APUNTES DE CLASE 02 MOVIMIENTO ARMÓNICO

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Mg. Luis Alberto Bolarte Canals Física II 
 
 
 1 
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS 
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA 
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL 
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL 
 
FÍSICA II 
 
APUNTES DE LA CLASE 2: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
 
CONCEPTOS Y DEFINICIONES 
 
MOVIIENTO PERIODICO 
 
Es un movimiento por el cual sus características se repiten en intervalos de 
tiempos iguales. Por ejemplo, tenemos el caso de un péndulo simple. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∎ L es la longitud del péndulo simple. 
 ∎ 𝛉 es el desplazamiento angular o posición angular. 
 ∎ S es el desplazamiento lineal. 
 
En la figura, cuando el cuerpo es llevado hasta la posición P y luego es soltado, 
se genera un movimiento oscilatorio de P a Q y luego de Q a P. Entonces diremos 
que el sistema se encuentra moviéndose periódicamente con respecto a su 
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 2 
posición de equilibrio (caso ideal en que el cuerpo o sistema no experimenta la 
acción de fuerzas externas, solamente actúa su propio peso). 
 
 
MOVIMIENTO OSCILATORIO 
 
Cuando una partícula o cuerpo decimos que está oscilando en condiciones 
ideales, entonces el movimiento oscilatorio puede continuar indefinidamente, y 
periódicamente respecto a su posición de equilibrio. En condiciones normales, la 
oscilación decrece con el tiempo, hasta llegar a hacerse imperceptible , por lo 
que podemos decir que el movimiento es amortiguado. 
 
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) 
 
Es el movimiento oscilatorio más simple de poder expresar matemáticamente y 
se aproxima a muchas de las oscilaciones que se producen en la naturaleza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CICLO 
 
En la figura, el sistema masa – resorte completa un ciclo o también podemos 
decir que realiza una oscilación completa cuando parte de A, llega a B y retorna 
a A. 
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 3 
ELONGACIÓN (X) 
 
En la figura, está representada por (X) y es la distancia de la posición instantánea 
(X) del sistema respecto a la posición de equilibrio (O). 
 
AMPLITUD (A) 
 
Es el valor máximo que puede tomar la elongación. 
 
PERIODO (T) 
 
Es el tiempo necesario que toma el sistema masa – resorte para efectuat un ciclo 
u oscilación completa. 
 
FRECUENCIA (f) 
 
Es el número N de oscilaciones completas que experimenta el sistema masa – 
resorte por segundo, También se le conoce como frecuencia lineal. 
 
 
 (1) 
 
La unidad es S−1 = Hertz 
 
Por otra parte se tiene 
 
 (2) 
 
La unidad es el segundo S 
 
El movimiento armónico simple lo podemos definir como un movimiento 
periódico, oscilatorio y vibratorio, producido por la acción de una fuerza 
recuperadora la cual es directamente proporcional al desplazamiento, pero en 
sentido opuesto, y se llama armónico porque en este caso el desplazamiento, la 
velocidad y la aceleración son descritas en función del tiempo por funciones 
armónicas senos y cosenos. 
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 4 
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
 
ECUACIÓN DINÁMICA DEL M.A.S 
 
Si tenemos el caso ideal, por el cual un resorte se encuentra unido a un cuerpo 
de masa m, como se muestra en la figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces podemos ver que la fuerza de restitución la podemos expresar como: 
 
F = −Kx 
 
Luego como se trata de una situación dinámica, tenemos que utilizando la 
segunda ley de Newton: 
 
∑ 𝐅𝐗 = 𝐦 𝐚𝐗 
 
−𝐊𝐱 = 𝐦 𝐚𝐗 
 
−𝐊𝐱 = 𝐦 
𝐝𝟐𝐱
𝐝𝐭𝟐
 
 
𝐝𝟐𝐱
𝐝𝐭𝟐
= −
𝐊
𝐦
𝐱 
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 5 
 
 (3) 
 
 
O también 
 
 (3a) 
 
 
Esta ecuación diferencial lineal de segundo orden, cuya solución podemos 
mostrarla en la figura: 
 
 La cual puede expresarse como 
 
 (4) 
 
Siendo: 
 A: La amplitud del movimiento, la cual depende de las condiciones 
 iniciales del problema. 
 𝜑: Representa la fase inicial, la cual también depende de las 
 Condiciones iniciales del problema. 
 
 𝜔: Que representa a la frecuencia angular, la cual se mide en rad/s. 
 Esta frecuencia depende de m y K, como 
 
 
 (5) 
 
 
 
 
También podemos apreciar que las constantes A y f, dependen de dos 
condiciones iniciales a especificar en el problema, como por ejemplo la posición 
y la velocidad en cierto instante. 
Hay otras formas de expresar la solución de la ecuación diferencial lineal de 
segundo orden, como: 
 
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 6 
 ∎ 𝐱 = 𝐀𝐬𝐞𝐧(𝛚𝐭 + 𝛅) 
 ∎ 𝐱 = 𝐂𝐬𝐞𝐧𝛚𝐭 + 𝐃𝐜𝐨𝐬𝛚𝐭 
 
Por otra parte como el periodo T, es el tiempo que tarda la partícula o cuerpo en 
realizar una oscilación completa, el cual lo podemos expresar como 
 
 
 (6) 
 
 
 
Y la frecuencia f, que representa el número de oscilaciones que efectúa la 
partícula por unidad de tiempo, es 
 
 
 (7) 
 
 
Observándose que la frecuencia es la inversa del periodo. 
 
 
VELOCIDAD DE LA PARTÍCULA SOBRE EL EJE X 
 
Partimos de la solución de la ecuación diferencial de segundo orden 
 
 
𝐱(𝐭) = 𝐀𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐭 + 𝛗) 
 
 
 
 (8) 
 
 
 
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 7 
ACELERACIÓN INSTANTÁNIA DE LA PARTICULA SOBRE EL EJE X 
 
Como sabemos que VX = −Aωsen(ωt + φ), entonces 
 
 
 (9) 
 
 
Luego comparando esta ecuación con la solución de la ecuación diferencial lieal 
de segundo orden, tenemos 
 
 (10) 
 
 
Por nuestro curso de trigonometría, sabemos que el valor máximo de las 
funciones seno y coseno es 1. Entonces tenemos que la velocidad y aceleración 
máxima de la partícula son, respectivamente, 
 
 
 
 (11) 
 
 
 
En la siguiente gráfica, mostramos en forma simultánea la posición, velocidad y 
aceleración instantánea. Podemos observar que cuando la partícula la 
encontramos en su posición máxima, ya sea esta positiva o negativa, la rapidez 
o sea la magnitud de la velocidad es cero y su aceleración es máxima. 
También se observa que cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio su 
velocidad es máxima y la aceleración es nula. 
 
 
 
 
 
 
 
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 8 
OBSERVACIÓN 
 
Otra forma de determinar la velocidad y la aceleración, es utilizando las siguientes 
gráficas: 
 
1. VELOCIDAD 
 
∎ De la gráfica: 
 
 𝐗 = 𝐀𝐬𝐞𝐧𝛉 = 𝐀𝐬𝐞𝐧𝛚𝐭 
 
 𝐕𝐗 = −𝐕𝐬𝐞𝐧𝛉 = −𝛚𝐀𝐬𝐞𝐧𝛚𝐭 
 
 (12) 
 
 ∎ En general: 
 
 (13) 
 
 
 
2. ACELERACIÓN 
∎ De la gráfica: 
 
 𝐚𝐗 = 𝐚𝐜𝐨𝐬𝛉 
 
𝐚𝐗 = −
𝐕𝟐
𝐀
𝐜𝐨𝐬𝛉 =
(𝛚𝐀)𝟐
−𝐀
𝐜𝐨𝐬𝛚𝐭 
 
 𝐚𝐗 = −𝐀𝛚
𝟐𝐜𝐨𝐬𝛚𝐭 = −𝛚𝟐𝐱 
 
 
 (14) 
 
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 9 
Ejercicio 1. 
 
Si hacemos oscilar un cuerpo que se encuentra unido a un resorte 
horizontal desde la posición de equilibrio, de tal forma que la separación 
máxima de dicha posición es de 3cm. Contándose 20 oscilaciones en 5 
segundos. Determine la ecuación de dicho movimiento. Considere que no 
existe rozamiento. 
 
Solución 
 
Por los datos del ejercicio,tenemos que la máxima elongación es igual a la 
amplitud, osea 
 
 A = 3 cm 
 
Y su periodo y frecuencia angular serán: 
 
 
𝑇 =
1
𝑓
=
5
20
𝑠 = 0,25 𝑠 
 
 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
= 8𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 
 
Como 
x(t) = x = Acosωt 
 
 
 
 
Si lo hacemos en función del seno, la expresión anterior la 
podemos expresar como 
 
 
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 10 
Ejercicio 2. 
 
En la siguiente gráfica, se representan dos movimientos. Determinelas 
ecuaciones de movimiento representativas. 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
De la grafica podemos observar que para ambos movimientos, se tiene que 
A = 3 cm y T = 4 s. Por lo que la frecuencia angular será: 
 
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 (
1
4
) 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ =
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑
𝑠⁄ 
Por lo tanto la ecuación del movimiento 1, será: 
 
𝐗𝟏 = 𝟑 𝐜𝐨𝐬 [
𝛑
𝟐
𝐭 +
𝛑
𝟐
] 𝐜𝐦 
 
y para el movimiento 2, será: 
 
𝐗𝟏 = 𝟑 𝐜𝐨𝐬 [
𝛑
𝟐
𝐭 − 𝛑] 𝐜𝐦 
También observamos que el desfasaje entre ellos es π 2⁄ 𝑟𝑎𝑑. 
 
Ejercicio 3. 
 
Un vendedor de papa utiliza una báscula cuyo resorte se alarga 1,2 cm al 
colocar 1,5 kg de papas. 
 
3.1. Determine la constante elástica del resorte. 
 
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 11 
3.2. Si el resorte es jalado 5 cm hacia abajo y luego se libera poniéndose a 
oscilar verticalmente libre de fricción; calcular la amplitud y el periodo 
de las oscilaciones. ( g = 9,8 m/s2 ) 
 
Solución: 
 
3.1. Del equilibrio de nuestro sistema se tiene: 
 
Ky – mg = 0 
 
 de donde la constante del resorte es: 
 
𝐊 =
𝐦𝐠
𝐲
=
(𝟏, 𝟓 𝐤𝐠)(𝟗, 𝟖 𝐦
𝐬𝟐⁄
)
𝟎, 𝟎𝟏𝟐 𝐦
= 𝟏𝟐𝟐𝟓 
𝐍
𝐦
 
 
3.2. Como el resorte fue jalado hacia abajo 5 cm y se libera partiendo 
del reposo, entonces la amplitud de las oscilaciones es: 
 
A = 5 cm = 0,05 m 
 
Entonces el periodo es: 
𝐓 = 𝟐𝛑√
𝐦
𝐊
= 𝟐𝛑√
𝟏, 𝟓 𝐤𝐠
𝟏 𝟐𝟐𝟓 
𝐤𝐠
𝐬𝟐
⁄
= 𝟎, 𝟐𝟐 𝐬 
 
Ejercicio 4. 
 
En la figura, se muestran dos cuerpos de masas m1 y m2 (m2=2m1), los 
cuales oscilan verticalmente con la misma velocidad. Si el cuerpo de 
masa m1 alcanza a tener una amplitud A1= 3√2 cm. Calcular la amplitud 
de m2, si sabemos que K1 = 4 K2. 
 
 
 
 
 
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 12 
Solución: 
 
Como la velocidad en el M.A.S. para x = 0, es V = VMAX=ωA. Entonces: 
 
𝐕𝐌𝐀𝐗𝟏 = 𝛚𝟏𝐀𝟏 
𝐕𝐌𝐀𝐗𝟐 = 𝛚𝟐𝐀𝟐 
 
Por dato del ejercicio 𝑉𝑀𝐴𝑋1 = 𝑉𝑀𝐴𝑋2 , tenemos: 
 
𝛚𝟏𝐀𝟏 = 𝛚𝟐𝐀𝟐 
 
√
𝐊𝟏
𝐦𝟏
 𝑨𝟏 = √
𝐊𝟐
𝐦𝟐
 𝐀𝟐 
 
𝑨𝟐 = 𝑨𝟏√(
𝑲𝟏
𝑲𝟐
)(
𝒎𝟐
𝒎𝟏
) 
 
𝑨𝟐 = (𝟑√𝟐)√(
𝟒𝑲𝟐
𝑲𝟐
)(
𝟐𝒎𝟏
𝒎𝟏
) 
 
𝑨𝟐 = (𝟑√𝟐)(√𝟖)= 𝟏𝟐 𝐜𝐦 
 
A2 = 12 cm 
 
 
CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS EN EL M.A.S 
 
Sabemos que en el movimiento armónico en general, y en el movimiento 
armónico simple, en el cual no actúan fuerzas disipativas, la energía mecánica 
total se conserva (permanece constante): 
 
 (15) 
 
Como en el caso especial del movimiento armónico simple, tenemos que el 
desplazamiento para cualquier instante de tiempo está dado por: 
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 13 
 
 (16) 
 
 
Entonces su energía potencial en cualquier instante estará dada por 
 
 
 (17) 
 
 
Donde podemos apreciar que esta energía potencial oscila con el tiempo y posee 
un valor máximo de 
 
 (18) 
 
Por otra parte, como la energía cinética y la velocidad en cualquier instante 
estarán dadas por: 
 
𝐊 = 𝐄𝐂 =
𝟏
𝟐
𝐦𝐕𝟐 
 
𝐕 = −𝛚𝐀𝐬𝐞𝐧(𝛚𝐭 + 𝛗) 
 
𝐄𝐂 =
𝟏
𝟐
𝐦𝛚𝟐𝒙𝒎
𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝛚𝐭 + 𝛗) =
𝟏
𝟐
𝐊𝐱𝐦
𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝛚𝐭 + 𝛗) 
 
Como 𝛚𝟐 =
𝐊
𝐦
, entonces la energía cinética del movimiento armónico simple la 
podemos expresar como: 
 
 (19) 
 
 
En conclusión la energía cinética al igual que la energía potencial, oscila con el 
tiempo y tiene un valor máximo de 
𝟏
𝟐
𝐊𝐱𝐦
𝟐 . 
 
 
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 14 
Podemos establecer a hora que la energía mecánica total de un sistema que 
oscila en movimiento armónico simple estará dada por: 
 
 
 (20) 
 
 
 
En general: 
 
 
 (21) 
 
 
 
De la ecuación (21), también podemos obtener para cualquier instante de t: 
 
 
 (21 a) 
 
 
 
 
 (22) 
 
 
 
En las gráficas siguientes mostramos la energía cinética K, la energía potencial 
U y la energía mecánica total E de una partícula que efectúa un movimiento 
armónico sim 
 
 
 
 
 
 
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 15 
En la gráfica (1), podemos notar que las energías potencial y cinética pueden 
alcanzar cada una sus máximos dos veces durante cada periodo del movimiento. 
En la gráfica (2), podemos observar que cuando una energía disminuye la otra 
aumenta, conservándose la energía mecánica total del sistema. 
 
 
Ejercicio 5. 
 
Se tiene un sistema bloque – resorte de constante de elasticidad K = 221 N/m, el 
cual se estira en dirección positiva de las x (sistema de coordenadas 
unidimensional) una distancia de 11,6 cm del equilibrio y luego se libera el 
sistema (no hay rozamiento). 
 
 
5.1. ¿Cuál es la energía total almacenada en el sistema? 
5.2. ¿Cuál es la rapidez máxima del bloque? 
5.3. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración máxima? 
5.4. Si el bloque se suelta en t = 0 s. ¿Cuáles son su posición, velocidad, 
aceleración en t = 0,215 s? 
 
 
Solución: 
 
 
5.1. Por dato del problema, la amplitud es A = Xm = 11,6 cm = 0,116 m y K = 221 
N/m, luego la energía total del sistema será: 
 
𝐸 =
1
2
𝐾𝑥𝑚
2 =
1
2
(221)(0,116)2 = 1,49 J 
 
5.2. Sabemos que la energía cinética máxima es numéricamente igual a la 
energía total del sistema, cuando U = 0. 
 
E = EC =
1
2
mV2 =
1
2
Kx2 
 
Observación: Las preguntas 5.3 y 5.4 son para los estudiantes. 
 
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 16 
 
APLICACIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
 
EL OSCILADOR DE TORSIÓN 
 
En la figura se muestra un cuerpo rígido 
en forma de disco, el cual se encuentra 
suspendido de un alambre unido al C.M 
(o) del disco. 
 
 
Con el disco en equilibrio trazamos una línea radial hasta el punto P en su borde. 
Luego si hacemos que el disco gire en un plano horizontal de modo que OP se 
mueva a la posición OR, el alambre retorcido ejercerá un torque de restitución 
sobre el disco que tiende a regresar a su posición de equilibrio OP. Entonces 
para retorcimientos pequeños se halla que el torque (torca) de restitución es 
proporcional al desplazamiento angular (Ley de Hooke); ósea 
 
 
 
 (23) 
 
 
 
donde K es una constante de proporcionalidad que depende de las propiedades 
del material con el cual fue construido; a esta constante la podemos llamar 
constante de torsión. 
 
Por otra observamos que el signo menos muestra que el torque está dirigido en 
sentido opuesto al desplazamiento angular 𝛉. 
La expresión (23) es la condición del M.A.S angular. La ecuación del movimiento 
para este sistema está basado en la forma angular de la segunda ley de Newton. 
 
 
 (24) 
 
 
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 17 
Donde I es el momento de inercia y 𝛂 es la aceleración angular, dicha expresión 
también se puede expresar como 
 
 
 (25) 
 
 
 
Luego de las expresiones (23) y (25), tenemos: 
 
−Kθ = I(
d2θ
dt2
) 
 
de donde obtenemos 
 
𝐝𝟐𝛉
𝐝𝐭𝟐
= −(
𝐊
𝐈
)𝛉 
 
 
 (26) 
 
 
 
 
 (27) 
 
 
 
La cual representa a la ecuación diferencial del movimiento armónico simple del 
oscilador de torsión. 
 
 
 
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 18 
Cuyo periodo, frecuencia y frecuencia angular están dadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (28) 
 
 
 
 
 
 
 
ALGUNAS CONCLUSIONES DE ESTE MOVIMIENTO 
 
1. Una solución de la ecuación diferencial de este movimiento en la 
coordenada angular θ, es 
 
 
(29) 
 
 
𝛉𝐦: Es el desplazamiento angular máximo, esto es, la amplitud de la 
oscilación angular. 
𝛚: Representa la frecuencia angular, y no la velocidad angular. 
 𝛉𝟎:Representa la fase inicial. 
2. En la relación (29), se tiene que 𝜔 ≠
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 
3. En la gráfica el disco oscila con respecto a la posición de equilibrio θ = 0, 
siendo el intervaloangular total 2𝜃𝑚 (desde OR hasta OQ). 
4. Un oscilador de torsión como el de la gráfica se denomina también péndulo 
de torsión. 
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 19 
 
EL PÉNDULO SIMPLE 
 
Podemos considerar a un péndulo simple como un cuerpo idealizado de una 
partícula suspendida de un hilo inextensible. En la siguiente gráfica tenemos un 
péndulo simple, cuando se le desplaza lateralmente de su posición de equilibrio 
elevándose una determinada altura y haciendo un ángulo 𝛉 muy pequeño. Desde 
esa nueva posición se suelta, y el péndulo comienza a oscilar en un plano vertical 
bajo la influencia de la gravedad. Siendo el movimiento periódico y oscilatorio. 
Determinaremos el periodo del movimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De la gráfica, tenemos que la fuerza de restitución es: 
 
 
 (30) 
 
por la segunda ley de Newton, tenemos 
 
𝐅 = 𝐦𝐚 = −𝐦𝐠𝐬𝐞𝐧𝛉 
 
𝐚 = −𝐠𝐬𝐞𝐧𝛉 
 
Po la trigonometría, sabemos que para ángulos pequeños, el argumento de la 
función se aproxima a la función, y s ≈ x por lo tanto la expresión anterior será: 
 
 (31) 
 
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 20 
De la expresión (14) y (24), tenemos 
 
−𝛚𝟐𝐱 = −𝐠𝛉 = −𝐠 (
𝐬
𝐋
) = −𝐠(
𝐱
𝐋
) 
 
Luego 𝛚𝟐 =
𝐠
𝐋
 
 
(
𝟐𝛑
𝐓
)𝟐 =
𝐠
𝐋
 
 
 
 
 (32) 
 
 
Periodo del péndulo simple 
 
 
Cabe hacer notar que el periodo del péndulo simple es independiente de la masa 
de la partícula suspendida. 
Cuando la amplitud de la oscilación no es pequeña, puede demostrarse que la 
ecuación general del periodo es 
 
 
 
 (33) 
 
 
 
TAREA; 
 
TAREA 1 
 
Demuestre la ecuación (26) para ángulos no pequeños y determine también el 
grado de precisión cuando θm= 15
0 y compárelo con lo que obtienen, utilizando 
a ecuación (24). Con el péndulo simple podemos obtener el valor de g 
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 21 
(aceleración de la gravedad del lugar donde se está efectuando a medición, para 
lo cual utilizamos una cuerda (Huaraca para hacer bailar trompos) de 1,50 m y lo 
desplazamos un ángulo entre 100 a 150 en la vertical). Luego el resultado obtenido 
con la ecuación (24) compárelo con el resultado que obtiene hasta una segunda 
aproximación. 
 
TAREA 2 
 
Utilizando todo lo que ha aprendido acerca del movimiento armónico del péndulo 
simple, encuentre su ecuación diferencial de la forma: 
 
𝐝𝟐𝛉
𝐝𝐭𝟐
+ (
𝐠
𝐋
) 𝐬𝐞𝐧𝛉 = 𝟎 
 
𝐝𝟐𝛉
𝐝𝐭𝟐
+ (
𝐠
𝐋
) 𝛉 = 𝟎 
 
𝐝𝟐𝛉
𝐝𝐭𝟐
+ 𝛚𝟐𝛉 = 𝟎 
 
 
EL PÉNDULO FÍSICO 
 
Cuando suspendemos un sólido rígido de un punto que no pasa por su centro de 
masa y se separa de su posición de equilibrio, entonces dicho sólido realiza un 
movimiento oscilatorio debido a la acción de su propio peso, por lo cual recibe el 
nombre de péndulo físico. 
 
∎ El movimiento que inicia el cuerpo cuando 
 se libera, causa un momento de torsión dado 
 por: 
 𝛕 = −𝐦𝐠(𝐝𝐬𝐞𝐧𝛉) 
 
 
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 22 
El signo negativo nos indica que el momento de torsión esta en sentido horario si 
el desplazamiento es en sentido antihorario, y viceversa. 
Luego la ecuación de movimiento es: 
 
∑ 𝜏 = 𝐼𝛼 
 
 
 (34) 
 
 
 
Donde 𝛕 es el momento resultante de las fuerzas exteriores, 𝛂 es la aceleración 
angular e I es el momento de inercia respecto al eje de giro (estamos 
considerando que no existe rozamiento, y además para ángulos pequeños se 
cumple que sen 𝜃 ≈ 𝜃). 
 
La cual representa la ecuación diferencial de movimiento del péndulo, pero¿ 
también se puede expresar como: 
 
 
 
 (35) 
 
 
 
De donde 
𝛚𝟐 =
𝐦𝐠𝐝
𝐈
 
 
 
 (36) 
 
 
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 23 
 
La expresión (29) constituye la frecuencia propia 𝛚 del sistema, y su periodo: 
 
𝐓 =
𝟐𝛑
𝛚
=
𝟐𝛑
√𝐦𝐠𝐝
𝐈
= 𝟐𝛑√
𝐈
𝐦𝐠𝐝
 
 
 
 
 (37) 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
EJERCICIO 1 
 
Un cuerpo de masa M se conecta a dos resortes de constantes elásticas K1 y K2, 
como se muestra en la gráfica. La masa se mueve sobre una superficie lisa al 
desplazarse del equilibrio y luego soltarse. Encuentre el periodo de movimiento 
y la frecuencia del sistema en cada caso. 
 
 
Caso – 1: 
 
 
 
 
 
 
Solución 
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 24 
 
 
Si hacemos un diagrama de cuerpo libre al sistema, tenemos: 
 
 
 
 
 
Como podemos observar, en conjunto la masa M oscila debido a un resorte 
equivalente: F = K x, donde x = x1 + x2, luego, podemos escribir 
 
𝐅
𝐊
=
𝐅
𝐊𝟏
+
𝐅
𝐊𝟐
 
 
 
 (38) 
 
 
Luego tenemos que: 
 
𝛚 = √
𝐊𝟏𝐊𝟐
𝐌(𝐊𝟏 + 𝐊𝟐)
 
 (39) 
𝐓 = 𝟐𝛑√
𝐌(𝐊𝟏 + 𝐊𝟐)
𝐊𝟏𝐊𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
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 25 
 
¿ 
Caso – 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
En la figura podemos observar que: 𝑭𝟏 = 𝑲𝟏𝒙𝟏 y 𝐅𝟐 = 𝐊𝟐𝐱𝟐. 
Luego el sistema oscila debido a una fuerza recuperadora 𝐅 = 𝐊𝐱. 
Podemos a hora expresar F = F1 + F2 , luego tenemos que: 
 
 
𝐊𝐱 = 𝐊𝟏𝐱 + 𝐊𝟐𝐱 
 
Con lo cual se tiene 
 
 
 
 
 
 (40) 
 
 
 
 
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 26 
 
 
Caso – 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si hacemos un diagrama de cuerpo libre, tenemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 𝐅𝟏 = 𝐊𝟏𝐱, 𝐅𝟐 = 𝐊𝟐𝐱 y 𝐅 = 𝐊𝐱, se tiene que observado como un conjunto 
de resortes, el cuerpo de masa M oscila debido a un resorte equivalente: 
 
 
𝐅 = 𝐊𝐱 = 𝐅𝟏 + 𝐅𝟐 = 𝐊𝟏𝐱 + 𝐊𝟐𝐱 
 
 
𝐊 = 𝐊𝟏 + 𝐊𝟐 
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Luego se tiene 
 
 
 
 
 (41) 
 
 
 
 
 
TAREA: 
 
Determine el periodo y la frecuencia en el sistema mostrado en la gráfica 
(considerar que no existe rozamiento) 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
01. En un sistema masa – resorte, un cuerpo de masa M efectúa en 100 
segundos 70 oscilaciones completas. Si la frecuencia del sistema cambia 
a 0,65 Hz cuando se le agrega otro cuerpo de masa m = 0,95 Kg, determine 
el valor de M. 
 
 
Solución 
 
∎Sabemos que 𝛚 = 𝟐𝛑𝐟𝟏 = √
𝐊
𝐌
 , de donde despejamos K 
 
𝐊 = 𝐌(𝟐𝛑𝐟𝟏) 
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 28 
 
∎Como por dato del problema la frecuencia f1 es 
 
𝐟𝟏 =
𝟕𝟎
𝟏𝟎𝟎
 𝐇𝐳 = 𝟎, 𝟕𝟎 𝐇𝐳 
 
∎Si agregamos a hora la masa de 0,95 kg, la nueva frecuencia será 
 
𝐟𝟐 =
𝟏
𝟐𝛑
√
𝐊
(𝐌 + 𝟎, 𝟗𝟓)
= 𝟎, 𝟔𝟓 𝐇𝐳 
 
𝒇𝟐 =
𝟏
𝟐𝝅
√
𝑴(𝟐𝝅𝒇𝟏)
𝟐
(𝑴 + 𝟎, 𝟗𝟓)
 
 
𝒇𝟐
𝟐 =
𝟏
𝟒𝝅𝟐
[
𝑴(𝟒𝝅𝟐)𝒇𝟏
𝟐
𝑴 + 𝟎, 𝟗𝟓
] 
 
(
𝒇𝟏
𝒇𝟐
)𝟐 =
𝑴 + 𝟎, 𝟗𝟓
𝑴
 
 
𝑴 =
𝟎, 𝟗𝟓 𝒌𝒈
(
𝒇𝟏
𝒇𝟐
)𝟐 − 𝟏
 
𝑴 =
𝟎, 𝟗𝟓 𝒌𝒈
(
𝟎, 𝟕𝟎
𝟎, 𝟔𝟓
)𝟐 − 𝟏
= 𝟓, 𝟗𝟓 𝒌𝒈 
 
02. En la figura mostrada, se tiene un tirador que se encuentra 1000 m de 
distancia y en un instante dispara un proyectil de masa 10 g el cual se 
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 29 
desplaza horizontalmente a una velocidad de 20 m/s e impacta 
plásticamente contra un bloque de madera de masa 190 g, el cual se 
encuentra a un resorte ideal de constante elástica K = 500 N/m que se 
halla en una posición horizontal. Determinar la amplitud y frecuencia de las 
oscilaciones que realiza el sistema (considerar que no existe fricción entre 
el bloque y el suelo) 
Solución 
 
Por conservación de la cantidad de movimiento, se tiene: 
 
𝐦𝐕𝐛𝐚𝐥𝐚 = (𝐦 + 𝐌)𝐕 
 
𝑽 = (
𝒎
𝒎+𝑴
)𝑽𝒃𝒂𝒍𝒂 
 
𝑽 = (
𝟏𝟎
𝟏𝟎+𝟏𝟗𝟎
)(𝟐𝟎 𝒎 𝒔) = 𝟏 𝒎 𝒔⁄⁄Por conservación de la energía, se tiene: 
 
𝟏
𝟐
(𝐦 + 𝐌)𝐕𝟐 =
𝟏
𝟐
𝐊𝐀𝟐 
 
𝟏
𝟐
(𝟎, 𝟐 𝐤𝐠)(𝟏 𝐦 𝐬⁄ )
𝟐 =
𝟏
𝟐
(𝟓𝟎𝟎 𝐍 𝐦⁄ )𝐀
𝟐 
 
A = 0,02 m = 2 cm 
 
Luego la frecuencia será: 
 
𝛚 = 𝟐𝛑𝐟 = √
𝐊
𝐦 + 𝐌
 
 
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 30 
𝐟 =
𝟏
𝟐𝛑
√
𝐊
𝐦 + 𝐌
 
 
𝐟 =
𝟏
𝟐𝛑
√
𝟓𝟎𝟎
𝟎, 𝟐
=
𝟐𝟓
𝛑
𝐇𝐳 = 𝟕, 𝟗𝟔𝐇𝐳 
 
03. Un cuerpo de peso W = mg, cuelga de un resorte y produce en este un 
alargamiento de 40 cm. Hallar: 
 
03.1. La frecuencia de la oscilación. 
 
03.2. La constante de rigidez del resorte para el mismo periodo que en 
03.1. Si W= 1 kgf ( 1 kgf = 9,81 N ) 
 
03.3. El tiempo empleado en ir desde la posición inicial hasta un punto a 
-15 cm encima de la posición de equilibrio. 
 
03.4. La velocidad y la aceleración del cuerpo en – 15 cm. 
 
Solución 
 
03.1. Sabemos que F = W = K x (Ley de Hooke), entonces tenemos 
 
𝐦𝐠 = 𝐊𝐱 
 
𝐦
𝐊
=
𝐱
𝐠
=
𝟎, 𝟒 𝐦
𝟗, 𝟖𝟏 𝐦
𝐬𝟐⁄
 
 
𝐓 = 𝟐𝛑√
𝐦
𝐊
= 𝟐𝛑√
𝟎, 𝟒
𝟗, 𝟖𝟏
𝐬 
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𝐓 = 𝟐𝛑(𝟎, 𝟎𝟒𝟏 𝐬) 
 
𝐓 = 𝟏, 𝟐𝟔𝟖 𝐬 
 
03.2. Como 𝐊 =
𝐖
𝐱
=
𝐦𝐠
𝐱
=
𝟒 𝐤𝐠𝐟
𝟎,𝟒 𝐦
=
𝟒×𝟗,𝟖𝟏
𝟎,𝟒
= 𝟗𝟖, 𝟏 𝐍/𝐦 
 
03.3. Sabemos que en el M.A.S, la posición del cuerpo o partícula en 
cualquier instante de tiempo esta dado por: 
 
𝐱(𝐭) = 𝐀𝐬𝐞𝐧(𝛚𝐭 + 𝛗) 
 
 Como X = 40 cm = 0,4 m = A, tenemos que 
 
𝟎, 𝟒 = 𝟎, 𝟒𝐬𝐞𝐧(𝛚𝐭 + 𝛗) 
 
 Para t = 0 s, se tiene 
 
𝐬𝐞𝐧 𝛗 = 𝟏 
 
𝛗 = 𝐬𝐞𝐧−𝟏(𝟏) =
𝛑
𝟐
𝐫𝐚𝐝 
 
 Luego 
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟒𝐬𝐞𝐧 (𝛚𝐭 +
𝛑
𝟐
) = 𝟎, 𝟒𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 
 
 Por dato del problema 
 
−𝟎, 𝟏𝟓 𝐦 = (𝟎, 𝟒 𝐦 ) 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 
 
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 32 
𝐜𝐨𝐬−𝟏 (−
𝟎, 𝟏𝟓
𝟎, 𝟒
) = 𝛚𝐭 
 
𝛚𝐭 = 𝟏𝟏𝟐, 𝟎𝟐𝟒𝟑𝟎 =
𝟏𝟏𝟐, 𝟎𝟐𝟒𝟑
𝟓𝟕, 𝟐𝟗𝟔
𝐫𝐚𝐝 
 
 Como 1 rad = 57,29580 
 
𝛚𝐭 = 𝟏, 𝟗𝟗𝟓 𝐫𝐚𝐝 
 
 Luego 
𝐭 =
𝟏, 𝟗𝟗𝟓
𝛚
=
𝟏, 𝟗𝟗𝟓
𝟐𝛑
𝐓
=
𝟏, 𝟗𝟗𝟓
𝟐𝛑
𝟏, 𝟐𝟔𝟖
=
(𝟏, 𝟗𝟗𝟓)(𝟏, 𝟐𝟔𝟖)
𝟐𝛑
 
 
𝒕 =
𝟐, 𝟓𝟐𝟗𝟔𝟔
𝟐𝝅
=
𝟐, 𝟓𝟐𝟗𝟔𝟔
𝟔, 𝟐𝟖𝟑𝟏𝟗
≅ 𝟎, 𝟒𝟎 𝒔 
 
 03,4. La velocidad cuando X = - 15 cm = - 0,15 m 
 
𝐕 = 𝟐𝛑𝐟(√𝐀𝟐 − 𝐱𝟐) 
 
𝐕 =
𝟐𝛑
𝟏, 𝟐𝟔𝟖
(√𝟎, 𝟒𝟐 − (−𝟎, 𝟏𝟓)𝟐 
 
𝐕 = 𝟏, 𝟖𝟑𝟕 𝐦 𝐬⁄ 
 
 La aceleración en X = - 0,15 m 
 
𝐚 = −𝛚𝟐𝐱 
 
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𝐚 = −(
𝟐𝛑
𝐓
)𝟐𝐱 
 
𝒂 = − (
𝟐𝝅
𝟏, 𝟐𝟔𝟖
)
𝟐
(−𝟎, 𝟏𝟓) 
 
𝒂 = 𝟑, 𝟔𝟖 𝒎 𝒔𝟐⁄ 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
1. Un cuerpo con masa de 5 kg se encuentra suspendido por uno de sus 
extremos de una cuerda de 90 cm de longitud, y esta se encuentra atada 
al techo de una habitación. Si el péndulo se encuentra en equilibrio en el 
plano vertical, cuando una bala que va a 750 m/s horizontalmente, se 
incrusta en el péndulo. Por lo que la energía cinética del sistema será 
entonces de 5,6 Joule. Hallar: 
1.1. La ecuación del movimiento oscilatorio. 
1.2. La altura a la que se eleva el sistema. 
 
2. En la figura se muestra un disco de pesas PQ unido a una articulación en 
A y dos resortes iguales, de constantes de elasticidad K. Si H = 600 mm, h 
= 250 mm y M = 25 kg. Determine el valor de K para el cual el periodo de 
oscilaciones es de 1 segundo. ( m es despreciable ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Se tiene una varilla PQ de masa 5 kg, la cual se encuentra soldada a un 
disco uniforme, de 8 kg de masa como se muestra en la figura. Si un resorte 
de constante elástica K = 450 N/m se encuentra unido al disco y mantiene 
a la barra en reposo y en la posición horizontal mostrada. Si el extremo Q 
de la barra se le da un pequeño desplazamiento vertical hacia abajo y luego 
se suelta, determine el periodo de vibración de la barra. (r = 200 mm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Un sistema bloque – resorte que oscila sobre una superficie horizontal lisa 
tiene una amplitud de 45 cm, su periodo es 2 s y el ángulo de fase tiene el 
valor de – 300. Calcular: 
 
 
4.1. El instante de tiempo en el que la energía potencial es el doble 
de la energía cinética. 
 
4.2. En el instante determinado en 4.1, calcular la posición y la 
velocidad del bloque. 
 
 
 
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5. Si un sistema conformado por un bloque – resorte oscila sobre una 
superficie horizontal lisa con un periodo de 1,2 s y amplitud de 20 cm. Si en 
el instante t = 0 s, el bloque de masa M = 0,24 kg, se suelta a partir del 
reposo cuando su posición es x = 20 cm. 
 
 
5.1. Determine la energía mecánica del sistema. 
 
5.2. Calcular en qué tiempo la energía cinética es cero. 
 
5.3. Calcular en qué tiempo la energía potencial es cero. 
 
5.4. Calcular el instante de tiempo, cuando las energías cinética y 
potencial son iguales. 
 
5.5. Determine la deformación del resorte. 
 
5.6. La rapidez del bloque. 
 
 
BIBLIOGRAFÍA: 
 
Raymond, A y Viulli, C (2018). Fundamentos de Física. Vol.1. (10.a ed.) 
México,D:F. Ed. Cergage Learning. 
 
Tipler, P y Mosca, G (2010). Física para la Ciencia y la Tecnología. Vol.1. (6.a 
ed.). Barcelona. España. Ed. Reverté. 
 
Young, H y Freedman, R (2009). Física Universitaria. Vol. 1. (12.a ed.). Barcelona. 
España. Ed. Reverté.