Análisis de fluidos

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Fundamentos de Análisis de Fluidos
Alejandro Noé Morales Duarte
Marzo 2018
ii
Índice general
1. Introducción 1
1.0.1. Fluidos en la ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.0.2. Fluidos tecnología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.0.3. Evolución histórica del estudio de los �uidos . . . . . . 2
2. Estática de Fluidos 5
2.1. Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Presión y densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1. Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Variación de la presión de un �uido en reposo . . . . . . . . . 8
2.3.1. Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2. Teorema de Pitágoras usando la idea de la presión . . . 10
2.3.3. Prensa hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.4. Variación de la presión en la atmósfera . . . . . . . . . 14
2.3.5. Manómetros y densímetros en U . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.6. Aplicaciones elementales del principio de Pascal . . . . 16
2.4. Barómetro de mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5. El principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Dinámica de Fluidos 31
3.1. Generalidades sobre el �ujo de �uidos . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1. Unidades de la viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. La conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3. Conservación de la energía, ecuación de Bernoulli . . . . . . . 38
3.3.1. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2. Tubo de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.3. Tubo de Venturi en U . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
iii
iv ÍNDICE GENERAL
3.3.4. Aplicaciones del efecto Venturi . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Cantidades adimensionales 47
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Proposición de relaciones funcionales . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.1. Teorema de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5. Flujo viscoso en tuberías 67
5.1. El número de Reynolds y los regímenes de �ujo . . . . . . . . 67
5.1.1. Caída de presión debido a la turbulencia . . . . . . . . 69
5.1.2. Flujo completamente desarrollado . . . . . . . . . . . . 69
5.2. Pérdida de carga y el coe�ciente de fricción . . . . . . . . . . . 71
5.3. Diagrama de Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6. Flujo en Canales Abiertos 93
6.1. Generalidades sobre el �ujo en canales abiertos . . . . . . . . . 93
6.1.1. Flujo uniforme; fórmula de Chézy . . . . . . . . . . . . 96
6.2. Geometría del canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.1. Canal Trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.2. Canal semicircular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7. Flujo de �uidos compresibles 105
7.1. La velocidad del sonido y el número de Mach . . . . . . . . . . 106
7.2. Propiedades termodinámicas básicas . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3. Gases Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3.1. Ecuación de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3.2. Calores especí�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3.3. Entalpía de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3.4. Procesos adiabáticos de un gas ideal . . . . . . . . . . 109
7.3.5. Procesos isentrópicos de un gas ideal . . . . . . . . . . 110
7.4. Velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.4.1. Conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4.2. Flujo isentrópico estacionario . . . . . . . . . . . . . . 116
A. Diagrama de Moody 123
B. Tablas de densidades y pesos especí�cos 125
B.1. Líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B.2. Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
ÍNDICE GENERAL v
C. Unidades de fuerza equivalencias 127
vi ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Introducción
La mecánica de �uidos es la rama de las ciencias físicas que estudia có-
mo se comportan los �uidos en reposo y en movimiento. Existen un gran
número de aplicaciones, desde el estudio de la vorticidad de un tornado, el
diseño de las alas de aviones ultrasónicos, para predecir el comportamiento de
las partículas subatómicas en un acelerador de partículas, en la descripción
del movimiento de los �uidos que pasan a través de objetos con diferentes
geometrías, en el modelado y predicción de los movimientos de las galaxias
y de las diferentes formas de energía que �uyen a través del universo.
En ingeniería el conocimiento del comportamiento dinámico y estático
de los �uidos es necesario para el diseño de barcos, coches, aviones, motores
de propulsión, diseño de líneas de tuberías, sistemas de aire acondicionado,
bombas hidráulicas, corazones arti�ciales, presas y sistemas de irrigación.
También es esencial para la predicción del clima, corrientes oceánicas, los
niveles de contaminación y el efecto invernadero. Existen también aplica-
ciones cotidianas como:
1.0.1. Fluidos en la ciencia
Los �uidos estan presentes prácticamente en todas las áreas de la ciencia
y en una gran cantidad de aplicaciones tecnológicas
1. Hidráulica: La transportación de agua en casas, pueblos y ciudades.
2. Oceanografía: En el estudio de las corrientes marinas.
1
2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
3. Geofísica: En el estudio del movimiento de la lava expulsada en las
erupciones.
4. Ciencias Atmosféricas: Estudio del movimiento de las masas de aire
que afectan el clima de la tierra.
5. Astrofísica: Estudio del desarrollo y evolución del universo.
6. Biología: En el estudio del movimiento de los diferentes �uidos cor-
porales de los seres vivos, el aire en la respiración, el �ujo sanguíneo,
�uidos linfáticos, movimiento de células en medios acuosos.
1.0.2. Fluidos tecnología
Algunos ejemplos de �uidos en los diversos campos de desarrollo tec-
nológico son:
1. En las máquinas de combustión interna los �ujos de aceites, refrige-
rantes, gases de combustión y desecho.
2. Diseño de motores jet (compresión de aire) y sistemas de propulsión
espacial.
3. Turbinas de viento, vapor y agua para la generación de energía eléctrica.
4. Sistemas de ventilación y enfriamiento.
1.0.3. Evolución histórica del estudio de los �uidos
El estudio de los �uidos recibió su mayor impulso en el tiempo de Newton.
Algunos de los logros más signi�cativos de esa época fueron.
1. Mecánica, el concepto de fuerza, Isaac Newton.
2. Conceptos de presión, forma integral del momentum lineal, Daniel
Bernoulli.
3. Hidrostática, Blaise Pascal, Johann Bernoulli.
4. Ecuaciones de la hidráulica para �uidos ideales, Johann Bernoulli.
5. Los conceptos de energía y momentum lineal, Gottfried Leininiz.
3
6. Hidrodinámica teórica, la teoría de los cuerpos deformables, el concep-
to de esfuerzo y las ecuaciones de movimiento de los �uidos ideales,
Leonhard Euler.
7. La función de �ujo y energía potencial, Joseph-Louis Lagrange
8. Teoría del potencial y el concepto de vorticidad, Augustin-Louis Cauchy
9. Hidrodinámica experimental, Jean le Rond d�Alembert.
En los siglos XIX y XX las contribuciones matemáticas fueron la parte
central que permitieron construir una teoría manejable para las diferentes
situaciones teóricas y prácticas del estudio de los �uidos, entre las más desta-
cadas están:
1. Método de Variable compleja para �ujos bidimensionales, Gustav Kirch-
ho¤ y Herman Helmholtz.
2. Potencial de un �ujo tridimensional y viscosidad , Simeon-Denis Pois-
son.
3. Método de singularidades, dinámica de gases y teoría ondulatoria, William
J. Rankine y Lord Kelvin.
4. Estudio de �ujos viscosos, Claude L.M.H. Navier, y George G. Stokes.
5. Estudio del �ujo en tuberías, G.G. Stokes y Jean L.M. Poiseuille.
6. Estabilidad y Turbulencia, G.G. Stokes y Osborne Reynolds.
7. Concepto de capa límite, Rankine.
8. Teoría de la capa límite, Prandtl.
4CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Capítulo 2
Estática de Fluidos
En esta primera parte nos dedicaremos a estudiar �uidos en re-
poso respecto a un sistema de referencia local y básicamente re-
stringiremos nuestro estudio a �uidos en los cuales la densidad
no depende del tiempo, es decir, la densidad es a lo más función
de la posición pero no del tiempo (� = � (~r)) :
2.1. Fluidos
Actualmente se aceptan como su�cientes dos clasi�caciones de la materia
que la agrupan en dos grandes conjuntos:
La materia condensada que incluye a los sólidos + líquidos y entre sus
propiedades fundamentales se encuentran:
(a) que su densidad es relativamente constante y (b) que son también prác-
ticamente incompresibles.
En los �uidos se incluyen líquidos + gases, con la propiedad funda-
mental de que estos pueden ��uir�; que para nosotros signi�ca que
son capaces de tomar la forma de los recipientes que los contienen,
propiedad que claramente los sólidos no comparten.
En la actualidad aceptamos básicamente 3 estados de la materia sólido,
líquido y gaseoso y en algunos casos se acepta un posible cuarto estado, el
llamado plasma, donde la materia bajo estudio se encuentra en un estado
5
6 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
su
bl
im
ac
ió
n
d ep os ici ón
congelación
fusión
vaporización
condensación
ionización
recombinación
sólido
líquido
gas
plasma
Figura 2.1: Nombres de los diferentes cambios de fase.
gaseoso ionizado, en el cual existen la misma cantidad de cargas positivas
y negativas y ninguna de sus moléculas se encuentra en un estado eléctrica-
mente neutro.
Además reconocemos que la materia puede encontrarse en cualquiera de
estos estados y que mediante procesos termodinámicos podemos hacerla pasar
de un estado a otro.
Los nombres de los diferentes procesos de cambio de fase se ilustran en la
�gura (2.1)
En nuestro caso será su�ciente considerar únicamente los estados sólido
líquido y gaseoso y supondremos además, que durante cualquier estudio de
los mismos no existen cambios de estado.
Podemos diferenciar los diferentes estados a nivel microscópico a partir
de un modelo molecular, para esto es su�ciente considerar las siguientes dos
características para distinguir entre los diferentes estados
(a) las distancias intermoleculares y (b) los esfuerzos que son capaces de
soportar.
Las pruebas físicas a las que somete a los diferentes �uidos para su carac-
terización son básicamente de 3 tipos:
2.2. PRESIÓN Y DENSIDAD 7
1. Compresión
2. Tensión
3. Esfuerzos de corte
Por su parte los sólidos pueden soportar y transmitir dichos esfuerzos, de-
bido a la existencia de fuerzas su�cientemente fuertes entre sus moléculas por
lo que las distancias relativas entre sus moléculas permanecen prácticamente
constantes.
En el caso de los líquidos las distancias intermoleculares son mucho más
grandes que en los sólidos y las fuerzas entre moléculas son relativamente,
débiles lo que provoca que tengan muy poca resistencia a los esfuerzos de
corte.
Ante los esfuerzos de compresión, la mayoría de los líquidos se comportan
de manera muy parecida a los sólidos, es decir, son prácticamente incompre-
sibles. Los gases por su parte, debido a que las distancias intermoleculares
son mucho mayores que en los casos de sólidos y líquidos, su resistencia a los
esfuerzos de corte y compresión son muy pequeñas, es decir, son compresibles
y los podemos expandir o comprimir al mover un pistón sobre el recipiente
que los contiene. De igual manera su resistencia a los esfuerzos de corte es
prácticamente nula.
2.2. Presión y densidad
La descripción del estado de los �uidos y su movimiento se describe me-
diante las variables básicas de presión, densidad y viscosidad, en lugar de las
tradicionales fuerza y masa. Esto debido a que en los �uidos en movimiento, la
masa no se encuentra localizada como en el caso de los sólidos, así que resulta
mucho más cómodo para la descripción del estado de reposo o movimiento del
�uido sus características invariantes en una cierta región del espacio, como
son: su presión, densidad, viscocidad y su temperatura.
F ! P; F = PA;
M ! �; M = �V;
de esta manera las cantidades relevantes o de conjunto son PA y �V:
8 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
2.2.1. Presión
El concepto de presión surgió de manera natural al estudiar el efecto de
una fuerza sobre el área de un sólido o un �uido. En el concepto de presión,
sólo es importante la componente de la fuerza que es perpendicular a la
super�cie del �uido en cuestión, y llamamos presión al escalar que resulta
de dividir la magnitud de la fuerza normal por unidad de área
P � F?
A
:
Actualmente las unidades que se usan para hablar de la presión de un
�uido son diversas:
1. Pascales Pascal = Pa � N=m2:
2. Atmósferas 1atm = 1:01325� 105Pa:
3. Libras/pulgada cuadrada 14:7psi = 1atm:
4. Bares bar ' 1atm:
5. Milímetros de mercurio 760mm = 1atm:
6. Torricellis 1Torr = 1mm de mercurio
Debemos tener presente que la presión es una cantidad que no tiene
propiedades direccionales, por ejemplo, cualquier cuerpo inmerso en un �uido
experimenta una presión sobre él en todas direcciones y no en una sola en
particular.
2.3. Variación de la presión de un �uido en
reposo
2.3.1. Principio de Pascal
El principio de Pascal resume gran cantidad de observaciones empíricas
en torno a las formas de transmisión de la presión en un �uido incompresible.
El enunciado que propuso Blaise Pascal (1623-1662) para este principio de la
transmisión íntegra de la presión en un �uido es como sigue:
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 9
La presión ejercida sobre un �uido incompresible y en equilibrio
dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite con
igual intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del
�uido.
Podemos determinar la relación existente entre la presión y la profun-
didad h para un objeto sumergido en un líquido incompresible de densidad
constante solo usando las ideas de Newton, esto es, a partir del análisis de
fuerzas que experimenta el cuerpo sumergido, el cual suponemos que se en-
cuentra estático.
Teorema de Pascal
La presión que experimenta cualquier cuerpo sumergido a una profundidad
h en un �uido incompresible con�nado, está dada por
P = Po + �gh;
donde � representa la densidad del líquido, g la aceleración de la gravedad y
Po la presión en la super�cie del �uido.
Demostración
P
P
1
2
P0
Cilindro completamente
sumergido en �uido de
densidad constante �:
En este caso cada una de las caras del cilindro sumergido se encuentan a
presiones diferentes, debido a la cantidad de masa del �uido que se encuentra
10 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
sobre cada una de ellas, es decir, se cumple la desigualdad
P2 > P1:
Ahora si suponemos que el cilindro se encuentran estático, podemos usar esta
condición de equilibrio para escribir la ecuación
F2 � F1 = mg;
o en forma equivalente
P2A� P1A = �V g;
= �Ahg =)
P2 � P1 = �gh: (2.1)
Si una de las caras del cilindro se encuentra en la super�cie entonces P1 = Po
(presión exterior) y entonces la ecuación (2.1) se escribe en la forma usual
P = Po + �gh: (2.2)
Esta ecuación nos permite describir la presión que experimenta cualquier
objeto sumergido una profundidad h en un �uido con�nado y estático.
2.3.2. Teorema de Pitágoras usando la idea de la pre-
sión
Es posible mostrar el teorema de Pitágoras basados en el principio de
Pascal, es decir, en que a una cierta profundidad dada, la presión es constante
para todos los puntos situados a esa profundidad, si añadimos a esto que si
un cuerpo no gira entonces la torca resultante es nula
�
~�R = ~0
�
y esto nos
permitirá probar el teorema de Pitágoras a partir de conceptos mecánicos.
Demostración
Consideremos un prisma triangular (con uno de sus ángulos recto) sumergi-
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 11
do a una profundidad h (ver �gura 2.3.2).
Dado que el triángulo no gira, la suma de las torcas respecto a cualquier
punto �jo O debe de ser nula. Las fuerzas ~F2 y ~F3 producentorcas en la
misma dirección, mientras que ~F1 produce una torca en sentido contrario,
por lo que debe cumplirse
~� o1 = ~� o2 + ~� o3; =)
F1
c
2
=
b
2
F2 + F3r sin �;
=
b
2
F2 + F3r
a
2r
;
c
2
PA1 =
b
2
PA2 +
a
2
PA3;
sin pérdida de generalidad podemos elegir el espesor del prisma triangular
como la unidad por lo que las áreas resultan A = 1 �L; lo que �nalmente nos
permite escribir
c
2
c =
b
2
b+
a
2
a; =)
c2 = b2 + a2: c:q:d:
Blaise Pascal ideó un dispositivo de manera que pudiera observarse que
la presión de un líquido es independiente de la forma de los recipientes que
lo contienen, y pudo concluir que la presión es la misma a una misma altura
12 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
dentro del líquido, idependientemente de la forma del recipiente. El disposi-
tivo que construyó de vasos comunicantes1 se muestran en la siguiente �gura.
~ ~~~ ~~
~ ~~
~ ~~
~ ~~
~ ~~~ ~~
~
~
~~ ~~
~ ~~~ ~~
~ ~~~ ~~
~ ~~~ ~~
~~ ~ ~~
~
~
~
~~
~~ ~
Vasos comunicantes.
Esta idea de que la presión en un �uido en reposo es independiente de
la forma o sección transversal del recipiente y sólo depende de la distancia
vertical, fue explicada de una manera muy clara por el matemático holandés
Simon Stevin (1548-1620) en 1586 a�rmando que «la presión en un �uido
estático es la misma, para todos los puntos que se encuentran en un mismo
plano horizontal y están interconectados por el mismo �uido, independiente-
mente de la geometría» .
2.3.3. Prensa hidráulica
Un problema que aún tiene importantes aplicaciones prácticas y que está
basado enteramente en el principio de Pascal es el de la prensa hidráulica(ver
�gura 2.2). El problema esencialmente consiste en levantar o mover grandes
pesos cuando sólo se dispone de fuerzas menores que el peso que se desea
mover.
El uso del principio de Pascal permite diseñar la prensa hidráulica, un dis-
positivo que funciona con un líquido incompresible y con diferentes diámetros
en los lugares donde se aplica la fuerza, usando el el principio de Pascal sabe-
mos que para un líquido en equilibrio la presión se trasmite íntegramente,
es decir, la presión de entrada debe ser igual a la presión de salida (entrada
1Este dispositivo ilustran el principio de Pascal: En cualquier punto, a la misma altura
de la super�cie dentro del �uido en reposo, se encuentran a la misma presión independi-
entemente de la forma de los recipientes.
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 13
A
A
F
e
sF
s
e
Figura 2.2: Prensa hidráulica
$ p; salida $ g) por lo que
Pp = Pg;
Fp
Ap
=
Fg
Ag
; =)
Fg =
Ag
Ap
Fp;
de esta manera será posible mover el objeto con peso Fg siempre que Ag=Ap >
1, para que nos permita multiplicar la pequeña fuerza disponible Fp por esta
cantidad.
Podemos escribir un resultado general relacionado con las prensas hidráuli-
cas. Si aplicamos una fuerza F1 en uno de los extremos de la prensa y el
pistón se desplaza una distancia h1, el trabajo realizado por esta fuerza sera
W1 = F1h1; esta misma cantidad de trabajo se podrá recuperar en el otro lado
de la prensa debido a que el �uido es incompresible, así que debe cumplirse
Fphp = Fghg =)
hg =
Fp
Fg
hp;
de esta manera tendremos una relación para las distancias a las que podemos
mover los diferentes objetos. Observemos, como regla mnemotécnica que las
realciones de fuerza y desplazamiento son inversas, es decir:
Fsalida =
Asalida
Aentrada
Fentrada y hsalida =
Fentrada
Fsalida
hentrada;
entendiendo como entrada la sección de área más pequeña.
Las prensas hidráulicas se utilizan comúnmente para la forja, remacha-
do, piezas de fundición, troquelado, punzonado, embutición, conformado de
metales y en los sistemas de frenos hidráulicos.
14 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
2.3.4. Variación de la presión en la atmósfera
La variación de la presión en la atmósfera terrestre es debida fundamen-
talmente a dos factores:
Al cambio de densidad del aire y
a la cantidad de gas atmosférico que se encuentra por encima de cada
región en la que se desea determinar la presión.
De esta manera tendremos que a nivel del mar la presión será mayor que
a grandes altitudes, donde la columna de gas atmosférico es cada vez menor
conforme más se asciende, hasta llegar al espacio exterior donde la presión
es prácticamente nula.
El modelo más simple que se puede suponer para la presión es que esta
diminuye con la altura, es decir, si partimos de la expresión
dP
dh
= ��g; (2.3)
que resulta de suponer válida también en este caso la relación P = Po +
�gh =) �P = �g�h:
Para determinar la expresión para la presión en función de la altura,
supondremos que la densidad del gas atmosférico es directamente propor-
cional a la presión, esto es a mayor presión mayor densidad:
� =
�o
Po
P; (2.4)
donde los valores con subíndice cero representan los valores de presión y
densidad a nivel del mar.
Sustituyendo la densidad la ecuación (2.4) en (2.3) obtenemos
dP
P
= �g �o
Po
dh =)
lnP = �g �o
Po
h+ lnPo =)
P = Poe
�g �o
Po
h;
= Poe
�a h; a � g �o
Po
;
de esta manera nuestro modelo predice un comportamiento exponencial para
la presión atmosférica.
Aquí podemos hacer varias preguntas:
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 15
¿Cuál es la presión en la cima del Popocatéptel (5426 m)?
¿Cuál es la presión en la cima del Pico de Orizaba (5747 m)?
¿Cuál es la presión en la cima del Everest (8848 m)?
¿Cuál es la presión en la parte más alta de la atmósfera terrestre (�
11 km)?
La densidad del aire a nivel del mar es �o = 1:18 Kg=m
3 de esta manera
la constante
a = g
�o
Po
;
tiene el valor de
g
�o
Po
= 10� 1:18
105
=)
a = 1:18� 10�4m�1;
y la expresión para la presión a cualquier altura es
P u Poe�1;2�10
�4h;
donde h se encuentra medida desde la super�cie de la tierra.
2.3.5. Manómetros y densímetros en U
Ejemplo.
1 Un tubo en U, en el cual ambos extremos están abiertos a la atmósfera,
contiene cierta cantidad de agua. En el otro lado se vierte aceite hasta que
llega a una distancia de 12.3 mm sobre el nivel �nal del agua. Del otro lado
el nivel se a elevado hasta una altura de a = 67:5 mm desde su nivel original.
Determine la densidad del aceite, ver �gura (2.3).
Solución
Las respuestas en hidrostática usualmente están determinadas por todos
los puntos que se encuentran a la misma presión, en este caso en particular,
los puntos P son los relevantes para determinar la densidad del aceite.
Pues para esos puntos se cumple:
16 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
• •
a
a
d
nivel inicial
del aguaPP
Figura 2.3: Tubo en U usado como densímetro para medir la densidad de
aceites. Los puntos P se encuentran sometidos a la misma presión.
ghaceite�aceite + Po = ghagua�agua + Po =)
haceite�acdeite = hagua�agua =)
�aceite =
hagua
haceite
�agua =)
�aceite =
2a
2a+ d
�agua;
=
135
135 + 12:3
�
1� 103 kg
m3
�
;
= 916:5
Kg
m3
:
2.3.6. Aplicaciones elementales del principio de Pascal
2. Halle el aumento de presión en el �uido de una jeringa cuando una
enfermera aplica una fuerza de 42.3 N al émbolo de la jeringa de 1.12 cm de
diámetro.
Solución
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 17
�P =
F
A
;
=
4(42;3 N)
�(1:12 cm� 1m
100cm
)2
;
= 4:3atm:
3. Se produce vacío en una caja que tiene una tapa de 12 in2 de área, si
la presión atmosférica exterior es de 15 lb/in2 y se require una fuerza de 108
lb para abrirla. ¿Cuál es la presión dentro de la caja?
Solución
P = Po +
F
A
;
= 15
lb
in2
+
108 lb
12 in2
;
= 24
lb
in2
:
3. En 1654 Otto Von Guericke, dió una demostración en la cual 2 tiros de
caballos de 8 caballos cada uno, no pudieron separar 2 semiesferas de latón
al vacío.
(i) Muestre que la fuerza necesaria para separar las semiesferas es F =
�R2�P; donde R es el radio exterior de las semiesferas y �P es la diferencia
de presiones dentro y fuera de las semiesferas.
(ii) Haciendo R = 0:305m y Pint = 0:1atm ¿qué fuerza se requiere para
separar las semiesferas?
Solución
(i) Suponemos que la presión atmosférica es igual en todos los puntos de
las super�ciede cada semiesfera, por lo tanto la fuerza resultante sobre la
18 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
semiesfera está dada por
~F =
Z
d~F ;
=
Z
�Pd ~A;
= �P
Z
êrh�h�d�d�;
= �P
Z �
0
Z �
0
(sin � cos� i+ sin � sin� j+ cos � k)R2 sin �d�d�;
= �PR2
�Z �
0
sin2 �d�
��Z �
0
sin� d�
�
j;
= 2 �P R2
��
2
�
j;
= �R2�P j;
~F = Ac�{rculo �P j:
observemos que las integrales en las componentes x y z son nulas y que la
integral en � sólo es en el intervalo [0; �] para determinar la fuerza sobre la
mitad de la esfera (pues si se hace sobre toda la esfera la fuerza es nula).
(ii)
F = �R2�P;
= � (0;305)2
�
0;9atm� 10
5Pa
1 atm
�
;
= 26302 N:
Este número puede compararse con la potencia de un auto de 8 cilindros de
340 hp. En este caso la fuerza necesaria para llevar el auto a una velocidad
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 19
de 100 km/h, está dada por
Pot = Fv;
F =
Pot
100
;
=
1
100 km
h
�
340hp� 746 W
1 hp
�
;
= 2536:4
h
km
W;
= 2536:3
h
km
� 3600s
1h
� 1km
103m
N m
s
;
= 9130:7 N
apenas usa la mitad de la fuerza necesaria para separar los hemisferios.
4. Encontrar la presión total en lb/in2 y Pa a 660 pies de profundidad
(200 m) por debajo de la super�cie del océano si �o = 1:03�a
Solución
P = Po + �ogh;
= 1atm+
�
1:03� 103 kg
m3
��
10
m
s2
��
660 pie� 1m
3:3 pie
�
;
= 1atm+ 2:06� 106 Pa� 1atm
105Pa
;
= 21:6 atm:
Observación: Aquí vale la pena notar que suponiendo la densidad del mar
constante, cada 100 m de descenso equivalen aproximadamente a un aumento
de presión de 10 atm, de esta manera a 500 m de profundidad se tendrían
aproximadamente 52 atm de presión.
5. Estimar la diferencia de presión hidrostática en la presión sanguínea de
una persona de 1.80 m entre su cerebro y su pie, suponiendo que la densidad
de la sangre es �s=�w = 1;06; (donde �w representa la densidad del agua
�w = 10
3kg=m3).
Solución
Si consideramos la cabeza como referencia para medir las h0s entonces
20 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
basta calcular la presión hasta los pies
P = Po + �gh;
�P = �gh;
=
�
1:06� 103 kg
m3
��
10
m
s2
�
(1:8 m) ;
= 19080Pa� 1 atm
105Pa
= 0:19atm
6. Los pulmones humanos pueden funcionar contra una diferencia de pre-
sión menor que un vigésimo de presión atmosférica normal (�P < Po=20) :
Si un buzo utiliza snorkel para respirar ¿a qué profundidad respecto al nivel
del mar puede nadar?
Solución
La máxima profundidad que podría alcanzar es aquella para la cual
Pint = Pext;
= Po + �gh =)
h =
�P
�g
=
Po
20�g
;
=
1atm
20
�
1:03� 103 kg
m3
� �
10m
s2
� ;
=
105Pa m
2:06� 105Pa;
= 0:485m:
Es decir, la profundidad promedio a la que podemos bucear repirando por
el snorkel es de menos de medio metro. Así que prácticamente el snorkel es
útil sólo para mantenerse observando en el agua desde la super�cie.
7. Un tubo en U contiene mercurio. Cuando en su rama derecha se vierten
13.6 cm de agua, ¿a qué altura se eleva el mercurio en el brazo izquierdo a
partir de su nivel inicial?.
Solución
La �gura (2.3) es útil para la situación que considera este ejercicio. Referi-
do a esa �gura la pregunta consiste en determinar el valor de a: La ecuación
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 21
para este ejercicio donde las presiones son iguales cumple la ecuación
�agha = �mghm;
(13:6) �ag = �mg (2a) =)
a =
1
2
�a
�m
(13:6) ;
= 0:5 cm:
donde hemos usado que la densidad del mercurio es �m = 13:6� 103Kg=m3
y la densidad del agua es �a = 1� 103Kg=m3:
8. La profundidad del agua en el lado vertical de una presa es H: Si w
representa el ancho de la presa ver �gura.
w
H
h O
•
yz
Presa pluvial
a) Determinar la fuerza horizontal resultante y la presión manométrica2 de
la presa debida al agua (Pmano � P � Patm)
b) La torca neta debida a la presión manométrica del agua respecto al punto
O.
Solución
(a) Necesitamos determinar la fuerza resultante que experimenta la presa
debido al agua:
2Se llama presión manométrica a la diferencia entre la presión absoluta o real y la
presión a atmosférica.
22 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
F =
Z
dF;
=
Z
d (PA) ;
=
Z
(AdP + PdA) ;
ahora, dado que la presión manométrica es P = �gh; entonces
dP = �gdh;
y
dA = wdh;
de aquí que la fuerza resultante es
F = w�g
Z H
0
(H + h) dh;
= w�g
�
H2 +
H2
2
�
;
=
3
2
�gwH2;
y la presión manométrica está dada por
Pm =
F
A
;
Pm =
3
2
�gH:
(b) Torca resultante
~� =
Z
d~� ;
=
Z
d~r � ~F ;
= �
Z
~F � d~r;
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 23
donde ~F = Foj y d~r = dx i+ dy j; de aquí que el producto vectorial resulta
~F � d~r = Foj� (dx i+ dy j) ;
= �Fo dx k =)
~� = �kw�g3
2
H2
Z w
0
dx;
= �3
2
�gw2H2k;
~� = �3
2
�gA2 k;
donde A es el área de la presa en contacto con el agua. Esta torca es básica-
mente la responsable de la destrucción de las presas.
9. Tres líquidos inmiscibles se vierten en un recipiente cilíndrico de 20 cm
de diámetro. Las cantidades y densidades de los líquidos son :
0:5`; 2:6
g
cm3
;
1
4
`; 1
g
cm3
; 0:4`; 0:89
g
cm3
¿Cuál es la fuerza total que actúa sobre el fondo del recipiente (ignore la
contribución de la atmósfera)?
Solución
P =
X
i
�ighi;
dado que cada volumen es cilíndrico entonces Vi = Ahi; por lo que podemos
escribir
P =
g
A
X
i
�iVi;
=
g
�r2
�
2:6
2
+
1
4
+ (0:4)(0:89)
�
;
=
1: 906(10)
(3:14)(20)2
;
= 1: 517 5� 10�2Pa;
de aquí que la fuerza sobre el fondo es
F = PA;
= 19:06 N:
24 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
10. Una masa de �uido gira con una velocidad angular constante !
en torno a un eje vertical central del recipiente cilíndrico. Mostrar que la
variación de la presión en la dirección radial queda determinada por la fuerza
centrífuga por unidad de volumen, es decir,
dP
dr
=
Fcentrifuga
V ol
= �!2r:
Demostración
De
P =
F
A
;
donde A representa el área lateral del recipiente cilíndrico que tiene contacto
con el �uido, de aquí que
dP =
1
A
dF;
=
1
A
!2rdm;
=
1
A
!2r�Adr;
dP
dr
= �!2r: (2.5)
b) Si P = Pc en el eje de rotación (r = 0) ; demostrar que la presión P en
cualquier punto en la dirección radial está dada por
P = Pc +
1
2
�!2r2:
La demostración es prácticamente trivial, basta con integrar la ecuación
(2.5) para obtener el resultado.
11. (a) Demuestre que la densidad � del agua a una profundidad y en el
océano se relaciona con la densidad super�cial �o según la relación
� � �o
�
1 +
�ogy
�
�
;
donde � representa el módulo de elasticidad (� = 2;2 GPa = 2200 atm es el
módulo volumétrico del agua). Despréciense las variaciones de la temperatu-
ra. (b) ¿En qué fracción excederá la densidad a una profundidad de 4200m a
la densidad de la super�cie?
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 25
Solución
El módulo de elasticidad a temperatura constante está de�nido por
� = �V dP
dV
;
en términos de la densidad esta ecuación es
� = �m
�
dP
d
�
m
�
� ;
= �m
�
dP
�m
�2
d�
;
= �
dP
d�
;
dado que estamos suponiendo que la densidad NO es constante no podemos
usar P = �gh, pues esto sólo será válido en un elemento in�nitesimal de
volúmen donde podamos suponer que � = cte:, por lo tanto tendremos
�
�
d� = d (�gy) ;
= �gdy )Z �
�o
�
g�2
d� =
Z y
0
dy;
�
g
�
1
�o
� 1
�
�
= y ,
�� �o
��o
=
g
�
y;
�
�
1� �ogy
�
�
= �o;
� = �o
�
1� �ogy
�
��1
;
si hacemos un desarrollo en serie de Taylor (suponemos que �ogy
�
<< 1;lo cual
es posible pues �og
�
� 104
109
� 10�5) tendremos
� � �o
�
1 +
�ogy
�
�
c:q:d:
26 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
2.4. Barómetro de mercurio
El barómetro de mercurio se muestra en la �gura (2.4) fué inventado por
Evangelista Torricelli y lo usó para medir la presión atmosférica a diferentes
alturas sobre el nivel del mar.
Para determinar la presión que ejerce la atmósfera sobre la super�cie del
mercurio, basta con medir con un metro la altura h, pues para la columna
de mercurio tenemos que se cumple
P = P2 + �gh;
ahora dado que P2 = 0 entonces la presión atmosférica es
P = �gh:
A nivel del mar P = 1atm lo que implicaque
h =
P
�g
;
=
1:013� 105Pa
13:6� 103Kg
m3
�
9:8m
s2
� ;
= 0;760m;
= 760 mm de Hg:
Si repetimos este mismo cálculo para una columna de agua tenemos
h =
P
�g
;
=
1:013� 105Pa
1� 103Kg
m3
�
9:8m
s2
� ;
= 10:337 m;
este resultado fué ampliamente usado para sacar agua de las minas. Para
usarlo se usaba una máquina que produjera un vacío en la parte superior de
la tubería (para tener P2 ' 0)y de esta manera se aprovechaba que la presión
atmosférica hacía el trabajo de expulsar el agua a alturas menores o iguales
a 10.337 m.
2.5. EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES 27
h
h
h
1
2
P
1
2
P
= 0
=P
Figura 2.4: Barómetro de mercurio. El mercurio que se encuentra en el re-
cipiente está en equilibrio bajo la acción de la presión atmosférica y del peso
del mercurio contenido en la columna vertical.
2.5. El principio de Arquímedes
Principio de Arquímedes
Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un �uido en reposo (gas o
líquido), recibe un empuje hacia arriba igual al peso del �uido desplazado .
También puede enunciarse como:
El peso de un objeto total o parcialmente sumergido en un �uido
disminuye por una cantidad igual al peso del �uido desplazado.
Ejemplo: Objetos parcialmente sumergidos
1. Consideremos el caso de un objeto parcialmente sumergido �gura (2.5),
suponemos que el cuerpo está en equilibrio, por lo que debe cumplirse
Fg = FE ;
donde Fe representa el empuje ejercido por el �uido, que permite que el objeto
�ote. Por la tanto tendremos que
mg = FE ;
= �`Ah1g;
28 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
h2
h1
h
Figura 2.5: Objeto parcialmente sumergido
donde hemos usado el principio de Arquímedes, por lo tanto tendremos
�sA (h1 + h2) g = �`Ah1g =)
�s =
h1
h1 + h2
�`; (2.6)
esta es la condición de �otación, pues si el objeto a de �otar entonces h2 6= 0;
por lo que
h2
h1 + h2
< 1 =)
�s < �`;
i.e., si un objeto a de �otar en un líquido de densidad �`; debe cumplirse
�s
�`
< 1:
Si deseamos conocer ¿cuánto del objeto queda sumergido? necesitamos la
ecuación (2.6), por ejemplo; para el hielo sumergido en agua, tenemos
�h
�a
=
916:8Kg
m3
1000Kg
m3
;
= 0:9168;
podemos escribir la ecuación (2.6) de una manera más conveniente
�`
�s
= 1 +
h2
h1
;
2.5. EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES 29
en nuestro caso queda
�a
�h
= 1 +
hflot
hsum
=)
hflot
hsum
=
�a
�h
� 1;
hflot
hsum
=
1000
916:8
� 1;
hflot = 0:0907 hsum
Usualmente esta respuesta se da en términos de porcentaje, por lo que se
contesta que para el caso de hielo sumergido en agua el t 90% del hielo se
encuentra sumergido en el agua o que solamente el 9:07% está a la vista.
EJERCICIOS:
Resnick Cap. 17 10,12,16,17,18,20,31,38,40,41
30 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
Capítulo 3
Dinámica de Fluidos
La descripción de los �uidos en movimiento que haremos aquí está
basada en el método generado por Leonhard Euler, en el cual se
especi�can la densidad y la velocidad del �uido en cada punto
del espacio, es decir, se considera que el �uido en movimiento le
con�ere ciertas propiedades al espacio por donde se mueve y es la
dinámica de estas la que se estudia para describir el movimiento
del �uido.
3.1. Generalidades sobre el �ujo de �uidos
Existe una nomenclatura estándard para describir el estado de movimien-
to de los �uidos:
Fluidos estacionarios y no estacionarios. Si las propiedades de
cada punto del espacio por donde se mueve el �uido permanecen las
mismas al transcurrir el tiempo el �uido se dice estacionario.
Flujo laminar y turbulento. Cuando las líneas de �ujo del �uido
son aproximadamente paralelas se dice que el �ujo es laminar, esto
usualmente ocurre para �uidos que se mueven a bajas velocidades. En
caso contrario se dice que el �ujo es turbulento.
Flujo viscoso y no viscoso. En el caso de los �uidos la viscosidad
es el análogo a la fricción en el movimiento de los sólidos. Cuando el
�uido �uye sin disipar energía se dice que no es viscoso.
31
32 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
Frontera laminar móvil
Frontera laminar fija
Gradiente
Velocidad V
Fluido estacionario
Esfuerzo de Cizalla T
Frontera laminar móvil
Frontera laminar fija
Gradiente
Velocidad V
Fluido estacionario
Esfuerzo de Cizalla T
Figura 3.1: Movimiento de un �uido cuando una de las placas que mantiene
contacto con él se mueve mientras la otra permanece �ja.
Un �ujo se dice Newtoniano si cumple la ecuación
� = �
dv
d`
;
donde:
� = viscosidad absoluta o dinámica, � = viscosidad cinemática � �
�
� = esfuerzo o torque de cizallamiento representa el cociente de la fuerza
tangencial aplicada al �uido entre el área de contacto (FT=A):
v = velocidad del �uido, cuyo �ujo se supone homogéneo
` = la distancia del centro a las paredes del tubo, o distancia lateral o
perpendicular al �ujo del �uido.
De esta manera la ecuación de Newton establece que la tensión tangencial
de rozamiento en cierta dirección es directamente proporcional al gradiente
de la velocidad en esa dirección multiplicada por una constante que tiene
que ver con la naturaleza molecular del �uido, y cuyo promedio macroscópico
se estima por la viscosidad absoluta �:
3.1.1. Unidades de la viscosidad
Viscosidad dinámica [�] o absoluta
Esta cantidad representa la resistencia de un �uido a las deformaciones
tangenciales sus unidades son
[�] = [P ][T ] = Pa � s;
3.1. GENERALIDADES SOBRE EL FLUJO DE FLUIDOS 33
unidades más usadas son el Poise= 0:1 Pa�s; o el centipoise = 1�10�3Pa�s:
En la siguiente tabla se muestran los valores de la viscosidad � para algunos
�uidos comunes a temperatura ambiente de 21oC
MATERIAL VISCOSIDAD EN CENTIPOISES (cps)
Aire 10�2
Metanol 5 X 10�1
Agua 1
Leche 3
Glicol 15
Etileno 25
Vino 25
SAE 10 aceite motor 85-140
SAE 20 aceite motor 140-420
SAE 30 aceite motor 420-650
SAE 40 aceite motor 650-900
Miel 104
Chocolate derretido 2.5 X 104
Salsa de Tomate 5 X 104
Mostaza 7 X 104
Crema 105
Polímeros fundidos 2 X 106
Compuestos de Caucho 5 X 106
Viscosidad cinemática
La viscosidad cinemática se de�ne a partir de la viscosidad absoluta por
� � �
�
;
y sus unidades en el sistema internacional son
[�] =
�
�
�
�
=
L2
T
=
m2
s
:
34 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
3.2. La conservación de la masa
3.2.1. Ecuación de continuidad
Las ecuaciones de continuidad son ecuaciones que se presentan frecuente-
mente en física y usualmente establecen que cierta cantidad física se conserva,
es decir, que sólo pasa de un lugar a otro sin pérdidas ni ganancias. Ejemplos
de ecuaciones de continuidad son:
La ecuación de conservación de la carga que en su forma más general
se expresa como
@�
@t
= �r � ~J;
esta ecuación establece que la variación en la densidad de la carga
eléctrica sólo se debe a lo que �uye hacia o desde la región de interés.
La ecuación de conservación de la probabilidad en mecánica cuántica
a�rma que @�
@t
= �r � ~J; donde � = � y ~J = i
2m
( �r � r �) ; es
decir,
@
@t
( � ) = �r � i
2m
( �r � r �) :
En los �uidos se tiene una ecuación similar para la conservación de la
masa, que establece que la masa de �uido que �uye de un punto a otro
debe ser la misma sin pérdida ni ganancia de masa durante el paso
entre los puntos. La ecuación que representa esta a�rmación es
@�
@t
= �r � (�~u) ;
donde � representa la densidad y ~u la velocidad del �uido.
Nosotros usaremos una versión mucho más simple de esta ecuación. Si
partimos del hecho de que la cantidad de masa de un líquido que pasa
por un punto debe ser la misma en un punto vecino (ver �gura (3.2))
entonces tendremos
dm1 = dm2;
�dV1 = �dV2;
�1A1dx1 = �2A2dx2;
�1A1v1dt = �2A2v2dt; � = cte: =)
A1v1 = A2v2:
3.2. LA CONSERVACIÓN DE LA MASA 35
v1 v2A A1 2
dV
Figura 3.2: Representación del movimiento de un líquido incompresible en
una tubería que cambia de diámetro.
De esta manera la ecuación de continuidad (conservación de la masa),
para describir el movimientos de líquidos en tuberías o canales está
descrito por la ecuación más simple Q = Av = cte: la cual recibe el
nombre de gasto o caudal.
Ejemplos:
1). Un tubo de 34.5cm de diámetro llevaagua que se desplaza a 2.62 m/s
¿Cuánto tardará en descargar 1600 m3 de agua?
Solución
Q = Av;
= �r2v;
= 0:244
m3
s
:
Ahora sabemos que mediante esta tubería se entregan 0.244 m3 cada segundo,
es decir
0:244m3 ! 1seg
1600m3 ! x
de aquí tenemos
x =
1600
0:244
;
= 6557:4s� 1h
3600s
;
= 1:82h:
36 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
2). Una manguera de jardín con un diámetro interno de 3=4 in está conec-
tada a una regadera rotativa para jardín compuesta de un solo tubo de
24 hoyos de 0:05 in de diámetro. Si el agua en la manguera tiene una
rapidez de 3.5 ft=s ¿con qué rapidez sale de los hoyos?.
Solución
Usando la conservación de la masa tenemos
Qo =
24X
i=1
Qi;
=
X
Aivi;
= 24Afvf =)
vf =
Qo
24Af
;
=
Ao
Af
vo
24
=
(0:75)2 (3:5)
24 (5� 10�2)2
;
= 32:813
ft
s
:
3). En la �gura (3.3) se muestra la con�uencia de 2 corrientes que forman
un río. Una corriente mide 8.2 m de ancho y 3.4 m de profundidad y su
rapidez es de 2.3 m/s La otra mide 6.8 m de ancho y 3.2 de profundidad
y �uye a una velocidad de 2.6 m/s. El ancho del río es de 10.7 m y la
rapidez de la corriente es de 2.9 m/s, ¿cuál es su profundidad?
Solución
La conservación de la masa nos permite escribir
Q1 +Q2 = Q;
`1h1v1 + `2h2v2 = `hv =)
h =
`1h1v1 + `2h2v2
`v
;
= 3:889m:
3.2. LA CONSERVACIÓN DE LA MASA 37
v1v2
v
Figura 3.3: Con�uencia de 2 corrientes �uviales.
Aquí lo importante es notar que a partir de datos accesibles como el ancho
del río y la velocidad de su caudal podemos determinar cantidades como su
profundidad y debe tenerse en cuenta que este es solo un resultado aproxima-
do, pues estamos suponiendo que los caudales de los ríos son perfectamente
rectangulares, lo cual es sólo una aproximación
¿Existe alguna manera simple de medir los caudales Q1 y Q2?; Al parecer,
es inevitable hacer las 3 mediciones de anchura, velocidad y profundidad.
4). Un río de 21 m de ancho y 4.3 m de profundidad drena un terreno
de 8500 km2; donde la precipitación pluvial promedio es de 48 cm/año. Una
cuarta parte de la precipitación vuelve a la atmósfera por evaporación, pero
el resto llega �nalmente al río.
¿Cuál es la velocidad promedio de la corriente del río?
Solución
Lo primero que hay que estimar, es la cantidad de agua que llega al
río. Dado que la única fuente de agua del río es el agua de lluvia debemos
determinar la cantidad total de agua que recibe el terreno
Qo =
n�umero de m3
unidad de tiempo
:
38 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
El número de metros cúbicos de agua que recibe el terreno por año está
dado por
V = Ah;
=
�
8500 km2
� �
0:48� 10�3km
�
;
= 4:08 km3:
sabemos que sólo 3=4 partes de este volumen van al río, por lo que el gasto
es
Q =
3
4
V
a~no
;
= 3:06 km3=a~no;
= Av =)
v =
3:06km
3
a~no
A
;
=
3:06km
3
a~no
(21) (4:3)� 10�6km2 ;
= 33887
km
a~no
� 10
3m
1 km
� a~no
365d
� d
24hr
� 1hr
3600s
;
= 1:07
m
s
:
Observación
Las ideas de este problema se pueden usar también para determinar el
diámetro de las tuberías de drenaje de una población, a partir del conocimien-
to de la precipitación anual, la cantidad estimada que se evapora a la atmós-
fera y la velocidad que se requiere para el desagüe del drenaje, habría que
añadir además la cantidad promedio de líquidos que vierte la población al
drenaje y que es extraida de pozos.
3.3. Conservación de la energía, ecuación de
Bernoulli
Si consideramos el movimiento de �uidos con las siguientes características:
Estacionario
3.3. CONSERVACIÓNDE LAENERGÍA, ECUACIÓNDEBERNOULLI39
Incompresible
no viscoso
e irrotacional
entonces podemos suponer la conservación de la energía mecánica. En el
caso de los �uidos, la conservación de la energía mecánica toma la forma
P +
1
2
�v2 + �gh = cte:;
como mostraremos a continuación. Esta cantidad la denotaremos por B rep-
resenta el valor de la energía por unidad de volumen (en la forma de Bernoulli)
para cualquier punto en el trayecto del �uido.se cumple
B � P + 1
2
�v2 + �gh:
así que la constancia de esta cantidad la podemos escribir simplemente como
B1 = B2;
para puntos 1 y 2 arbitrarios a lo largo de la línea de movimiento del �uido.
Para mostrar el teorema es su�ciente que consideremos que una agente
externo (bomba de agua, desnivel, etc) provoca el movimiento de un �uido a
lo largo de un tubo con 2 de sus secciones transversales a diferentes alturas
como se muestra en la �gura (3.4) y usar el teorema de la conservación de la
energía mecánica.
Dado que las 4 condiciones que imponemos al �uido son para garantizar
que no existe disipación de energía por fricción, entonces el trabajo hecho por
el agente externo para mover el �uido a lo largo del tubo entre los puntos 1
y 2 debe cumplir
Wext = �K +�U;
F1�`1 � F2�`2 =
1
2
�V
�
v22 � v21
�
+ �gV (h2 � h1) ;
P1A1�`1 � P2A2�`2 =
1
2
�V
�
v22 � v21
�
+ �gV (h2 � h1) ;
P1 � P2 =
1
2
�
�
v22 � v21
�
+ �g (h2 � h1) ;
40 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
A
A
1
2
h
h1
2
v
v
1
2
Figura 3.4: Sección de un tubo por el cual se mueve un líquido incompresible,
no viscoso, irrotacioal y estacionario.
donde hemos usado que el �uido es incompresible por lo que los volumenes
de entrada y salida son los mismos. Finalmente podemos concentrar toda la
información de cada uno de los estados del �uido en los diferentes lados de
la ecuación
P1 +
1
2
�v21 + �gh1 = P2 +
1
2
�v22 + �gh2;
B1 = B2: H
3.3.1. Observaciones
1. Presión estática. Para un �uido estático se cumple v1 = v2 = 0, y de
B1 = B2 tendremos
P1 + �gh1 = P2 + �gh2 =)
P1 = P2 + �g (h2 � h1) ;
que es nuestra antigua relación para la presión hidrostática.
2. Presión dinámica. Si el �uido �uye horizontalmente h1 = h2 = 0 en-
tonces de B1 = B2 tendremos
P1 +
1
2
�v21 = P2 +
1
2
�v22;
�P =
1
2
��v2:
3.3. CONSERVACIÓNDE LAENERGÍA, ECUACIÓNDEBERNOULLI41
3. Si entre los puntos 1 y 2 existe fricción en la tubería, o se conecta una
bomba, la ecuación B1 � B2 = 0 tiene que modi�carse, de la misma
manera que cuando se estudia el trabajo mecánico, es decir debemos
añadir a los agente externos en el lado derecho de la ecuación
B1 � B2 = wb + wf ;
donde wb es el trabajo por unidad de volumen realizado por las bombas
y wf el trabajo en contra del movimiento realizado por las fuerzas de
fricción del tubo, más adelante mostraremos que:
wf = ��ghf ;
donde hf represental la pérdida de carga y está dada por
hf =
32�lv
�gd2
;
donde � representa la viscosidad del �uído que se mueve en el canal
o tubería, l la longitud que se estudia, v la velocidad del �uído en la
tubería y d el diámetro de la tubería.
Ejemplos
1). Con una manguera uniforme de 9.7 mm de radio se bombea agua cons-
tantemente de un sótano inundado a 5.3 m/s. La manguera atraviesa
una ventana a 2.9 m arriba del nivel del agua. ¿Cuál es la potencia de
la bomba?
Solución
La ecuación de Bernoulli es la ecuación de la conservación de la energía,
por lo que sabemos que la cantidad B = P+1
2
�v2 + �gh es constante a lo
largo del trayecto del líquido por la manguera, es decir que debe cumplirse
que B1 = B2 para los puntos de extracción y entrega del �uido. Para un
punto en el sótano se cumple
P1 = Patm +
1
2
�v2 + �gh;
42 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
h
A
A1 2v
v
1
2
2v 1v>
Figura 3.5: Tubo de Venturi con los medidores de diferencia de presión hacia
arriba.
y la potencia de la bomba está dada por
P = Fv;
= PAv;
=
�
Patm +
1
2
�v2 + �gh
�
Av;
= 201:18W � 1hp
746
;
= 0:26hp ' 1
4
hp:
3.3.2. Tubo de Venturi
2). Tubo de Venturi (Giovanni Batista Venturi 1746-1822).
El tubo de Venturi es un dispositivo de medición de la presión, cuyo
principio de funcionamiento descansa en el hecho de que la presión de un
�uido en un tubo disminuye al aumentar su velocidad cuando pasa por una
sección de menor diámetro.
Existen varias versiones del tubo de Venturi, aquí sólo mostraremos 2 en
las �guras (3.5 y 3.6)Nuestro interés es medir la velocidad v1(o v) del �uido
en la parte ancha y lo que se hace es añadir la parte angosta para disminuir
la presión y que nos permite hacer funcionarel líquido en el tubo en forma
de U en la �gura (3.6) o simplemente medir el desnivel entre entre los tubos
abiertos de la �gura (3.5).
3.3. CONSERVACIÓNDE LAENERGÍA, ECUACIÓNDEBERNOULLI43
P
P
1
2
A
A
h
h
h
v v1 2
1
2
1
2
r
o
Figura 3.6: Tubo de Venturi en U.
La solución en ambos casos es prácticamente la misma, aplicamos la
ecuación de Daniel Bernoulli a los puntos de interés en el caso (3.5) y tenemos
B1 = B2;
P1 +
1
2
�v21 = P2 +
1
2
�v22;
2
�P
�
+ v21 = v
2
2; (3.1)
usando la conservación de la masa tenemos
Q1 = Q2;
A1v1 = A2v2 =)
v2 =
A1
A2
v1; (3.2)
sustituyendo la ecuación (3.2) en la ecuación (3.1), tenemos
2
�P
�
+ v21 =
�
A1
A2
�2
v21;
v21
�
1� A
2
1
A22
�
= 2
�P
�
v1 = A2
s
2gh
A21 � A22
:
44 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
3.3.3. Tubo de Venturi en U
Para el tubo en U debemos tomar en cuenta que el líquido que nos sirve
de indicador en el tubo es más denso y no es miscible con el líquido al cual
se le quiere medir la velocidad de �ujo o la presión.
Primero determinaremos la diferencia de presiones en ambas secciones del
tubo a una misma altura, en este caso la ecuación de Bernoulli implica
P1 +
1
2
� v21 = P2 +
1
2
� v22; =)
P1 � P2 =
1
2
�
�
v22 � v21
�
: (3.3)
Esta misma diferencia de presiones también la podemos determinar en el
tubo en U en función de la densidad del líquido de medida. Para esto usamos
los datos de la �gura (3.6), dado que los puntos O y r se encuentran a la
misma altura, la presión para ellos es la misma y cumplen:
P1 + �gh1 = P2 + �gh2 + �
0gh =)
P1 � P2 = �g (h2 � h1) + �0gh;
= (�0 � �) gh;
igualando con nuestra ecuación (3.3) y usando la ecuación de la conservación
de la masa (A1v1 = A2v2) podemos escribir:
1
2
�
�
v22 � v21
�
= gh (�0 � �) ;�
A1
A2
�2
v21 � v21 =
2gh
�
(�0 � �) =)
v1 = A2
s
2gh
A21 � A22
s
�0
�
� 1:
3.3.4. Aplicaciones del efecto Venturi
Motores, carburadores
Medidor de la velocidad de �uidos en tuberías
Capilares del sistema circulatorio
3.3. CONSERVACIÓNDE LAENERGÍA, ECUACIÓNDEBERNOULLI45
h
Figura 3.7: Descarga de un líquido por un ori�cio de un depósito a una altura
h medida desde la parte superior.
Atomizadores
Teorema de Torricelli
El teorema de Torrichelli es una aplicación del principio de Bernoulli
y estudia el �ujo de un líquido contenido en un recipiente a través de un
pequeño ori�cio por la acción de la gravedad, a partir del teorema se puede
calcular el caudal de salida.
En la �gura (3.7) se muestra la descarga de un líquido por un ori�cio a
una distancia h por debajo del nivel de agua.
1. a) Mostrar que la rapidez de salida del agua es
v =
p
2gh;
b). Si el ori�cio estuviese curvado hacia arriba hasta dónde subiría el
chorro de agua.
46 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
Capítulo 4
Cantidades adimensionales
4.1. Introducción
De�nition 1 Las cantidades que requieren de unidades para tener un sig-
ni�cado, son llamadas cantidades dimensionales. Números como 4; �; e;
p
2
se dice que son cantidades adimensionales.
En la mayoría de las situaciones es útil identi�car 3 dimensiones funda-
mentales:
Longitud L
Masa M
Tiempo T
Usualmente las dimensiones de todas las otras cantidades necesarias para
la descripción de un proceso pueden ser expresadas como combinaciones de
estas. En algunos casos es necesario añadir la temperatura �;y la carga q.
Denotaremos la dimensión de una cantidad A por [A]; por ejemplo
[ �Area] = [A] = L2;
[Aceleraci�on] = [a] = LT�2;
[V elocidad] = [v] = LT�1;
[Fuerza] = [F ] =MLT�2;
[Energ�{a] = [E ] =ML2T�2:
47
48 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
Para determinar las unidades de las constantes fundamentales G; h; �o; "o
podemos usar que
[G] =
[F ]L2
M2
;
=
MLT�2L2
M2
;
= M�1L3T�2;
en forma análoga la constante de Planck está dada por:
[h] =
[E]
[�]
=
ML2T�2
T�1
;
= ML2T�1;
la permitividad eléctrica
["o] =
[F ]L2
q2
;
=
MLT�2L2
q2
;
= ML3T�2q�2;
la permitividad magnética
[�o] =
[B]
[ni]
;
=
[F ]
[qv][ni]
;
=
MLT�2
qLT�1L�1qT�1
;
= MLq�2:
El método del análisis dimensional en hidráulica se utiliza para reducir el
número de variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico,
y también se usa para proponer relaciones funcionales entre las diferentes
variables relevantes del problema.
4.1. INTRODUCCIÓN 49
Usualmente si para describir un fenómeno físico se requiere de n variables
dimensionales, podemo reducir este número a k variables adimensionales,
mediante el método de análsis dimensional, y esto usualmente nos permite
determinar el número de variables independientes n � k que representa el
número de grados de libertad del sistema. En mecánica de �uidos las 4 di-
mensiones básicas son masa, longitud, tiempo y temperatura fM;L; t; �g; y
en ocasiones también se usa el sistema el sistema de unidades ft; �; F; Lg;
donde se reemplaza la masa por la fuerza.
Ejemplos
Existen varias cantidades adimensionales que son importantes en mecáni-
ca de �uidos y que pueden construirse a partir del cociente de fuerzas
#i �
Ma
Fi
(4.1)
donde Fi representa la fuerza de interés en cada caso. Los números de Euler,
Reynolds y Froude están construidos de esta manera y en lo que sigue
mostraremos el uso de la ecuación (4.1)
1. La relación entre las fuerzas de inercia y la presión (Número de Euler
E =�v2
p
)
Del cociente entre fuerzas
Ma
pA
=
�L3 L
t2
pL2
;
=
�L
2
t2
p
;
=
�v2
p
;
E = �v
2
p
:
2. La relación entre fuerzas de inercia y viscosas (Número de Reynolds
50 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
Re =
�vd
�
)
Ma
� zA
=
Ma
�
�
dv
dy
�
A
;
=
�d2v2
� v
L
d2
;
=
�vd
�
;
Re =
�vd
�
:
3. La relación entre fuerzas de inercia y gravitarorias (Número de Froude
Fr =
vp
`g
)
Ma
Mg
=
�`2v2
�`3g
;
=
v2
`g
;
la raíz cuadrada de este número se llama número de Froude.
En general solo se estudian los efectos de las fuerzas dominantes. En la
mayoría de los problemas prácticos de �ujo de �uidos las fuerzas dominantes
son:
i) La gravedad
ii) viscosidad
iii) Elasticidad
aunque no necesariamente en forma simultánea.
Debe además notarse que resulta obvio que los números de Euler, Reynolds
y Froude son adimensionales, pues están construidos a partir del cociente de
fuerzas.
4. Expresar cada una de las siguientes magnitudes:
a) en función del conjunto fF;L; T; �; g;
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 51
b) en función del conjunto fM;L; T; �g
Magnitud Símbolo F L t � M L t �
Área A L2 L2
Volumen V L3 L3
Velocidad v LT�1 LT�1
Aceleración a LT�2 LT�2
Velocidad Angular ! T�1 T�1
Fuerza F F MLT�2
Masa M FL�1T 2 M
Peso especí�co 
 FL�3 ML�2T�2
Densidad � FT 2L�4 ML�3
Presión P FL�2 ML�1T�2
Viscosidad absoluta � FTL�2 ML�1T�1
Viscosidad cinemática � L2T�1 L2T�1
Potencia P FLT�1 MLT�3
Caudal Q L3T�1 L3T�1
Esfuerzo cortante � FL�2 ML�1T�2
4.2. Proposición de relaciones funcionales
Si no se puede deducir a partir de primeros principios una relación fun-
cional f (x1; x2; ::::xn) = 0; entre las diferentes cantidades que determinan el
comportamiento del sistema, se puede recurrir al análisis dimensional para
proponer una relación que satisfaga los requisitos de homogeneidad dimen-
sional y en el que todas las variables que se consideran importantes han sido
tomadas en cuenta.
Un requisito adicional de utilidad es determinar los grupos de cantidades
dimensionalmente independientes, es decir aquellos con los cuales no es posi-
ble formar un grupo adimensional entre ellas, pero si debe ser posible con-
struirlo si se añade una variable más (principio de homogeneidad dimensional
PHD).
4.2.1. Teorema de Buckingham
Estas consideraciones quedan resumidas en el teorema Pi de Buckingham,
el término � proviene del hecho de que solo se consideran productos de
52 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
variables, y los parámetros adimensionales que resultan de la aplicación del
teorema se denominan �1;�2; ::::.El método que surge del teorema permite
determinar estos parámetros.
Enunciaremos sin demostración el teorema� de Buckingham en 2 partes[1],la primera de ellas nos permite determinar los grados de libertad reales del
sistema y su relación con las dimensiones de estas cantidades.
Parte 1 Si un proceso físico que relaciona n variables dimensionales me-
diante relaciones que satisfacen el principio de homogeneidad dimen-
sional, se puede describir mediante una relación entre sólo k variables
adimensionales, entonces las n�k = j variables representan el número
de grados de libertad que no pueden formar un grupo adimensional en-
tre ellas, y es siempre menor o igual que el número de dimensiones que
describen estas variables.
La segunda parte del teorema aporta un método para hallar las cantidades
adimensionales:
Parte 2 Determinar j, se seleccionan los conjuntos de j variables (el mayor
posible) con las cuales no se puede construir un parámetro adimensional
entre ellas. Así, cada parámetro adimensional �` estará formado por un
producto de potencias de estas j variables con una variable adicional a
la que se le asigna un exponente conveniente no nulo. Todos los grupos
adimensionales así formados son independientes.
Observaciones:
Podemos describir el teorema de una manera heurística de la siguiente
manera:
Las cantidades relevantes para el uso del teorema son:
Si:
1. D representa el conjunto de variables dimensionales disponibles, y
2. A representa el conjunto de variables adimensionales que se pueden
formar a partir e las n variables disponibles,
3. Ndim representa el número de dimensiones relevantes en el problema
fL;M; T; q; �; ::g
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 53
4. Gd representa todos los conjuntos de variables (con el mayor número)
con las que NO se puede formar grupo adimensional.
Los números relevantes son # de elementos de los conjuntos D;A;Gd
(n; k; j) y el número de dimensiones relevantes del problema Ndim
que deben cumplir la desigualdad:
j = n� k � Ndim;
de aquí que para toda fyg � Gd solo existen k = n�j relaciones adimension-
ales posibles. El teorema trata el problema de determinar completamente A;
a partir de D, Gd y Ndim .
Como ilustración general consideraremos el procedimiento a seguir si
disponemos de 5 variables fv1; v2; : : : ; v5g y 3 dimensiones relevantes fM;L; Tg;
nos interesa determinar una relación entre ellas usando el análisis dimension-
al, es decir queremos determinar la función f tal que podamos expresar
v1 = f (v2; v3; v4; v5) :
Dado que sólo existen 3 dimensiones relevantes, sabemos que el número
máximo de cantidades con las cuales no es posible formar grupo adimensional
es: j � 3:
Ahora, según el teorema de Buckingham sólo es posible hallar a lo más 2
grupos adimensionales distintos k = n � j = 5 � 3 = 2. Para determinarlos
elegimos el mayor conjunto de variables fv2; v3; v4g con las que no podemos
formar grupo adimensional entre ellas.
El teorema de Buckingham a�rma que los dos grupos adimensionales
estarán formados por estas 3 variables más una variable adicional distinta
para cada uno, es decir, v1 o v5 respectivamente
�1 = v
a
2v
b
3v
c
4(v1)
d =M oLoT o; y
�2 = v
a
2v
b
3v
c
4(v5)
d =M oLoT o:
Debemos tener en cuenta que el mayor conjunto no adimensional f�1; �2; : : : ; �jg;
tiene la propiedad de que cualquier subconjunto de él es a su vez no adimen-
sional.
Ejemplos
1). (Caída libre) Obtener mediante análsis dimensional, una expresión
para la distancia recorrida en un tiempo t por un cuerpo que cae libremente,
54 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
suponiendo que la distancia depende del peso del cuerpo, de la aceleración
de la gravedad y del tiempo.
Solución
En este caso tenemos 4 variables fs; t; g;mg y 3 dimensiones relevantes
fM;L; Tg. Con las cantidades fs; t; gg se puede construir un grupo adimen-
sional, pero no con fs;m; gg ni conft;m; gg; ni con fs;m; gg por lo que j = 3
y k = 4 � 3 = 1; esto es, sólo se puede formar 1 grupo adimensional con
las 4 cantidades. Si escogemos fs;m; gg como nuestro grupo con el que no
podemos formar grupo adimensional, entonces
�1 = s
ambgctd =M oLoT o;
= LaM b
�
LT�2
�c
T d =M oLoT o;
esto implica las ecuaciones
a+ c = 0;
b = 0;
�2c+ d = 0;
de aquí obtenemos
a = �c;
d = 2c;
eligiendo c = 1
�1 = s
�1gt2 =)
s =
1
�1
gt2;
el coe�ciente adimensional�1 se determina por lo general experimentalmente,
en nuestro caso sabemos que �1 = 2:
2) (Péndulo simple) Determinar una expresión para el periódo de un
péndulo simple usando análisis dimensional.
Solución
Para describir el movimiento de un péndulo simple las variables relevantes
son f`;m; g; �g ; y las únicas dimensiones para este problema son fL;M; Tg
por lo que el número de elementos del conjunto con el cual no es posible
formar grupo adimensional es j = 2 � 3 (j � Ndim) y los conjuntos adimen-
sionales posibles son k = n� j = 3� 2 = 1:
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 55
La relación posible para el periódo estará dada por
T = C (�o) `
�m�g
;
= C (�o)L
�M�L
T�2
;
de donde resultan las ecuaciones
�+ 
 = 0;
� = 0;
�2
 = 1;
cuya solución es � = 1=2; 
 = �1=2; � = 0, de donde tendremos
T = C (�o) `
1=2g�1=2;
T = C (�o)
s
`
g
;
la constante C (�o) sólo se puede determinar a través del experimento.
3). El número de Reynolds es una función de la densidad, la viscosidad
y la velocidad del �uido, así como una longitud característica (que puede ser
la longitud de la tubería o su diámetro). Establecer la expresión del número
de Reynolds mediante análisis dimensional.
Solución
En este caso las variables relevantes son f�; �; v; dg; y las dimensiones
relevantes son fM;L; Tg: Ahora debemos determinar j , para esto elegimos
j igual al número de dimensiones diferentes que apararecen en el problema,
esto es, j = 3 y elegimos todos los grupos de 3 que no puedan formar grupo
adimensional.
Las unidades de las cantidades de las que disponemos son
Cantidad Símbolo MLT
Densidad � ML�3
viscosidad � M(LT )�1
Velocidad v LT�1
Longitud ` L
De la tabla observamos que podemos construir grupos de a 3 que no
formen grupos adimensionales si añadimos � o � pero no ambas, es decir ten-
dremos los grupos f�; v; Lg; y f�; v; Lg y también el grupo f�; �; `g (en este
56 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
último no es posible cancelar el tiempo) por lo tanto j = 3 (mayor número
de variables con las cuales no es posible formar grupo adimensional), de aquí
que k = 4� 3 = 1, esto es, sólo existe una posible relación adimensional con
estas 4 cantidades, que es precisamente el número de Reynolds, en efecto, si
elegimos f�; v; Lg como nuestro grupo no adimensional tendremos
�1 = �
avb`c�m = (MLT )o;
= Ma(LT )�aLbT�bLcMmL�3m = (MLT )o;
esto nos da el sistema de ecuaciones
a+m = 0;
�a+ b+ c� 3m = 0;
�a� b = 0;
de aquí obtenemos
a = �m;
b = m;
c = m;
tomando m = 1 nos resulta
�1 = �
�1v`�;
Re =
�v`
�
Una manera diferente de usar el análisis dimensional para determinar
relaciones funcionales se ilustra en los siguientes ejemplos:
4). Para el caso de un líquido ideal, expresar el caudal Q a través de un
ori�cio en función de la densidad del líquido, el diámetro del ori�cio y la
diferencia de presiones, Q = Q (�; d; P ) :
Solución
En este caso queremos determinar Q = Q (�; P; d) y tenemos 3 unidades
fM;L; Tg proponemos la existencia de una constante K sin unidades de
manera que se cumpla
Q = K�aP bdc;
L3T�1 = MaL�3aM bL�bT�2bLc;
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 57
esto nos proporciona las siguientes ecuaciones
�3a� b+ c = 3;
�2b = �1
a+ b = 0;
el sistema tiene solución única
a = �1
2
;
b =
1
2
;
c = 2;
de aquí que
Q = K��
1
2P�
1
2d2;
= Kd2
s
P
�
: (4.2)
Usando el teorema � deberíamos escribir las variables fQ; �; P; dg; y si
queremos un grupo adimensional con ellas debemos escribir
�1 = Q
a�bP cdm = (MLT )o ;
de donde tenemos las ecuaciones
(L3aT�a)
�
M bL�3b
� �
M cL�cT�2c
�
Lm = (MLT )o ;
el sistema de ecuaciones lineales del problema son
3a� 3b� c+m = 0;
�a� 2c = 0;
b+ c = 0;
3 ecuaciones y 4 incógnitas implican que el sistema tiene in�nidad de solu-
ciones
a = �2c;
b = �c;
m = 4c;
58 CAPÍTULO 4. CANTIDADESADIMENSIONALES
eligiendo c = 1
4
obtenemos
a = �1
2
;
b = �1
4
;
m = 1;
de aquí que
�1 = Q
� 1
2��
1
4P
1
4d1;
despejando el caudal de esta ecuación obtenemos
Q =
�
�1
d��
1
4P
1
4
��2
;
=
d2
�21
s
P
�
;
la cual es equivalente a la relación que obtuvimos antes en (4.2).
5). Determinar la presión dinámica ejercida sobre un cuerpo totalmente
sumergido en la corriente de un �uido incompresible al suponer que la presión
es función de la densidad y la velocidad.
Solución
Si suponemos que PD = PD (�; v) ; proponemos entonces una relación de
la forma
PD = K�
avb; =)
ML�1T�2 = K
�
MaL�3a
� �
LbT�b
�
;
de aquí obtenemos las ecuaciones
a = 1;
b = 2;
y la relación buscada sería
PD = K�v
2:
6). Suponiendo que la potencia comunicada por una bomba es función del
peso especí�co del �uido, del caudal y de la altura comunicada a la corriente,
establecer una ecuación por análisis dimensional.
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 59
Solución
La hipótesis consiste en que es posible determinar una ecuación para
la potencia de la bomba si suponemos que P = P (
;Q; h) ; entonces pro-
ponemos
P = K 
ahbQc;�
MaT�2aL�2a
�
Lb
�
L3cT�c
�
= ML2T�3;
de aquí obtenemos las ecuaciones
a = 1;
�2a+ b+ 3c = 2;
�2a� c = �3; =)
c = 1 y
b = 1;
por lo tanto tenemos
P =KQ
h;
esta expresión tiene valor práctico para estimar la potencia de las bombas
que se requieren para desalojar líquido.
Por ejemplo si se desea saber la potencia necesaria de una bomba pra
subir agua a 8 m de altura para llenar un tinaco de 103 ` en 15 minutos,
entonces tendremos que
Q =
1m3
15m��n
� 1m��n
60seg
;
= 1:11� 10�3m3=seg:

a = 9800
N
m3
;
h = 8m =)
P = k
�
1:11� 10�3
�
(9800) 8;
= k (87W ) ;
el valor experimental de k es del orden 4;38 por lo que la potencia necesaria
sería de
P = 87 (4:38) ;
= 381:06W � 1hp
746W
;
= 0:51 hp:
60 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
7). Se dispara un proyectil con un ángulo � y una velocidad inicial vo:
a) Encontrar el alcance R en el plano horizontal suponiendo que este es
función de la velocidad inicial, el ángulo y la aceleración de la gravedad.
b) Repetir el análisis añadiendo una descomposición vectorial.
Solución
(a) Si R = R (vo; g; �) entonces
R = kvaog
b�c; =)
a = 2;
b = �1
c = 0;
R = k
v2o
g
;
la cual es claramente una relación incorrecta, pues da el mismo resultado
para cualquier ángulo de disparo.
(b) Para obtener un resultado correcto debemos considerar el hecho de
que la velocidad inicial es un vector y proponer que el alcance es función de
las componentes de la velocidad, es decir, Rx = Rx (vox; voy; g) esta es una
forma explícita de considerar el ángulo de disparo, esto es
Rx = kv
a
oxv
b
oyg
c;
L = kLa+b+cT�a�b�2c =)
a+ b+ c = 1;
�a� b� 2c = 0;
c = �1;
a+ b = 2;
a = 1 = b; =)
Rx = k
voxvoy
g
;
= k
v2o sin (2�)
2g
;
que es la relación conocida para el alcance en el tiro parabólico con k = 1:
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 61
8). Desarrollar una expresión que dé la pérdida de carga (pérdida de
presión por fricción) en una tubería horizontal, para un �ujo turbulento in-
compresible.
Solución
Para un �uido cualquiera, la pérdida de carga hidráulica, o pérdida de pre-
sión, viene dada por el cociente de la caída de presión entre el peso especí�co
y es una medida útil de la resistencia al �ujo del �uido a través de la tubería.
La resistencia al �ujo es función del diámetro de la tubería (�), la viscosi-
dad y la densidad del �uido, la longitud de la tubería (`), la velocidad del
�uido y de la rugosidad realtiva de la tubería ("r � "=d), es decir
�P = �P (�; `;v;�; �;"r)
= K �a�b�c` ve
�"
d
�f
:
A partir de datos experimentales se observa que el exponente de ` es
la unidad y el valor de "r se expresa usualmente como el cociente entre el
tamaño de las protuberancias super�ciales " entre el diámetro de la tubería
d resultando "r = "=d es adimensional. Ahora podemos escribir en el sistema
fF;L; Tg
FL�2 = La
�
F bL�2bT b
� �
F cL�4cT 2c
�
LT�e
�
Lf
Lf
�
; =)
1 = b+ c;
�2 = a� 2b� 4c+ 1 + e;
0 = b+ 2c� e;
tenemos 4 variables y 3 ecuaciones independientes por lo que tendremos 1
parámetro libre, así que podemos determinar a; b y c,en términos de e
a = e� 3;
b = 2� e;
c = e� 1;
de donde
�P = K de�2�2�e�e�1` ve"r;
dividiendo esta expresión por 
 en el LHS y por su equivalente �g en el RHS,
62 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
tenemos
�P
=
K �e�3�2�e�e�1` ve"r
�g
;
= 2
K �e�3d�2�e�e�2`ve�2v2"r
2g�
;
= 2K
v2`
2�g
"r
�e�2ve�2�e�2
�e�2
;
= 2K "r(Re)
e�2 `
�
�
v2
2g
�
;
para e = 3; tenemos:
hf = k
0(Re)
`
�
�
v2
2g
�
; o
hf = f
�
`
�
��
v2
2g
�
;
y es llamada la fórmula de Darcy, donde hemos de�nido el factor de fricción
de Darcy-Weisbach por f � 2K "r(Re):
9) La potencia P requerida para accionar una bomba centrífuga es función
del caudal Q, del diámetro del rotor D de la velocidad de giro 
 y de la
densidad y la viscosidad del �uido (�; �); es decir
P = P (Q;D;
; �; �) :
Reescriba esto como una relación adimensional. Hint. use f
; �;Dg como
variables independientes.
Solución:
Una vez hallados los mayores conjunto de cantidades con las cuales no es
posible formar grupo adimensional, podemos seguir el siguiente procedimien-
to:
1. Tenemos n = 6 variables incluida la potencia P
2. El Ndim del sistema fF; T; L; �g es 4 y las dimensiones de cada variable
son
P Q D 
 � �
FLT�1 L3T�1 L T�1 FL�4T 2 FTL�2
3. Ahora determinamos el número de grados de libertad j � 3 (número
de dimensiones diferentes). Ahora comprobemos que el conjunto f
; �;Dg
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 63
NO forma un grupo adimensional. Para esto es su�ciente considerar
a�bDc = (TFL)o ; =)�
T�1
�a �
FL�4T 2
�b
(L)c = (TFL)o ;
�a+ 2b = 0;
b = 0 =) a = 0;
�4b+ c = 0; =) c = 0:
Por lo tanto no es posible formar un grupo adimensional con ellas y aho-
ra por el teorema de Buckingham sabemos que al añadir una variable más
podemos construir un grupo adimensional. En este caso tenemos 3 posibil-
idades por lo que podemos formar 3 cantidades adimensionales independi-
entes.
i) Añadiendo a nuestro conjunto f
; �;Dg la potencia tendremos
�1 = 
a�bDcP =(FLT )o ;
obtenemos
�1 =
�
T�1
�a �
FL�4T 2
�b
(L)c FLT�1 =)
el sistema de ecuaciones para las constantes a; b y c es
b+ 1 = 0;
�4b+ c+ 1 = 0;
�a+ 2b� 1 = 0;
de donde obtenemos a = �3; b = �1; c = �5 por lo que la primera
relación adimensional que podemos formar es
�1 =
P
3�D5
;
este número usualmente se denomina el coe�ciente de potencia de la
bomba CP .
ii) Si ahora añadimos a nuestro conjunto f
; �;Dg el caudal Q para obtener
el segundo grupo adimensional
�2 = 
a�bDcQ = (FLT )o ;
=
�
T�1
�a �
FL�4T 2
�b
(L)c L3T�1;
64 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
del sistema de ecuaciones correspondientes resulta a = �1; b = 0; c =
�3: Este segundo grupo adimensional se denomina coe�ciente de �ujo
de la bomba y se denota por CQ:
�2 = CQ =
Q
D3
:
iii) Finalmente combinando f
; �;Dg con la viscosidad � tenemos
a�bDc� = (FLT )o ;�
T�1
�a �
FL�4T 2
�b
(L)c FTL�2 = (FLT )o ;
resolviendo el sistema de ecuaciones a = �1; b = �1; c = �2;
�3 =
�
�d2
:
iv) Ahora la relación original de 6 variables se a reducido así a una relación
entre 3 grupos adimensionales, es decir
P
3�D5
= f
�
Q
D3
;
�
�d2
�
;
CP = f
�
CQ;
�
�d2
�
:
10). La elevación capilar h de un líquido en un tubo varía con el diámetro
d del tubo, la gravedad g; la densidad del �uido �; y la tensión super�cial �
y el ángulo de contacto �:
Determinar la expresión adimensional de esta relación
Solución
(i). Tenemos 6 variables posibles fh; d; g; �; �; �g cuyas dimensiones en el
sistema fF; T; L; �g son
h d g � � �
L L LT�2 FT 2L�4 FL�1 �
(ii). En este caso los grupos dimensionalmente independientes más grandes
contienen 3 variables, así que j = 3: Existen varios grupos dimensionalmente
independientes de 3 variables (p.ej. fh; g; �g; f�; g; dg), por lo que esperamos
a lo más k = 6� 3 grupos adimensionales.
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONESFUNCIONALES 65
(iii). Seleccionamos alguno de los grupos de 3 variables dimensionalmente
independientes f�; g; dg y añadimos de aquí en adelante de manera secuencial
una a una las variables restantes para obtener todos los grupos adimension-
ales, en nuestro caso sólo podemos añadir h y �, pues � ya es adimensional,
es decir
�1 = �
agbdch;
�2 = �
agbdc�;
llevando a cabo las operaciones obtenemos
�1 = �
ogod�1h;
=
h
d
;
y
�2 = �
�1g�1d�2�;
=
�
�gd2
;
por lo que la relación adimensional completa para este problema es
h
d
= f
�
�
�gd2
; �
�
;
esto es lo más que nos puede proporcionar el análisis dimensional. Pero dado
que teóricamente se sabe que h es directamente proporcional a � entonces
podemos escribir
h
d
=
�
�gd2
f (�) =)
f (�) =
h�gd2
�
;
que es la expresión que obtenemos para el ángulo de contacto en un tubo
capilar.
66 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
Capítulo 5
Flujo viscoso en tuberías
La descripción del movimiento de diferentes tipos de �uidos a lo largo
de tuberías con diferentes geometrías, velocidades y viscosidades, es un pro-
blema práctico que se a resuelto esencialmente a través de la experiencia
cotidiana en el transporte de �uidos en tuberías y canales a lo largo de la
historia humana.
La mayor parte de las expresiones matemáticas que se usan para la elec-
ción de tuberías y para determinar la caída de presión, bombas etc. son
expresiones empíricas desarrolladas en su mayor parte en los siglos XIX y
XX que han resultado útiles para la solución de estos problemas.
El estudio para familiarizarnos con estas expresiones y los metodos rela-
cionados con ellas es el interés central de esta parte.
5.1. El número de Reynolds y los regímenes
de �ujo
El número de Reynolds
Re =
�vd
�
;
actualmente se a convertido en el instrumento stándard para caracterizar el
comportamiento de los �ujos como laminar o turbulento, creando a partir de
él toda una clasi�cación del movimiento de los �uidos.
Usualmente cuando el �uido considerado es agua o el aire, se a encontrado
experimentalmente que para �nes prácticos, si los valores del número de
67
68 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
Reynolds cumplen
Re < 2000;
el �ujo será laminar, independientemente del �uido en movimiento.
Ejemplo:
1. El número de Reynolds de transición (laminar a turbulento) para el
�ujo en un a tubería circular es Re;critico � 2300: Para el �ujo a través de una
tubería de 5 cm de diámetro, ¿a qué velocidad se producirá la transición si
el �uido es (a) aire y (b) agua, ambos a 20�C:
Solución
Observación: En la mayoría de las fórmulas para el �ujo en conductos se
considera la velocidad media del �uido la dada por la ecuación v = Q=A; y
no la velocidad en el centro o cualquier otro punto del conducto.
(a) Si la transición se produce para Re � 2300 entonces para el aire
tendremos
�vd
�aire
= 2300 =
�
1:205 kg
m3
�
v (0:05 m)
1:80� 10�5 kg
m�s
=)
vtrans � 0:7
m
s
� 2 :52Km
h
(b) Agua
�vd
�agua
= 2300 =
103Kg
m3
(0:05m)
10�3 kg
m�s
v =)
v � 0:046m
s
� 0:1656Km
h
;
donde hemos usado la siguiente tabla de viscosidades de �uidos a 20�C y
1 atm de presión:
Fluido �
�
kg
m3
�
�
�
kg
m�s
�
Gasolina 680 2:92� 10�4
Mercurio 13:6� 103 1:56� 10�3
Aceite SAE 10W 870 1:04� 10�1
Aceite SAE 10W30 876 1:7� 10�1
Agua 1� 103 1� 10�3
Agua de mar 1025 1:07� 10�3
Aire 1:185 1:8� 10�5
O2 1:43 2� 10�5
N 2 1:25 1:76� 10�5
5.1. EL NÚMERO DE REYNOLDS Y LOS REGÍMENES DE FLUJO 69
Observemos de los resultados obtenidos en este caso para el aire y para
el agua, las velocidades son bajas, por lo que usualmente en la mayoría de
los casos de aplicación industrial los �ujos de agua y aire serán normalmente
turbulentos.
5.1.1. Caída de presión debido a la turbulencia
Dado que el movimiento turbulento es mucho más frecuente que el laminar
y que esta turbulencia tiene efectos muy notables en la caída de presión al
moverse el �uido por una tubería, el alemán GHL Hagen en 1839 midió la
caída de presión hidráulica en un �ujo de agua en tubos largos de latón y
determinó la siguiente ley empírica
�P = k
LQ
d4
+ Ee;
donde k es una constante que depende del �uido y Ee una constante que
toma en cuenta los efectos de entrada del �uido en la tubería. Hagen observó
que esta ley dejaba de ser válida cuando Q rebasaba cierto límite (el cual
ahora sabemos que corresponde al número de Reynolds crítico).
En 1883 Osborne Reynolds mostró que la ley de Hagen dejaba de ser
válida cuando el valor del parámetro Re = �vd=� rebasaba cierto valor, y fué
a partir de los datos de Hagen que se encontró Re;critico � 2300 para el aire
y para el agua.
5.1.2. Flujo completamente desarrollado
Cuando un �uido entra a una tubería ya sea por cambio de diámetro
en las redes de distribución o través del tubo de una bomba, el régimen del
�uido en la entrada del tubo es turbulento, pero al �uir dentro de él existe una
distancia característica en la cual el �ujo del �uido es prácticamente laminar.
A esta distancia se le llama distancia de entrada, y se denota por Le; cuando
el �uido pasa esta distancia diremos que está completamente desarrollado.
Mediante análisis dimensional se puede establecer una relación para Le;
es decir, si suponemos que
Le = Le (�; �; v; d) ;
70 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
tendremos que
Le
d
= g
�
�vd
�
�
;
= g (Re) ;
para el �ujo laminar (0 < Re < 2� 103), la relación empírica aceptada es
Le
d
= 0:06Re, (5.1)
observemos que para el experimento de Hagen, si consideramos como laminar
Re = 2300 tendremos
Le = (0:06) (2300) d;
= 138d;
es la máxima posible.
Para �ujo turbulento la fórmula empírica stándard es
Le
d
= 4:4R
1
6
e (5.2)
Ejemplo
Un tubo de 0.5 pulgadas de diámetro y 60 ft de largo lleva 5 galones/minuto
de agua a 20�C:¿Qué fracción del tubo corresponde a la longitud de entrada?
Solución
Para determinar la longitud Le debemos primero saber a qué régimen
corresponden nuestros datos, para lo cual debemos calcular primero el número
de Reynolds
Re =
�vd
�
;
=
103 kg
m3
�
5 gal
m��n
� 3:787l
1gal
� 1m3
103l
� 1m��n
60s
� 4
�
�
1
2
in� 2:54�10�2m
1in
�
�
10�3 kg
m�s
;
= 31638;
ahora sabemos que el �ujo es turbulentol pues Re > 104; por lo que debemos
usar la ecuación (5.2)
Le
d
= (4:4) (31638)
1
6
= 24:74
5.2. PÉRDIDA DE CARGA Y EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN 71
y la fracción pedida es
Le
L
=
(24:74) (0;012 7)
60� 1
3;3
;
= 1: 728� 10�2:
Lo usual es presentar este resultado en forma de porcentaje, es decir que
el 1;72% de la longitud total es lo que le toma al �ujo del �uido para estar
completamente desarrollado. Dado que esta es una fracción muy pequeña de
la longitud total, normalmente se considera en estos casos que el �ujo está
completamente desarrollado desde un principio.
5.2. Pérdida de carga y el coe�ciente de fric-
ción
Si deseamos conocer la pérdida presión entre 2 puntos de un tubo debida
a la fricción del �uido con el tubo y a la diferencia de alturas, debemos aplicar
la ecuación de Bernoulli de manera que
Bf = Bi +Hf ;
donde Hf representa el trabajo por unidad de volumen que realiza la fricción
debido a las irregularidades del tubo. A partir de esta ecuación podemos
determinar una expresión para Hf
Hf = Bf � Bi;
=
�
Pf +
1
2
�v2f + �ghf
�
�
�
Pi +
1
2
�v2i + �ghi
�
;
Hf
�g
=
�
Pf
�g
+ hf
�
�
�
Pi
�g
+ hi
�
;
=
Pf � Pi
�g
+ (hf � hi) ;
=
�P
+�h;
e esta cantidad se le da el nombre de �head loss�o pérdida de carga es el peso
por unidad de volumen por peso especí�co, wf=
 (donde 
 = �g representa
72 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
el peso especí�co), esto es, hf =
Wf
V �g
+ h; por lo que nuestra ecuación resulta
hf =
�P
+�h; (5.3)
hf = LAMf � LAMi; (5.4)
donde LAM es el acrónimo de línea de altura motriz y está de�nida por
LAMa � Pa�g +ha: Mediante estas nuevas variables (LAM ) se pretende deter-
minar la pérdida de presión por unidad de masa debida a la fricción con el
tubo y a las diferencias de alturas de las tuberías. En mecánica de �uidos e
hidráulica a resultado conveniente pensar a la