2 dx
= 12
∫
dx− 12
∫
cos(4x)dx
= x2 −
1
8 sen(4x) + c
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Ejemplo (5)
Calcule
∫
cos4 xdx
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CALCULO II
Ejemplo (5)
Calcule
∫
cos4 xdx
Solución ∫
cos4 xdx =
∫ (
cos2 x
)2
dx =
∫ (1 + cos(2x)
2
)2
dx
= 14
∫ (
1 + 2 cos(2x) + cos2(2x)
)
dx
= 14
∫ (
1 + 2 cos(2x) + 1 + cos(4x)2
)
dx
= 14
∫ (3
2 + 2 cos(2x) +
1
2 cos(4x)
)
dx
= 14
(3
2x + sen(2x) +
1
8 sen(4x)
)
+ c
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CALCULO II
Caso 4.∫
senm x cosn xdx, donde ambos m y n son pares.
Usar:
sen2 x = 1− cos(2x)2
cos2 x = 1 + cos(2x)2
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Ejemplo (6)
calcule
∫
sen2 x cos4 xdx
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CALCULO II
Ejemplo (6)
calcule
∫
sen2 x cos4 xdx
Solución
I =
∫
sen2 x cos4 xdx
=
∫ (1− cos(2x)
2
)(1 + cos(2x)
2
)2
dx
= 18
∫
(1− cos(2x))
(
1 + 2 cos(2x) + cos2(2x)
)
dx
= 18
∫ (
1 + cos(2x)− cos2(2x)− cos3(2x)
)
dx
= 18
∫
dx + 18
∫
cos(2x)dx− 18
∫
cos2(2x)dx− 18
∫
cos3(2x)dx
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I = x8 +
1
16 sen(2x)−
1
8
∫ 1 + cos(4x)
2 dx−
1
8
∫
cos2(2x) cos(2x)dx
= x8 +
1
16 sen(2x)−
1
16x−
1
64 sen(4x)−
1
8
∫ (
1− sen2(2x)
)
cos(2x)dx
= x16 +
1
16 sen(2x)−
1
64 sen(4x)−
1
8
∫
cos(2x)dx
+18
∫
sen2(2x) cos(2x)dx
= x16 +
1
16 sen(2x)−
1
64 sen(4x)−
1
16 sen(2x) + d
1
48 sen
3(2x) + c.
= x16 −
1
16 sen(4x) +
1
48 sen
3(2x) + c
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CALCULO II
Integración de Potencias de tangentes, cotangente,
secante y cosecante:
Caso 1.∫
tann xdx o
∫
cotn xdx, donde n es un entero positivo.
Usar:
1 + tan2 x = sec2 x
1 + cot2 x = csc2 x
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Ejemplo (7)
Calcule
∫
tan3 xdx
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Ejemplo (7)
Calcule
∫
tan3 xdx
Solución
I =
∫
tan3 xdx =
∫
tan x · tan2 xdx =
∫
tan x
(
sec2 x− 1
)
dx
Hacemos cambio de variable
u = tan x → du = sec2 xdx
I =
∫
udu− ln | sec x|+ c
= u
2
2 − ln | sec x|+ c
= 12 tan
2 x− ln | sec x|+ c
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CALCULO II
Ejemplo (8)
Calcule
∫
tan2 xdx
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Ejemplo (8)
Calcule
∫
tan2 xdx
Solución
I =
∫
tan2 xdx
=
∫ (
sec2 x− 1
)
dx
=
∫
sec2 xdx−
∫
dx
= tan x− x + c
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Ejemplo (9)
Calcule
∫
cot3 xdx
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Ejemplo (9)
Calcule
∫
cot3 xdx
Solución∫
cot3 xdx =
∫
cot2 x · cot xdx =
∫ (
csc2 x− 1
)
cot xdx
=
∫
csc2 x cot xdx−
∫
cot xdx =
= −
∫
csc x(− csc x cot x)dx−
∫
cot xdx
= −csc
2 x
2 − ln | sen x|+ c
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CALCULO II
Caso 2.∫
secn xdx ó
∫
cscn xdx, donde n es par.
En este caso obtener; un factor sec2 xdx ó csc2 xdx
Usar:
1 + tan2 x = sec2 x
1 + cot2 x = csc2 x
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CALCULO II
Ejemplo (10)
Calcule
∫
csc6 xdx
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CALCULO II
Ejemplo (10)
Calcule
∫
csc6 xdx
Solución
I =
∫
csc6 xdx =
∫
csc4 x · csc2 xdx =
∫ (
csc2 x
)2
· csc2 xdx
=
∫ (
1 + cot2 x
)2
· csc2 xdx
Haciendo cambio de variable
u = cot x → du = − csc2 xdx
I = −
∫ (
1 + u2
)2
du = −
∫ (
1 + 2u2 + u4
)
du
= −
(
u + 23u
3 + 15u
5
)
+ c
= − cot x− 23 cot
3 x− 15 cot
5 x + c
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otra forma:∫
csc6 xdx =
∫
csc4 x csc2 xdx =
∫ (
1 + cot2 x
)2
csc2 xdx
=
∫ (
1 + 2 cot2 x + cot4 x
)
csc2 xdx
=
∫
csc2 xdx + 2
∫
cot2 x csc2 xdx +
∫
cot4 x csc2 xdx
= − cot x− 23 cot
3 x− 15 cot
5 x + c
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Caso 3.∫
secn xdx ó
∫
cscn xdx, donde n es impar.
Usar: Integración por partes.
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Ejemplo (11)
Calcule
∫
sec3 xdx
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Ejemplo (11)
Calcule
∫
sec3 xdx
Solución: I =
∫
sec3 xdx =
∫
sec x sec2 xdx
u = sec x → du = sec x tan xdx
dv = sec2 xdx → v = tan x
I = sec x tan x−
∫
sec x tan2 xdx = sec x tan x−
∫
sec x
(
sec2 x− 1
)
dx
= sec x tan x−
∫
sec3 xdx +
∫
sec xdx
= sec x tan x + ln | sec x + tan x| −
∫
sec3 xdx
⇒ 2
∫
sec3 xdx = sec x tan x + ln | sec x + tan x|+ c
∴
∫
sec3 xdx = 12 sec x tan x +
1
2 ln | sec x + tan x|+ c
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CALCULO II
Caso 4.∫
tanm x secn xdx ó
∫
cotm x cscn xdx, donde n es par.
En este caso abtener factor sec2 xdx ó csc2 xdx.
Usar.
1 + tan2 x = sec2 x
1 + cot2 x = csc2 x
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Caso 5.∫
tanm x secn xdx ó
∫
cotm x cscn xdx, donde m es impar.
En este caso obtener un factor sec x tan xdx ó csc x cot xdx
Usar:
1 + tan2 x = sec2 x
1 + cot2 x = csc2 x
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Ejemplo (12)
Calcule
∫
tan6 x sec4 xdx
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CALCULO II
Ejemplo (12)
Calcule
∫
tan6 x sec4 xdx
Solución
I =
∫
tan6 x sec4 xdx =
∫
tan6 x sec2 x·sec2 xdx =
∫
tan6 x
(
tan2 x + 1
)
sec2 xdx
Hacemos cambio de variable.
u = tan x ⇒ du = sec2 xdx
I =
∫
u6
(
u2 + 1
)
du
=
∫ (
u8 + u6
)
du
= u
9
9 +
u7
7 + c =
1
9 tan
9 x + 17 tan
7 x + c.
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Ejemplo (13)
calcule
∫
tan5 x sec7 xdx
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Ejemplo (13)
calcule
∫
tan5 x sec7 xdx
Solución
I =
∫
tan5 x sec7 xdx =
∫
tan4 x · sec6 x · tan x sec xdx
=
∫ (
sec2 x− 1
)2
· sec6 x tan x sec xdx
Hacemos cambio de variable: u = sec x ⇒ du = sec x tan xdx
I =
∫ (
u2 − 1
)2
u6du =
∫ (
u4 − 2u2 + 1
)
u6du
=
∫ (
u10 − 2u8 + u6
)
du
= u
11
11 −
2
9u
9 + 17u
7 + c
= 111 sec
11 x− 29 sec
9 x + 17 sec
7 x + c
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Ejemplo (14)
Calcule
∫
tan2 x sec4 xdx
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Ejemplo (14)
Calcule
∫
tan2 x sec4 xdx
Solución∫
tan2 x sec4 xdx =
∫
tan2 x sec2 x · sec2 xdx
=
∫
tan2 x
(
1 + tan2 x
)
sec2 xdx
=
∫
tan2 x sec2 xdx +
∫
tan4 x sec2 xdx
= tan
3 x
3 +
tan5 x
5 + c
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Ejemplo (15)
Calcule
∫
tan5 x sec4 xdx
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Ejemplo (15)
Calcule
∫
tan5 x sec4 xdx
Solución∫
tan5 x sec4 xdx =
∫
tan5 x sec2 x · sec2 xdx
=
∫
tan5 x
(
1 + tan2 x
)
sec2 xdx
=
∫
tan5 x sec2 xdx +
∫
tan7 x sec2 xdx
= tan
6 x
6 +
tan8 x
8 + c
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Caso 6.∫
tanm x secn xdx ó
∫
cotm x · cscn xdx, donde m es par y n es
impar.
En estos casos, el integrando puedes ser expresado en términos de
potencias impares de la secante ó cosccante. Así cae en el caso 3 .
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Ejemplo (16)
Calcule
∫
tan2 x sec3 xdx
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Ejemplo (16)
Calcule
∫
tan2 x sec3 xdx
Solución
I =
∫
tan2 x sec3 xdx
=
∫ (
sec2 x− 1
)
sec3 xdx =
∫
sec5 xdx−
∫
sec3 xdx
= tan x sec
3 x
4 −
3
8 sec x tan x +
3
8 ln | sec x + tan x|+
1
2 tan x sec x
− 12 ln | sec x + tan x|+ c
= tan x sec
3 x
4 −
1
8 tan x sec x−
1
8 ln | sec x + tan x|+ c
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Caso 7.∫
sen(mx) sen(nx)dx,
∫
cos(mx) cos(nx)dx,
∫
sen(mx) cos(nx)dx
Para calcular éstas integrales se usan las fórmulas:
♦ sen(mx) cos(nx) = 12[sen(m− n)x + sen(m + n)x]
♦ sen(mx) sen(nx) = 12[cos(m− n)x− cos(m + n)x]
♦ cos(mx) cos(nx) = 12[cos(m− n)x + cos(m + n)x]
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Ejemplo (17)
Calcule
∫
sen(3x) cos(5x)dx
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CALCULO II
Ejemplo (17)
Calcule
∫
sen(3x) cos(5x)dx
Solución
I =
∫
sen(3x) cos(5x)dx = 12
∫
[sen(3− 5)x + sen(3 + 5)x]dx
= 12
∫
sen(−2x)dx + 12
∫
sen(8x)dx
= −14
∫
sen(−2x)(−2)dx + 116
∫
sen(8x)(8)dx
= 14 cos(−2x)−
1
16 cos(8x) + c
= 14 cos(2x)−
1
16 cos(8x) + c
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Muchas gracias
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