Particula en una caja 3D

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Estructura de la Materia
Part́ıcula en una caja de potencial 3D
Se tiene una pat́ıcula de masa m, la cual, se mueve en tres dimensiones sobre las coordenadas x, y y
z y está sujeta a la función de enerǵıa potencial V (x):
V (x) =
{
0 cuando 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c
∞ cuando 0 > x > a, 0 > y > b, 0 > z > c (1)
La enerǵıa potencial confina a la part́ıcula a moverse dentro de la caja entre 0 y a sobre el eje x,
0 y b sobre el eje y y 0 y c sobre el eje z. Sabiendo que la part́ıcula no puede tener enerǵıa infinita, la
probabilidad de encontrarla fuera de la caja es nula, por lo tanto:
ψ = 0 cuando 0 > x > a, 0 > y > b, 0 > z > c (2)
Para una part́ıcula en un sistema tridimensional (3D), la ecuación de Schrödinger :
− ~
2
2m
52 ψ(x, y, z) + V ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) (3)
donde 52 es el operador Laplaciano:
52 = ∂
2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
Considerando que dentro de la caja V (x) = 0, la ecuación (3) queda como:
− ~
2
2m
52 ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) (4)
Siguiendo un tratamiento similar al de la part́ıcula en una caja 1D, se encuentra que las eigenfunciones
y los eigenvalores solución de la ecuación 4 son, respectivamente:
ψnx,ny ,nz =
√
8
abc
sin
(nxπx
a
)
sin
(nyπy
b
)
sin
(nzπz
c
)
(5)
Enx,ny ,nz =
h2
8m
(
n2x
a2
+
n2y
b2
+
n2z
c2
)
(6)
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1. Caso simétrico: a = b = c
Todos los lados de la caja tienen la misma longitud “a”, por lo que la ecuación 6 puede reescribirse
como:
Enx,ny ,nz =
h2
8ma2
(
n2x + n
2
y + n
2
z
)
(7)
La ecuación 7 permite encontrar los niveles de enerǵıa permitidos.
Cada una de las diferentes combinaciones de los números nx, ny y nz genera un estado diferente.
Cada estado está caracterizado por una función de onda, ψ, diferente.
Cada función de onda, ψ, se identifica con sub́ındices que corresponden a los valores de los
números nx, ny y nz: ψnxnynz
Los números nx, ny y nz sólo pueden tomar valores númericos enteros ∴ la enerǵıa está cuan-
tizada.
Los números nx, ny y nz no pueden ser iguales a cero: n 6= 0
La combinación de los números nx, ny y nz no sigue un orden secuencial ni creciente. Se busca
la combinación que generé el siguiente nivel de enerǵıa.
Las funciones de onda que generan estados con la misma enerǵıa se encuentran en el mismo
nivel y son degenerados.
El nivel depende únicamente de la enerǵıa y no del número de estados.
El nivel de menor enegerǵıa (basal) corresponde a la combinación nx = ny = nz = 1: ψ111
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2. Caso asimétrico: a 6= b 6= c
Al menos uno de los lados de la caja tiene diferente longitud. Los valores de enerǵıa permitidos
vienen dados por la ecuación 6.
Ejercicio. Analiza qué pasa con los primeros dos niveles de enerǵıa de una part́ıcula encerrada en
una caja 3D cuando ésta se deforma por la acción de una fuerza externa que actúa sobre el eje z,
de tal forma que el volumen no sufra alteraciones. Supón que el volumen total de la caja es de 1000
Å3. Antes de aplicar la fuerza, a=b=c=10 Å y posterior a la deformación a=b y c=9 Å. Considera
que la part́ıcula es un electrón.
Al graficar los datos obtenidos de la resolución del ejercicio anterior, se puede observar un fenómeno
conocido como desdoblamiento.
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El desdoblamiento es la ruptura de la degeneración de estados por la acción de algún factor externo.
Los estados degenerados se separan en dos o más niveles energéticos.
A mayor simetŕıa, mayor degeneración.
Modelos sencillos y sus aplicaciones.
La resolución de la ecuación de Schrödinger para modelos sencillos brinda una gama de aplicaciones
que permiten entender conceptos y/o fenómenos de interés f́ısico y qúımico. Algunos ejemplos se presentan
en la siguiente tabla:
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