Tema_11_Intersecciones_de_planos_con_rectas DIB

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DIBUJO TÉCNICO I 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD DE PIURA 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA Nº 12: 
INTERSECCIONES 
 
 
 2 
INTERSECCIONES ENTRE RECTAS Y PLANOS, Y ENTRE 
PLANOS 
 
 
Si una recta o un plano, no son paralelos ni están contenidos en otro plano, entonces 
existe intersección entre recta y plano, o entre planos. Es decir, siendo distintos tienen 
elementos comunes. Para determinar esos elementos comunes o puntos de intersección, a 
partir de sus proyecciones, seguiremos dos métodos: 
 
- El método del plano de canto 
- El método del plano cortante 
 
 
 
1. MÉTODO DEL PLANO DE CANTO 
 
Para definir ese método realizaremos un pequeño análisis previo. Así pues, 
sabemos que si una recta no pertenece a un plano, ni es paralela a él, la recta intercepta al 
plano en un punto. Ahora, si decimos que el plano se encuentra de canto, la recta cruzará al 
plano. Si esto no ocurre las dimensiones de la línea y el plano dados pueden aumentarse 
con el fin de determinar el punto de intersección. 
 
Puesto que la vista de canto de un plano contiene todos los puntos pertenecientes al 
plano, la vista que muestre el plano de canto mostrará también el punto donde la línea 
atraviese al plano, es así como se define este método. 
 
 
2. MÉTODO DEL PLANO CORTANTE 
 
Se llama plano cortante a un plano ilimitado que se proyecta de canto en el plano de 
proyección desde donde empezamos a analizar las intersecciones. Este plano se establece a 
criterio en una posición conveniente en cada caso; siempre se utilizará en esa posición 
como un plano cortante por proyectarse de canto. 
 
Este método es un artificio que nos permite localizar fácilmente los puntos de 
intersección en dos proyecciones sucesivas, sin necesidad de una tercera vista, salvo 
cuando la recta o plano se halle de perfil. 
 
NOTA: Para cada método, luego de encontrar los puntos de intersección, siempre será 
necesario interpretar la intersección en su conjunto y analizar la visibilidad de sus 
proyecciones. 
 
 3 
3. APLICACIONES DEL MÉTODO DEL PLANO DE CANTO 
 
3.1. Intersección de una recta con un plano en posición particular 
Se denomina plano en posición particular a los planos horizontal, frontal, de perfil, 
y a los planos vertical, normal y ortoperfil. Estos planos en general se proyectan de canto 
en una de las vistas principales. 
La intersección de una recta con un plano en posición particular se verifica 
directamente en la vista donde el plano se proyecta de canto. 
A continuación la figura 1 muestra las proyecciones de un plano normal ABCD, y 
la recta MN. Sus vistas en el plano frontal (F), donde el plano ABCD aparece de canto, 
proyectan directamente el punto R de intersección con la recta MN. 
Analizando la visibilidad, en la vista frontal (F) observamos que RM se halla arriba 
de ABCD y RN debajo, luego en la vista horizontal (H) RM es visible, el segmento de 
recta que parte de R hasta el borde del plano no será visible, por lo que se representa con 
líneas invisibles (punteadas), y del borde del plano hasta N vuelve a ser visible. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Intersección de una recta con un plano en posición particular. 
 
 
3.2. Intersección de una recta con un plano oblicuo 
En la figura 2 se dan las vistas horizontal y frontal del plano ABC y la recta RS, y se pide 
hallar la intersección de ambos. 
 
 
 
 4 
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Plano de canto
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intersección
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Figura 2. Problema de intersección de una recta con un plano oblicuo. 
 
Para encontrar el punto Q de intersección entre ellos trazamos una vista auxiliar en la cual 
el plano aparezca de canto; en esta vista el punto de intersección entre la recta y el plano se 
observa directamente. El punto así obtenido se lleva a las vistas iniciales y luego se 
completan las vistas horizontal y frontal, analizando la visibilidad correspondiente (ver 
figura 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Intersección de una recta con un plano oblicuo. 
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 5 
3.3. Intersección de un plano oblicuo con un plano en posición particular. 
La intersección de un plano oblicuo y un plano de posición particular se encuentra 
en la vista donde el plano aparece de canto. La intersección viene a ser una recta común a 
los dos planos. Para trazarla basta ubicar los puntos extremos de esta recta. 
 
En la figura 4 el plano ABCD es un plano normal y RST un plano oblicuo. En el 
plano frontal (F), el plano ABCD aparece de canto y muestra los puntos de intersección M 
y N en RST. La recta MN es la recta de intersección común a los dos planos, que 
encontramos también en el plano horizontal. Finalmente, se completa el caso con la 
visibilidad correspondiente (ver figura 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Problema de intersección de un plano en posición particular 
con un plano oblicuo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Intersección de un plano en posición particular con un plano oblicuo. 
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3.4. Intersección de dos planos oblicuos 
Si dos planos son oblicuos, se encuentra fácilmente los puntos de intersección entre 
estos planos, en la vista donde uno de ellos se proyecte de canto. En esa vista aparecen los 
puntos donde dos aristas del segundo plano son cortadas por el plano de canto; estos 
puntos determinan la línea de intersección común a los dos planos. 
 
En la figura 6, se muestran las proyecciones horizontal (H) y frontal (F) de los 
planos ABC y QRST. Para hallar la intersección entre estos dos planos, proyectamos el 
plano ABC de canto en el plano auxiliar 1 (ver figura 7); en este plano la proyección de 
QRST es cortada por el plano de canto según MN, que viene a ser la recta de intersección 
entre los planos ABC y QRST. Mediante las líneas de referencia, se completan finalmente 
las proyecciones en los planos horizontal y frontal según la visibilidad correspondiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6. Problema de intersección de dos planos oblicuos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7. Desarrollo de intersección de dos planos oblicuos. 
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F
H1
4. APLICACIONES DEL MÉTODO DEL PLANO CORTANTE 
 
4.1. Intersección de una recta con un plano oblicuo 
Dadas dos proyecciones adyacentes de un plano oblicuo y una recta, podemos encontrar el 
punto de intersección, en las dos proyecciones, mediante el método del plano cortante ( 
salvo cuando la recta se encuentre en el plano de perfil ). 
 
MÉTODO 
1) Por las proyecciones de la recta se pasa un plano cortante (plano de canto). NOTA: 
Toda proyección que aparezca confundida con la proyección de canto de un plano, 
está contenida en dicho plano, luego toda proyección que aparezca confundida con 
el plano cortante, está contenida en ese plano. 
2) Se identifican los puntos donde el plano cortante toca las aristas del otro plano y lo 
corta según una recta del plano cuyos extremos son los puntos hallados. 
3) En la vista adyacente donde se trazó el plano cortante, ubicamos el punto donde la 
recta hallada corta a la recta dada. Este es el punto de intersección buscado que 
proyectamos a la otra vista. 
 
La figura 8 nos muestra las proyecciones horizontal (H) y frontal (F) del plano ABC y la 
recta LM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8. Problema de intersección de una recta con un plano oblicuo. 
 
Para hallar el punto de intersección usando este método, se pasa un plano cortante, en este 
caso vertical, por la proyección horizontal de la recta LM y que corta al plano ABC según 
la recta RS (ver figura 9). En la vista adyacente ubicamos las proyecciones de RS 
contenidas enel plano ABC, que corta a LM según el punto P. Finalmente se completan las 
vistas en el plano horizontal según la visibilidad correspondiente. 
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Figura 9. Intersección de una recta con un plano oblicuo. 
 
4.2. Intersección de dos planos oblicuos 
Para encontrar la línea de intersección o TRAZA entre dos planos oblicuos por el 
método del plano cortante, se sigue el siguiente proceso: 
1) Se considera los lados de uno de los planos como rectas independientes, 
ubicando los puntos de intersección con el otro plano por el método del plano 
cortante. 
2) Se halla los puntos de intersección de los lados de un plano con los del otro, 
obteniéndose dos puntos, que al unirlos forma la recta de intersección o traza 
entre los dos planos. 
 
En la figura 10 se dan las proyecciones horizontal y frontal de dos planos ABC y 
MNOP. Se considera los lados PM y ON del plano MNOP como rectas independientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10. Problema de intersección de dos planos oblicuos. 
Plano cortante 
vertical
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Plano cortante 
vertical
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 9 
Se pasa un plano cortante X por la proyección frontal de PM que determina los puntos J 
y K sobre AC y AB respectivamente. Proyectamos J y K en la vista horizontal y 
localizamos J sobre AC y K sobre AB. Al unir J con K se corta PM en el punto R de 
intersección. 
 
Se realiza el mismo procedimiento mediante otro plano cortante Y trazado sobre la 
proyección frontal de ON, para encontrar el punto S. RS es la línea de intersección de 
los planos dados y se traza en sobre las dos vistas principales. 
 
Finalmente se muestra la visibilidad de los planos según su intersección. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11. Intersección de dos planos oblicuos. 
 
4.3. Método general de intersección entre dos planos ilimitados 
 
Se trazan dos planos cortantes cualquiera (pueden ser paralelos). Si los planos cortantes 
son paralelos producen en los planos dados rectas de intersección paralelas. 
 
Método: 
 
Se traza el plano D (perpendicular al plano frontal), produciendo en los planos ABC y 
LMN las rectas 56 y 78, respectivamente; que serían las rectas producto de la 
intersección de los planos con el plano D. Al proyectarse estas rectas en el plano 
horizontal, y prolongándose, se obtiene el punto XH. 
 
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Plano 
cortante
Plano cortante
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 10 
Se traza el plano C, paralelo al plano D, produciendo en los planos ABC y LMN las 
rectas 12 y 34, respectivamente. Al proyectarse estas rectas en el plano horizontal, y 
prolongándose, se obtiene el punto YH. 
 
En este proceso se deberá tener en cuenta que la recta 12 y 56 serán paralelas, lo mismo 
que 34 y 78. 
 
Luego, al unir los puntos XH e YH obtendremos la recta de intersección de los planos 
ilimitados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12. Intersección de dos planos ilimitados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13. Desarrollo de intersección de dos plano ilimitados. 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
4.3.1 Caso especial en intersección de planos ilimitados 
 
Puede ocurrir, que al trazar los planos cortantes las rectas de intersección no se crucen. 
Esto puede ocurrir por varios motivos: 
 
a. Si los planos cortantes son paralelos se utiliza otro plano cortante (vertical y 
con diferente orientación, o normal con diferente pendiente), para ubicar un 
punto de intersección. Luego, la recta de intersección pasará por el punto 
encontrado y tendrá la dirección de las rectas paralelas obtenidas con el 
primer plano. 
b. Si los planos cortantes no son paralelos, querría decir los planos de los que se 
desea hallar la intersección, son paralelos y por tanto no habrá recta de 
intersección. 
 
Esto ocurre debido a que dos rectas situadas en dos planos que se cortan, no pueden ser 
paralelas entre sí, a menos que ambas rectas sean paralelas a la recta de intersección de 
los planos. 
 
El siguiente ejemplo ilustra lo explicado. Conociendo las vistas horizontal y frontal de 
los planos ABC y MNO (figura 14) se traza la recta de intersección de la siguiente 
manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14. Problema de intersección de dos plano ilimitados. 
 
- Se traza el plano Q (cortante vertical) que corta a los planos ABC y MNO según 
las rectas AR y ST respectivamente, en el plano frontal donde observamos que 
son paralelas. 
- Se utiliza otro plano P (cortante vertical) con diferente orientación al anterior, 
que corta a los planos ABC y MNO según las rectas DE y FG respectivamente, 
en el plano frontal. La prolongación de DE y FG se cortan en el punto Y que 
pertenece a la recta de intersección de ambos plano. 
- La recta de intersección queda definida por una recta paralela a AR y/o ST que 
pasa por Y. Finalmente se completan las vistas F y H (ver figura 15). 
 
 
 
 
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Figura 15. Intersección de dos plano ilimitados. 
 
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Plano Q
Plano P