1 Elementos de combinatoria

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
ELEMENTOS DE COMBINATORIA 
 
 Muchas veces nos vemos en la necesidad de contar las distintas formas en 
que se pueden disponer o agrupar los elementos de un conjunto. En algunos 
casos, este proceso resulta sencillo y en otros no. La combinatoria provee 
herramientas necesarias para lograr este propósito. 
Ejemplo 
Supongamos que Adriana, Claudia; Daniel, Federico y Marcelo son 
candidatos para la selección de una pareja de baile. 
Para determinar cuántas son las parejas entre las que tenemos que 
seleccionar una, podemos: 
• Primero, escoger una mujer entre las dos que hay: Adriana o 
Claudia 
• Segundo, escoger un hombre entre los tres que hay: Daniel, 
Federico y Marcelo. 
Así, si por cada una de las mujeres, elegimos un varón, las posibles maneras 
de formar pareja son: 
 
Es decir tenemos 6 parejas para elegir. 
Esta forma de organizar la información recibe el nombre de diagrama de 
árbol. 
En el ejemplo podemos apreciar que por cada una de las dos mujeres hay 
tres formas posibles de elegir el acompañante varón. 
En total tenemos 2 x 3 = 6 formas posibles de seleccionar las parejas. 
 
Principios 
de conteo 
El resultado que encontramos en el párrafo anterior nos lleva a enunciar el 
siguiente principio. 
 
 
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 • Principio multiplicativo. Si una tarea se ha de realizar en n etapas, 
y si la primera etapa tiene k1 maneras de realizarse, la segunda tiene 
k2 maneras, y así sucesivamente hasta kn maneras de realizar la 
ultima, entonces el numero de formas de realizar la tara es: 
k 1 × k2 × ... × kn 
 
Ejemplo 1 
Si una persona puede elegir para vestirse entre 4 camisas, 6 
pantalones, 5 pares de calcetines y 2 pares de zapatos, entonces 
tiene 4 × 6 × 5 × 2 = 240 formas de vestirse, ya que por cada una de 
las 4 opciones en la selección de la camisa tiene 6 opciones para el 
pantalón, lo que da 4 × 6 = 24 opciones para la camisa y pantalón. 
Para cada una de esas 24 opciones, tiene 5 pares de calcetines, 
totalizando 120 formas (24 x 5) y para cada una de estas últimas, 
tiene 2 opciones de zapatos, de modo que se duplica el total y al final 
tiene 240 (120 x 2) formas de vestirse. 
 
Ejemplo 2 
Supongamos que debemos seleccionar de entre un grupo de 6 niñas 
y 4 niños, uno para que diga el discurso de fin de año en la escuela. 
¿Cuántos candidatos posibles tenemos? 
 
Como debe elegirse uno entre todas las opciones, se tienen 6 + 4 = 
10 posibilidades. 
 
 • Principio de la adición. Si se desea escoger un objeto que puede 
tener r tipos distintos, y para el primer tipo hay t1 opciones, para el 
segundo tipo hay t2 opciones, para el tercer tipo t3 opciones, y así 
sucesivamente hasta tr opciones para el ultimo tipo, entonces el 
objeto puede escogerse de t1 + t2 ...+ tr maneras. 
 
Lo que el principio anterior dice, es que el total de opciones es la suma del 
número de opciones en cada tipo. Notar que cada opción es excluyente de 
las demás. 
Ejemplo 3 
Supongamos que hay que escoger un libro de entre tres materias: 
Matemática, Historia y Biología. Hay seis libros de Matemática, 9 de 
Historia y 4 de Biología. 
Entonces tenemos 6 + 9 + 4 = 19 opciones 
 
 
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Factorial de un 
número natural 
Considérese un número natural n. El factorial de n, que se denota n! es el 
producto de todos los números naturales menores o iguales que n. 
En general: n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅⋅⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 si n ≥ 1 
Así, el factorial de 5 lo escribimos como 5! 
Y es: 5! = 5 ⋅4 3 2 1 = 120 
En particular, se define: 
 0! = 1 y 1! = 1 
 
Distintas formas de contar los elementos. 
Variaciones sin 
repetición 
 
Supongamos que de un conjunto de seis bolillas numeradas: 1, 2, 3, 4, 
5 y 6, se extraen en orden tres de ellas sin reposición (quiere decir que 
se saca una bolilla y no se vuelve a poner en el conjunto). Nos interesa 
saber de cuántas maneras podemos hacerlo. 
Notemos que algunas ternas posibles son: 
1, 2, 3 2, 1, 3 1, 2, 4 
Y además; 
• Para la primera bolilla seleccionada hay 6 posibilidades. 
• Para la segunda bolilla, quedan 5 posibilidades ya que una vez 
extraída la primera, no se la repone. 
• Y para la tercera quedan 4 posibilidades, ya que sacamos dos 
bolillas que no repusimos en las dos extracciones anteriores. 
Luego, la cantidad de formas posibles de extraer 3 bolillas de un grupo 
de seis, sin reposición es: 
 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120 
Observemos que el enunciado es equivalente a pedir cuántos números 
de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. 
 
 Cada una de las formas distintas en que se pueden ordenar r elementos 
tomados de entre n (r ≤ n) se denomina variación. 
El número de variaciones que se pueden obtener con los n elementos se 
simboliza r,nV y se lee variaciones de n elementos tomados de r. 
En general el número de variaciones sin repetición de n elementos tomados 
de a r se expresa: 
r,nV = n (n – 1) (n – 2) ⋅ …⋅ [n – (r – 1)] 
O bien, usando factoriales 
)!rn(
!n
r,nV −
= 
 
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 Observar que dos grupos de r elementos tomados de entre n son diferentes si: 
• Tienen al menos un elemento distinto. 
En el ejemplo: 
1, 2, 3 y 1, 2, 4 
• Teniendo los mismos elementos, están en distinto orden. 
 
En el ejemplo: 
1, 2, 3 y 3, 1, 2 
 Veamos el siguiente ejemplo: 
 
Ejemplo 4 
En una carrera participan 5 atletas. ¿De cuántas maneras pueden 
repartirse los 3 primeros premios? (Suponemos que no pueden llegar 
dos corredores al mismo tiempo). 
 Solución: 
Observamos que el problema cumple las dos condiciones de un conteo 
por variaciones sin repetición. 
• Importa el orden. Denominamos a los atletas A, B, C, D 
y E, la terna A, B, C implica que el primer premio lo 
obtuvo A, el segundo B y el tercero C. Mientras que la 
terna C, A, B indica que el primer premio lo obtuvo C, 
el segundo A y el tercero B. Claramente las 
premiaciones son distintas. 
• No hay repeticiones. La terna A, B, A no es posible, 
pues A no puede llegar primero y tercero a la vez. 
Luego, tenemos; 
• Para el primer premio: 5 atletas 
• Para el segundo, 4 atletas, ya que no volvemos a contar 
al que se llevó el primer premio. 
• Para el tercer premio, quedan 3 candidatos, ya que hay 
2 que no volvemos a contar porque ganaron los dos 
primeros premios. 
Luego, la cantidad de formas en que podemos dar los tres primeros 
premios a 5 atletas es: 
5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 
 
Notemos que llegamos al mismo resultado si usamos la fórmula con 
factoriales para calcular variaciones sin repetición. 
• Si n = 5 y r = 3 resulta: 
 
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60
12
12345
!2
!5
)!35(
!5V 3,5
=
⋅
⋅⋅⋅⋅
=
=
−
=
 
Permutaciones En el caso particular de las variaciones en que n = r se obtienen 
permutaciones simples de n elementos. Estas permutaciones se calculan 
como: 
Pn = n! 
Observar que si reemplazamos por n = r en la fórmula de Vn, r se obtiene la 
fórmula Pn = n! 
 
 Llamamos permutaciones de n elementos distintos a cada forma diferente de 
ordenar los n elementos. 
Ejemplo 5 
¿Cuántos números de 3 cifras distintas pueden formarse con los dígitos 
6, 7 y 8? 
Solución. 
Observemos que 
• Importa el orden en que colocamos cada dígito. 
• En cada grupo no hay repeticiones. 
• Además para formar cada número se deben tomar todos los 
elementos del conjunto (n = r). 
Con estas consideraciones los números de 3 cifras que pueden 
formarse son: 
678 768 867 
687 786 876 
Lo hecho no son más que permutaciones de 3 elementos. 
Se pueden calculartambién como: 
P3 = 3! 
 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 
 = 6 
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Variaciones con 
repetición 
Ejemplo 6 
Considérense nuevamente las 6 bolillas numeradas: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. 
Ahora se extraen 3 de ellas con reposición (se saca una bolilla y se la 
vuelve a poner en el conjunto). ¿Cuántas maneras diferentes hay para 
hacerlo? 
Algunas ternas posibles son: 
1, 2, 3 1, 2, 2 1, 1, 1 
Como cada bolilla se puede sacar más de una vez, tendremos más 
maneras de hacerlo que cuando lo hicimos sin reposición: 
• La primer bolilla la puedo elegir de 6 maneras 
• La segunda bolilla también la puedo elegir de 6 maneras 
(porque se devolvió al conjunto) 
• Lo mismo para la tercera. 
Luego tendremos: 
6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63 = 216 maneras de extraer las bolillas. 
 Se llama variación con repetición de n elementos tomados de a r a cada 
forma de ubicar en r lugares alguno de los n elementos, en los cuales cada 
elemento puede estar en más de un lugar. 
La cantidad de esas variación con repetición se calcula mediante V’n,r = nr 
 
Ejemplo 7 
¿Cuántos números de 3 cifras pueden formase con los dígitos 7 y 8? 
 Solución. 
Nos ayudamos con un diagrama de árbol. 
. 
 
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 Los números que se pueden formar son: 
777 – 778 – 787 – 788 – 877 – 878 – 887 – 888 
Podríamos haber pensado que son variaciones con repetición de 2 
elementos tomados de a 3 y calcularlas como: 
V’2, 3 = 23 = 8 
Permutaciones 
con repetición 
Ejemplo 8 
¿Cuántos números de 5 cifras pueden formase con los dígitos del número 
34.435? 
En este caso n = r = 5, es decir si van a usar los 5 dígitos del número dado 
para armar los nuevos números. Es decir se trata de una permutación. 
Además importa el orden en que se eligen los dígitos para formar dichos 
números. 
Lo nuevo es que entre los 5 dígitos hay algunos repetidos. El 3 dos veces y 4 
también. Esto reduce la cantidad de números posibles. 
Solo para entender mejor lo que sucede coloreemos a los 5 dígitos: 34.435. 
Si todos los dígitos fueran distintos la solución sería 5! = 120. 
Pero los números 34.435 y 34.435 no son distintos. Los vemos aquí diferentes 
por sus colores, pero cuando permutamos un 4 verde por un 4 azul no hay 
diferencias. Por lo tanto hay la mitad de números. Lo mismo ocurre con las 
permutaciones entre el 3 rojo y el 3 celeste. 
Por lo tanto hay solo 30 números distintos, que resulta de hacer este cálculo: 
30
!2!2
!5
2.2
120
=
⋅
= 
 
 Cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece 
a veces, otro aparece b veces, otro c veces, y el último r veces, verificándose 
que a + b + c +…+ r = n las permutaciones reciben el nombre de 
permutaciones con repetición. 
Su número se obtiene mediante la fórmula: 
!r...!c!b!a
!nP r,...,c,b,an ⋅⋅⋅⋅
= 
 
• Las permutaciones con repetición se identifican porque no todos los 
elementos del conjunto son diferentes y se toman todos a la vez. 
 
Ejemplo 9 
Se quieren ordenar en un estante 9 libros, entre los cuales hay 3 
ejemplares idénticos de Latín, 2 ejemplares idénticos de Francés y 4 
ejemplares idénticos de Inglés. ¿De cuántas maneras podrá hacerse? 
 
 
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 Solución. 
En este caso tenemos una colección de 9 libros entre los cuales 
algunos se repiten. 
Aplicando la fórmula para permutaciones con repetición tenemos: 
!4!2!3
!9P 4,2,39 ⋅⋅
= 
Desarrollando los factoriales es: 
1260
123412123
123456789P 4,2,39
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
 
Por lo que tenemos 1260 maneras de ordenar los libros en el estante. 
 
 
Combinaciones Determinar el número de comisiones de 3 personas que se pueden formar al 
elegirlas de entre un grupo de 5 personas: A, B, C, D y E. Notemos que: 
• En cada comisión no se repiten los integrantes. 
• No importa el orden en que se seleccione a las personas de la 
comisión. Si una posible comisión de 3 personas es A, B, C, otra 
formada por B, A, C resulta la misma comisión, ya que no se 
distinguen los integrantes por cargos a ocupar y sólo se necesitan 
3 personas. 
Estamos ante una selección en la que no importa el orden y no se pueden 
repetir los elementos. A este tipo de formas de contar se la llama 
combinación simple o sin repetición. 
 El número de combinaciones de r elementos tomados de un conjunto que 
contiene n de estos, es el número total de selecciones distintas en las que 
cada una de ellas tiene r objetos, sin que influya el orden. 
Lo anotamos: Cn,r y se calcula: !r)!rn(
!nC rn, ⋅−
= 
 El problema anterior se resuelve entonces como: 
10
6.2
120
!3)!35(
!5C 5,3 ==⋅−
= 
 La diferencia entre una variación y una combinación está en que, en la 
primera el interés se centra en contar todas las posibles selecciones y todos 
los arreglos de estas selecciones, mientras que en la segunda sólo interesan 
las diferentes selecciones. 
 
 
 
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 • Cn,r representa el número de combinaciones de n elementos 
tomados de a r . Se lo suele anotar también como: 






=
r
n
C rn, 
• En particular se tiene que: 
• 1
0
n
C n,0 =





= 
• n
1
n
C n,1 =





= 
• 1
n
n
C nn, =





= 
Les dejamos como tarea, verificar estos resultados. 
 
Ejemplo 10 
¿De cuántas maneras puede elegirse una comisión compuesta de tres 
hombres y dos mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres? 
 
Solución. 
Para elegir los candidatos a cada comisión, no nos importa el orden y los 
candidatos solo pueden elegirse una vez. Se trata de combinaciones sin 
repetición. Pero: 
• Tenemos dos conjuntos de los cuales elegir los candidatos a 
formar la comisión: 7 hombres y 5 mujeres. 
• Cada comisión debe estar formada por 3 hombres que se eligen 
de entre 7 y 2 mujeres que se eligen de entre 5. 
• Los hombres podemos seleccionarlos en C7,3 maneras. 
• Por cada hombre que es elegido, podemos seleccionar a las 
mujeres en C5,2 maneras. 
Por lo tanto, las comisiones pueden seleccionarse en 
C7,3 ⋅ C5,2 
 maneras distintas. 
3501035
.
12312
1345
123423
1234567
!3!2
!5
!4!3
!7C C 5,27,3
=⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅
⋅
⋅
=⋅
 
 
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Combinaciones 
con repetición 
Ejemplo 11 
¿De cuántas formas se pueden distribuir 7 huevos en 3 canastas? 
En primer lugar los huevos no pueden diferenciarse. 
Solo para comprender mejor el problema usemos un esquema compuesto 
por rayas (para simbolizar las canastas) y puntos para representar a los 
huevos. 
Una posible distribución es: 
│ ● │ ●●●● │ ●● │ 
Otra es: 
│ │ ●● │ ●●●●● │ 
Como puede apreciarse se necesitan 4 rayas y 7 puntos para representar las 
posibles situaciones: En la primera hay 1 huevo en la primera canasta, 4 en 
la segunda y 2 en la tercera. En el otro ejemplo no hay huevos en la primera 
canasta, 2 en la segunda y 5 en la tercera. 
Puede observarse que cualquier distribución se abre y se cierra con una raya. 
Entonces se trata de permutar 2 rayas iguales y 7 puntos iguales de lugar. 
Este problema se puede resolver como una permutación con repetición de 9 
elementos (7+2 ó 7+3 -1) en los cuales hay 7 elementos repetidos y otros 2 
elementos repetidos. 
Resulta asÍ que hay 
7!.2!
9! maneras distintas de poner los huevos en las 
canastas. Es decir: 36
2
8.9
7!.2!
9!
== . 
 Las Combinaciones con repetición se obtienen si se permite que los elementos se 
repitan. Se denotan por C’n,m y se calculan mediante la fórmula. 
!m)!.1n(
)!1mn(C' m,n −
−+
= 
Ejemplo 12 
¿De cuántas formas se pueden distribuir 4 libros de Literaturaidénticos en 2 
estantes? 
Si usamos la fórmula: 
!m)!1n(
)!1mn(C' m,n −
−+
= 
En este caso n = 2 y m = 4 resulta: 
!4.!1
!6
!4)!.12(
)!142(C' 4,2
=
−
−+
=
 
Calculando los factoriales y operando es: ' 4,2C = 30 
 Proponemos algunos problemas resueltos. 
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Problemas para 
repasar 
. 
 
Problema 1. 
¿Cuántas rectas distintas determinan los puntos A, B, C, D y E, si se 
sabe que no hay tres de estos puntos alineados? 
 
Solución 
Notamos que la recta AC es la 
misma que la recta CA. Lo 
mismo sucede con cada par de 
puntos que tomemos. 
Por lo que no importa el orden 
con que tomemos los dos 
puntos. 
Además, los pares de puntos 
son diferentes al cambiar uno de 
sus elementos. 
Tampoco es posible repetir los 
puntos. 
 
 Estamos en presencia de combinaciones sin repetición de 5 elementos 
tomados de a 2. Lo calculamos como: 
10
!2!3
!5C 2,5 =⋅
= 
Se pueden formar 10 rectas distintas con 5 puntos sabiendo que no hay 3 
de ellos alineados. 
 
Observación: 
Si de los 5 puntos 3 de ellos están alineados por ejemplo A, B y C 
el número de rectas sería menor, ya que entre los tres determinan 
una sola recta. Verificar que en este caso se determinan solo 
rectas. 
 
 Problema 2. 
Disponemos de 8 colores para pintar un mural dividido en 3 columnas; 
cada una de ellas se ha de pintar de un color distinto. 
a. ¿Cuántos murales se pueden confeccionar incluyendo el color 
verde siempre? 
b. ¿Y si quisiéramos que apareciera el azul pero no el negro? 
 
Solución: 
Observar que en ambos casos, el orden de los colores influye. 
• En el primer caso, el verde puede estar en cualquiera de las 
tres columnas. Fijado en una de ellas, disponemos de 7 
colores para pintar las otras dos columnas. 
 
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 Luego serán V7, 2 = 7 · 6 = 42 maneras de pintar cada columna 
con los 7 colores restantes. 
Pero además podemos elegir tres posiciones para el verde. En 
total tenemos 
 (3 · 42) murales = 126 murales 
• En el segundo caso, fijado el color azul en una columna y no 
queriendo incluir el negro, disponemos solo de 6 colores para 
pintar las otras 2 columnas. 
Esto es V6, 2 = 6 · 5 = 30 
Como hay tres posiciones para el azul: 3 · 30 = 90 murales. 
 
 Problema 3. 
En una población de 20 peces hay 12 del tipo A y 8 del tipo B. ¿De 
cuántas maneras se pueden seleccionar 5 peces si exactamente 3 de 
ellos deben ser del tipo A? 
Solución: 
Seleccionemos los 5 peces sin importar el orden. 
• Las formas de seleccionar 3 peces del tipo A, son 
subconjuntos de 3 elementos de los peces del tipo A: C12,3 
• Por cada pez que seleccionamos del tipo A tenemos que 
seleccionar 2 del tipo B. Esto puede hacerse de C8,2 
Luego, por el principio de multiplicación, las distintas maneras de 
seleccionar 5 peces de los cuales 3 son del tipo A es: 
C12,3 ⋅ C8,2 = 220 ⋅ 28 = 6160 
 . Problema 4 
¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 
0, 1, 2, 3, 6, 7, 8 y 9? 
 
Solución: 
En este caso, tenemos: 
• 8 elementos de los cuales debemos seleccionar 4. 
• Importa el orden en que seleccionamos los dígitos. 
• Debemos excluir los que empiezan con 0 ya que, por 
ejemplo, 0143 no corresponde a un número de 4 cifras sino 
de 3. 
Luego, estamos en presencia de variaciones: 
 
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 o Si no tenemos en cuenta el cero: V8, 4 
o A los que debemos quitar los números que comienzan 
con cero: V7,3 (son todos los menores que 1000) 
 En total son: 
V8, 4 – V7,3 
 Calculamos: 
1470
 7.6.5-7.6.58 V- V 7,34 8,
=
⋅=
 
También puede pensarse que para el primer dígito solo disponemos de 
7 dígitos (1, 2, 3, 6, 7, 8 y 9) y para los 3 restantes 7 cualesquiera sin 
repetición, menos el que se hay utilizado para el primer dígito. 
Es decir: 
14707.6.5 7. V7. 7,3 == 
 
 
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