APUNTES DE CLASE 03 MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO

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Mg. LUIS ALBERTO BOLARTE CANALS 
 
FÍSICA II 2020 – I 
 
 
 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS 
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA 
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL 
ESCUELA ACADÉMICO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL 
 
CLASE N0 03 
 
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO 
 
OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA 
 
 
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO: 
INTRODUCCIÓN 
Resumiendo lo que hicimos en la clase N0 2 en el MAS, en donde consideramos que los 
movimientos oscilatorios sedan entorno a una posición de equilibrio en el cual un agente 
externo puede traccionar o comprimir el sistema apareciendo una fuerza restauradora o 
recuperadora, dada por la Ley de Hooke y que duran indefinidamente o libremente en 
ausencia de fuerzas de rozamiento. Pero sin embargo, en el mundo real que nos rodea 
siempre podemos observar que dichas oscilaciones poseen una amplitud que disminuye en 
forma progresiva con el tiempo, y el sistema finalmente se detiene. Esto pasa debido a que 
siempre existen fuerzas disipativas como es el caso de los rozamientos que provocan una 
pérdida en la energía mecánica del sistema. 
Entonces, partiendo para el caso del movimiento armónico simple (MAS) tenemos la: 
 
ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO AMORTIGUADO 
 
En este movimiento habíamos visto que en el caso ideal de que no existan fuerzas de 
rozamiento, pero existe una fuerza recuperadora de la forma F = - K x dada por la ley de 
Hooke, entonces tenemos: 
𝐅 = −𝐊𝐱 
m a = K x 
m 
𝐝
𝐝𝐭
(
𝐝𝐱
𝐝𝐭
) = 𝐦
𝐝𝟐𝐱
𝐝𝐭𝟐
= −𝐊𝐱 
m 
𝐝𝟐𝐱
𝐝𝐭𝟐
= −𝐊𝐱 
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𝐝𝟐𝐱
𝐝𝐭𝟐
+ (
𝐤
𝐦
) 𝐱 = 𝟎 
 
Siendo la ecuación diferencial del movimiento armónico simple: 
 
 
 
Donde ω2 =
k
m
 y la solución de esta ecuación diferencial puede ser: 
 
𝐱(𝐭) = 𝐀𝐜𝐨𝐬(𝛚𝟎𝐭 + 𝛟𝟎) 
𝐱(𝐭) = 𝐁𝐬𝐞𝐧(𝛚𝟎𝐭 + 𝛟𝟎) 
𝐱(𝐭) = 𝐂𝐬𝐞𝐧(𝛚𝟎𝐭) + 𝐃𝐜𝐨𝐬(𝛚𝟎𝐭) 
 
MOVIMIENTO AMORTIGUADO 
 
Para un movimiento amortiguado la ecuación diferencial (1) varía, ya que en los fenómenos 
físicos en el mundo que nos rodea aparece con mayor relevancia, las fuerzas de 
rozamiento, las cuales son proporcionales a la velocidad; es decir: 
 
 
 
De la ecuación (2), podemos obtener la velocidad y la energía cinética: 
 
VELOCIDAD DEL MOVIMIENTO AMORTIGUADO 
 
𝐅𝐫 = 𝐦𝐚 = 𝐛𝐕 
𝐦
𝐝𝐕
𝐝𝐭
= −𝐛𝐕 
𝐝𝐕
𝐕
= − (
𝐛
𝐦
) 𝐝𝐭 
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∫
𝐝𝐕
𝐕
𝐕
𝐕𝟎
= −(
𝐛
𝐦
) ∫ 𝐝𝐭
𝐭
𝟎
 
𝐥𝐧 (
𝐕
𝐕𝟎
) = − (
𝐛
𝐦
) 𝐭 
 
 
 
Podemos observar que la velocidad decrece exponencialmente con el tiempo. 
 
ENERGIA CINÉTICA DEL MOVIMIENTO AMORTIGUADO 
Como sabemos que la energía cinética está dada por EC =
1
2
mV2, entonces, tenemos que: 
 
𝐄𝐂 =
𝟏
𝟐
𝐦(𝐕𝟎𝐞
−(
𝐛
𝐦)𝐭)𝟐 =
𝟏
𝟐
𝐦𝐕𝟎
𝟐𝐞
−𝟐(
𝐛
𝐦)𝐭 
 
 
 
También podemos apreciar que la energía cinética decrece exponencialmente con el 
tiempo y más rápido que la velocidad. 
Siendo b la constante de proporcionalidad, a la cual se le conoce como el coeficiente de 
amortiguamiento o constante de amortiguamiento. 
 
ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIUENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO 
 
 
 
 
 
 
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Por las consideraciones expuestas anteriormente, tenemos entonces que para este tipo de 
movimiento, la fuerza resultante sobre la partícula, cuerpo o sistema es: 
 
𝐅 = −𝐊𝐱 − 𝐛𝐕 
𝐦𝐚 = −𝐊𝐱 − 𝐛𝐕 
𝐦
𝐝𝟐𝐱
𝐝𝐭𝟐
= −𝐊𝐱 − 𝐛𝐕 
𝐦
𝐝𝟐𝐱
𝐝𝐭𝟐
= −𝐊𝐱 − 𝐛
𝐝𝐱
𝐝𝐭
 
𝐝𝟐𝐱
𝐝𝐭𝟐
= − (
𝐤
𝐦
) 𝐱 − (
𝐛
𝐦
)
𝐝𝐱
𝐝𝐭
 
𝐝𝟐𝐱
𝐝𝐭𝟐
+ (
𝐛
𝐦
)
𝐝𝐱
𝐝𝐭
+ (
𝐤
𝐦
) 𝐱 = 𝟎 
 
De donde tenemos que la ecuación diferencial para este movimiento es: 
 
𝐝𝟐𝐱
𝐝𝐭𝟐
+ (
𝐛
𝐦
)
𝐝𝐱
𝐝𝐭
+ 𝛚𝟐𝐱 = 𝟎 (5) 
 
Definimos ahora 𝛄 =
𝐛
𝟐𝐦
, de donde 𝟐𝛄 =
𝐛
𝐦
. Por lo que la ecuación diferencial (5) la 
podemos expresar como: 
 
𝐝𝟐𝐱
𝐝𝐭𝟐
+ 𝟐𝛄
𝐝𝐱
𝐝𝐭
+ 𝝎𝟎
𝟐𝐱 = 𝟎 (6) 
 
Siendo (5) y (6) por lo tanto la ecuación diferencial del movimiento armónico 
amortiguado, donde 𝛚𝟎 es la frecuencia angular sin amortiguación y la solución de la 
ecuación diferencial es de la forma 
 
 
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Donde la constante 𝐴0 es el desplazamiento inicial, 𝛕 y 𝛚 son el tiempo de relajación, 
de extinción o simplemente constante de tiempo (el cual se expresa como 𝛕 =
𝟏
𝟐𝛄
=
𝐦
𝐛
 ) y es la frecuencia la cual viene dada por: 
 
 
 
 
Siendo la frecuencia natural 𝛚𝟎 = √
𝐤
𝐦
 . También la ecuación (6) la podemos expresar 
como: 
𝛚 = √𝛚𝟎
𝟐(
𝛚𝟎
𝟐
𝛚𝟎
𝟐 −
𝛄𝟐
𝛚𝟎
𝟐) = 𝛚𝟎√𝟏 −
𝛄𝟐
𝛚𝟎
𝟐 (𝟗) 
 
De la expresión anterior, observamos que el valor crítico se obtiene cuando 𝛚𝟎 = 𝛄. Por 
lo que ω0 = γ =
𝑏
2𝑚
, de donde se tiene que b = 2mω0. Por lo que la partícula vuelve a 
su posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilación. 
Por otra parte si b aumenta más vemos que la ecuación (7) se vuelve imaginaria, por lo que 
no habrá oscilación y la partícula se acerca gradualmente a la posición de equilibrio, y 
podemos considerar tres casos: 
 
1. Oscilador infraamortiguado: 
 
 
 
2. Oscilador amortiguado criticamente: 
 
 
 
3. Oscilador sobreamortiguado o supercrítico: 
 
 
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Si tenemos el movimiento bajo la acción de una fuerza de fricción viscosa (movimiento 
real que se da en la naturaleza), tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐕 =
𝐝𝐱
𝐝𝐭
= 𝐕𝟎𝐞
−𝐛𝐭/𝐦 
∫ 𝐝𝐱
𝐱
𝐱𝟎
= 𝐕𝟎 ∫ 𝐞
−𝐛𝐭/𝐦
𝐭
𝟎
𝐝𝐭 
 
 
 
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Podemos observar que a mayor (b/m) el movimiento se amortigua más 
rápidamente. 
 
ENERGÍA DE LAS OSCILACIONES AMORTIGUADAS 
 
POTENCIA DISIPADA: 
 
Sabemos que la potencia disipada esta dada por: P(t) = F.V, luego para el caso de una 
fuerza de rozamiento, sabemos que esta es directamente proporcional a la velocidad por o 
que tendríamos que 𝐅 = −𝐛𝐕, luego la potencia disipativa seria: 
 
 
 
 
VARIACION DELA ENERGIA: 
 
𝐏 =
𝐝𝐄
𝐝𝐭
 
𝐝𝐄 = 𝐏𝐝𝐭 
∫ 𝐝𝐄
𝐄
𝐄𝟎
= − ∫ 𝐛𝐕𝟐𝐝𝐭
𝐭
𝟎
 
𝑬(𝒕) − 𝑬𝟎(𝒕) = − ∫ 𝒃𝑽
𝟐𝒅𝒕
𝒕
𝟎
 
 
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Si el movimiento es débilmente amortiguado (casi M.A.S): 
 
𝑨(𝒕) = 𝑨𝟎𝒆
−𝜷𝒕 
 
𝐄(𝐭) ≈
𝟏
𝟐
𝐊𝐀(𝐭)𝟐 =
𝟏
𝟐
𝐊𝐀𝟎
𝟐 𝐞−𝟐𝛃𝐭 = 𝐄𝟎𝐞
−𝟐𝛃𝐭 = 𝐄𝟎𝐞
−𝐭/𝛕 
 
ENERGÍA INICIAL: 
𝐄𝟎 =
𝟏
𝟐
𝐤𝐀𝟎
𝟐 
 
CONSTANTE DE TIEMPO O TIEMPO DE RELAJACIÓN 
 
𝝉 =
𝟏
𝟐𝜷
=
𝒎
𝒃
 
 
FACTOR DE CALIDAD 
 
𝑸 = 𝟐𝝅(
𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝑶𝒔𝒄𝒊𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓
𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒓𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐
) 
 
 
Si el amortiguamiento es muy débil: 
 
𝛃 ≪ 𝛚𝟎 
 
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𝐄(𝐭) = 𝐄𝟎𝐞
−𝟐𝛃𝐭 
 
𝐐 = 𝟐𝛑 [
𝐄𝟎𝐞
−𝟐𝛃𝐭
𝐄𝟎𝐞
−𝟐𝛃𝐭 − 𝐄𝟎𝐞
−𝟐𝛃(𝐭+𝐓)
] = 𝟐𝛑 [
𝐄𝟎
𝐄𝟎 − 𝐄𝟎𝐞
−𝟐𝛃𝐭
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐐 ≈ 𝟐𝛑 (
𝟏
𝟐𝛃𝐓
) = 𝟐𝛑 [
𝟏
𝟐𝛃(
𝟐𝛑
𝛚𝟏
)
] 
 
𝐐 =
𝛚𝟏
𝟐𝛃
= 𝛚𝟏𝛕 ≈ 𝛚𝟎𝛕