Errores

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Trabajo de Laboratorio 1: EXPERIMENTO FISICO. SISTEMA METRICO; METROLOGIA. ERRORES EN LAS MEDICIONES
	FISICA I	[Escriba texto]Alumno:…………………………………………….
Legajo:……………………………………………….
Comisión:………………… 
Fecha de entrega:…………./…………./…………..
1
3
Objeto del trabajo
Considerar conceptos fundamentales, procedimientos y herramientas de trabajo que hacen a la implementación de la física clásica experimental
1.1 Introducción
Un experimento en física clásica consiste básicamente en la observación minuciosa de un fenómeno (o grupo de fenómenos) por medio de instrumentos apropiados, complementada con su interpretación. Esta interpretación consiste en sustituir los datos o valores reales recogidos, por las representaciones abstractas y simbólicas que corresponden en virtud de las teorías o leyes que gobiernan el fenómeno y que el observador admite.
La relación entre experimentación y teoría es lo que permite –sobre bases sólidas-, el constante progreso científico.
En primer término debemos determinar la correspondencia de una magnitud a cada noción o especie física a fin de identificarlas y distinguirlas entre sí: sistemas métricos: metrología.
Por diversas razones existen (y es imposible eliminar) discrepancias entre el valor verdadero de una magnitud y el valor obtenido como resultado de la medición de esa magnitud. Queda así indicada la existencia de errores en las mediciones.
1.2. Sistema métrico. Metrología
Todo sistema métrico se expresa a partir de entidades llamadas especies o magnitudes físicas, cuya propiedad esencial es la suma, facultad que basta en general para distinguirlas entre sí. Un conjunto de unidades de especies diferentes constituye un sistema métrico.
Todo sistema métrico se estructura a partir de magnitudes principales mediante patrones definidos de manera que proporcionen un método para reproducirlos. Estas magnitudes principales se vinculan entre sí mediante relaciones de definición – que no son otras que las leyes de la física-, dando lugar a magnitudes secundarias.
Las unidades de las magnitudes principales son las unidades fundamentales o de base; las de las magnitudes secundarias son las unidades derivadas.
El sistema métrico para el desarrollo de la Asignatura, en su Programa Analítico y de Actividades Prácticas, es el SISTEMA METRICO LEGAL ARGENTINO (SIMELA), nombre con el cual – en nuestro país-, se adopta el SISTEMA INTERNACIONAL. (SI)
Eventualmente recurriremos a otros sistemas métricos, en tales casos, tendremos presente los procedimientos de conversión respectivos.
En FISICA I solo necesitaremos las magnitudes principales tiempo, longitud y masa; cuyos patrones de definición de unidades SI se incorporan anexados a este Trabajo. Asimismo, se incorpora detalle del SIMELA (cuadro) y algunas normas de aplicación.
En física es primordial el aprendizaje del sistema de unidades; su conocimiento integral y aplicación idónea y fluida, es fundamental. Por consiguiente tenga presente y consulte permanentemente el SIMELA.
· Metrología 
Trata sobre la interpretación y aplicación de los sistemas métricos; además considera instrumentación y métodos de medida.
A fin de delimitar el tratamiento del tema comenzamos por clasificar las mediciones en dos grupos.
	1. Mediciones de laboratorio de carácter científico
Destinadas a la investigación de un fenómeno, proceso o modelo físico. Fundamentalmente interesa que el resultado obtenido sea evaluado con la mayor veracidad posible, dejando en segundo orden de importancia el tiempo y factor económico utilizado. Ejemplos:
· Análisis de expresiones cuantitativas de fenómenos físicos, químicos y comprobación de hipótesis.
· Establecimientos de patrones primarios y secundarios: su conservación.
· Determinación de constantes físicas y químicas
· Calibración de instrumental para ser usado como “patrón de laboratorio”
	2. Mediciones de carácter técnico-industrial
 Se realizan siguiendo determinados programas, aplicando métodos de medida e instrumentos normalizados. En general se trata de mediciones basadas en normas y recomendaciones de uso práctico. Ejemplos:
· Determinación de magnitudes y propiedades físicas generales mediante el uso de instrumentos indicadores, integradores y registradores normalizados.
· Determinación de características de elementos, aparatos y equipos o bien de “ensayos de recepción” exigidos en contratos de adquisición.
 Medición directa e indirecta
	Tanto en las mediciones de carácter científico como en las técnico- industrial, el procedimiento para obtener el valor de una magnitud puede consistir en la lectura directa de un instrumento; o bien mediante un cálculo complementario que vincule magnitudes que han sido medidas. En este último caso, la medición es indirecta.
	Esta subdivisión es necesario efectuarla a fin de ´poder evaluar errores que se cometen en toda medición y la forma de vincularlos entre sí en el caso de mediciones indirectas. Esto se verá en 1.3. Errores en las mediciones.
	Los TRABAJOS DE LABORATORIO que contempla el Programa de Actividades Prácticas de FISICA I serán encarados con el criterio especificado para el grupo 2, esto es como mediciones de carácter técnico industrial. Como ejercitación veamos el siguiente estudio de algunos instrumentos para la medición directa.
INTRODUCCION
	Una longitud se determina comúnmente por coincidencias con líneas trazadas a distancias conocidas, formando una escala sobre la arista de una pieza (regla]) de madera, metal, plástico. etc.
	Tanto los detalles de construcción (grosor de líneas) como características del ojo humano (poder separador) impiden la utilización de escalas en reglas cuyas divisiones sean menores al medio milímetro. Este es el límite de precisión de los instrumentos de lectura directa.
	Para mejorar dicha precisión se recurre, entre otros procedimientos, al uso de instrumentos de doble escala: una es una regla de lectura directa (divisiones en milímetros o medios milímetros); la otra escala se utiliza para determinar, de alguna manera, las fracciones de división.
	Serán vistos dos procedimientos: uno basado en la propiedad del ojo para establecer coincidencias (vernier o nonius); y otra, fundamentado en un proceso multiplicador (palmer y esferómetro)
APARATOS DE DOBLE ESCALA
A. CALIBRE
	Con este y otros nombres, la técnica utiliza un aparato formado por una regla de lectura directa graduada en milímetros o medios milímetros, sobre la que corre una reglilla menor (vernier o nonius) construida de manera que el número total N de divisiones posea (10, 20, 50) se corresponda con una menos (9, 19, 49), en la regla.
	Cada división v del vernier será: 1/N /1/10, 1/20, 1/50) menor que una división Γ de la regla, es decir:
Γ-v= Γ/N=A
Este valor A es llamado “aproximación” y es la menor longitud que se puede medir con el aparato: es decir, es el índice de precisión.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	5
	
	7
	
	10
15
10
5
0
 
	Para medir, se coloca el objeto de manera que los extremos de la longitud a medir coincidan con los ceros de ambas escalas, en la regla y en el vernier, respectivamente. Si la disposición es la de la figura la longitud será: 6 Γ (seis milímetros o 6 medios milímetros) y fracción.
	Para encontrar el valor de la fracción de división, se busca en el vernier la línea que mejor coincida con una de la regla. En la figura la división 7 del vernier coincide con el 13 de la regla. Denominemos n a la división del vernier que coincide con una de la regla.
	Lo anterior significa que entre la división cero del vernier y la división 6 de la regla habrá n (7) aproximaciones. Por consiguiente, la longitud L a leer será:
		L=6 Γ+nA=6Γ+7ª
	Si la regla estuviese graduada en milímetros y el vernier tuviese diez divisiones, la longitud leída seria 6.7 mm. Si cada división de la regla hubiese sido igual a medio milímetro, y el vernier hubiese tenido cincuenta divisiones, la longitud leída seria 3,07 mm.
B. PALMER
Este aparato tiene, con el anterior, varias semejanzas: ambos son de doble escala, en ambos se coloca el cuerpo a medir de manera quesu longitud sea igual a la que existe entre el cero de la escala de lectura directa y un tope que, ahora si una diferencia, es aquí el extremo plano de un tornillo micrométrico, es decir, de paso pequeño y constante, cuyo valor ( el del paso) es igual al de una división de la escala (un milímetro o medio milímetro)
Eje ahusado
Tope 
Tornillo fijo
Cabeza dividida en N partes iguales
	La fracción de paso (o fracción de división) se lee en un tambor, cuya circunferencia está dividida en N partes iguales (100; 200; 500)
Si al dar una vuelta completa el tambor, solidario con el tornillo, este avanza o retrocede un paso (una división), al girar un ángulo correspondiente a una división del tambor, la punta del tornillo correrá Γ/N donde Γ es el valor del paso.
	La figura muestra la estructura típica de este instrumento. En el Laboratorio lo utilizara para medir espesores de láminas, diámetro de alambres, etc.
C. ESFEROMETRO
Este aparato tiene el mismo fundamento que el anterior. Difiere en la disposición de sus piezas en el hecho de que su cero (el cero de la escala de los pasos) no está marcado con un tope sino que coincide con el plano determinado por los extremos de sus tres patas, y en su uso: se lo utiliza, entre otras cosas, para medir la flecha de casquetes esféricos.
Como los casquetes o pueden ser cóncavos o convexos, la escala de los pasos del instrumento se prolonga hacia ambos lados del cero. La escala del tambor o limbo es doble, en uno u otro sentido de giro, para marcar las fracciones de paso en el avance y en el retroceso del tornillo. Las lecturas, como en el caso del aparato anterior se hacen en la escala fija (pasos enteros) y en el limbo (fracciones de paso y numero de aproximaciones)
La determinación de flechas de casquetes esféricos con el esferómetro, se hace comúnmente para conocer el radio R de la respectiva esfera. El procedimiento se fundamenta en lo siguiente.NP=2R-f
P
O
R
B
A
r
MN=f
N
C
M
Sean A, B y C los puntos de una esfera de radio R en que apoya los pies del esferó- 
metro. Estos puntos son los vértices de un triángulo equilátero y pertenecen
 a un plano que secciona la superficie esférica determinando un 
casquete cuya flecha f=MN se mide con el esferómetro.
En el triángulo rectángulo MAP la altura AN=r es media proporcional
entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa:
r2=f (2R-f) (1)
como el triángulo ABC es equilátero:
r=L/31/2 (2)
donde L=AB=BC=CA= constante del aparato (conocida o a 
determinar mediante medición preliminar)
de (1) y (2) resulta
R= (L2/6f)+ (f/2)
Si f<<L, puede simplificarse la expresión resultandoR=L2/6f=r2/2f
 (fórmula aproximada)
D. VERNIER CIRCULAR
	Así como barómetros, microscopios, catetómetros, etc. están provistos de vernier para mejorar sus lecturas, toda la gama de instrumentos que miden ángulos (anteojos meridianos, teodolitos, sextantes, etc.) utilizan, con el mismo principio, un vernier circular.
Como en el vernier rectilíneo, en el circular se define la aproximación (índice de la precisión A) mediante el cociente entre una división del limbo (generalmente dividido en grados o medios grados).
1.3. Errores en las mediciones
1.3.1 Definiciones:
Error absoluto
	Se denomina genéricamente error absoluto a la diferencia algebraica entre un valor medido de la magnitud incógnita y el valor verdadero o aquel que aparentemente lo representa. En el primer caso se tiene el “error absoluto verdadero” y, en el segundo el “error absoluto aparente”
	En mediciones, el valor verdadero corresponde al determinado teóricamente o a aquel dado por una definición determinada; asimismo, el valor aparente (denominado también “valor más probable”) es el que resulta de un tratamiento analítico de una serie de valores obtenidos en mediciones de la misma magnitud incógnita.
Error absoluto verdadero = valor medido – valor verdadero
Error absoluto aparente = valor medido – valor aparente
 Error relativo, error relativo porcentual
	Error relativo: cociente entre el error absoluto y el valor verdadero o aquel que aparentemente lo representa.
Error relativo verdadero = error absoluto verdadero/valor verdadero
Error relativo aparente = error absoluto aparente / valor aparente o valor más probable
	Error relativo porcentual: corresponde al error relativo multiplicado por 100. Esta forma (%) es la más común de expresar los errores.
1.3.2. Errores en las mediciones: tipos
	No es posible, en sentido estricto, efectuar una clasificación absolutamente cierta de los errores presentes en una medición. No obstante, con el propósito de estudiarlos de una manera sencilla, adoptaremos la clásica división de los mismos pero teniendo presente que, en determinados casos, los que corresponden a un tipo, bajo ciertas circunstancias pueden luego volverse a los otros y viceversa. Así:
a. Errores groseros
	Consisten principalmente en equivocaciones de lectura de instrumentos y registro de datos. En general son debidos a la falta de experiencia del observador o a su fatiga en el proceso de medición. Se caracterizan por su magnitud y pueden ser eliminados fácilmente de la medición al comparar un conjunto de valores medidos de la misma magnitud. 
b. Errores sistemáticos
	Se denominan errores sistemáticos a aquellos que “debieran repetirse exactamente y con el mismo signo en todas las mediciones que se hagan en iguales condiciones” de tal manera que las causas perturbadoras que provocan estos errores pueden ser expresadas por medio de fórmulas matemáticas.
	Consecuentemente con ello, al ser determinados matemáticamente en calor y signo, es posible desafectarlos del resultado de la medición. El ejemplo clásico de este tipo de error es el que se comete en la medición de la resistencia eléctrica de un elemento, con voltímetro y amperímetro de corriente continua. (FISICA II)
	En otros casos es posible eliminar la causa que origina este tipo de error, no por un tratamiento matemático sino mediante un artificio que logre que esta perturbación se autoelimine. Ejemplo: balanza de platillos, método de pesada doble.
	Algunos errores sistemáticos se deben a falta de ajuste o imperfección en la calibración de instrumentos usados en la medición. Es factible disminuir estos errores efectuando control y correcciones en los instrumentos mediante contraste con otros instrumentos admitidos como patrones.
	También se presentan errores sistemáticos debidos al observador. Cada observador tiene una forma característica de apreciar los fenómenos y de efectuar lecturas en las mediciones: repite su modalidad en forma regular; de ahí que se denomine a esta característica su “ecuación personal”. Por ejemplo, al medir tiempos un observador los registra con una modalidad de adelanto o de atraso respecto a otro observador. Una forma de determinar la ecuación personal de un observador seria efectuar mediciones repetidas, con distintos observadores – inclusive ubicados en diferentes posiciones- y de esta forma, comparar resultados. 
c. Errores accidentales
	También conocidos como “desvíos” o “indeterminaciones”. Se deben a que las mediciones están afectadas –entre otras cosas- por variaciones en el medio ambiente (temperatura, humedad, etc.) variación imprevista de la calibración de los instrumentos (inestabilidad en la calibración) alteración de los sentidos (imperfección humana) etc. estas causas –todas de características aleatorias- dan origen a los denominados accidentales.
	La característica fundamental de estos errores es que no se repiten en un solo sentido: es decir tienen valores numéricos con diferente signo.
1.3.3. CORRECCIONES DE ERRORES EN LAS MEDICIONES
	Los errores sistemáticos conocidos y algunos errores accidentales pueden ser eliminados mediante la aplicación de correcciones adecuadas. Para determinar estas, se controló cuidadosamente las condiciones de trabajo e instrumentos utilizados. Las correcciones, en estos casos, tienen el mismo sentido, ya que la causa que provoco el error hizo que las mediciones fuesen siemprepor exceso o siempre por defecto.
	No sucede lo mismo con los errores accidentales, ya que estos provocan, indiscriminadamente, valores por exceso y por defecto. Puesto que las causas son fortuitas se admite:
I. El valore verdadero de la medida resultante de un número infinito de mediciones, realizadas en idénticas condiciones, está dado por la media aritmética.
II. Es igualmente probable cometer errores de igual valor absoluto pero de distinto signo.
III. Es más probable cometer errores pequeños que grandes.
Estos son los postulados de la ley de distribución de Gauss, que es la más utilizada en el análisis estadístico y cuya representación gráfica, por su forma geométrica, se la denomina frecuentemente “campana gaussiana”.
 En ordenadas se representa un parámetro estadístico que corresponde al número de mediciones efectuadas.
	En abscisas se indica valores de la magnitud (valor genérico X) o bien el error absoluto (Xi-X).
	Por más elevado que sea el número de mediciones repetidas se encuentra en la práctica que ese número es reducido frente a la exigencia teórica de la Ley.
	El valor verdadero de una magnitud no es posible obtenerlo experimentalmente.
	No obstante, la Ley puede utilizarse para determinar varios parámetros vinculados a una cantidad finita de mediciones directas. Detalles sobre el particular puede encontrarlo el lector en textos de la especialidad.
	En este Trabajo de Laboratorio aplicaremos conceptos de la Ley a un número (n) reducido de mediciones directas, asignando como valor más probable (X´) de la magnitud medida al que resulte del cálculo de la media aritmética de los valores (Xi) medidos así:
Valor más probable= X´= (Σn i=1Xn)/n
	
(Otra propiedad del valor medio es que la suma algebraica de las diferencias (Xi-X) siempre es nula. En consecuencia, queda justificado tomar la media aritmética de un conjunto de medidas como valor más probable de la magnitud medida)
Errores en el caso de mediciones indirectas. Ley de propagación de errores.
	Hemos indicado que, en el caso de mediciones indirectas, los valores medidos se utilizan para obtener otros por cálculo, realizando entre aquellas operaciones matemáticas. Se hace así evidente que los valores obtenidos por el cálculo están afectados por los errores cometidos en las mediciones.
	Las influencias que en los resultados tienen los errores de cada medición no son iguales y, en general, habrá que aplicar en cada caso, los resultados a los que arriba la teoría de errores. Esto nos conduce a la llamada “Ley de propagación de errores”.
	El estudio y aplicaciones de esta Ley excede los alcances y objetivos de este Trabajo por lo que – igual que para la Ley de distribución de errores de Gauss-, nos limitaremos a exponer un ejemplo simple y conocido que permitirá demostrar la importancia del tema.
	Si se desea determinar la densidad del material de una plancha de aproximadamente de 10 cm de largo por 5 cm de ancho y 0,1cm de espesor, que pese 50g, podrá utilizarse un calibre que aprecie 1/10mm para determinar longitudes y utilizar una balanza que aprecie 1mg para determinar la masa.
	Los errores relativos porcentuales que se cometen en cada caso son, respectivamente, 1/100; 1/50; 1 y 1/500. El error total en la medición indirecta de la densidad, en las condiciones más desfavorables, es la suma de esos errores.
0,01+0,02+1+0,002=1,032≡1 (%)
	Se observa que unos influyen más decisivamente que otros en el error del resultado. En cada caso el experimentador deberá tener en cuenta el “peso” de cada uno de los errores en el resultado.
	En el ejemplo citado, por ejemplo, se ve la necesidad de medir el espesor de la plancha con el aparato más preciso y la poca importancia de hacer la pesada al miligramo. Finalmente que, dado el valor de la suma, resulta lícito adoptar el 1% como error total en la medición considerada.
1.3.4. EXPRESION DE RESULTADOS
	En la expresión del resultado de una medición, debe figurar el error aparente. Por ejemplo, si el cálculo de la densidad ρ (ρ =densidad=masa/volumen), da un valor 7,8g/cm3 con un error relativo porcentual del 1%, debemos calcular el error aparente y finalmente expresar el resultado:
Error aparente= 7,8x1/100=0,078≡0,1
ρ= (7,8+/-0,1) g/cm3; en unidades del SIMELAρ= (7,8+/-0,1)x103 Kg/m3
1.4. RESUMEN, CONCEPTOS Y FORMULAS FUNDAMENTALES
	X
	Valor verdadero de una magnitud. Corresponde al expresado teóricamente o al dado por una definición determinanda
	Xi
	Resultado de una medición de esa magnitud
	X´
	Valor más probable o valor aparente de la magnitud medida. Corresponde al resultado de un proceso de medición en el que se han efectuado, por ejemplo, corrección de errores sistemáticos, tratamiento de errores accidentales aplicando Gauss, etc.
	e
	Error absoluto. Diferencia algebraica entre X´y X; o bien ente Xi y X´. Generalmente el error en la medición se refiere a esta última.
	e=Xi-X
e=Xi-X´
	Ԑ
	Error relativo en la medición
	Ԑ= e /X´≡ e /X
	Ԑ%
	Error relativo porcentual
	Ԑ%=100 Ԑ
	
	Aplicación aproximada de la ley de Gauss a la determinación de X´
	X´= (Σn i=1Xn)/n
	
	Mediciones indirectas. Ley de propagación de errores.
No tratamos la Ley en este trabajo; únicamente mencionamos nociones y admitimos la procedencia – para algunos casos- de determinar el error en la medición sumando los errores de las magnitudes medidas que intervienen en el cálculo.
Expresión de resultados: debe figurar el valor del error absoluto y utilizar las unidades conforme a lo normalizado por el SIMELA (SI)
1.4. EJERCICIOS
1.4.1 Determinación de la densidad del material de una esfera.
Instrumentos disponibles: calibre, balanza de platillos tipo Roberval.
Estudio preliminar:
· Se trata de una esfera de material termoplástico de diámetro d≡30mm. Para calcular su volumen aplicaremos la fórmula :V=(4/3)πr3=(4/3)π(d/2)3
· Calibre. Determinación de la aproximación (precisión) A=…………………………………………….. 
Nota: un problema que suele surgir en el uso de los calibres es el denominado “error cero”, se trata de un típico error sistemático originado en el hecho de que –cuando las mordazas están cerradas-, el cero del vernier no coincide con el de la regla. Efectuaremos entonces el control de cero y, en caso de no coincidencia, tendremos que determinar la corrección del error sistemático respectivo.
Este instrumento lo usaremos para determinar el valor más probable del diámetro de la esfera a partir del resultado de n=5 mediciones, di ubicando el calibre en diferentes posiciones diametrales.
· Balanza. Es del tipo industrial; estimamos su sensibilidad en 1g. La usaremos para medir la masa de la esfera adoptando el método de la “doble pesada”.
· Densidad ρ del material. Por definición ρ=m/V
Cuadro de valores medidos y calculados. Cálculos, informe. Resultado
	Medición del diámetro del al esfera
	i
	Medición di (mm)
	Valor más probable d´ (mm)
	Error absoluto
e
	Error relativo
Ԑ
	Resultado
	1
	
	
	
	
	d=
	2
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	
	5
	
	
	
	
	
	Medición de la masa de la esfera
	i
	Medición mi (g)
	Valor más probable m´ (g)
	Error absoluto
e
	Error relativo
Ԑ
	Resultado
	1
	
	
	
	
	m=
	2
	
	
	
	
	
	Determinación de la densidad ρ
	ρ ´ =m´/V´=m/(4/3) π(d/2)3=
	Error; e=……………………………….
	Resultado:
	……………………………………………..
	...............................................
	ρ =………………………………………..
	……………………………………………..
	…………………………………………….
	...............................................
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
1.4.2 Determinación del radio de una esfera a partir de la medición de la flecha de un casquete de la misma. Uso de esferómetro.
Instrumentos de medida disponibles: esferómetro. Calibre. 
Estudio preliminar:
· Se trata de un casquete de esfera de vidrio. El radio R de la esfera lo determinaremosaplicando la formula aproximada, deducida en 1.2.C. (esferómetro), siguiente:
R=L2/6f
Este procedimiento es adecuado por cuanto apreciamos (a simple vista) que f<<L
· Esferómetro: 
Determinación de la “constante L” del esferómetro. Se sugiere apoya los pies del instrumento en una superficie plana rígida cubierta con una lámina de material blanco (como lo es, por ejemplo, una lámina de aluminio) y, presionando ligeramente para marcar los puntos A, B y C, que son los vértices del triángulo equilátero de lado L. acto seguido, con un calibre, medimos los segmentos AB, AC y BC, adjudicando a L el valor promedio de los medidos.
	Control de cero del esferómetro: apoyado sobre una superficie plana y dura el esferómetro, al girar el tornillo hasta que su punta toque la superficie (puntos A, B, C y N) contenidos en el mismo plano; la lectura del instrumento debe ser 0 (cero). Caso contrario, hay que considerar el consecuente error sistemático en las mediciones con ese instrumento.
	Estudio de la lectura del instrumento: valor de una división de la escala fija (coincidente con el del “paso” del tornillo); valor de la fracción división.
Medición de la flecha: operar como se indica en la figura 1.2.C. Se sugiere realizar 5 determinaciones de fi apoyando el instrumento en diferentes lugares.
Cuadro de valores medidos y calculados. Cálculos, informe. Resultado
	Determinación de la constante L del esferómetro 
	i
	Medición Li (mm)
	Valor más probable L´ (mm)
	Error absoluto
e
	Error relativo
Ԑ
	Resultado
	1
	
	
	
	
	L=
	2
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	Medición de la flecha del casquete de esfera definido por los pies del esferómetro
	i
	Medición fi (mm)
	Valor más probable f´ (mm)
	Error absoluto
e
	Error relativo
Ԑ
	Resultado
	1
	
	
	
	
	f=
	2
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	
	5
	
	
	
	
	
Determinación del radio R de la esfera. Resultado final 
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
1.4.3. Mediciones varias. Ejercitación complementaria opcional
Magnitudes: longitud, superficie, volumen, densidad
Instrumentos: cinta metálica, calibre, palmer o tornillo micrométrico, balanza.
Cuerpos: varilla metálica. Bolilla (esfera) de rodamientos. Cilindro metálico. Paralelepípedo recto metálico.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
	
	Definiciones de los patrones de TIEMPO, LONGITUD Y MASA. (Resumen)
	TIEMPO
	segundo (s) el segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo del cesio-133 
	LONGITUD
	metro (m) el metro corresponde a la longitud del camino viajado por la luz en el vacío en el intervalo de tiempo de 1/299 792 458 segundos. (observar que la definición del metro se fundamente en la del segundo y en la constante “velocidad de luz en el vacío” 
	MASA
	kilogramo (kg) el kilogramo corresponde a la masa del prototipo internacional del kilogramo (masa de un cilindro de platino-iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas; Francia 
	
	Definición del patrón de 
CANTIDAD DE MATERIA
	CANTIDAD DE MATERIA
	mol (mol) el mol es la cantidad de sustancia de un sistema físico que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Las entidades elementales han de ser especificadas y pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o agrupamientos especificados de tales partículas
Nota
 	Un mol de una sustancia es la cantidad de ella que contiene un numero especifico de entidades elementales NA=numero o CONSTANTE DE AVOGADRO=6.0221367 (36) 1023 mol-1 que constituye una CONTATENTE FISICA FUNDAMENTAL.
	Este número es el resultado que se obtiene de la relación que define un mol de átomos de carbono (isotopo C12) deba tener una masa de 0.012 kg.
	Para relacionar las magnitudes masa-cantidad de materia y las respectivas unidades kilogramo-mol debemos consultar: si se trata de átomos; UNA TABLA PERIODICA DE ELEMENTOS que especifique masa atómica. Así mismo, en caso que se trate de otras partículas, es necesaria la consulta de datos sobre la estructura eléctrica u otros específicos a las partículas que conforma el agrupamiento considerado