06_2023_2P_Analisis Matemático (72)_tema1_CLAVES

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ANÁLISIS MATEMÁTICO (72) (Cátedra: Mutchinick, Paula) 
CLAVES DE CORRECCIÓN 2° PARCIAL 
 
 
13/06/2023 
TEMA 1 
Hoja 1 de 2 
 
 
 
 
Los siguientes ejercicios son a desarrollar, tendrás que resolverlo en el espacio debajo del enunciado. Tanto el 
resultado indicado en el recuadro como el procedimiento, analítico o gráfico, que condujo al mismo serán 
contemplados en el puntaje. Para obtener un punto por cada ejercicio, su resolución deberá ser completa, 
correcta y sin errores algebraicos ni procedimentales. 
1) Hallar los extremos relativos de la siguiente función: 
𝒇(𝒙) = 𝒙 ⋅ 𝒆𝟑𝒙 
Para determinar el valor de x dónde la función registra extremos se 
deriva la función. Se determina su dominio (ℝ) y se iguala a cero: 
𝑓’(𝑥) = 𝑒3.𝑥 (1 + 3. 𝑥) = 0. De allí se obtiene un único punto 
crítico (𝑥 = −
1
3
). Se debe estudiar el comportamiento, en cuanto a 
crecimiento, de la función antes y después de dicho valor. Cómo la 
función decrece y crece respectivamente, diremos que allí 𝑓 
alcanza un mínimo relativo. 
Rta. 1) 
(−
1
3
; −
1
3
𝑒−1 ) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
 
2) Resolver la siguiente integral: 
∫ 𝒙 ⋅ (√𝒙 + 𝟏) ⋅ 𝒅𝒙 
Para resolver esta integral se debe comenzar expresando √𝑥 
como 𝑥1/2, luego se aplica propiedad distributiva resultando 
∫ 𝒙 ⋅ (√𝒙 + 𝟏) ⋅ 𝒅𝒙 = ∫(𝒙𝟑/𝟐 + 𝒙) 𝒅𝒙. Finalmente se 
resuelve la integral inmediata. 
Rta. 2) 
∫ 𝒙 ⋅ (√𝒙 + 𝟏) ⋅ 𝒅𝒙 =
𝟐. √𝒙𝟓
𝟓
+
𝒙𝟐
𝟐
+ 𝒌 
3) Desarrollar el Polinomio de Mac Laurin de grado 3 para la 
función: 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧 (𝟐𝒙 + 𝟏) 
Recodemos que el Polinomio de Mac Laurin de grado 3 es: 
𝑃3(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓´(0). 𝑥 +
𝑓´´ (0)
2!
. 𝑥2 +
𝑓´´´(𝑥)
3!
. 𝑥3. 
Calculamos los valores de las constantes, se reemplazan y se 
calculan los factoriales, resultando 
 𝑃3(𝑥) = 0 + 2. 𝑥 +
−4
2
. 𝑥2 +
16
6
. 𝑥3. Simplificando resulta la 
respuesta final. 
Rta. 3) 
𝑷𝟑(𝒙) = 𝟐. 𝒙 − 𝟐. 𝒙
𝟐 +
𝟖
𝟑
. 𝒙𝟑 
Los siguientes ejercicios son para completar, deberás rellenar en el recuadro indicado únicamente tu respuesta, 
sólo se contemplará en el puntaje la respuesta del recuadro. Para obtener un punto por cada ejercicio, deberá 
estar consignada la respuesta correcta dentro del recuadro, o cualquier expresión algebraica equivalente. . 
4) Si la relación de demanda de un determinado bien está dada 
por 𝑝 =
100
𝑥+10
+ 2000, entonces el ingreso marginal por 
producir 40 unidades es: 
Como el ingreso marginal es la derivada de la función ingreso. 
Primero se obtiene la función ingreso total 
Rta. 4) 
𝐼𝑀𝑎𝑟𝑔(40) = 2000,4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐼(𝑥) = 𝑝. 𝑥 = (
100
𝑥+10
+ 2000) . 𝑥 =
100.𝑥
𝑥+10
+ 2000. 𝑥 
Derivando 𝐼´(𝑥) =
1000
(𝑥+10)2
+ 2000 
Luego 𝐼𝑀𝑎𝑟𝑔(40) =
1000
(40+10)2
+ 2000 = 2000,4 
5) El valor del siguiente límite es: 
𝐿 = lim
𝑥→0+
𝑥𝑥 
Analizando el límite se observa una indeterminación en la que tanto la 
base como el exponente de la potencia tienden a 0. Para resolver por 
L’Hopital comenzamos aplicando logaritmo miembro a miembro para 
poder llevar a un producto y finalmente a un cociente de infinitésimos. 
ln 𝐿 = ln lim
𝑥→0+
𝑥𝑥 = lim
𝑥→0+
ln 𝑥𝑥 = lim
𝑥→0+
𝑥. ln 𝑥 = lim
𝑥→0+
 
ln 𝑥
𝑥−1
 
 Usando la Regla de L´Hopital resulta ln 𝐿 = 0, con lo que 𝐿 = 1 
Rta. 5) 
𝐿 = 1 
6) Si la función de ingreso marginal es 𝐼𝑀𝑎𝑟𝑔(𝑥) = 𝑒
−2𝑥 ⋅ 𝑥 
entonces la función Ingreso total es: 
Para resolver este ejercicio se debe integrar la función de ingreso 
marginal para obtener el ingreso total 
 ∫ 𝑒−2𝑥 ⋅ 𝑥. 𝑑𝑥 =
−𝑒−2.𝑥
2
. (𝑥 +
1
2
) + k 
Utilizando como condición inicial que 𝐼(0) = 0 se obtiene el valor 
de la constante con lo que la función ingreso total resulta: 
 𝐼(𝑥) =
−𝑒−2.𝑥
2
. (𝑥 +
1
2
) +
1
4
 
Rta. 6) 
𝐼(𝑥) =
−𝑒−2.𝑥
2
. (𝑥 +
1
2
) +
1
4
 
7) Completar el enunciado del Teorema de Lagrange: “Sea 𝑓 una 
función continua en [𝑎, 𝑏] y derivable en (𝑎, 𝑏), entonces 
existe 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que…” 
El enunciado del teorema de Lagrange se encuentra en la página 
169 de las notas de análisis matemático I. 
Rta. 7) 
… 𝑓´(𝑐) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
 
 
 
En los siguientes ejercicios de opción múltiple debes indicar en el recuadro la letra que representa la única 
respuesta correcta, en mayúscula e imprenta. Para obtener un punto por cada ejercicio, deberá estar 
claramente indicada la letra de la única respuesta correcta. 
8) Dada la función 𝑓(𝑥) =
−1
𝑥2−1
 determinar cuál de todas las opciones es 
verdadera: 
Como el dominio de la función es 𝐷𝑓 = ℝ − {1, −1} y el único punto 
crítico es 𝑥 = 0 se analiza el crecimiento de la función en los intervalos 
(−∞, −1), (−1, 0), (0, 1)𝑦 (1, +∞) Como la derivada primera de la 
función es positiva en (0, 1)𝑦 (1, +∞), entonces 𝑓 es creciente en 
(0, 1) ∪ (1, +∞). 
Rta. 8) 
B) Es creciente en (0, 1) ∪
(1, +∞). 
9) Dada la integral ∫ 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥
2
⋅ 𝑑𝑥 determinar cuál de las opciones es la 
correcta: 
La integral no es inmediata. Se resuelve haciendo la sustitución 
 𝑧 = 𝑥2, con lo que 𝑑𝑧 = 2. 𝑥. 𝑑𝑥 resultando ∫ 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥
2
⋅ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑧 .
𝑑𝑧
2
 
Rta. 9) 
C) Se resuelve utilizando el método 
de sustitución. 
10) Dada la sucesión (𝑎𝑛) = (
3
𝑛
+ 5) y la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 , es correcto 
afirmar que: 
Como lim
𝑛→∞
(
3
𝑛
+ 5) = 5 la sucesión converge a 5, y como dicho límite es 
distinto de 0, la serie no converge. 
Rta. 10) 
A) La sucesión converge y la serie 
diverge.