Mecanica cuantica para principiantes (Parte 1)-Shahen Hacyan

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Estructura de la Materia Semestre 2021-2
Part́ıcula en una caja de potencial 1D
Se tiene una pat́ıcula de masam, la cual, se mueve en una dimensión sobre la coordenada x y está sujeta
a la función de enerǵıa potencial V (x):
V (x) =
⇢
0 cuando 0  x  L
1 cuando 0 > x > L (1)
La enerǵıa potencial confina a la part́ıcula a moverse en la Región II entre 0 y L sobre el eje x.
Sabiendo que la part́ıcula no puede tener enerǵıa infinita, la probabilidad de encontrarla en la Región I o
III es nula, por lo tanto:
 = 0 cuando 0 > x > L (2)
Para una part́ıcula en un sistema unidimensional (1D), la ecuación de Schrödinger :
� ~
2
2m
d2 
dx2
+ V = E (3)
Considerando que dentro de la caja V (x) = 0, la ecuación (3) queda como:
� ~
2
2m
d2 
dx2
= E (4)
de tal forma que cuando 0  x  L:
d2 
dx2
= �2mE~2 (5)
Recordando que debe ser una función propia o eigenfunción, debe cumplir con la ecuación de la
onda. Con base en lo anterior, se propone a la función:
 = A sin(rx) +B cos(sx) (6)
donde A, B, r y s son constantes. Derivando a :
 
0
= Ar cos(rx)�Bs sin(sx)
1
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00
= �Ar2 sin(rx)�Bs2 cos(sx) (7)
Sustituyendo (6) y (7) en (5):
�Ar2 sin(rx)�Bs2 cos(sx) = �2mE~2 [A sin(rx) +B cos(sx)] (8)
Para que la igualdad planteada en (8) se cumpla:
r = s =
p
2mE
~ (9)
Sustituyendo r y s en (8):
�A
 p
2mE
~
!2
sin(rx)�B
 p
2mE
~
!2
cos(sx) = �2mE~2 [A sin(rx) +B cos(sx)]
�A
✓
2mE
~2
◆
sin(rx)�B
✓
2mE
~2
◆
cos(sx) = �2mE~2 [A sin(rx) +B cos(sx)]
�2mE~2 [A sin(rx) +B cos(sx)] = �
2mE
~2 [A sin(rx) +B cos(sx)]
Por lo tanto, cuando 0  x  L :
 = A sin
 p
2mE
~ · x
!
+B cos
 p
2mE
~ · x
!
(10)
Considerando que A y B son constantes arbitrarias, entonces existe un número infinito de soluciones
pero, no todas ellas son aceptables. Para que sea una solución aceptable debe ser “bien portada”, es
decir, es univaluada, continua, cuadráticamente integrable y normalizada. Para que sea continua debe
valer cero en los extremos de la caja ya que = 0 fuera de ella. Con base en lo anterior, se plantean las
condiciones a la frontera:
 = 0
⇢
Caso 1 : cuando x = 0
Caso 2 : cuando x = L
(11)
Resolviendo para el Caso 1 :
0 = A sin
 p
2mE
~ · 0
!
+B cos
 p
2mE
~ · 0
!
0 = A sin(0) +B cos(0)
0 = 0 +B(1)
) B = 0
2
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De esta forma, cuando x = 0:
 = A sin
 p
2mE
~ · x
!
(12)
Resolviendo para el Caso 2 :
0 = A sin
 p
2mE
~ · L
!
Sabiendo que la función seno se anula cuando su argumento es un múltiplo entero de ⇡, el argumento
queda dado como:
p
2mE
~ · L = n⇡
p
2mE
~ =
n⇡
L
donde n = 0, 1, 2, ...
Sustituyendo en la ecuación (12), la función de onda queda como:
 = A sin
⇣n⇡
L
· x
⌘
(13)
Recordando que debe ser cuadráticamente integrable:
Z
| |2 dx = 1 (14)
Como = 0 fuera de la caja, los ĺımites de integración son x1 = 0 y x2 = L. Sustituyendo la función
de onda dada en la ecuación (13) en (14):
Z L
0
h
A sin
⇣n⇡
L
· x
⌘i2
dx = 1 (15)
Para resolver, se aplica la fórmula de integración:
Z
sin2(cx)dx =
x
2
� 1
4c
sin(2cx) (16)
donde c = n⇡L
Resolviendo:
A2
Z L
0
sin2
⇣n⇡
L
· x
⌘
dx = A2
"
x
2
� 1
4
�
n⇡
L
� sin
⇣
2
n⇡
L
x
⌘#L
0
= A2

x
2
� L
4n⇡
sin
⇣
2
n⇡
L
x
⌘�L
0
=
3
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A2
⇢
L
2
� L
4n⇡
sin
⇣
2
n⇡
L
L
⌘�
�

0
2
� L
4n⇡
sin
⇣
2
n⇡
L
0
⌘��
= A2

L
2
� L
4n⇡
sin (2n⇡)
�
=
A2
L
2

1� 1
2n⇡
sin (2n⇡)
�
= A2
L
2
= 1
) A =
r
2
L
De esta forma, la función de la onda que describe el comportamiento de una part́ıcula en una caja de
potencial 1D que se mueve sobre la coordenada x entre 0  x  L es:
 =
r
2
L
sin
⇣n⇡
L
· x
⌘
(17)
Que la part́ıcula se encuentre confinada entre 0  x  L, exige que = 0, por lo tanto, la enerǵıa
está cuantizada. Para encontar los valores de enerǵıa permitidos se retoma el argumento de la ecuación
(12). Recordando que se anulará cuando dicho argumento sea un múltiplo entero de ⇡:
p
2mE
~ · L = n⇡ !
 p
2mE
~ · L = n⇡
!2
! 2mE~2 · L
2 = n2⇡2 ! E = ~
2n2⇡2
2mL2
=
h2
4⇡2n
2⇡2
2mL2
donde ~ = h2⇡ = constante de Dirac o constante reducida de P lanck
Por lo tanto, los valores de enerǵıa permitidos son:
E =
h2n2
8mL2
(18)
4