IGER-2 -Basico-Matematica-Semana-9

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9
La raíz cuadrada
¿Qué encontrará esta semana?
 Christoph Rudolff
 Radicación
 Agilidad de cálculo mental
 Resolución de problemas aplicando la raíz cuadrada
Esta semana logrará:
 Practicar el símbolo de la raíz.
 Identificar la raíz cuadrada como operación contraria a la potenciación.
 Identificar las partes de la raíz cuadrada.
 Resolver raíces cuadradas de diferentes cantidades.
 Practicar el cálculo mental.
 Resolver problemas aplicando el concepto de raíz cuadrada.
 
137Matemática − Semana 9
¡Para comenzar!
Christoph Rudolff
¡A trabajar!
Practique con su lápiz el trazo del símbolo de la raíz. Siga la indicación de las flechas.
 
 
 
 
Chrishoph	Rudolff,	matemático	alemán,	nació	en	1499	y	murió	en	1545.	Estu-
dió en la Universidad de Viena, en Austria, y permaneció en ella como profesor 
de	álgebra	de	1517	a	1521.	Mientras	fue	estudiante,	pagaba	los	gastos	de	la	
universidad dando clases particulares de matemáticas a los niños de la ciudad. 
Durante sus años de profesor, pasaba horas en la biblioteca leyendo todos los 
libros que podía o platicando con estudiantes y profesores. 
En	1525	publicó	el	primer	libro	de	álgebra	escrito	en	alemán.	En	él	aparece	por	
primera vez el símbolo de la radicación ( ).
Este símbolo no fue aceptado de inmediato, incluso en Alemania, su patria. Por 
fin,	en	1655,	el	matemático	John	Wallis	popularizó	el	uso	de	este	símbolo.
Adaptado de www.wikipedia.org 
138 IGER − Utatlán
1. Radicación
 operación inversa a la potenciación
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Consiste en averiguar 
la base cuando conocemos el resultado de un número que fue elevado a una 
potencia. 
Veamos un ejemplo
En la potenciación multiplicamos un número por sí mismo las veces que indica 
el exponente: 52 = 5 x 5 = 25
En la radicación debemos encontrar el número que multiplicado por sí mismo 
nos dé el resultado que ya tenemos: 25 = 5 porque 5 x 5 = 25
Veamos detalladamente qué es la raíz cuadrada y en qué consiste.
1.1 Elementos de la raíz
Las partes de la radicación son cuatro:
1. Índice, indica el grado de la raíz a calcular. 
En la raíz cuadrada el índice es 2, pero no 
debe escribirse.
2. Signo radical ( ) se lee raíz cuadrada.
3. Radicando es el número al que debemos extraerle la raíz, se escribe 
debajo del signo radical.
4. Raíz es el resultado de calcular la raíz cuadrada de una cantidad.
En matemática se pueden calcular diferentes raíces. Nosotros estudiaremos 
solamente la raíz cuadrada.
2 
25 = 5 raíz
radicando
signo radical
índice
	Ejercicio 1 
Escriba tres ejemplos de potenciación y tres ejemplos de radicación. Le ayudamos con el primero.
potencia raíz
72 = 7 x 7 = 49 49 = 7
139Matemática − Semana 9
El mundo de la matemática
2. Raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número consiste en buscar un número que elevado al 
cuadrado sea igual al número que tenemos.
Por ejemplo ¿qué número elevado al cuadrado es igual a 4?
¡Efectivamente! 
La respuesta es 2, porque 2 x 2 = 22 = 4
Por lo tanto, la raíz cuadrada de 4 es 2 y lo expresamos así: 4 = 2
Otro ejemplo ¿qué número elevado al cuadrado es igual a 16?
¡Claro! 
La respuesta es 4, porque 4 x 4 = 42 = 16
Por lo tanto, la raíz cuadrada de 16 es 4 y lo expresamos así: 16 = 4
2.1 Cálculo de la raíz cuadrada exacta
Cuando la raíz de un número es un número entero, decimos que es una raíz 
exacta. Por ejemplo 81 = 9, 100 = 10 
Calculemos la raíz cuadrada de 36 
• Buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a 36.
• La respuesta es 6, porque 62 = 36. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 36 es 6.
• En lenguaje matemático se expresa así: 36 = 6 porque 62 = 36
Otros ejemplos
 64 = 8 porque 82 = 64
 25 = 5 porque 52 = 25
Si la raíz de un 
número es un 
decimal entonces la 
raíz es inexacta.
Por ejemplo
 2 = 1.41…
 5 = 2.24…
Atención: la raíz 
cuadrada de 1 es 1 
porque 1 x 1 = 12 = 1
	Ejercicio 2
Relacione sus conocimientos de potenciación y calcule las raíces exactas. Tiene un ejemplo.
0) 9 = 3 3) 81 = 6) 36 = 
1) 49 = 4) 25 = 7) 16 = 
2) 64 = 5) 4 = 8) 100 =
140 IGER − Utatlán
	Ejercicio 3 
Resuelva los problemas aplicando la raíz cuadrada. Puede ayudarse del ejercicio anterior. Recuerde, al 
extraer la raíz al número también debe hacerlo a la unidad de medida. ( 100 cm2 = 10 cm)
1) Si un terreno cuadrado mide 49 m2 de superficie, ¿cuánto miden sus lados?
 • ¿Qué dato tenemos? 
 • Planteamos la raíz cuadrada
 • Respondemos: cada lado del terreno mide metros.
2) ¿Cuánto mide el perímetro de un espejo cuadrado cuya superficie es 81 cm2?
 • ¿Qué dato tenemos?
 • Planteamos la raíz cuadrada
 • Calculamos el perímetro del cuadrado con la fórmula P = 4 x 
 P = 4 x cm
 P = cm
• Respondemos: el perímetro del espejo es cm.
Problemas que se resuelven con raíces
También podemos aplicar la raíz cuadrada para resolver problemas, veamos un 
ejemplo.
Un grupo de 25 estudiantes están ordenados en filas y columnas formando un 
cuadrado, ¿cuántos estudiantes hay en cada fila y columna?
¿Cuál es el dato que tenemos? 25 estudiantes
Razonemos, como cada fila y columna tiene el mismo número de estudiantes, 
entonces podemos calcular la raíz cuadrada de 25. 
• Planteamos la raíz 25 = 5
• Respondemos: cada fila y columna tiene 5 estudiantes.
141Matemática − Semana 9
2.2 Procedimiento para extraer raíces 
 cuadradas de cantidades grandes
Cuando las cantidades son pequeñas es fácil calcular su raíz si sabemos las 
tablas de multiplicar, pero cuando las cantidades son grandes, debemos seguir 
un procedimiento. La mejor manera de comprenderlo es con un ejemplo. 
Calculemos la raíz cuadrada de 1764.
1. Primero colocamos el número dentro del ra-
dical y lo separamos en grupos de dos cifras 
de derecha a izquierda. 
2. Luego buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a la 
primera cifra de la izquierda, (17), o un valor menor lo más cercano. El 
número que más se aproxima es 4, porque 42 = 16. Luego escribimos:
• El número 4 en el resultado.
• Elevamos al cuadrado el 4 y el resultado 
lo escribimos debajo del primer grupo y 
restamos las cantidades (17 – 16 = 1)
• Bajamos el siguiente grupo, 64 y lo es-
cribimos a la par del residuo del primer 
grupo. Formamos el número 164. 
• El resultado parcial 4 se baja y se multipli-
ca por 2, dando como resultado 8.
3. Buscamos un número que acompañe a 8, que 
multiplicado por ese mismo número nos dé 
164 o un número inferior, el más cercano a esa 
cantidad.
4. El número buscado es 2 porque al agregárselo 
a 8 se forma el número 82, y 82 x 2 es igual 
164. Escribimos el resultado y lo restamos de 
164. 
5. Subimos el 2 al resultado y obtenemos la raíz 
que buscamos (42). Como el residuo es 0, esta 
es una raíz cuadrada exacta. 
17´64
– 16
 1 64
4
8 x 
17´64
17´64
– 16
 1
4
17´64
– 16
 1 64
4
4 x 2 = 8
17´64
– 16
 1 64
4
17´64
– 16
 1 64
– 1 64
0
4
82 x 2 = 164
17´64
– 16
 1 64
– 1 64
0
42
82 x 2 = 164
142 IGER − Utatlán
Veamos otro ejemplo
Calculemos la raíz cuadrada de 789.
1. Primero colocamos el número dentro del ra-
dical y lo separamos en grupos de dos cifras 
de derecha a izquierda. 
2. Luego buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a la pri-
mera cifra de la izquierda, 7, o un valor menor lo más cercano a este. El 
número 2 es el que más se aproxima porque 22 = 4. Luego escribimos:
• El número 2 en el resultado.
• Elevamos al cuadrado el 2 y el resultado 
lo escribimos debajo del primer grupo y 
restamos las cantidades 7 – 4 = 3
• Bajamos el siguiente grupo 89 y lo es-
cribimos a la par del residuo del primer 
grupo. Formamos el número 389. 
• El resultado parcial 2 se baja y se multipli-
ca por 2, dando como resultado 4.
3. Buscamos un número que acompañe a 4, que 
multiplicado por ese mismo número nos dé 
389 o un número inferior, el más cercano a 
esa cantidad.
4. El número buscado es 8 porque al agregárseloa 4 se forma el número 48, y 48 x 8 es el menor 
más próximo a 389. Escribimos el resultado y 
lo restamos de 389. 
5. Subimos el 8 al resultado y obtenemos la raíz 
que buscamos (28). Como el residuo es 5, esta 
es una raíz cuadrada inexacta.
Para comprobar el resultado, hacemos el procedimiento siguiente: elevamos 
el resultado (28) al cuadrado y le sumamos el residuo (5). Si el resultado es 
correcto debemos obtener la cantidad inicial (789).
 282 + 5 =
 784 + 5 = 789
7´89
– 4
 3 89
2
2 x 2 = 4
7´89
7´89
– 4
 3
2
7´89
– 4
 3 89
2
7´89
– 4
 3 89
2
4 x 
7´89
– 4
 3 89
– 384
5
2
48 x 8 = 384
7´89
– 4
 3 89
– 3 84
5
28
48 x 8 = 384
143Matemática − Semana 9
	Ejercicio 4 
Ahora practique resolver raíces de cantidades grandes en espacios más pequeños y en menos tiempo. 
El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 
0) 169 1) 256
 1´69
– 1
 69
– 69
00
13
1 x 2 = 2
23 x 3 = 69
2) 3136 3) 965
4) 5476 5) 77
144 IGER − Utatlán
1. La radicación es la operación inversa a la potenciación.
1.1 Elementos de la raíz 
2 
25 = 5 raíz
radicando
signo radical
índice
2. Hallar la raíz cuadrada de un número consiste en buscar un número que elevado al cuadrado sea 
igual al número que tenemos.
2.2 Los pasos que debe realizar para resolver la raíz cuadrada de cantidades grandes son:
1. Primero colocamos el número dentro del radical y lo separamos en 
grupos de dos cifras de derecha a izquierda. 
2. Luego buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a la primera cifra de la 
izquierda, (12), o un valor menor lo más cercano. El número 3 es el que más se aproxima, 
porque 32 = 9. Luego escribimos:
• El número 3 en el resultado.
• Elevamos al cuadrado el 3 y el resultado lo escribimos debajo 
del primer grupo y restamos las cantidades 12 – 9 = 3
• Bajamos el siguiente grupo, 96 y lo escribimos a la par del 
residuo del primer grupo. Formamos el número 396. 
• El resultado parcial 3 se baja y se multiplica por 2, dando como 
resultado 6. En este paso el resultado parcial siempre se 
multiplica por 2.
3. Buscamos un número que acompañe a 6, que multiplicado por ese 
mismo número nos dé 396 o un número inferior, el más cercano a 
esa cantidad.
4. El número buscado es 6 porque al agregárselo a 6 se forma el 
número 66, y 66 x 6 es igual a 396. Escribimos el resultado y los 
restamos de 396. 
5. Subimos el 6 al resultado y obtenemos la raíz que buscamos (36). 
Como el residuo es 0, esta es una raíz cuadrada exacta.
12´96
 – 9
 3
3
12´96
 – 9
 3 96
3
12´96
 – 9
 3 96
3
3 x 2 = 6
12´96
 – 9
 3 96
3
6 x 
12´96
 – 9
 3 96
– 3 96
0
3
66 x 6 = 396
12´96
 – 9
 3 96
– 3 96
0
36
66 x 6 = 396
12´96
145Matemática − Semana 9
Resumen
 Actividad 1. Demuestre lo aprendido
A. Escriba sobre la línea el nombre de la parte señalada en la radicación.
2 
64 = 8
B. Conteste las preguntas.
1) ¿Qué nombre recibe el símbolo ? 
2) ¿Qué valor tiene el radicando en 9 = 3? 
3) ¿Qué valor tiene el índice en 16 = 4? 
4) ¿Qué nombre recibe el número 6 en 36 = 6? 
5) ¿Qué nombre recibe el número 25 en 25 = 5? 
C. Escriba si la raíz es exacta o inexacta. Justifique su respuesta. Tiene un ejemplo. 
0) 2 
1) 4 
2) 5 
3) 10 
4) 16 
5) 9 
6) 12 
7) 20 
 inexacta no hay un número entero que elevado al cuadrado sea igual a 2
146 IGER − Utatlán
Autocontrol
 Actividad 2. Practique lo aprendido
A. Resuelva las raíces cuadradas exactas. Compruebe su respuesta elevando el resultado al cuadrado. 
Tiene un ejemplo.
0) 16 = 4 42 = 16 6) 81 =
1) 1 = 7) 9 =
2) 25 = 8) 64 =
3) 49 = 9) 100 =
4) 4 = 10) 144 =
5) 36 =
B. Resuelva las raíces cuadradas. Tiene un ejemplo.
0) 2678 1) 225
 
26´78
 – 25
 1 78
– 1 01
77
51
5 x 2
101 x 1 = 101
2) 484 3) 679
4) 1045 5) 3740
147Matemática − Semana 9
 
A. Resuelva las multiplicaciones. Tiene un ejemplo.
 0) 5 x 8 = 11) 6 x = 30 21) x 9 = 0
 1) 4 x 6 = 12) 3 x = 27 22) x 9 = 81
 2) 3 x 7 = 13) 7 x = 42 23) x 4 = 16
 3) 8 x 2 = 14) 7 x = 35 24) x 8 = 56
 4) 6 x 5 = 15) 8 x = 40 25) x 6 = 36
 5) 5 x 4 = 16) 2 x = 18 26) x 3 = 24
 6) 3 x 8 = 17) 6 x = 60 27) x 7 = 28
 7) 4 x 7 = 18) 4 x = 36 28) x 5 = 25
 8) 4 x 9 = 19) 8 x = 16 29) x 3 = 18
 9) 8 x 6 = 20) 10 x = 100 30) x 4 = 32
 10) 11 x 6 = 
B. Resuelva las potencias. Tiene un ejemplo.
1) 22 = 6) 42 = 11) 2 = 9
 2) 52 = 7) 82 = 12) 2 = 81
 3) 90 = 8) 10 = 13) 2 = 49
 4) 32 = 9) 02 = 14) 2 = 36
 5) 62 = 10) 102 = 15) 2 = 25
C. Resuelva las raíces.
1) 4 = 5) 16 = 9) 49 = 
 2) 9 = 6) 64 = 10) 100 = 
 3) 1 = 7) 36 = 11) 144 = 
 4) 25 = 8) 81 = 12) 121 = 
40
4
148 IGER − Utatlán
Agilidad de cálculo mental
Resuelva en su cuaderno los problemas que se le plantean.
 1) Una habitación tiene una superficie cuadrada de 16 m2. ¿Cuánto mide por lado?
 2) En un círculo de estudio, Mirna dispone de 36 escritorios para un salón de clases. Si desea 
colocarlos de tal forma que las filas y las columnas formen un cuadrado, ¿cuántos escritorios 
debe colocar en cada fila y columna?
 3) Andrés desea cercar un terreno cuadrado. Si la superficie mide 81 m2, ¿cuántos metros de 
cerca debe comprar? 
 4) En un salón hay 100 sillas formando un cuadrado, ¿cuántas sillas hay en cada fila?
 5) Una mesa cuadrada mide 7056 cm2 de superficie, ¿cuánto mide por lado?
 6) La superficie de un parque ecológico es cuadrada y mide 1225 m2. Si se quiere circular con 
malla, ¿cuántos metros de malla hay que comprar?
 7) Una plancha cuadrada de vidrio tiene un área de 225 cm2. ¿Cuántos cuadrados de 5 cm por 
lado se puede obtener de la plancha?
 8) Se desea colocar baldosas en un salón cuya superficie cuadrada mide 81 m2. Si cuatro bal-
dosas colocadas en fila (una tras otra) miden un metro, ¿cuántas baldosas se necesitan para 
cubrir todo del salón?
 9) Marta quiere reordenar las casillas del rectángulo para formar un cuadrado. ¿Cuántas casillas 
debe colocar por lado? Pista: la superficie del rectángulo es igual a la superficie del cuadrado.
?
?
10) Un terreno rectangular mide 128 m2 de superficie. 
La medida del frente es el doble que el fondo. 
¿Cuánto mide por lado? Pista: el rectángulo está 
formado por dos cuadrados.
128 m2
frente
fo
nd
o
149Matemática − Semana 9
Razonamiento lógico
Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. logrado
en 
proceso
no 
logrado
D
es
pu
és
 d
e 
es
tu
di
ar
...
Practico el símbolo de la raíz cuadrada.
Identifico la raíz cuadrada como operación contraria a la potenciación.
Identifico las partes de la raíz cuadrada.
Resuelvo raíces cuadradas de diferentes cantidades.
Practico el cálculo mental.
Resuelvo problemas aplicando el concepto de raíz cuadrada.
Desarrolle nuevas habilidades
¿Qué distancia recorre?
¡Lea el problema y anímese a resolverlo!
Ana y Francisco están situados en las esquinas opues-
tas de un terreno rectangular que mide 8 x 6 metros, 
como se muestra en la figura 1.
Si Francisco camina en línea recta para llegar hasta 
Ana, ¿qué distancia recorre?
• Para solucionar el problema dibujamos el ca-
mino que recorre Francisco. Es la diagonal de 
la figura 2, representada con la letra c.
• La longitud de la diagonal es la distancia reco-
rrida, se calcula con la fórmula: c = a2 + b2
• Sustituya los datos en la fórmula y resuelva el 
problema.
 Tome en cuenta: c representa la medida de la diagonal, a y b represen-
tan las medidas de los lados del rectángulo.
Nota: 
Ahora compruebe su respuesta dibujando un rectángulo de 8 x 6 cm en su 
cuaderno, mida la longitud de la diagonal con una regla. Se sorprenderá al ver 
que la medida es la misma que obtuvo con la fórmula.
B
A
Fig. 1
8 m
6 
m
Fig. 2
b
ac
150 IGER − Utatlán
Revise su aprendizaje