CALCULO (65)

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Escuela Preparatoria Uno 
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN 
 
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Se desea construir una caja sin tapa, cortando cuadrados en las esquinas de una 
hoja de cartón de 30 cm de lado. ¿De qué medida deben cortarse los cuadrados 
en las esquinas para obtener cajas de volumen máximo? 
 
VARIABLES 
𝒙 = 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 
 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂𝒔 (𝒄𝒎) 
𝑽 = 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒋𝒂 (𝒄𝒎𝟑) 
 
FUNCIÓN 
𝑉 = (30 − 2𝑥)2𝑥 
𝑽 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟗𝟎𝟎𝒙 
 
DOMINIO 
𝑫𝑽 = (𝟎, 𝟏𝟓) 
NÚMEROS CRÍTICOS 
𝑉′ = 12𝑥2 − 240𝑥 + 900 
𝑉′ = 12(𝑥2 − 20𝑥 + 75) 
𝑉′ = 12(𝑥 − 5)(𝑥 − 15) 
12(𝑥 − 5)(𝑥 − 15) = 0 
𝑥 − 5 = 0 𝑥 − 15 = 0 
𝒙 = 𝟓 𝑥 = 15 (se descarta, no perteneces al dominio de f) 
 
VALORES EXTREMOS 
𝒙 𝑽 𝑽’ 𝑪𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊ó𝒏 
𝟎 < 𝒙 < 𝟓 + V crece 
𝒙 = 𝟓 2,000 0 Máximo 
𝟓 < 𝒙 < 𝟏𝟓 - V decrece 
 Como en 𝑥 = 5 se tiene un valor máximo, y es único 
en el intervalo de su dominio (0, 15), en 𝒙 = 𝟓 se tiene 
un valor máximo absoluto 𝑽 = 𝟐𝟎𝟎𝟎. 
RESPUESTA 
𝑳𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂𝒔 = 𝟓 𝒄𝒎 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 
 
 
𝑥 
𝑥 
𝑥 𝑥 
30 𝑐𝑚 
30 𝑐𝑚 
𝑥 
30 − 2𝑥 
30 − 2𝑥