Capítulo_IX____Intersección_entre_Rectas_y_Planos DIB

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UNIVERSIDAD DE PIURA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIBUJO TÉCNICO I
CAPITULO IX
Tema 10: Intersección entre rectas y planos y planos entre si
INTERSECCIONES ENTRE RECTAS Y PLANOS, Y ENTRE PLANOS
 
Si una recta o un plano, no son paralelos ni están contenidos en otro plano, entonces existe intersección entre recta y plano, o entre planos. Es decir, siendo distintos tienen elementos comunes. Para determinar esos elementos comunes o puntos de intersección, a partir de sus proyecciones, seguiremos dos métodos: el método del plano de canto y el método del plano cortante
1.	MÉTODO DEL PLANO DE CANTO	 
 
Para definir ese método realizaremos un pequeño análisis previo. Así pues, sabemos que si una recta no pertenece a un plano, ni es paralela a él, la recta intersecta al plano en un punto. Ahora, si decimos que el plano se encuentra de canto, la recta cruzará al plano. Si esto no ocurre las dimensiones de la línea y el plano dados pueden aumentarse con el fin de determinar el punto de intersección.
 	Puesto que la vista de canto de un plano contiene todos los puntos pertenecientes al plano, la vista que muestre el plano de canto mostrará también el punto donde la línea atraviese al plano, es así como se define este método.
3.	APLICACIONES DEL MÉTODO DEL PLANO DE CANTO	
 
3.1.	Intersección de una recta con un plano en posición particular
Se denomina plano en posición particular a los planos horizontal, frontal, de perfil, y a los planos vertical, normal y ortoperfil. Estos planos en general se proyectan de canto en una de las vistas principales.
La intersección de una recta con un plano en posición particular se verifica directamente en la vista donde el plano se proyecta de canto.
C
3.2. 	Intersección de una recta con un plano oblicuo
En la figura 2 se dan las vistas horizontal y frontal del plano ABC y la recta RS, y se pide hallar la intersección de ambos.
Para encontrar el punto Q de intersección entre ellos trazamos una vista auxiliar en la cual el plano aparezca de canto; en esta vista el punto de intersección entre la recta y el plano se observa directamente. El punto así obtenido se lleva a las vistas iniciales y luego se completan las vistas horizontal y frontal, analizando la visibilidad correspondiente (ver figura 3).
Figura 3
		Figura 3. Intersección de una recta con un plano oblicuo
3.3 Intersección de un plano oblicuo con un plano en posición particular.
La intersección de un plano oblicuo y un plano de posición particular se encuentra en la vista donde el plano en posición particular aparece de canto. La intersección viene a ser una recta común a los dos planos. Para trazarla basta ubicar los puntos extremos de esta recta.
En la figura 4 el plano ABCD es un plano normal y RST un plano oblicuo. En el plano frontal (F), el plano ABCD aparece de canto y muestra los puntos de intersección M y N en RST. La recta MN es la recta de intersección común a los dos planos, que encontramos también en el plano horizontal. 
figura 5
Finalmente, se completa el caso con la visibilidad correspondiente (ver figura 5)
		Figura 5. Intersección de un plano en posición particular con un plano oblicuo.
3.4.	Intersección de dos planos oblicuos
Si dos planos son oblicuos, se encuentra fácilmente los puntos de intersección entre estos planos, en la vista donde uno de ellos se proyecte de canto. En esa vista aparecen los puntos donde dos aristas del segundo plano son cortadas por el plano de canto; estos puntos determinan la línea de intersección común a los dos planos.
 
En la figura 6, se muestran las proyecciones horizontal (H) y frontal (F) de los planos ABC y QRST. Para hallar la intersección entre estos dos planos, proyectamos el plano ABC de canto en el plano auxiliar 1 (ver figura 7); en este plano la proyección de QRST es cortada por el plano de canto según MN, que viene a ser la recta de intersección entre los planos ABC y QRST. Mediante las líneas de referencia, se completan finalmente las proyecciones en los planos horizontal y frontal según la visibilidad correspondiente.
Figura 7. Desarrollo de intersección de dos planos oblicuos
4.	 APLICACIONES DEL MÉTODO DEL PLANO CORTANTE
 
4.1.	Intersección de una recta con un plano oblicuo
Dadas dos proyecciones adyacentes de un plano oblicuo y una recta, podemos encontrar el punto de intersección, en las dos proyecciones, mediante el método del plano cortante ( salvo cuando la recta se encuentre en el plano de perfil ).
 
MÉTODO
Por una de las proyecciones de la recta se pasa un plano cortante (plano de canto). NOTA: Toda proyección que aparezca confundida con la proyección de canto de un plano, está contenida en dicho plano, luego toda proyección que aparezca confundida con el plano cortante, está contenida en ese plano.
Se identifican los puntos donde el plano cortante toca las aristas del otro plano y lo corta según una recta del plano cuyos extremos son los puntos hallados.
En la vista adyacente donde se trazó el plano cortante, ubicamos el punto donde la recta hallada corta a la recta dada. Este es el punto de intersección buscado que proyectamos a la otra vista.
La figura 8 nos muestra las proyecciones horizontal (H) y frontal (F) del plano ABC 
y la recta LM.
Figura 8. Problema de intersección de una recta con un plano oblicuo.
 
Para hallar el punto de intersección usando este método, se pasa un plano cortante, en este caso vertical, por la proyección horizontal de la recta LM y que corta al plano ABC según la recta RS (ver figura 9). En la vista adyacente ubicamos las proyecciones de RS contenidas en el plano ABC, que corta a LM según el punto P. Finalmente se completan las vistas en el plano horizontal según la visibilidad correspondiente.
Figura 8.
figura 9
4.2 Intersección de dos planos oblicuos
	Para encontrar la línea de intersección o TRAZA entre dos planos oblicuos por el método del plano cortante, se sigue el siguiente proceso:
	1) Se considera los lados de uno de los planos como rectas independientes, ubicando los puntos de intersección con el otro plano por el método del plano cortante.
	2. Se halla los puntos de intersección de los lados de un plano con los del otro, obteniéndose dos puntos, que al unirlos forma la recta de intersección o traza entre los dos planos.
En la figura 10 se dan las proyecciones horizontal y frontal de dos planos ABC y MNOP. Se considera los lados PM y ON del plano MNOP como rectas independientes.
			Figura 10. Problema de intersección de dos planos oblicuos.
Se pasa un plano cortante X por la proyección frontal de PM que determina los puntos J y K sobre AC y AB respectivamente. Proyectamos J y K en la vista horizontal y localizamos J sobre AC y K sobre AB. Al unir J con K se corta PM en el punto R de intersección.
 
Se realiza el mismo procedimiento mediante otro plano cortante Y trazado sobre la proyección frontal de ON, para encontrar el punto S. RS es la línea de intersección de los planos dados y se traza en sobre las dos vistas principales. 
Finalmente se muestra la visibilidad de los planos según su intersección.
Método general de intersección entre dos planos ilimitados
 
Se trazan dos planos cortantes cualquiera (pueden ser paralelos). Si los planos cortantes son paralelos producen en los planos dados rectas de intersección paralelas.
 
Método:
 
- Se traza el plano D (perpendicular al plano frontal), produciendo en los planos ABC y LMN las rectas 56 y 78, respectivamente; que serían las rectas producto de la intersección de los planos con el plano D. Al proyectarse estas rectas en el plano horizontal, y prolongándose, se obtiene el punto XH.
- Se traza el plano C, paralelo al plano D, produciendo en los planos ABC y LMN las rectas 12 y 34, respectivamente. Al proyectarse estas rectas en el plano horizontal, y prolongándose, se obtiene el punto YH.
En este proceso se deberá tener en cuenta que la recta 12 y 56 serán paralelas, lo mismo que 34 y 78.
Luego, al unir lospuntos XH e YH obtendremos la recta de intersección de los planos ilimitados.
Figura 12. Intersección de dos planos ilimitados.
 
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Figura 13. Desarrollo de intersección de dos plano ilimitados
4.3.1	Caso especial en intersección de planos ilimitados
 
Puede ocurrir, que al trazar los planos cortantes las rectas de intersección no se crucen. Esto puede ocurrir por varios motivos:
 
Si los planos cortantes son paralelos se utiliza otro plano cortante (vertical y con diferente orientación, o normal con diferente pendiente), para ubicar un punto de intersección. Luego, la recta de intersección pasará por el punto encontrado y tendrá la dirección de las rectas paralelas obtenidas con el primer plano.
Si los planos cortantes no son paralelos, querría decir los planos de los que se desea hallar la intersección, son paralelos y por tanto no habrá recta de intersección.
 
Esto ocurre debido a que dos rectas situadas en dos planos que se cortan, no pueden ser paralelas entre sí, a menos que ambas rectas sean paralelas a la recta de intersección de los planos.
El siguiente ejemplo ilustra lo explicado. Conociendo las vistas horizontal y frontal de los planos ABC y MNO (figura 14) se traza la recta de intersección de la siguiente manera:
Figura 14. Problema de intersección de dos plano ilimitados
Se traza el plano Q (cortante vertical) que corta a los planos ABC y MNO según las rectas AR y ST respectivamente, en el plano frontal donde observamos que son paralelas.
Se utiliza otro plano P (cortante vertical) con diferente orientación al anterior, que corta a los planos ABC y MNO según las rectas DE y FG respectivamente, en el plano frontal. La prolongación de DE y FG se cortan en el punto Y que pertenece a la recta de intersección de ambos plano.
 
La recta de intersección queda definida por una recta paralela a AR y/o ST que pasa por Y. Finalmente se completan las vistas F y H (ver figura 15).
Figura 15. Intersección 
de dos plano ilimitados.