UNIDAD 2 Límite de Funciones

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Unidad 2: Límite de funciones
Asíntotas y continuidad.
Límites puntuales
Problema 1 Considerando las funciones y sucesiones del Problema 9 de la Unidad 1,
completá los puntos suspensivos del límite de manera que sea verdadera la igualdad.
a) ĺım
→...
32 + 1 = ĺım
n→+∞
ƒ (n)
b) ĺım
→...
32 + 1 = ĺım
n→+∞
ƒ (bn)
c) ĺım
→...
32 + 1 = ĺım
n→+∞
ƒ (cn)
d) ĺım
→...
32 + 1 = ĺım
n→+∞
ƒ (dn)
Problema 2 Calculá los siguientes límites.
a) ĺım
→2
1
 − 2
=
b) ĺım
→2
1
( − 2)2
=
c) ĺım
→−3
−5
 + 3
=
d) ĺım
→−3
−5
 − 3
=
e) ĺım
→1
 + 1
 − 1
=
f) ĺım
→1
 − 1
 + 1
=
Una definición posible para el límite puntual de una función.
ĺım
→
ƒ () = ⇐⇒ ∀(n)n∈N tal que ĺımn→+∞n = , ĺımn→+∞ ƒ (n) = 
Primer corolario: si una función tiene límite en un punto , entonces ese límite se
puede calcular como la composición entre la función y una sucesión que tienda
a .
Segundo corolario: si existen dos sucesiones que ambas tienden a  y las com-
posiciones entre una función y las sucesiones tienen límites distintos, entonces
la función no tiene límite en .
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Análisis Matemático (2214) - Licenciatura en Biotecnología
Asíntotas
Problema 3 Calculá los siguientes límites.
a) ĺım
→−1
2
 + 1
=
b) ĺım
→−1
1
( + 1)2
=
c) ĺım
→−2
2 − 4
 + 2
=
d) ĺım
→2
2 − 4
 + 2
=
e) ĺım
→3
 − 3
2 − 9
=
f) ĺım
→−3
 − 3
2 − 9
=
g) ĺım
→2
 + 2
 − 2
=
h) ĺım
→2
 − 2
 + 2
=
i) ĺım
→+∞
sen() =
j) ĺım
→+∞
sen()

=
k) ĺım
→+∞
2
�
1
3
�
+ 4 =
l) ĺım
→−∞
2
�
1
3
�
+ 4 =
m) ĺım
→+∞
1
2
e − 4 =
n) ĺım
→−∞
1
2
e − 4 =
Se dice que la función ƒ posee una asíntota vertical en  = 0 si y solo si
ĺım
→0
ƒ () =∞. (Notar que el símbolo que representa al infinito no tiene signo.)
Se dice que la función ƒ posee una asíntota horizontal en +∞ de ecuación
y = y0 si y solo si ĺım
→+∞
ƒ () = y0. De manera análoga se define la asíntota
horizontal en −∞.
Problema 4 Hallá el dominio natural y las asíntotas de las funciones del Problema 3.
Límites con polinomios
Problema 5 Calculá los siguientes límites y hallá las asíntotas horizontales de las fun-
ciones, en caso de que tengan.
a) ĺım
→+∞
3 − 32 +  + 1 = b) ĺım
→−∞
3 − 32 +  + 1 =
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c) ĺım
→+∞
5
2 + 2 − 9
=
d) ĺım
→+∞
1000000
2 + 2 − 9
=
e) ĺım
→+∞
3 − 32 +  + 1
2 + 2 − 3
=
f) ĺım
→−∞
3 − 32 +  + 1
2 + 2 − 3
=
g) ĺım
→+∞
3 − 32 +  + 1
4 + 53 −  − 5
=
h) ĺım
→−∞
3 − 32 +  + 1
4 + 53 −  − 5
=
i) ĺım
→+∞
3 − 32 +  + 1
23 − 32 +  − 4
=
j) ĺım
→−∞
3 − 32 +  + 1
23 − 32 +  − 4
=
k) ĺım
→+∞
−52 + 6 + 8
32 − 4 − 4
=
l) ĺım
→+∞
73 + 22 − 3 − 1
4 + 3
=
m) ĺım
→−∞
73 + 22 − 3 − 1
4 + 3
=
Problema 6 Hallá el dominio natural y las asíntotas verticales de las funciones del Pro-
blema 5 utilizando GeoGebra.
Continuidad
Problema 7 Sea
ƒ : R− {−2}→ R / ƒ () =
2 − 4
 + 2
si quisieras extender el dominio de la función a todo R, ¿qué valor elegirías para ƒ (−2)?
ƒ () =













2 − 4
 + 2
si  6= −2
. . . si  = −2
Problema 8 Sea
g : R− {3}→ R / ƒ () =
2
 − 3
si quisieras extender el dominio de la función a todo R, ¿qué valor elegirías para ƒ (3)?
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g() =













2
 − 3
si  6= 3
. . . si  = 3
Se dice que la función ƒ es continua en  = 0, con 0 ∈ Dom(ƒ ), si y solo si
ĺım
→0
ƒ () = ƒ (0)
Sea ƒ una función y 0 ∈ R tal que 0 /∈ Dom(ƒ ), existen dos posibilidades:
ĺım
→0
ƒ () = k k ∈ R
El dominio de ƒ se puede extender
de manera continua en  = 0 de-
finiendo
ƒ (0) = k
Se dice que ƒ tiene una disconti-
nuidad evitable en  = 0.
No existe ĺım
→0
ƒ ()
El dominio de ƒ no se puede ex-
tender de manera continua en  =
0.
Se dice que ƒ tiene una disconti-
nuidad esencial en  = 0.
Problema 9
a) Para cada una de las siguientes fórmulas, hallá su dominio natural y definí una fun-
ción con ese dominio.
2 − 16
 − 4
 − 4
2 − 16
2 − 5 + 6
 − 2
 − 2
2 − 5 + 6
3 + 32 + 2 + 6
 + 3
2 + 3 − 4
2 + 6 + 8
23 − 14 − 12
2 − 2 − 3
3 − 7 − 6
 − 3
−23 + 32 + 11 − 6
 − 12
2 − 5 − 14
 − 7
b) Para cada una de las funciones definidas en el ítem anterior, decidí para cuáles de
los valores que no pertenecen a su dominio es posible extenderlas de manera que
resulten continuas y redefinilas de esa manera.
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Problema 10 Para cada caso trazá, si es posible, el gráfico de una función que cumpla
simultáneamente con las condiciones dadas y respondé las preguntas.
a) Dom(ƒ ) = R− {−1; 4}
ĺım
→−∞
ƒ () = −∞
ĺım
→+∞
ƒ () = 3
ƒ (−5) = 0
ƒ tiene una discontinuidad esencial
en 0 = 4.
ĺım
→−1
ƒ () = 5
C+(ƒ ) = (−5; 3,5) ∪ (4;+∞)
¿Es verdad que ƒ tiene una discontinuidad evitable en 0 = −1?
b) Dom(g) = R
ĺım
→−∞
g() = −
2
3
No existe ĺım
→+∞
g()
ĺım
→2
g() = 4
¿Es verdad que g tiene una asíntota horizontal de ecuación y = − 23?
c) Dom(h) = R− {−3; 3}
ĺım
→−∞
h() = 5
ĺım
→+∞
h() = 5
ĺım
→−3−
h() = −∞
ĺım
→−3+
h() = +∞
ĺım
→3−
h() = +∞
ĺım
→3+
h() = −∞
C+(h) = (−∞;−4) ∪ (−3; 3) ∪
(4;+∞)
¿Es verdad que h tiene dos asíntotas horizontales?
d) Dom(k) = (1; 7)
ĺım
→1+
k() = −3
ĺım
→7−
k() = 6
¿Es verdad que k es continua en todo su dominio?
Suponiendo que k es continua en todo su dominio, ¿es verdad que k tiene por lo
menos una raíz?
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