TP Unidad 4 Nociones de límite y continuidad

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UNIDAD 6: LÍMITES Y CONTINUIDAD 
 
Temas del Práctico 
Noción de límite y continuidad. Límite de una función en un punto. Propiedades. Cálculo. 
Límites laterales. Límite infinito y caso de variable tendiendo a infinito. Límites 
indeterminados. Noción intuitiva de continuidad en un punto. Definición. Propiedades. 
Función continua en un intervalo. Asíntotas, 
 
Bibliografía obligatoria 
 
 Material de apoyo de la cátedra 
 AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La 
Copia S.R.L. 1995; Capítulo V. Introducción al estudio de funciones 
 
Bibliografía de consulta 
 ALTMAN, S, et al. Análisis I. Serie Libros Temáticos de Matemática. Ed. Longseller, Bs. 
As. 2003 
 AYRES – MENDELSON. Cálculo Diferencial e Integral. Ed. Mc Graw Hill. 
 GUZMAN, M. – COLERA, J. Matemática I. COU. Edit. Anaya, Barcelona, 1989 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidad 6. Límites y Continuidad 1 
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TRABAJO PRÁCTICO. LÍMITES Y CONTINUIDAD 
 
1. 
a. La gráfica corresponde a la función 
4x
4)x(f
2 −
= 
. 
 determiná, si existen, los siguientes límites 
 
 
)x(flím a.8. )x(flím a.7
)x(flím a.6. )x(flím a.5.
)x(flím .4.a )x(flím .3.a
)x(flím .2.a)x(flím a.1.
xx
2x2x
0x0x
2x2x
−∞→+∞→
→→
→→
−→−→
−+
−+
−+
 
 
 
 b. Para el siguiente gráfica indicá: 
 
 
)x(flím b.6.)x(flím b.5.
)x(flím b.4.)x(flím b.3.
)x(flím b.2.)x(flím b.1
xx
0x0x
2x2x
−∞→+∞→
−→+→
−→+→
 
 
 
 
2. En cada una de las siguientes gráficas determiná, si es posible, )x(flim y )x(flim
xx −∞→+∞→
 
 
a. 
 
 b. 
 
 
c. 
 
d. 
 
 
Unidad 6. Límites y Continuidad 2 
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3. Calculá los siguientes límites. 
 
7x
2xlim i. 
1x
xlim.h
3x
1x3xlim.g
x
x-2 
2
1limf. 
3
1x
5x
2
1
lim e. 
3x
2xlim d.
 
x
10lim .c 
x
3lim .b 
x
1lim a.
2
3
x2-x3
2
x
x-xx
-x2xx
+
−
++
+−





 +
+
−
+
−
−
+∞→∞→+∞→
+∞→∞→+∞→
∞→+∞→+∞→
 
4. Para cada gráfico dá los límites que se indican 
 a. )x(flim );x(flim ;)x(flim );x(flim
2x2xxx −→+→−∞→+∞→
 
 
 b. )x(flim );x(flim ;)x(flim );x(flim
2x2xxx −−→+−→−∞→+∞→
 
 
 c. )x(flim );x(flim
xx −∞→+∞→
 d. )x(flim );x(flim ;)x(flim );x(flim 
0x0x1x1x −→+→−−→+−→
 
 
 
 
 
Unidad 6. Límites y Continuidad 3 
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5. Dibujá el gráfico de una función f que verifique: 
 
∞+=−=∞+=∞=
==−∞=∞+=
+∞→−∞→−→+→
−∞→+∞→−→+→
 )x(flím 1 )x(flím )x(flím - )x(flím .b
 2- )x(flím 2- )x(flím )x(flím )x(flím .a
xx0x0x
xx2x2x
 
6. Calculá los siguientes límites 
6
1x
1lím f. 
6
1x
1lím .e
2
1x
1lím.d
2
1x
1lím .c
3x
1lím b. 
3x
1lím a.
20x20x
2
1x
2
1x3x3x
+++
+−
−
−
−
−→+→−
−→
+
−→
−→+→
 
7. En cada caso, decidí si es posible que exista una función f que cumpla con las condiciones dadas. 
Si lo es dibujá una gráfica posible. 
 
a. 2)x(flim
0x
=
−→
 )x(flim
0x +→
= 3 1)0(f −= 
 
 b. )x(flím f(-3) y Dom 3- y )x(flím )x(flím
3x
f
3x3x +−→−−→+−→
=∈≠ 
 
 c. 5 f(2) y 3 )x(flím )x(flím
2x2x
==∞+=
−→+→
 
8. La función f verifica ∞+=
→
 )x(flim
2x
 y 0≤f(x)≤1 para 0≤x≤1. Indicá cuál de las siguientes funciones 
cumple estas condiciones. 
 
 





 −−=
++=
−+=
−=
2
x1log 1 f(x) d.
 x)2 (-log 1 f(x) .c
)x2(log 1 f(x) b.
 )x2(log-1 f(x) a.
2
2
2
2
 
9. Hallá, si existen, las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones. 
a. 
4x
1)x(f
2 −
= b. 1
2x
1)x(f +
−
= c. 
5x3
1x2)x(f
+
−
= 
 
d. 
3x
x2x5)x(f
2
+
+
= e. 
1x
1x)x(f
2 −
−
= f. 1
)2x(
2)x(f 2 −−
= 
 
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10. Para cada una de las siguientes funciones calculá )x(flim y )x(flim
xx −∞→+∞→
y grafícalas. 
Decidí si existen las asíntotas horizontales. En caso afirmativo dá su ecuación. 
 
13 f(x) e. 2 f(x) .d
3e f(x) c.
3
1 f(x) b. e f(x) a. 
1-2x-12x-
2-x
x44x-
−==
+=




==
+
 
 
11. a. Calculá el valor de a para que la recta x = 5 sea una asíntota de la función
ax
3x f(x) 
+
+
= . 
b. Decidí si la función tiene otras asíntotas. En caso afirmativo, hallarlas. 
 
12. Sabemos que la función f(x) que tiene una asíntota horizontal y dos verticales. ¿Cuál de las 
siguientes puede ser? Justificá la respuesta. 
 
3-x
1 x c. 
4 x
1x b. 
4x
3 2x a. 
2
22
2 +
+
+
−
+ 
 
13. Dada 
1-x
x )x(f = 
a. Graficá f. 
b. Indicá dominio e imagen de f. 
c. Encontrá ceros, ecuaciones de las asíntotas, intervalos de positividad y negatividad. 
14. Hallá dominio, imagen y asíntotas de la función h = f  g si 
3 -2x g(x) y 
1-x
1 f(x) == 
 
15. Dadas 
3
2x)x(gy
x
4)x(f −== , 
a. Hallá las funciones g  f y f  g. 
b. Dá las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de dichas funciones. 
16. Para estudiar la velocidad a la cual los animales aprenden, se desarrolló un experimento mediante 
el cual una rata fue enviada repetidamente a través de un laberinto de laboratorio. Suponiendo 
que el tiempo requerido por la rata para salir del laberinto en el intento número n está aproximada 
por la función 
n
123)n(T += 
a. Indicá el dominio de T(n). 
b. ¿Qué ocurre con el tiempo que tarda la rata en salir del laberinto cuando n se hace muy grande? 
 
Unidad 6. Límites y Continuidad 5 
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17. En una reserva ecológica se introducen 50 ciervos. Se cree que el número de ciervos crecerá 
siguiendo el modelo 
t04,01
)t35(10)t(N
+
+
= donde t es el tiempo en años. 
a. Calculá el número de animales que habrá luego de 5 y 10 años. 
b. ¿A qué valor tenderá la población cuando t tiende a infinito? 
18. En un tanque con agua se vierte cloro y agua de manera que la concentración de cloro en el 
tanque en función del tiempo está dada por: 
300t5
t2)t(C
+
= 
a. ¿Qué ocurre con la concentración de cloro en el tanque cuando ha pasado mucho tiempo? 
b. Graficar aproximadamente la función C(t). ¿Qué porción de la gráfica tiene sentido en el 
contexto del problema? 
19. Calculá los siguientes límites: 
 a. 24
23
0x x15x2
x6x3lím
−
+
→
 b. 
9x
3xlím 23x −
−
→
 c. 
2xx2x
6x5xlím 23
2
2x +−−
+−
→
 
 d. 
2x
2xlím
2x −
−
→
 e. 
x
x1x1lím
0x
−−+
→
 d. 
49x
3x2lím 27x −
−−
→
 
20. Calculá 
 a. 6x4xlím 25
x
+−
+∞→
 b.
x9x
x3xlím 5
3
x +
−
+∞→
 c. 
2x
x2lím
x +
−
+∞→
 
21. Verificá los siguientes límites: 
a. 12
2x
)8x(tglím
3
2x
=
−
−
→
 b. 
2
1
1x3
x22xlím
2x
=
−−
−+
→
 c. 
2
1
8x4x2
1x2xlím 3
3
x
=
−+
+−
+∞→
 
22. Calculá los siguientes límites 
a. 
n2
x n
31lím 




 +
∞→
 b. ( ) x
3
0x
x21lím −
→
 
c. 
x
x 2x3
4x3lím 





−
+
∞→
 d. 
x
x 3x
1xlím 





+
+
∞→
 
23. Verificá los siguientes límites 
a. 
4
5
x4
x5senlím
0x
=
→
 b. 0
x
xsenlím
2
0x
=
→
 c. 
2
1
1x
)1x(senlím 21x
=
−
−
→
 
24. 
Mostrar que 1
x
1senxlím
x
=⋅
∞→
 
 
 
Unidad 6.Límites y Continuidad 6 
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25. Analizar la continuidad de las siguientes funciones para el x0 que se indica. 
a. 
9x6x
9x f(x) 2
2
+−
−
= en x0=3 
b. 



>
≤<+−
=
0xsix
0x2si1x
)x(f 2 ; en x0 = -1; x1= 0; x2 = 1 
26. ¿Para qué número real k las siguientes funciones son continuas en ℜ? 
a. 




>−
≤+
=
2xsixk
2xsiakx
)x(f
2
2
 b. 




≥−
<+
=
2xsikx3
2xsi1x
)x(g 2 c. 



>+
≤=
0xsik2x
0xsie)x(h
kx
 
27. a. Calculá el límite de la función dada por: 
x3x
9x)x(f
2
2
−
−
= para los números reales que no 
pertenecen a su dominio. 
b. Calculá los límites para x→ +∞ y para x→ -∞ 
c. ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad de la función? 
28. Un equipo de investigación ha estimado que el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar 
cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x, en días), 
es: 






>
+−
≤≤
+=
30x
)5x)(5x(
1125
30x0
30x
300
)x(T 
Justificá que la función T es continua en todo su dominio. 
29. Esbozá la gráfica de una función f tal que: 
• Sea continua en (-∞; 2] y (2: +∞); y 
• 0)x(flímy)x(flím;3)x(flím;4)x(flím
5x2x2x0x
=+∞=−==
→−→+→→
 
30. a. Demostrá que la función f(x) = x2 − 4x + 2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2]. 
b. Decidí si se puede decir lo mismo de la función 
1x
3x2)x(f
−
−
=
 
 
31. Utilizando el teorema de Bolzano, demostrá que la ecuación: x3 + x − 5 = 0, tiene al menos una 
solución x = a tal que 1 < a < 2. 
 
32. Aplicando el Teorema de Bolzano, comprobá que la ecuación ex + 2x = 0 tiene una raíz real. 
 
 
 
 
Unidad 6. Límites y Continuidad 7 
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 EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SOLO HAY UNA RESPUESTA CORRECTA 
33. Se sabe que 
5
2
nx2
5mxlímy
2
3
nx2
5mxlím
1xx
=
−
−
=
−
−
→∞+→
 
Entonces 
1n;0m.d7n;3m.c2n;3m.b
5
1n;
3
2m.a ========
 
34. Las ecuaciones de las asíntotas de la función 
2
1x
4)x(f +
+
=
 
son: 
a. x = -1; y = 2 b. x = 1; y = 2 c. x = -1; y = 0 d. x = 2; y = -1 
 
35. La función dada por 
22
2
)1x(
1x)x(f
−
+
= 
tiene: 
a. sólo una asíntota vertical 
b. sólo dos asíntotas verticales 
c. sólo una asíntota horizontal 
d. una asíntota vertical y dos horizontales 
e. ninguna asíntota 
36. 
La función definida por 




>
≤−
=
+ 0xsi2
0xsix1
)x(f
1x
2
 es continua: 
a. para ningún número real b. si x es igual a cero 
c. para todo número real d. si x distinto de cero 
37. 
La función 





>+−
=
<−
=
2xsi9x2
2xsi3
2xsikx3
)x(f tiene límite finito en x = 2 si: 
 
a. k = 2 b. k ≠ 2 c. k = 0 d. k = -1 e. k = 1 
38. 
:es
4x4x
10x3xlímEl
2
2
2x
+−
−+
→
 
 
a. Infinito b. cero . c. 2 d. -2 e. no existe 
 
 
 
 
 
 
 
Unidad 6. Límites y Continuidad 8 
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Respuestas 
 
1. a.1. −∞ a.2 +∞ 5. En ambos casos hay más de un a solución 
a.3. -1 a.4 -1 
6. a. – ∞ b. + ∞ c. + ∞ d. – ∞ e. 6 f. 6 
a.5. +∞ a 6. −∞ 7. En todos los casos hay una función que cumple 
con las condiciones dadas. No son únicas. a.7 0 a.8 0 
b.1. 
+→2x
)x(f lím = 2. 8. Ninguna de las funciones cumple las condiciones 
dadas 
b.2. 
−→2x
)x(f lím = 2. 
 
9. a. A. V.: y = 0 A.H. las rectas: x = 2 y x = –2 
 
b.3. 
+→0
)x(flím
x
 = 0. b. A. V: x = 2 A.H: y = 1 
b.4. 
−→0
)x(flím
x
 = +∞ . 
 
c. A. V: x =
3
5−
 A. H: 
3
2y = 
b.5. )x(flím
x +∞→
= 2. d. A. V: x = – 3. 
No tiene asíntotas horizontales. 
b.6. )x(flím
x −∞→
= 0. 
 
e. A. V: x = -1 A.H: y = 0 
2. a. xlím f(x)→ +∞ = +∞ . 
 
f. A. V: x = 2 A.H: y = -1 
 
x
lím f(x)
→ −∞
 = –∞ . 10. a. 0elimelim
4x
x
4x
x
== −
∞−→
−
∞+→
 
 A.H. y = 0 b. xlím f(x)→ +∞ = 0. 
 
 
x
lím f(x)
→ −∞
 = 0. 
b. ∞+=




=





∞−→∞+→
x4
x
x4
x 3
1
lim03
1
lim 
 A. H. y = 0 
c. 
x
lím f(x)
→ +∞
 = 0. 
 
x
lím f(x)
→ −∞
 = – 6. c. ∞+=+−
∞+→
3elim 2x
x
33elim 2x
x
=+−
∞−→
 
 A.H. y =3 
d. 
x
lím f(x)
→ +∞
 = 0. 
 
x
lím f(x)
→ −∞
 = 0. 
3 
a. 0 b. 0 c. 0 
d. 02lim2lim 1
2x
x
12x
x
== +−
∞−→
+−
∞+→
 A.H. y = 0 d. 1 e. 1/ 2 f..-1/2 
g. 0 h. 0 i. + ∞ e. ∞+=−−=− −−
∞−→
−−
∞+→
13lim113lim 1x2
x
1x2
x
 
 A.H. y = - 1 
4. a. 4)x(flim x
−=
+∞→ x
lím f(x)
→ −∞
 = – 4. 
 ∞−=
+→
)x(flim
2x
 ∞+=
−→
)x(flim
2x
 
b. 1)x(flim
x
=
+∞→
 1)x(flim 
x
=
∞−→
 
 ∞−=
+−→
)x(flim
2x
∞+=
−−→
)x(flim
2x
 
c. 5)x(flim
x
=
+∞→
 5)x(flim
x
−=
−∞→
 
d. 1)x(flim
1x
=
+−→
 1)x(flim
1x
−=
−−→
 
 1)x(flim
0x
−=
+→
 )x(flim
0x −→
= 1 
 
 
11. a. a = – 5 b. Sólo una A. V. la recta y = 1 
 
12 
La función dada en a. A.H: y = 2 
A.V: x = -2 y x = 2. 
 
13. b. Domf = Imf = { }1−ℜ 
c. { }0C0 = 
 A.H: y = 1 
 A.V. x = 1 
 C+ = (-∞; 0) U (1; + ∞) 
 C - = (0; 1) 
 
 
 
 
 
 
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14. 
4x2
1)x(h
−
= ; Domh = ℜ - {2} 
Imh = ℜ - {0}; A.H: y = 0 A.V; x = 2 
 19. a. -2/5 b. 1/6 c. -1/3 
d. 4/2 e. 1 f. -1/56 
 20. a. + ∞ b. 0 c. -1 
15. a. 
x3
x24)x(fg −= 
2x
12)x(gf
−
= 
b. Dom g  f = ℜ - [0} 
 A.V: x = 0 A.H: y = -2/3 
 Dom f  g = ℜ - [2} 
 A.V: x = 2 A.H: y = 0 
 22. a. e6 b. e-6 c. e2 d. e-2 
 
24 Sugerencia: t = 1/x 
 25. a. Discontinua 
b. Discontinua en x = 0 
 
 26. a. k = - 8 b. k = 0 c. k =1/2 
16. a. Números naturales. 
b. Se aproxima a 3 unidades de tiempo 
 27. a. Domf = ℜ - {0; 3} b. 1; 1 c. en 0 
 29. Hay más de una 
17. a. N(5) ≈ 167 N(10)= 250 ciervos 
b. Se acerca a 750 animales. 
 30. Usar teoremas de las funciones continuas. 
 
33. c. 
18. 
a. A largo plazo la concentración del cloro 
será de 2/5 o del 40%. 
b. 
 
 
34. d. 
 
35. d. 
 
36. a. 
 
37. e. 
 
38. e. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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