MECANICA-DE-MATERIALES-UNIDAD-5-docx

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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de 
Estudios Superiores Plantel Aragón 
 
INGENIERIA INDUSTRIAL 
 
 
CLASE “ mecánica de materiales” 
 
 
 
trabajo 
 
 
 
 
GRUPO:2804 
 
 
 
NOMBRE DE LA PROFESORA: MARTHA BERENICE FUENTES 
FLORES 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
 
 
 
 FECHA DE ENTREGA: 13 DE FEBRERO DEL 2023 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCION 
La relación entre una carga aplicada a una maquina o a una estructura y las 
deformaciones resultantes es una parte importante de la mecánica de materiales. Esta 
relación carga-deformación se puede determinar y expresar de varias maneras. 
La conservación de la energía es un concepto útil en muchas áreas de la ciencia. La 
aplicación más frecuente de las técnicas energéticas está en el cálculo de pendientes 
y deflexiones de vigas, marcos, armaduras, y otras estructuras. Las deformaciones de 
los miembros curvos, el análisis de cargas de impacto, y el movimiento de las 
armaduras son los problemas en que estas técnicas ofrecen una clara ventaja sobre 
las técnicas analíticas alternativas. 
Hay muchas técnicas que caen bajo la amplia clasificación de métodos energéticos. El 
trabajo real, el trabajo virtual, y el teorema de Castigliano son los más importantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENERGIA DE DEFORMACION 
La energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior 
de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que 
provocan la deformación. 
Energía de deformación reversible e irreversible 
Cuando un sólido se deforma parte aumenta su energía interna, este aumento de 
energía puede ocasionar cambios. 
Esfuerzo Y Deformación Bajo Carga Axial 
 
ESFUERZO AXIAL 
El esfuerzo normal (esfuerzo axil o axial) es el esfuerzo interno o resultante de las 
tensiones perpendiculares (normales) a la sección transversal de un prisma mecánico. 
Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a 
la tensión normal. 
Dada una sección transversal al eje longitudinal de una viga o pilar el esfuerzo normal 
es la fuerza resultante de las tensiones normales que actúan sobre dicha superficie. Si 
consideramos un sistema de coordenadas cartesianas en que el eje X esté alineado 
con el eje recto de la viga, y los ejes Y y Z estén alineados con las direcciones 
principales de inercia de la sección el tensor de tensiones ([T]xyz) y el esfuerzo normal 
(Nx) vienen dados por: 
 
ESFUERZO CORTANTE 
El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o 
resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico 
como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q 
 
Se define como la relación entre la fuerza y el área a través de la cual se produce el 
deslizamiento, donde la fuerza es paralela al área. El esfuerzo cortante (τ) se calcula 
como 
Esfuerzo cortante = fuerza / área donde se produce el deslizamiento 
τ = F / A 
Donde: 
τ: es el esfuerzo cortante 
F: es la fuerza que produce el esfuerzo cortante 
A: es el área sometida a esfuerzo cortante 
 
 
 
DEFORMACION AXIAL 
(δ) Es aquella debida a la aplicación de una carga axial F y se basa en la ley de 
Hooke. 
 
δ= Alargamiento 
ε= Deformación o alargamiento unitario 
 
Energía de deformación bajo carga axial. 
Recuerde que cuando una barra se somete a carga axial céntrica, se supone que los 
esfuerzos normales σx están uniformemente distribuidos en cualquier sección 
transversal. Si A es el área de la sección a una distancia x del extremo B , y P la 
fuerza interna en esa sección, se escribe σx= P/A. sustituyendo σx en la ecuación . 
U=ʃ (σ2x/2E) dv (1.1) 
U=ʃ (P2/2EA2) dv (1.3) 
O haciendo dv= A dx. 
 
En el caso de una barra de sección constante sometida en sus extremos a fuerzas 
iguales y opuestas de magnitud P , en la ecuación (1.3) produce: 
U= P2L/2EA (1.4) 
 
Ejemplo 1 
Una barra de dos porciones BC y CD hechas del mismo material y con longitud igual, 
pero de secciones diferentes , determine la energía de deformación de la barra cuando 
se somete a una carga axial céntrica P: exprese el resultado en función de P, L, E, el 
área A de la sección transversal de la porción CD y la relación n de los diámetros. 
 
Se utiliza la ecuación (1.4) para calcular la energía de deformación de cada porción y 
se suman las expresiones para una barra de longitud L y sección transversal uniforme 
de área A. también se observa que para n > 1, se tiene Un < U1; por ejemplo, cuando 
n = 2, resulta U2 = (5/8) U1. Puesto que el esfuerzo máximo se produce en la porción 
CD de la barra y es igual a máx. = P/A, se sigue que, para un esfuerzo permisible 
dado, aumentar el diámetro de BC lleva a una rebaja de la capacidad de la barra para 
absorber energía. Deben evitarse los cambios innecesarios en la sección transversal 
en el diseño de elementos que puedan estar sometidos a cargas de impactos, donde 
la capacidad de absorción de la energía del elemento es crítica. 
 
 
 
TRABAJO Y ENERGIA 
Se define como la capacidad de transmitir energía de un sistema a otro. El trabajo 
hecho por una fuerza F la cual mueve un cuerpo una distancia X cuyos vectores 
forman un ángulo viene dado por el producto escalar: 
 
Ahora se definirá cómo se calcula el trabajo hecho por una fuerza y un 
momento sobre una estructura. 
El principio de conservación de la energía para estructuras se enuncia como sigue: 
“El trabajo efectuado sobre una estructura elástica por fuerzas aplicadas estáticamente 
(en forma gradual) es igual al trabajo realizado por las fuerzas internas, o sea, la 
energía de deformación almacenada en la estructura” 
Matemáticamente se expresa como: 
We=Wi ó Ue=Wi 
 
TEOREMA DE CASTIGLIANO 
En 1876 el Ingeniero de Ferrocarriles Alberto Castigliano, como parte de su trabajo de 
grado, presentó dos teoremas, el segundo de los cuales permite encontrar cualquier 
componente de deflexión de una estructura a partir de la energía de deformación de la 
misma 
Se pueden resumir que su trabajo consta de dos teoremas y un corolario, los cuales 
permiten establecer ecuaciones de equilibrio en estructuras, calcular deflexiones y 
rotaciones, y finalmente, resolver estructuras indeterminadas (es decir, hiperestáticas) 
El Primer Teorema de Castigliano ya está en desuso. 
“La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre 
Una estructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera 
derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a 
la acción aplicada” 
 
 
 
Primer Teorema de Castigliano: 
Su mayor uso es para establecer ecuaciones de equilibrio en estructuras. Su uso es 
casi nulo hoy en día. Matemáticamente, el enunciado de este teorema es: 
 
Segundo Teorema de Castigliano: 
“Para estructuras linealmente elásticas, la derivada parcial de la energía de 
deformación con respecto a una fuerza aplicada (o par aplicado) es igual al 
desplazamiento (o rotación) de la fuerza (o par) a lo largo de su línea de acción”. Este 
teorema sólo permite el cálculo de deflexiones y rotaciones debidas a fuerzas o 
momentos. 
 
“La derivada parcial de la energía interna de deformación de una estructura cargada 
con respecto a una componente de reacción, es igual a cero” 
“En cualquier estructura indeterminada sometida a carga los valores de las 
redundantes deber ser tales que hagan mínima la energía total interna de deformación 
elástica que resulta de la aplicación del sistema de cargas dado” 
Aplicaciones del Segundo Teorema de Castigliano 
Armaduras - Carga axial 
Vigas - Torsión 
Pórticos – Flexión 
Para la viga simplemente apoyada que soporta la carga lineal w, determinar el valor de 
la deflexión en el centro de la luz. 
 
 
Solución: