CONTINUIDAD_AMBT

Vista previa del material en texto

Continuidad de funciones
Idea intuitiva
Intuitivamente y desde un punto de vista geométrico una función es continua si su gráfico puede
realizarse con un trazo continuo, en otras palabras, sin levantar el lápiz del papel. Analicemos algunos
ejemplos para ver cuándo esto sucede.
Notemos que esto sucede únicamente en el primer ejemplo pues en los restantes observamos que los
gráficos de las funciones “pegan un salto” cuando x=a.
Nos acercamos a la definición
La continuidad de una función se define en un punto de su dominio, luego si es continua en cada punto
del mismo se dice que la función es continua.
¿Cómo podemos determinar si una función es continua en un valor de su dominio?
EXISTENCIA DEL LÍMITE FINITO
Recordemos que para determinar la existencia del límite de una función en un punto no es necesario
que la función esté definida en ese punto pero sí en un entorno del mismo.
Decimos que una función f tiene límite 𝐿, 𝐿 ∈ ℝ, cuando 𝑥 tiende a 𝑎 si y solo si los límites por izquierda
y derecha en 𝑎 coinciden:
lím
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿 si y solo si lím
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lím
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
• lím
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
• lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = +∞
• lím
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = +∞
• lím
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = +∞
• lím
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = +∞
La existencia del límite finito
en el punto es una condición
necesaria para la continuidad
de la función en ese punto.
Existe el límite pero no es finito
No existe el límite
Ejemplos
Nos acercamos a la definición
¿Alcanza con verificar que existe el límite en un punto para determinar la continuidad de la
función en ese punto?
L
• lím
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = 𝐿
• lím
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝐿
Para evitar ese “salto” el valor del límite debería coincidir con f(a).
Definición
Sea 𝑓 una función y 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 , se dice que 𝒇 es continua en 𝒙 = 𝒂 si y solo si se verifican las
siguientes condiciones en simultáneo:
• existe 𝐥í𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙
• 𝐥í𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒂)
Notemos que la segunda condición incluye a la primera, para que lím
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) el límite tiene que
existir. Luego,
𝒇 es continua en 𝒙 = 𝒂 si y solo si 𝐥í𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒂)
Cuando no se verifica alguna de las condiciones (o ambas) se dice 𝒇 es no continua en 𝒙 = 𝒂 . En particular, si:
• no existe 𝐥í𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 o es infinito , se dice que 𝒇 tiene una discontinuidad esencial en 𝒙 = 𝒂
• existe 𝐥í𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 , es finito pero 𝐥í𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 ≠ 𝒇(𝒂), se dice que 𝒇 tiene una discontinuidad evitable en 𝒙 = 𝒂
Definición
𝑓 tiene una discontinuidad 
esencial en x=a
𝑓 tiene una discontinuidad 
esencial en x=a
𝑓 tiene una discontinuidad 
evitable en x=a
Ejemplos:
Funciones continuas
En ICBT estudiamos las funciones elementales y podemos afirmar que cada una ellas son continuas en
su dominio. Además estudiamos las funciones que resultan de operar y/o componer las mismas, pero
como también vimos, anticipar cómo son sus gráficos no es nada sencillo. Por suerte tenemos el
siguiente resultado que nos asegura la continuidad de estas funciones:
ÁLGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS
Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones continuas en 𝑥 = 𝑎
• 𝑓 + 𝑔 es continua en 𝑥 = 𝑎
• 𝑘 ∙ 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑎 con 𝑘 ∈ ℝ
• 𝑓 ∙ 𝑔 es continua en 𝑥 = 𝑎
•
𝑓
𝑔
es continua en 𝑥 = 𝑎 si 𝑔 𝑎 ≠ 0
• si 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑎 y 𝑔 es continua en 𝑓 𝑎 entonces la composición 𝑔𝑜𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑎
Ejemplo 
Consideremos la función 𝑓: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) → ℝ , 𝑓 𝑥 =
𝑥2−9
𝑥−3
Notemos que 𝑓 es el cociente de dos funciones que conocemos y son continuas en ℝ. Sin embargo,
sabemos que 𝑓 no está definida para todo número real porque la división por 0 no está definida.
𝑥 − 3 ≠ 0
Luego, 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ ∖ {3}
Podemos asegurar que 𝑓 es continua para todo 𝑥 ≠ 3 porque las funciones g 𝑥 = 𝑥2 − 9 y ℎ 𝑥 =
𝑥 − 3 lo son y 𝑓 es el cociente entre g y ℎ. La pregunta que nos vamos a hacer en esta materia es la 
siguiente:
¿Es posible extender el dominio de 𝒇 de manera que 
resulte continua en ese dominio? 
Ejemplo 
En este ejemplo extender el dominio de 𝑓 es incluir al 3, si incluimos a este número el dominio de 𝑓
es ℝ. Redefinir a 𝑓 implica indicar el dominio, codominio y asignarle un valor cuando 𝑥 = 3. 
 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓 𝑥 = 
𝑥2 − 9
𝑥 − 3
… 𝑠𝑖 𝑥 = 3
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 3
Observación: cambiamos a 𝑓 por 𝑓 ya que al cambiar el dominio se consideran dos funciones distintas. Se puede
usar la misma letra siempre y cuando se entienda este detalle.
¿Qué valor elegimos para 𝑓 3 ? ¿Es posible elegirlo de forma que 𝑓 resulte continua en 𝑥 = 3?
Ejemplo 
lí𝑚
𝑥→3
𝑥2 − 9
𝑥 − 3
=
"0"
0
Para salvar el límite factorizamos, simplificamos 
y recalculamos el límite: 
lím
𝑥→3
𝑥2 − 9
𝑥 − 3
= lím
𝑥→3
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑥 − 3
= lím
𝑥→3
𝑥 + 3 = 6
 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓 𝑥 = 
𝑥2 − 9
𝑥 − 3
6 𝑠𝑖 𝑥 = 3
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 3
Como existe este límite, es posible definir 𝑓 3
para que 𝑓 resulte continua asignándole el valor
del límite, es decir, 𝑓 3 = 6.
Recordemos las condiciones que debe satisfacer una función 𝑓 para que sea continua en un punto x=a: 
el límite tiene que existir, ser finito y coincidir con 𝒇 𝒂 .
Entonces, calculemos el límite correspondiente:
Ejemplo 
Grafiquemos a 𝑓, en este caso es muy sencillo, si simplificamos la expresión.
𝑥2 − 9
𝑥 − 3
=
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑥 − 3
𝑥2 − 9
𝑥 − 3
= 𝑥 + 3
Sin olvidarnos que 𝑥 ≠ 3,
podemos simplificar la expresión:
El gráfico de 𝒇 es la recta de ecuación 𝒚 = 𝒙 + 𝟑 para todo 𝒙 ≠ 𝟑
Ejemplo 
Para hacer el gráfico de 𝑓 solo “rellenamos” el agujero que aparece en el gráfico de 𝑓.