TP Unidad 2 FUNCIONES PARTE 2

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
Unidad 4. Funciones 
 
 
Práctico 2. Funciones Polinómicas. 
 
 Temas del práctico 
Funciones elementales: lineal, cuadrática, polinómica. Funciones monótonas. Teorema de 
Bolzano y consecuencias. Intervalos de positividad y negatividad de una función. 
 
Bibliografía obligatoria 
 
 Material de apoyo de la cátedra 
 AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado 
La Copia S.R.L., 1995; Capítulo 2. Funciones. 
 AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado 
La Copia S.R.L., 1995; Capítulo 3 y 4. Función lineal, cuadrática y polinómicas. 
 
 
 
Práctico 2. Funciones Polinómicas. 1 
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TRABAJO PRÁCTICO. FUNCIONES POLINOMICAS 
 
 
 
1. 
 
En el conjunto de los números reales se define la relación f(x) = x + 2 
a. Calculá f(5); f(0); f(90) 
b. Si f(a) = 5; f(b) = 1 y f(c) = 201; encontrá a, b y c. 
c. Graficá f. 
2. Dá la expresión de cada una de las funciones lineales cuyas gráficas son: 
 
 
3. a. Encontrá en cada caso, una función lineal f que satisfaga: 
a.1. f(2) = 3 y f(4) = 0 
a.2. f(-1) = 3 y f(1) = 3 
a.3. f(0) = -2 y f(2) = 0 
b. Graficá las funciones encontradas. 
c. Hallá gráfica y analíticamente, la intersección con los ejes. 
 
4. Hallá las ecuaciones de las rectas que cumplen las condiciones indicadas. 
a. Pasa por (2; 4) y (5; 0) 
b. Tiene pendiente 
3
1
− y ordenada al origen –1 
c. Todos sus puntos tienen abscisa –2 
d. Todos sus puntos tienen ordenada -5 
 
 
 
Práctico 2. Funciones Polinómicas. 2 
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5. Dada la función f tal que 1x
3
1 (x)f −= se pide: 
a. Representála. 
b. Indicá cuál o cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la gráfica de f. 
 P = (0; 0) Q = (3; 0) R = 





6
1 - ;
2
1 - S = 




 2 ;
2
3 
c. Hallá a tal que f(a)= -3. 
6. Decidí justificando, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 
a. Si f(x) = -3x + 2 entonces 




 ∞=+ 3
2 ;- C 
b. Existe una función lineal g que verifica g (4) – g (1) = 4 y g (-2) = 
2
1 
c. Existe una función lineal cuya gráfica contiene todos los puntos de la forma (3; y), siendo 
y un número real. 
7. Sean f y g funciones lineales tales que: 
a. La gráfica de f es la recta de pendiente 1 que pasa por P = (1; 0) 
b. La gráfica de g es la recta que pasa por los puntos Q=(0;5) y R=(3;-1). 
Determiná analíticamente el conjunto A ={ x∈ℜ/f(x) = g(x)} 
8. En cada uno de los siguientes casos, f y g son funciones lineales. Determiná analíticamente 
el conjunto A ={ x∈ℜ/f(x) ≤ g(x)}. 
a. f(x) = -2x + 3 g(x) = x 
b. 4x- 2 g(x) 5x
2
1f(x) −=−= 
c. f(x) = - x + 2 g(x) = -x – 1 
d. 1- x 
3
1 g(x) 1-3x - )x(f == 
9. Decidí cuál de las siguientes es la función inversa de la función lineal f que satisface f(5) = 1 
y f(-4) = -2. 
a. f-1(x) = 2x + 5 b. 
3
2 - 
3
x )x(f 1 =− c. f-1(x) = 2x – 5 d. f-1(x) = 3x + 2 
 
10. Indicá los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: 
2- x f(x) .d4 x f(x) .c
1 x 
3
1 - f(x) .b 3 2x f(x) a.
3 2 =−=
−=+=
 
Práctico 2. Funciones Polinómicas. 3 
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11. La función que relaciona el volumen de sangre de un individuo con su peso, está dada por 
x
14
1)x(f = , donde x es el peso del individuo, medido en kilos, y f(x) es la cantidad de 
sangre en el cuerpo, medido en litros. 
a. Graficá la función. 
b. ¿Cuántos litros de sangre tiene una persona cuyo peso es de 58 kilos? ¿Y de 46 kilos? 
c. Determiná el peso de las siguientes personas si se sabe que poseen: 
c.1. 3 litros de sangre. 
c.2. 36 dl 
c.3. 2.500cc 
12. En la medida en que el aire (sin humedad) sube, se expande y enfría. Si la temperatura a 
nivel de la tierra es de 20 ºC y a 1 km de altura es 10 ºC: 
a. Escribí la relación entre la altura y temperatura, si se supone que entre ellas existe una 
relación lineal. 
b. Graficá la función. o. 
c. Determiná la temperatura a 3 km de altura. 
 
13. Para cada uno de los siguientes gráficos de funciones cuadráticas, dá dominio, imagen y la 
fórmula que la caracteriza. 
 
 
Práctico 2. Funciones Polinómicas. 4 
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14. La gráfica corresponde a una función cuadrática cuya 
ecuación es de la forma 
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠0) 
Respecto a la función f, ¿cuáles de las siguientes 
afirmaciones son correctas? 
Justificá las respuestas. 
a. a < 0 
b. f(2) > 1 
c. c = -5 
d. f(-5) = f(0) 
e. f(1) = 1 
 f. f(-2) = f(1) 
15. Para las siguientes funciones, 
i. f(x) = -x2 -2x + 1 ii. g(x) = 2 x (x-3) iii.h(x) = (x -1)2 + 3 
 
determiná 
a. C0; C+ y C- 
b. Los valores máximos y mínimos. 
c. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
16. En cada caso, determiná la función cuadrática que verifica: 
a. Corta al eje x en 1 y en 3 y su conjunto de imágenes es el intervalo [-2; +∞) 
b. f(-2) = f(3) = 0 y f(0) = 4. 
c. Im f = [-5; +∞); C+ = (-∞; -2) U (8; +∞) 
d. Toma su valor máximo en x = -1 y es f(-1) = 3. Además C0= {-3; 1} 
17. Calculá analítica y gráficamente las intersecciones de los gráficos de los siguientes pares de 
funciones: 
a. f(x) = 2x2 + 4x + 10; g(x) = -2x +1 
b. f(x) =3(x - 2)(x + 5); g(x) = 3(x + 4) 
c. f(x) = -x2 + 4x – 4; g(x) es la función lineal que verifica que g(1) = 7 y g(-1) = 5. 
18. Durante un choque la fuerza F (en Newtons) que actúa sobre un objeto varía con el tiempo de 
acuerdo con la expresión F(t) = 87t – 21t2, donde t está en segundos. 
 Se desea saber: 
a. ¿En qué dominio es válida esta función? 
b. ¿Para qué valor de t es máxima la fuerza? ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza? 
19. Graficá en un mismo sistema de coordenadas las funciones f, g y h indicadas, explicitando 
dominio y conjunto de imágenes: 
a. f(x) = x2 ; g(x) = x4; h(x) = x6 
b. f(x) = x3 + 3; g(x) = (x+3)3; h (x) = -2(x+3)3 -1 
c. f(x) = x4 + 4 ; g(x) = (x+4)4; h(x) = 2(x+4)4 + 2 
 
Práctico 2. Funciones Polinómicas. 5 
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20. Dada f(x) = 6x -9 + 2x5- 4x3 -3x4-6x2 
a. Calculá f(1) ; f(-1); f(0); 2(f ) y 





2
3f 
b. ¿En qué caso puede afirmarse que se encontró un cero de la función? 
21. Para cada una de las siguientes funciones, hallá C0. Justificá que se han encontrado todos los 
ceros. 
f1(x) = x3 – 4x2 + 4x f2(x) = x5 – 9x3 
f3(x) = x4 -2x2 + 1 f4(x) = -2 (x-3) (x2 -1) (x2 +1) 
f5(x) = x3 - 6x2 + x - 6 f6(x) = -2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) 
22. a. La función f(x) = x4 + x3 -16x2 – 4x + 48 tiene cuatro raíces de las cuales se conocen 
x1= 3; x2 = - 2 y x3 = 2. Encontrá la cuarta raíz y escribí f(x) como producto. 
b. Encontrá a para que la función f(x) = x4 - 3x3 -2x2 +12x + a corte al eje x en x = 1. 
c. Dada g(x) = 2x5 – 3x4 -11x3 + 6x2, calculá todas sus raíces sabiendo que x= 3 es una de 
ellas. 
d. Encontrá todas las raíces reales de h(x) = x4 + x3 -18x2 -16x + 32, sabiendo que el 
polinomio es divisible por x2 -16. 
 
23. Encontrá: 
a. Una función polinómica f de grado 3 cuyo gráfico pase por los puntos (2; 0), (-3, 0) y 





− 0;
3
1 
¿Es única?b. Una función polinómica g de grado 3 cuyo gráfico pase por los puntos (2; 0), (-3, 0) y 





− 0;
3
1 , que además verifique g(1) = 8 
24. Para las siguientes funciones 
f1(x) = 3x2 – x3 f2(x) = (x2 -1) (x2 +1) f3(x) = -2(x -1) (x-3)(x2- 4) 
a. Encontrá todos los puntos donde la gráfica corta al eje x. 
b. Analizá intervalos de positividad y negatividad. 
c. Hacé un gráfico aproximado de f. 
25. Un meteorólogo encuentra que la temperatura G (en ºC) durante un día frío de invierno 
estuvo dada por G(t) = 0,05 t ( t – 12) (t – 24) donde t es el tiempo ( en horas) y t = 0 
corresponde a las 6 de la mañana. 
a. Graficá la curva 
b. ¿A qué hora la temperatura fue de 0º C? ¿Entre qué horas la temperatura fue superior a 
los 0ºC? ¿Entre qué horas estuvo por debajo de 0º C? 
 
 
Práctico 2. Funciones Polinómicas. 6 
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 EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SOLO HAY UNA RESPUESTA CORRECTA. 
26. La fórmula de una función polinómica f es f(x) = x4 – 5x3 + 6 x2. 
El conjunto de positividad de f es: 
a. (0; 2) ∪ (3; +∞) b. (-∞; 0) ∪ (3; +∞) c. (-∞; 0) ∪ (0; 2) 
d. (-∞; 0) ∪ (0; 2) ∪ (3; +∞) e. (-∞; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; +∞) 
27. Tene en cuenta la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos (2; 1) y (-1; 5). Entonces es 
f(1) igual a: 
a. 2 b. 
2
1 c. 1 d. -
2
1 e. 5 
 
28. El conjunto de todos los ceros de la función dada por f(x) = 3(x2 – 2x – 15)(x+2)2 es: 
a. {-5; 2; 3} b. {-5; -2} c. {-5; 3} d. {-3; -2; 5} e. {-3; 5} 
 
29. La función cuadrática g corta al eje x en x = 2 y x = -4. Además es g(0) = -8. 
Puede afirmarse que la imagen de g es: 
a. (-9; +∞) b. (-8; +∞) c. (-∞; -8] d. (-∞; 9) e. [-9; +∞) 
30. 
El conjunto de negatividad de la función dada por f(x) = )5x()1x(
2
1 2 ++ es: 
a. (-5; +∞) 
b. (-∞; -5) 
c. (-1; +∞) 
d. (-∞; -1) 
e. (-1; 5) 
 
 
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Respuestas 
1. a. f(5) = 7 ; f(0) = 2 ; f(90) = 92 b. a = 3; b = -1; c = 199 
 12. a. f(x) = -10x + 20 
b. La temperatura a 3 km de altura es de -10ºC. 
2. 
a. f(x) = x 
b. 3x
5
3 )x(f += 
c. f(x) = - 3x – 6 
d. ( ) 5x
4
5xf += 
 13. a, Dom f = ℜ; Im f = [0; +∞) ; f(x) = 4/3 x2 
b. Dom f = ℜ; Im f = (-∞; 18] ; 
f(x)= - 2(x – 3)2 + 18 
c. Dom f = ℜ; Im f = [3; +∞); f(x) = 2x2 + 3 
 
 
 
 14. Sólo b y c. 
 15. i. Para f 
}21;21{)f(C0 +−−−= ; )21;21( (f) C +−=+ ; 
) ;(1 ) ∞++∪−∞= 2 2 1 ;(- (f)-C 
Máximo en (– 1; 2). Mínimo no tiene. 
Crece en (– ∞ ; – 1); decrece en (– 1; +∞ ) 
3. a.1. ( ) 6x2
3xf +−= 
a.2. f(x) = 3 
a.3. f(x) = x – 2 
b.1
 
b.2 
 
 
ii. Para g 
C0(g) ={0; 3}. C+(g) = (-∞; 0) ∪ (3; +∞) = ℜ - [0; 3] C-(g) = 
(0; 3) 
Mínimo = 3 9;
2 2
 − 
 
. No tiene máximo. 
Decrece en 3;
2
 − ∞ 
 
; crece en 3 ;
2
 + ∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c.1. (0; 6) y (4; 0) 
c.2. (0; 3) . No corta eje abscisas 
c.3. (0; -2) y (2; 0) 
 
 iii. Para h 
C0(h) =∅. 
C+(h) = ℜ = Dom(f) 
C-(h) = ∅ 
Mínimo: (1; 3). No tiene máximo. 
Decreciente en (-∞; 1). Creciente en (1; +∞) 
 
 
4. a. ( )
3
20x
3
4xf +−= b. 1x
3
1 y −−= 
 c. x = -2 
 
 16. a. f(x) = 2 (x – 2)2 – 2 b. f(x) = (-2/3)(x + 2)(x – 3) 
c. (x) = (1/5) (x – 3)2 – 5 d. f(x) = (-3/4) (x + 1)2 + 3 
5. b. Sólo Q 
c. a = -6 17. a. S = ∅ b. )}1539;151(;)1539;151{(S −+−++−= 
c. S = ∅ 
6. 
a. Verdadera 
b. Verdadera 
c. Falsa 18. a. 



=
21
87;0Domf 
b. la fuerza máxima es, aproximadamente 90,11 Nt y se 
alcanza a los 87/42 seg. (Aproximadamente 2,97segundos). 
7. 
f(x) = x – 1; g(x) = -2x+5 
f(x) = g(x) si x = 2 
 
 
 
8. a. [ )+∞=≥ℜ∈= 1;1}/x{xA 
b.




 ∞=





 ≤ℜ∈=
3
2;- 
3
2x/x A 
c. A = ∅ (las rectas son paralelas) 
d. [ ) 0}/x{x 0; 0 ≥ℜ∈=+∞=ℜ
+ 
 19. Ver respuesta en material de apoyo 
 20. a. f(1) = -14; f(-1) = -22; f(0) = -9 ( ) 33262f −= ; 
27
2
3f −=




 
 b. En ninguno 
 
 
 
 
9. Opción d. 
21. Para f1 C0= {0; 2} Para f2; C0 = { -3; 0; 3} 
Para f3; C0 = { -1; 1} Para f4; C0 = { -1; 1; 3} 
Para f5; C0= {6} Para f6; C0 = {1; 2; 3; 4; 5} 10. 
a. Crece en todo su dominio 
b. Decrece en todo su dominio 22. a. x4= -4. f(x) = (x – 3)(x + 2)(x – 2)(x + 4) 
b. a = -8 c. C0 = {-2; ½; 3; 0} d. C0 ={-4; -2; 1; -4} c. Decrece en (-∞; 0), crece en (0; +∞). 
d, Crece en todo su dominio 
11. 
 
 
 
 
b. Aproximadamente 4,14 y 3,29 litros 
c. 42 kg; 50,4 kg y 35 kg 
 23. a. { }0acon;)2x)(3/1x)(3x(a)x(f −ℜ∈−++= 
No es única. Depende de los valores de a 
b. ( )3/1x)3x)(2x)(2/3()x(g ++−−= 
 
 
 24. f1: C0={0; 3} C+= (-∞, 0) ∪ (0; 3) C- = (0; 3) 
f2 : C0={-1; 1} C+= (-∞, -1) ∪ (1;+ ∞) C- = (-1; 1) 
f3 : C0={-2;1; 2;3} C+= (-2;1)∪(2; 3) 
C- =(-∞; 2)∪(1; 2)∪(3; +∞) 
 
 
 
 
 
 
25 De 0ºC a las 6hs., a las 18 hs y a las 6 de la mañana del 
día siguiente. 
Superior a 0ºC; entre las 6 y las 18 hs. 
Inferior a 0ºC, entre las 18 hs y las 6 del día siguiente. 
 
Práctico 2. Funciones Polinómicas. 8 
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26 d 29 e 
27 c 30 b 
28 d 
 
Práctico 2. Funciones Polinómicas. 9 
	Unidad 4. Funciones
	 Temas del práctico 
	Bibliografía obligatoria
	TRABAJO PRÁCTICO. FUNCIONES POLINOMICAS 
	1. 
	2. 
	3.
	4. 
	5. 
	6. 
	7. 
	8. 
	9. 
	10.
	11. 
	12.
	13.
	14. 
	15. 
	16.
	17. 
	18. 
	19. 
	20.
	21.
	22. 
	23. 
	24.
	25.
	26.
	27.
	28.
	29.
	30.