Bobinas de Helmholtz

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Campo Helmholtz
Instituto Politecnico Nacional
Av.Politecnico,Col.Lindavista Norte,Cdmx
@gmail.com
Fecha de entrega: 28 de julio de 2023
Resumen
Medimos el campo magnético producido por las bobinas de Helmholtz en el plano XZ para 4 casos, en el punto central,
en puntos en el eje axial, en el eje radial y en un eje ubicado a 45° del eje axial, esto con ayuda de un par de bobinas,
una fuente de poder que alimentara las bobinas y un gaussmetro, los datos recolectados concordaron con el modelo
teórico usado. Descriptores:Campo magnético, gaussmetro, bobinas, ley de Biot Savart.
1. Introducción
En 1820, el f́ısico danés Hans Christian Oersted descu-
brió que una corriente eléctrica que flúıa por un cable
produćıa un campo magnético a su alrededor. Poco des-
pués, el f́ısico francés André-Marie Ampère demostró que
dos corrientes eléctricas que fluyen en paralelo producen
un campo magnético que atrae o repele las corrientes,
dependiendo de la dirección de su flujo.
En 1831, el f́ısico británico Michael Faraday descubrió la
ley de la inducción electromagnética, que establece que
un campo magnético variable en el tiempo puede produ-
cir una corriente eléctrica en un circuito cercano. Este
descubrimiento fue fundamental para el desarrollo de la
electricidad y el electromagnetismo, y abrió la puerta al
desarrollo de tecnoloǵıas como los generadores eléctricos.
En este contexto de investigación, Helmholtz desarrolló
la idea de las Bobinas de Helmholtz en 1850, como una
forma de generar campos magnéticos uniformes en una
región del espacio definida.
En aquel momento, Helmholtz estaba trabajando en el
estudio del electromagnetismo, y estaba interesado en
crear campos magnéticos más uniformes que los que
pod́ıan generarse con imanes permanentes. Aśı fue co-
mo ideó el diseño de dos bobinas idénticas y paralelas,
separadas por una distancia igual a su radio.
La idea de Helmholtz era que al hacer pasar una corrien-
te eléctrica por las dos bobinas, se generaŕıa un campo
magnético uniforme en la región central entre las bobi-
nas, que podŕıa ser utilizado para experimentos cient́ıfi-
cos y aplicaciones técnicas. Dentro de las aplicaciones
de las bobinas de Helmholtz se encuentra la creación
de campos homogéneos, este es el uso más común. Al
aplicar corriente eléctrica a las dos bobinas colocadas
simétricamente a cada lado de un objeto, se genera un
campo magnético homogéneo en el espacio central entre
ellas. Las bobinas de Helmholtz también se pueden utili-
zar para medir campos magnéticos. En este caso, se colo-
ca un objeto en el espacio central entre las dos bobinas y
se mide la corriente eléctrica que se induce en las bobinas
a medida que el objeto se mueve en el campo magnético.
Este método se utiliza en la detección de metales y en
otras aplicaciones de medición de campos magnéticos.
Otra de las aplicaciones está en la calibración de mag-
netómetros, los magnetómetros son instrumentos que se
utilizan para medir campos magnéticos. Las bobinas de
Helmholtz se pueden utilizar para calibrar estos instru-
mentos, generando un campo magnético conocido y mi-
diendo la respuesta del magnetómetro. Esto permite una
mayor precisión en la medición de campos magnéticos en
diversas aplicaciones.
2. Bobinas de Helmholtz
Ley de Biot Savart
La ley de Biot-Savart describe la relación entre un cam-
po magnético generado por una corriente eléctrica y la
distancia y dirección desde la corriente hasta el punto
en el que se está midiendo el campo magnético. La ley
establece que el campo magnético dB⃗ generado en un
1
punto r⃗1 por un elemento de corriente dI⃗ en un punto r⃗
es proporcional a la corriente, la longitud del elemento
de corriente y el seno del ángulo formado entre el vec-
tor de distancia entre los puntos r⃗1 y r⃗ y el vector de
corriente. Matemáticamente, esto se expresa como:
B⃗(r⃗) =
µ0
4π
I
∮
I
dI⃗ × (r⃗ − r⃗1)
| r⃗ − r⃗1 |3
(1)
donde µ0 es la permeabilidad magnética del vaćıo, dI⃗ es
el elemento de corriente, I la magnitud del elemento de
corriente y (r⃗ − r⃗1) es el vector de distancia entre los
puntos r⃗ y r⃗1.
Campo magnético producido por bobinas
de Helmholtz
Consideremos un par de bobinas circulares de radio a
hechas de alambre colocadas de forma paralela, por las
que circula una corriente I⃗ en la misma dirección como
se muestra en la figura, las bobinas están separadas una
distancia a y contienen N vueltas cada una, vamos a
calcular el campo magnético producido por las bobi-
nas en el coordenadas cartesianas para un punto que se
encuentra en el plano xz, para ello necesitamos definir
unas cosas antes:
NIdl = NIadθ(− sin θêi + cos θêj) Elemento de Corriente
r⃗ = rêi + zêk Punto a medir B
r⃗2 = a cos θêi + a sin θêj +
a
2
êz Punto en la bobina 2
r⃗1 = a cos θêi + a sin θêj −
a
2
êz Punto en la bobina 1
Ahora calculamos r⃗ − r⃗2 y r⃗ − r⃗1 , obteniendo
r⃗ − r⃗2 = (r − a cos θ)êx + (−a sin θ)êj + (z −
a
2
)êz
r⃗ − r⃗1 = (r − a cos θ)êx + (−a sin θ)êj + (z +
a
2
)êz
Figura 1:Esquema de las bobinas de Helmholtz y las
coordenadas a usar
Tambien debemos obtener el modulo al cuadrado
| r⃗ − r⃗2 |2= r2 − a(2r cos θ + z) +
5
4
a2 + z2 (2)
| r⃗ − r⃗1 |2= r2 − a(2r cos θ − z) +
5
4
a2 + z2 (3)
Ademas
dl × (r⃗ − r⃗2) = (z −
a
2
)a cos θêi + (z −
a
2
)a sin θêj
+ (a2 − ar cos θ)dθêk
(4)
dl × (r⃗ − r⃗1) = (z +
a
2
)a cos θêi + (z +
a
2
)a sin θêj
+ (a2 − ar cos θ)dθêk
(5)
El campo magnetico B⃗2 que es el producido por la bo-
bina 2 en r⃗ se obtiene con la sustitución de (2) y (4) en
(1), resultando
B⃗2i =
Nµ0I
4π
∫ 2π
0
(z − a
2
)a cos θêi
(r2 − a(2r cos θ + z) + 5
4
a2 + z2)
3
2
dθ
B⃗2j =
Nµ0I
4π
∫ 2π
0
(z − a
2
)a sin θêj
(r2 − a(2r cos θ + z) + 5
4
a2 + z2)
3
2
dθ
B⃗2k =
Nµ0I
4π
∫ 2π
0
(a2 − ar cos θ)êk
(r2 − a(2r cos θ + z) + 5
4
a2 + z2)
3
2
dθ
El campo magnetico B⃗1 que es el producido por la
bobina 1 en r⃗ se obtiene con la sustitución de (3) y (5)
en (1), resultando
B⃗2i =
Nµ0I
4π
∫ 2π
0
(z + a
2
)a cos θêi
(r2 − a(2r cos θ − z) + 5
4
a2 + z2)
3
2
dθ
B⃗2j =
Nµ0I
4π
∫ 2π
0
(z + a
2
)a sin θêj
(r2 − a(2r cos θ − z) + 5
4
a2 + z2)
3
2
dθ
B⃗2k =
Nµ0I
4π
∫ 2π
0
(a2 − ar cos θ)êk
(r2 − a(2r cos θ − z) + 5
4
a2 + z2)
3
2
dθ
Por el principio de superposición, el campo magnético
total en el punto r⃗ es
B⃗(r⃗) = B⃗1 + B⃗2
= (B⃗1i + B⃗2i) + (B⃗1j + B⃗2j) + (B⃗1k + B⃗2k)
(6)
Ahora vamos a calcular el campo B⃗ para 4 casos parti-
culares
B⃗ en el origen
En este caso tenemos r⃗=0, es decir, z=0 y r=0, de (6) po-
demos notar que B⃗1i+B⃗2i = B⃗1j+B⃗2j = 0, por lo tanto
solo contribuye la componente z del campo magnético,
B⃗(0, 0) = B⃗z(0, 0)
= B⃗1z + B⃗2z
=
Nµ0I
4π
4πa2
( 5
4
a2)
3
2
êk
=
8µ0NI
5
√
5a
êk
(7)
2
B⃗ en el eje axial
Ahora r⃗ = zêk, es decir r=0, luego B⃗1i + B2i = B⃗1j +
B⃗2j = 0, asi que solo contribuye la componente z del
campo magnético y obtenemos
B⃗ = B⃗k = B⃗1k + B⃗2k
=
Nµ0Ia2
2
 1
(−az + 5
4
a2 + z2)
3
2
+
1
(az + 5
4
a2 + z2)
3
2
 êk (8)
B⃗ en el eje radial
Ahora r⃗ = rêi, es decir, hacemos z=0 y mantenemos la
variable r, en este caso las componentes i y j del campo
magnético se anulan por simetŕıa y queda la componente
z del campo magnético, obteniendo:
B⃗z = B⃗1z + B⃗1z
=
Nµ0I
a
∫ 2π
0
2(a2 − ar cos θ)êk
(r2 − a(2r cos θ) + 5
4
a2)
3
2
dθ
(9)
Esta integral se resuelve de manera numérica debido a
que no tiene solución anaĺıtica.
B⃗ a 45° respecto al eje axial en el plano zx
En esta parte el punto de interés para calcular el cam-
po magnético se encuentra en el plano zx a un angulo
de 45° respecto al eje axial, r⃗ = rêi + rêk, es decir,
z = rtan45 = r, por lo tanto (6) se reduce a
B⃗z = B⃗1z + B⃗1z
=
Nµ0Iêk
4π
∫ 2π
0
[
(a2 − ar cos θ)
(2r2 − ar(2 cos θ + 1) + 5
4
a2)
3
2
+
(a2 − ar cos θ)
(2r2 − ar(2 cos θ − 1) + 5
4
a2)
3
2
]
dθ
(10)
Esta integral como en el caso anterior solo tiene solución
de manera numérica.3. Desarrollo experimental
Como se ha mencionado en la teoŕıa, se medirá el cam-
po magnético producido por las bobinas de Helmholtz,
el diagrama del arreglo se muestra a continuación
Figura 2:Diagrama de las bobinas de Helmholtz
Figura 3:Diagrama de conexión de las bobinas
Como se observa en el diagrama, el arreglo consta de 2
bobinas de 130 vueltas cada una y una base para colo-
car las bobinas, se verifica que las bobinas se encuentren
paralelas comprobando que la distancia entre estas sea
constante en todos los puntos, externo a este diagrama se
necesitó de un ampeŕımetro, una fuente de poder GW-
3020, un gaussmetro, una interfase y cables necesarios
para conectar estos equipos. Una vez colocadas las bobi-
nas como en la figura 2, se procede a colocar las puntas
de dos cables banana-banana en la entrada de la fuente
GW apagada y sus extremos al punto g que se muestra
en la figura 3, luego se conecta en serie el ampeŕıme-
tro con las bobinas en el punto g con un par de cables
banana-banana. Antes de encender el equipo medimos la
distancia entre bobinas y su radio para asegurarnos de
tener el arreglo de Helmholtz, posteriormente conecta-
mos el gaussmetro a la interfase previamente conectada
a una pc y corremos el programa en medición de cam-
po magnético, encendemos el ampeŕımetro y la fuente
de poder GW, haremos 4 tipos de mediciones de campo
magnético,
a)
Primero se medirá el campo magnético en el punto de
intersección del eje radial y axial de las bobinas, para
ello con ayuda de una regla y un peso aseguramos de
que nos encontramos en dicho punto y colocamos ah́ı
el gaussmetro en dirección a la componente axial de las
bobinas para poder medir el campo magnetico generado
, una vez conseguido esto variamos la corriente de 0A a
2A con las perillas de la fuente GW, anotamos el campo
magnético registrado por el gaussmetro en la interfase,
se realizan 15 mediciones. Se crea la gráfica de B contra
I y se hace el ajuste necesario, se compara con el ajuste
teórico descrito por 7.
b)
Determinamos el campo magnético como función de la
posición a lo largo del eje axial (eje Z) del par de bobinas,
comenzando desde el punto P hasta que se haya recorri-
do una distancia de 1.5 veces la del radio de las bobinas o
una distancia para la cual se observe un comportamien-
to asintótico de los datos, la corriente la mantenemos
constante a 1A.
3
c)
Hacer la medición de B a lo largo del eje que pasa por
el plano medio de las bobinas y cruza por P(eje radial).
Tomar datos desde el punto P hasta que se haya recorri-
do una distancia equivalente a 1.5 el radio de las bobinas
o notemos un comportamiento asintótico, la intensidad
vuelve a ser constante a 1A.
d)
Finalmente elegimos una linea de acción que haga un
ángulo de 45° sobre el plano XZ. Medimos el campo
magnético desde el punto P hasta que la distancia re-
corrida sea equivalente o mayor a la distancia de sepa-
ración de las bobinas
4. Resultados experimentales
Con un flexometro se medió un diámetro de las bobinas
de 31 cm y una distancia entre bobinas de 15.5cm, la fi-
cha técnica de las bobinas nos indica que contienen 130
vueltas cada una. Para la parte a) se obtuvo la tabla 1 y
la gráfica 1 de dicha tabla se muestra a continuación, en
la gráfica se muestran los puntos experimentales(azul) y
los puntos de campo teórico(naranja) calculados a par-
tir de 7, la gráfica 2 muestra los mismos datos solo
que ahora restamos el campo magnético producido por
la tierra 0.4 Gauss a los datos experimentales, además
contiene la incertidumbre de los datos teóricos debido a
la incertidumbre de las mediciones de I y del radio de
las bobinas.
En la parte b) la gráfica 3 muestra los datos experi-
mentales y los datos teóricos para el campo magnético
medido en el eje axial, donde de igual manera se han
considerado la incertidumbre de los datos teóricos debi-
do al error en la medición del radio y la corriente que
circula.
La gráfica 4 muestra los datos para el campo magnético
a través del eje radial, en azul se encuentran los datos
experimentales a los que se les resto .4 gauss debidos al
campo magnético de la tierra y en naranja los datos ex-
perimentales, para la obtención de los datos teóricos se
utilizó Wolfram Mathematica para resolver las integra-
les de manera numérica, de igual forma se calcularon sus
incertidumbres
En la grafica 5 graficamos de igual forma el campo
magnético pero esta vez medido a 45° respecto al eje
axial, en azul se muestran los datos experimentales y en
naranja los valores teóricos, se realizo de manera numéri-
ca la obtención de los valores teóricos.
B teórico
B experimental
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0
5
10
15
Intensidad(A)
C
am
po
m
ag
ne
ti
co
(G
)
Gráfica 1:Representación de los datos teóricos y
experimentales en el punto P
B teórico
B de las bobinas
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0
5
10
15
Intensidad(A)
C
am
po
m
ag
ne
ti
co
(G
)
Gráfica 2:Representación de los datos teóricos y
experimentales en el punto P pero teniendo en cuenta el
campo magnetico de la tierra
B teórico
B experimental
0 5 10 15 20
0
2
4
6
8
Distancia en el eje axial(cm)
C
am
po
m
ag
ne
ti
co
(G
)
Gráfica 3:Representación de los datos teóricos y
experimentales en el eje axial
4
B experimental
B teórico
0 5 10 15 20 25 30
-2
0
2
4
6
Distancia en el eje radial(cm)
C
am
po
m
ag
ne
ti
co
(G
)
Gráfica 4:Representación de los datos teóricos y
experimentales en el eje radial en el plano xz
B experimental
B teórico
0 5 10 15 20 25 30
0
2
4
6
8
Distancia(m)
F
ue
rz
a
(N
)
Gráfica 5:Representación de los datos teóricos y
experimentales en un eje en el plano xz a 45° del eje radial
5. Análisis de resultados
En la gráfica 1 podemos observar como el campo
magnético producido en el punto P es lineal al variar
la corriente, más aun, se graficaron los valores teóricos(
puntos naranjas) del campo magnético y sus incertidum-
bres con ayuda del programa Mathematica usando la
ecuación 7, donde se obtuvo una incertidumbre de 0.55
Gauss, solo que notamos que los datos experimentales
eran de orden mayor que los teóricos, lo cual no pue-
de suceder ya que en el punto P el campo magnético es
máximo y no puede ser menor al experimental, ello nos
llevó a pensar que el campo magnético de la tierra tam-
bién deb́ıa ser considerado, es por eso que en la gráfica 2
se muestran en azul los valores medidos pero restándoles
0.4 Gauss que es el valor promedio del campo magnético
de la tierra en la ciudad de México, en dicha gráfica se
puede observar como ahora el campo magnético medido
entra en el rango de error del campo magnético calculado
de manera teórica. Para la gráfica 3 se encontró que la
incertidumbre de los datos teóricos del campo magnéti-
co era de 0.236 G, con ello observamos que los datos ex-
perimentales entran en el margen permitido del campo
teórico, dando validez a la teórica propuesta para el eje
axial, además como se esperaba, alejándonos de las bo-
binas el campo magnético tiende a desaparecer. Para las
mediciones realizadas en el eje radial, encontramos que
la incertidumbre de los datos teóricos era de .280 Gauss,
los datos experimentales segúıan el mismo modelo que
los datos experimentales solo que no se encontraron en el
rango de aceptación, esto puede ser debido a que no nos
encontrábamos justo en el eje radial, una cosa a notar
es que para una distancia de 17 cm el campo magnético
se volvió negativo y incremento de manera asintótica en
en 0. Para el ultimo caso que se muestra en la gráfica 5
se observa que el modelo teorico coincide con el medido,
además para distancias en las cuales se sale del radio de
las bobinas, el campo magnetico decae bruscamente.
6. Conclusiones
Las bobinas de Helmholtz son un arreglo experimental
muy útil e interesante para analizar como se vio en el
reporte, validamos nuevamente la ley de Biot Savart al
observar que los datos medidos coincid́ıan con los da-
tos teóricos, se verificócomo en el punto de intersección
de los ejes, el campo magnético es uniforme y máximo,
se observo una singularidad para el caso radial como se
describió en la teoŕıa desarrollada, para el caso a 45° se
observo en la gráfica que los datos medidos están des-
plazados con los teóricos, esto es debido a una medición
errónea de la distancia del centro al punto en el eje ro-
tado.
7. Bibliograf́ıa
1. J. R. Reitz, F. J. Milford y R. W. Christy, ”Funda-
mentos de la Teoŕıa Electromagnética”, 4ta. Ed., Addi-
son Wesley, Wilmington Delaware (1996). Consultar el
Caṕıtulo 8, especialmente las páginas 201-203. 2. D. Ha-
lliday, R. Resnick y K. S. Krane, ”F́ısica”4ta. Ed. Vol. 2,
CECSA, México (1994). Consultar el Caṕıtulo 35, pági-
nas 187-201. 3. Manual del fabricante de las bobinas de
Helmholtz.
5
8. Apéndice
8.1. Tablas
Corriente (A) Campo magnético (G)
0.1074 0.8
0.2 1.6
0.29 2.4
0.4 3.2
0.4913 4.
0.6 4.8
0.7 5.6
0.8 6.4
0.9 7.2
1. 8.
1.1 8.8
1.2 9.7
1.3 10.4
1.4 11.2
1.5 12.1
1.6 12.9
1.7 13.7
1.8 14.4
1.9 15.3
2 16.2
Tabla 1: Datos experimentales para el inciso a)
Corriente (A) Campo magnético (G)
0.1074 0.8±0,6
0.2 1.5±0,6
0.29 2.2±0,6
0.4 3.0±0,6
0.4913 3.7±0,6
0.6 4.5±0,6
0.7 5.2±0,6
0.8 6.0±0,6
0.9 6.7±0,6
1. 7.4±0,6
1.1 8.2±0,6
1.2 8.9±0,6
1.3 9.7±0,6
1.4 10.4±0,6
1.5 11.2±0,6
1.6 11.9±0,6
1.7 12.7±0,6
1.8 13.4±0,6
1.9 14.1±0,6
2. 14.9±0,6
Tabla 2: Datos teóricos del campo magnético en el punto a)
6
Distancia(cm) 0. 7.9
1.5 7.9
3. 7.9
4.5 7.8
6. 7.7
7.5 7.4
9. 7.
10.5 6.5
12. 6.1
13.5 5.4
15. 4.9
16.5 4.3
18. 3.7
19.5 3.3
21. 2.9
23.5 2.3
Tabla 3: Datos medidos para el inciso b)
Distancia (cm) Campo magnético (G)
0. 7.54±0,24
1.5 7.54±0,24
3. 7.53±0,24
4.5 7.49±0,24
6. 7.38±0,24
7.5 7.18±0,24
9. 6.87±0,24
10.5 6.46±0,24
12. 5.97±0,24
13.5 5.42±0,24
15. 4.86±0,24
16.5 4.30±0,24
18. 3.78±0,24
19.5 3.30±0,24
21. 2.88±0,24
23.5 2.28±0,24
Tabla 4:Datos teoricos para el inciso b)
7