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1 Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo ARITMÉTICA CICLO 2022 – II “RAZONES Y PROPORCIONES” Semana Nº 11 INTRODUCCIÓN: Roberto y Pedro son dos estudiantes de la Universidad San Marcos, ellos permanecen todo el día en su facultad; Roberto recibe S/. 20 diario de su padre para sus gastos mientras que Pedro obtiene S/. 12 diarios en su trabajo que lo realiza nocturnamente en una panadería, además Roberto ahorra diario S/. 2 y Pedro ahorra S/. 6 diarios. Observamos: Roberto recibe (20 -12 =8) S/. 8 más que Pedro en un día. Pedro ahorra diario 6 3 , el triple de lo Podemos afirmar que el peso de Wendy excede o es mayor en 9kg. al peso de Cecil. RAZÓN GEOMÉTRICA (R.G.): Ejemplo: La producción de una fotocopiadora es de 4200 copias por hora y la de una impresora es de 900 hojas impresa por hora. La razón geométrica de sus producciones por hora es: Antecedente 2 que ahorra diario Roberto. Consecuente Valor de la R.G. Concluimos: Se ha comparado las cantidades disponibles de Roberto y Pedro para sus gastos diarios por medio de una sustracción: 20 - 12 = 8 A dicha comparación se le denomina Razón Aritmética. Se ha comparado los ahorros diarios de Roberto y Pedro por medio de una división: 6 3 SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Consideremos razones geométricas, cuyos valores son iguales. Ejemplos: 9 3; 12 3; 15 3; 21 3 3 4 5 7 Igualando: 2 A dicha comparación se le denomina Razón Geométrica. Antecedentes 9 12 15 21 RAZÓN ARITMÉTICA (R.A.): = = = = 3 Ejemplo: 3 4 Sean los pesos de Wendy y Cecil 30kg y 21 kg. La razón aritmética de sus pesos es: 5 3 Constante de proporcionalidad Antecedente Consecuente Valor de la R.A. Consecuentes Se cumple: Suma de Antecedentes la constante Suma de Consecuentes = de la serie 30 - 21= 9 4200 14 900 3 Equipo de Docente SEMANA: (11) 2 Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo PROBLEMAS PROPUESTOS partes iguales a cada uno le corresponde 5 1 10 2 n: Número de razones que se multiplican en la serie. Observación: La serie de la forma: a b c d se denomina también medio pan. Ambos casos son equivalentes: Igualando: b c d e serie de 4 razones geométricas equivalentes continuas. PROPORCIÓN Ejemplo 1: En el corral de Adolfo hay 15 gallinas y 10 patos; en la de Rodolfo hay 12 gallinas y 7 patos. Observamos: En el corral de Adolfo hay (15 - 10 = 5) 5 gallinas más que le número de patos, en el corral de Rodolfo también hay (12 - 4= 5) 5 gallinas, más que el número de patos. La comparación por sustracción en ambos casos son equivalentes. Igualando: 15 - 10 = 12 - 7 A esta igualdad de 2 razones aritméticas equivalentes se denomina “proyección aritmética”. Ejemplo 2: En la familia de Carlos que son 6 integrantes, todos los días compran 3 panes; en la familia de Jhon que son 10 integrantes se compran 5 panes, en ambas familias el reparto de los panes es en forma equitativa. Observamos: Que en la familia de Carlos los 3 panes deben ser distribuidos entre 6, como las partes son iguales a cada uno le corresponde 3 1 medio pan, en la 6 2 A esta igualdad de 2 razones geométricas se denomina “Proporción Geométrica”. TERMINOS Extre mo Medios Extremo 1° 2° 3° 4° Proporci 15-10=12- 15 10 12 7 ón 7 Aritmétic a Proporci 3 5 3 6 5 10 ón 6 10 Geométri ca TIPOS DE PROPORCIÓN: Continua: Discreta: 01. Dos números están en la razón de 3 a 8. Si su diferencia es 45. Calcula su producto A) 1944 B) 2445 C) 2007 D) 3434 E) 99 02. Las edades de 4 hermanos están en la misma relación que los números: 2; 5; 6 y 10. Si la suma de las edades del menor y mayor hermano es 36, calcular el producto de las edades de los hermanos no mencionados. A) 27 B) 120 C) 150 D) 195 E) 270 03. Si: 𝑚 𝑛 = 3 4 y 𝑛 𝑝 = 6 7 Además: m+n+p =140 familia de Jhon, los panes deben ser distribuidos entre 10 personas, como la distribución es en Producto de Antecedentes constante s de la serie n Producto de Consecuente = 6 10 3 5 M. Loyola Resaltar M. Loyola Resaltar Equipo de Docente SEMANA: (11) 3 Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo Calcula: n2 A) 1456 B) 1650 C) 2804 D) 2304 E) 195 04. En una proporción discreta en la que la constante de proporcionalidad es entera, se sabe que la suma de los cuadrados de sus términos es 125. Calcule la suma de los términos de dicha proporción. A) 24 B) 28 C) 20 D) 21 E) 48 05. En una proporción geométrica continua, la suma de los 4 términos naturales es 243 y la diferencia de los términos extremos es 135. Halle la media proporcional. A) 33 B) 21 C) 24 D) 42 E) 36 06. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 11; 3 y 560. Halle el mayor de los números. A) 140 B) 160 C) 240 D) 280 E) 320 07. El producto de tres números enteros positivos es 1728 y su suma es 38. Si el primero es al segundo como el segundo es al tercero, determine la media diferencial del menor y mayor de los números. A) 26 B) 21 C) 14 D) 13 E) 12 08. El dinero que tiene Janet es al dinero que tiene Evelyn como 11 es a 7. Si Janet da $40 a Evelyn, ambas tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Janet? A) 140 B) 160 C) 180 D) 200 E) 220 09. En una caja se tienen cubos negros y blancos. Si se sacan 20 cubos negros, la relación de los cubos de la caja es de 7 blancos por 3 negros. Si enseguida se sacan 100 cubos blancos, la relación es de 3 negros por cada 2 blancos. ¿Cuántos cubos habían inicialmente en la caja? A) 140 B) 210 C) 80 D) 220 E) 190 10. A partir de: 𝒑 𝒂 = 𝒒 𝒃 = 𝒘 𝒄 = 𝒌 Además: 𝒑.𝒒 𝒂.𝒃 + 𝟐 𝒒−𝒘 𝒃−𝒄 = 𝟏𝟓 Calcular el valor de k (entero +) A) 3 B) ½ C) 1/3 D) ¾ E) 1/9 11. Si: 𝒂 𝒃 = 𝒄+𝟏𝟏 𝒂+𝟏 = 𝒃 𝒄 Además: a+b+c = 19. Calcular: a.b.c A) 216 B) 302 C) 54 D) 105 E) 192 12. Se sabe que: √𝒆𝟑 + 𝟑𝟒𝟑 𝟑 𝟗𝟏 = √𝒃𝟑 + 𝟏𝟐𝟓 𝟑 𝟔𝟓 = √𝒙𝟑 + 𝟐𝟕 𝟑 𝟑𝟗 𝑨𝒅𝒆𝒎𝒂𝒔: 𝒆 − 𝒙 = 𝟏𝟐. 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒃𝟐 A) 225 B) 64 C) 2005 D) 9000 E) 900 13. Sea: 𝑨 𝑨 + 𝑩 = 𝑩 𝑩 + 𝑪 = 𝑪 𝑪 + 𝑫 = 𝑲 Además: C+D = 180 √(𝑨 + 𝑩)(𝑩 + 𝑪) = 𝟐𝟎√𝟑 Calcula: K A) 2/3 B) ¼ C) ¾ D) 1/3 E) 5/12 14. ¿Cuánto se debe aumentar, simultáneamente, a los números 44; 8; 62 y 14 para que constituyan una proporción geométrica? A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 18 M. Loyola Resaltar M. Loyola Resaltar M. Loyola Resaltar M. Loyola Resaltar M. Loyola Resaltar M. Loyola Resaltar M. Loyola Resaltar M. Loyola Resaltar M. Loyola Resaltar Equipo de Docente SEMANA: (11) 4 Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo 15. En una reunión social, por cada 3 hombres asisten 2 mujeres. Si en un determinado momento se observa que 30 hombres y 5 mujeres no bailan, ¿cuántas personas acudieron a dicha reunión? A) 90 B) 100 C) 110 D) 120 E) 125 16. Se tiene un recipiente que contiene una mezcla de vino y agua en la relación de 5 a 4. Se sacan 9 litros de este recipiente y son reemplazados por el mismo volumen de otra mezcla de vino y agua, pero que están en la relación de 4 a 5. Si ahora dicha relación en el recipiente es de 6 a 5, determine el volumen de la mezcla al inicio en dicho recipiente. A) 78L B) 91L C) 92L D) 99L E) 108L 17. Heydi va al mercado y siempre gasta media vez más de lo que nogasta, además, ella lleva en total 400 soles. ¿En cuánto deberá disminuir sus gastos para que la relación de lo que gasta y de lo que no gasta sea de 1 a 4? A) 130 B) 150 C) 140 D) 80 E) 160 18. Un mozo debe preparar un coctel de gaseosa, vino y naranja en la proporción de 4; 2 y 5, respectivamente; pero para ello le faltaban 4 L de gaseosa y 6 L de naranja, los cuales reemplaza por vino, siendo la proporción final de 18; 15 y 22, respectivamente. Determine cuántos litros de vino se utilizó. A) 25 B) 30 C) 20 D) 28 E) 35 19. En una proporción de razón igual a 3/4, el producto de los consecuentes es 880. Si los antecedentes están en la misma razón de 5 a 11, halle la cuarta proporcional de dicha proporción. A) 44 B) 84 C) 96 D) 224 E) 504 20. Se sabe lo siguiente: a es la tercera diferencial de 28 y 20. b es la cuarta proporcional de 16; a y 36. Halle la media proporcional de a y b. 21. En una reunión el número de solteros y casados están en la relación de 2 a 1, mientas que el número d hombres casados es al de hombres como 3 es a 5. ¿Cuál es el número de asistentes, si las mujeres solteras exceden a las casadas en 30; siendo estas últimas una cantidad mínima? A) 32 B) 35 C) 40 D) 58 E) 69 22. Para envasar 15000 litros de aceite se dispone de botellas de medio litro, un litro y cinco litros. Por cada botella de 5 litros, hay 10 de un litro y 20 de medio litro. Al terminar de envasar el aceite, no sobra botella alguna. ¿Cuántas botellas había en total? A) 18000 B) 27000 C) 18600 D) 30000 23. En una proporción geométrica la suma de antecedentes es 130 y la suma de los consecuentes es 208. Si el producto de los términos medios es 5400. Hallar el mayor de los términos. a) 100 b) 75 c) 120 d) 180 e) 240 24. En una serie de 3 razones geométricas iguales los consecuentes son 6, 8 y 18. Si el producto de los antecedentes es 2916. Hallar el menor antecedente. Equipo de Docente SEMANA: (11) 5 Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo 25. La media proporcional de 2 números es 15. Si la proporción continua que se forma tiene por razón 3/5. Hallar la media diferencial de los extremos. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 26. Dada la serie: f e d c b a = k Hallar: 202020 202020 fdb eca a) k b) k10 c) k20 d) k4 e) k5 27. En un teatro, por cada 4 varones adultos que ingresan, 3 entran con un niño; y de cada 7 mujeres adultas, 2 entran con un niño; además, por cada 6 varones adultos entran 5 mujeres adultas. Si en total ingresan 310 niños, ¿cuántas personas adultas ingresaron? A) 1540 B) 1542 C) 1524 D) 1564 E) 1440 28. Se tiene 20 litros de un vino cuyo precio por litro es S/.A y 30 litros de otro vino cuyo precio por litro es S/.B. ¿Cuántos litros deben intercambiarse de manera que ambos tipos de vino resulten de la misma calidad? A) 14 B) 18 C) 12 D) 10 E) 15 29. . Si: !8 d !7 c !6 b !5 a Además: a + b = 9! Halle: (d - c) a) 7 x 9! b) 6 x 9! c) 42 x 9! d) 21 x 9! e) 9!
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