Mecanica-de-solidos-deformables

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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de 
Estudios Superiores Plantel Aragón 
 
INGENIERIA INDUSTRIAL 
 
 
CLASE “ mecánica de materiales” 
 
 
 
trabajo 
 
 
 
 
GRUPO:2804 
 
 
 
NOMBRE DE LA PROFESORA: MARTHA BERENICE FUENTES 
FLORES 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
 
 
 
 FECHA DE ENTREGA: 13 DE FEBRERO DEL 2023 
 
 
 
 
 
 
 
Mecánica de sólidos deformables 
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La mecánica de sólidos deformables estudia el comportamiento de los cuerpos sólidos 
deformables ante diferentes tipos de situaciones como la aplicación de cargas o efectos 
térmicos. Estos comportamientos, más complejos que el de los sólidos rígidos, se estudian en 
mecánica de sólidos deformables introduciendo los conceptos de deformación y de tensión 
mediante sus aplicaciones de deformación. 
Una aplicación típica de la mecánica de sólidos deformables es determinar a partir de una 
cierta geometría original de sólido y unas fuerzas aplicadas sobre el mismo, si el cuerpo 
cumple ciertos requisitos de resistencia y rigidez. Para resolver ese problema, en general es 
necesario determinar el campo de tensiones y el campo de deformaciones del sólido. Las 
ecuaciones necesarias para ello son: 
• ecuaciones de equilibrio, que relacionan tensiones internas del sólido con las cargas 
aplicadas. Las ecuaciones de la estática son deducibles de las ecuaciones de equilibrio. 
• ecuaciones constitutivas, que relacionan tensión y deformación, y en las que pueden 
intervenir también otras magnitudes como temperatura, velocidad de deformación, 
deformaciones plásticas acumuladas, variables de endurecimiento, etc. 
• ecuaciones de compatibilidad, a partir de la cual pueden calcularse los 
desplazamientos en función de las deformaciones y las condiciones de contorno o 
enlace con el exterior. 
Índice 
• 1 Tipos de sólidos deformables 
o 1.1 Ecuaciones constitutivas 
o 1.2 Termodinámica 
• 2 Materiales elásticos 
o 2.1 Teoría de la elasticidad lineal 
o 2.2 Resistencia de materiales 
• 3 Materiales viscoelásticos 
• 4 Véase también 
• 5 Referencia 
o 5.1 Bibliografía 
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=S%C3%B3lidos_deformables&redirect=no
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#mw-navigation
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#p-search
http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgido
http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales
http://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_%28mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos%29#Ecuaciones_de_equilibrio
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_constitutiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura
http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_compatibilidad
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Tipos_de_s.C3.B3lidos_deformables
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Ecuaciones_constitutivas
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Termodin.C3.A1mica
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Materiales_el.C3.A1sticos
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Teor.C3.ADa_de_la_elasticidad_lineal
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Resistencia_de_materiales
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Materiales_viscoel.C3.A1sticos
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Referencia
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Bibliograf.C3.ADa
Tipos de sólidos deformables 
Los sólidos deformables difieren unos de otros en su ecuación constitutiva. Según sea la 
ecuación constitutiva que relaciona las magnitudes mecánicas y termodinámicas relevantes del 
sólido, se tiene la siguiente clasificación para el comportamiento de sólidos deformables: 
• Comportamiento elástico, se da cuando un sólido se deforma adquiriendo mayor 
energía potencial elástica y, por tanto, aumentando su energía interna sin que se 
produzcan transformaciones termodinámicas irreversibles. La característica más 
importante del comportamiento elástico es que es reversible: si se suprimen las 
fuerzas que provocan la deformación el sólido vuelve al estado inicial de antes de 
aplicación de las cargas. Dentro del comportamiento elástico hay varios subtipos: 
o Elástico lineal isótropo, como el de la mayoría de metales no deformados en 
frío bajo pequeñas deformaciones. 
o Elástico lineal no-isótropo, la madera es material ortotrópico que es un caso 
particular de no-isotropía. 
o Elástico no-lineal, ejemplos de estos materiales elásticos no lineales son la 
goma, el caucho y el hule, también el hormigón o concreto para esfuerzos de 
compresión pequeños se comporta de manera no-lineal y aproximadamente 
elástica. 
• Comportamiento plástico: aquí existe irreversibilidad; aunque se retiren las fuerzas 
bajo las cuales se produjeron deformaciones elásticas, el sólido no vuelve exactamente 
al estado termodinámico y de deformación que tenía antes de la aplicación de las 
mismas. A su vez los subtipos son: 
o Plástico puro, cuando el material "fluye" libremente a partir de un cierto valor 
de tensión. 
o Plástico con endurecimiento, cuando para que el material acumule 
deformación plástica es necesario ir aumentando la tensión. 
o Plástico con ablandamiento. 
• Comportamiento viscoso que se produce cuando la velocidad de deformación entra 
en la ecuación constitutiva, típicamente para deformar con mayor velocidad de 
deformación es necesario aplicar más tensión que para obtener la misma deformación 
con menor velocidad de deformación pero aplicada más tiempo. Aquí se pueden 
distinguir los siguientes modelos: 
o Visco-elástico, en que las deformaciones elásticas son reversibles. Para 
velocidades de deformaciones arbitrariamente pequeñas este modelo tiende a 
un modelo de comportamiento elástico. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_constitutiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_%28mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Hormig%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Plasticidad_%28mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Viscoelasticidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_deformaci%C3%B3n
o Visco-plástico, que incluye tanto el desfasaje entre tensión y deformación por 
efecto de la viscosidad como la posible aparición de deformaciones plásticas 
irreversibles. 
En principio, un sólido de un material dado es susceptible de presentar varios de estos 
comportamientos según sea el rango de tensión y deformación que predomine. Uno u otro 
comportamiento dependerá de la forma concreta de la ecuación constitutiva que relaciona 
parámetros mecánicos importantes como la tensión, la deformación, la velocidad de 
deformación y la deformación plástica, junto con parámetros como las constantes elásticas, la 
viscosidad y parámetros termodinámicos como la temperatura o la entropía. 
Ecuaciones constitutivas 
Los sólidos elásticos son el tipo de sólido deformable de más sencillo tratamiento, ya que son 
materiales "sin memoria" en que el valor de las tensiones en un punto en un instante 
dado dependen sólo de las deformaciones en el mismo punto y no de las deformaciones 
anteriores (ni el valor de otras magnitudes en un instante anterior). Para un sólido elástico la 
ecuación constitutiva funcionalmente es de la forma: 
(1) 
Si el sólido elástico además es homogéneo, la función sólo dependerá del primer 
argumento. En la especificaciónanterior denota el conjunto de tensores simétricos 
en el espacio euclídeo tridimensional. Si el material no responde a una ecuación como la 
anterior entonces el material es anelástico. Los materiales anelásticos se caracterizan por ser 
materiales "con memoria" en los que la tensión actual en punto depende de la deformación en 
el mismo punto en algún instante anterior. La viscoelasticidad es el tipo de fenómeno de 
memoria más simple, aunque otros fenómenos como la existencia de plasticidad son formas 
de anelasticidad que requieren un tratamiento más complejo. Un material con memoria 
totalmente general responde a una ecuación más compleja: 
(2) 
 
Obsérvese que ahora el segundo argumento de no está sobre un espacio vectorial 
finito (tensores simétricos de orden dos), sino sobre un espacio funcional 
(funciones que toman valores sobre los tensores de orden dos). Ahora no basta con especificar 
el valor actual de la deformación sino que es necesario especificar el valor para cualquier 
instante de tiempo lo cual requiere especificar una función del tiempo con lo cual el primer 
argumento pertenece a un espacio infinitodimensional. 
Afortunadamente el tratamiento de los materiales viscoelásticos y elastoplásticos 
convencionales puede hacerse con ecuaciones constitutivas menos generales que (2). Los 
sólidos viscoelásticos y elastoplásticos son casos particulares de (2) pueden definirse sobre 
espacios de dimensión finita. Por ejemplo un sólido viscoelástico de tipo diferencial con 
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura
http://es.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_constitutiva
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Eqnref_1
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_homog%C3%A9neo
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial
http://es.wikipedia.org/wiki/Simetrizaci%C3%B3n_y_antisimetrizaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Anelasticidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Viscoelasticidad
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Eqnref_2
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_funcional
http://es.wikipedia.org/wiki/Base_%28%C3%A1lgebra%29#Espacios_de_dimensi.C3.B3n_infinita
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Equation_2
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Equation_2
http://es.wikipedia.org/wiki/Viscoelasticidad
complejidad 1, el tipo más simple de viscoelasticidad, pude ser descrito simplemente mediante 
una ecuación constitutiva del tipo: 
(3) 
 
Si la complejidad es más alta, bastaría añadir derivadas segundas o terceras hasta el orden 
adecuado. Para un sólido viscoelástico lineal, puede verse que (3) es un caso particular de (2) 
ya que en un sólido viscoelástico lineal cuya función de relajación sea la tensión se 
relaciona con la deformación mediante: 
 
que es una ecuación del tipo (3) que es lineal en todos sus argumentos. 
Para un material elastoplástico los efectos "de memoria" del material se representan 
mediante una variable interna, asociada a la deformación plástica, cuyo valor numérico va a 
depender de la historia pasada del material: Pero comosólo importa el valor actual de la 
variable interna las variables seguirán definidas sobre un espacio de dimensión finita. Un 
material elastoplástico no dependiente de la velocidad de deformación puede representarse 
por una sistema de ecuaciones del tipo: 
(4) 
Donde las variables internas incluyen la deformación plástica y posiblemente otras 
magnitudes. Si el material es viscoelastoplástico entonces hay que complicar un poco más la 
primera ecuación anterior: 
(5) 
Termodinámica 
Para sólidos elásticos y viscoelásticos la ecuación constitutiva, de acuerdo con el 
procedimiento de Coleman-Noll, puede deribarse de la existencia de una función de densidad 
energía almacenada. En el caso que sólidos que puedan sufrir cambios de temperatura o 
entropía al deformase debe substituirse la función de densidad de energía por la energía libre 
de Helmholtz por unidad de volumen. Usualmente la forma de la potencial 
de energía libre se toma de la forma:1 
(6) 
donde: 
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Eqnref_3
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Equation_3
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Equation_2
http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n_a_fluencia
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Equation_3
http://es.wikipedia.org/wiki/Plasticidad_%28mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos%29
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Eqnref_4
http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n_pl%C3%A1stica
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Viscoplasticidad&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Eqnref_5
http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_libre_de_Helmholtz
http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_libre_de_Helmholtz
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#cite_note-1
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Eqnref_6
, es el tensor de Cauchy diestro y su parte desviadora. 
, jacobiano del gradiente de deformación. 
son variables que caracterizan el comportamiento de fluencia lenta y de relajación. 
es la temperatura. 
En esa formulación el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff puede obtenerse como: 
(7) 
donde: 
son las componentes del tensor Cauchy diestro a partir del cual se define el tensor de 
deformación material de Green-Lagrange. 
Materiales elásticos 
Los materiales elásticos son el tipo más simple de sólido deformable donde las tensiones en un 
punto depende sólo de las deformaciones coocurrentes en el mismo punto. Esa restricción 
hace que los materiales elásticos sean sistemas termodinámicamente reversibles donde no 
hay disipación. Dentro de los materiales elásticos además es frecuente la diferencia entre 
materiales elásticos lineales, donde la ecuación constitutiva (1) es una función lineal en su 
primer argumento y además las deformaciones sean pequeñas( . 
Matemáticamente los materiales elásticos lineales son fácilmente tratables y gran parte de las 
aplicaciones prácticas y el análsiis estructural se basan en este tipo de materiales. Sin embargo, 
la linealidad entre deformaciones y desplazamientos sólo se da aproximadamente para 
pequeñas deformaciones y en general los problemas con grandes deformaciones, requieren su 
tratamiento mediante elasticidad no lineal. Este tratamiento es sustancialmente más complejo 
desde el punto de vista matemático. 
Teoría de la elasticidad lineal 
Artículo principal: Elasticidad (mecánica de sólidos). 
Para materiales que tienen un comportamiento elástico lineal, o aproximadamente lineal, para 
pequeñas o moderadas deformaciones. El cálculo de tensiones y deformaciones puede hacerse 
usando la teoría lineal de la elasticidad. Esta teoría resuelve los problemas de mecánica de 
sólidos planteando un [[sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Desde el 
punto de vista físico los diversos subsistemas de ecuaciones que incluye esta teoría son: 
• Ecuaciones de equilibrio interno. Que relacionan las fuerzas volumétricas (bi) con las 
derivadas de las tensiones (σij) en el interior del sólido: 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_desviador
http://es.wikipedia.org/wiki/Jacobiano
http://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente_de_deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3n_de_Piola-Kirchhoff
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Eqnref_7
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformaci%C3%B3n#Tensores_finitos_de_deformaci.C3.B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1mica
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Equation_1http://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_%28mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales
• Ecuaciones de equilibrio externo. Que relacionan las fuerzas superficiales o fuerzas de 
contacto (fi) aplicadas en la superficie del sólido con el valor de las tensiones en el 
controno del sólido: 
 
• Ecuaciones constitutivas o ecuaciones de Lamé-Hooke. Son ecuaciones algebraicas y 
lineales que relacionan el valor de las componentes del tensor tensión con el valor del 
tensor deformación: 
 
 
 
• Relación entre desplazamientos y deformaciones. Que relacionan las componentes 
del tensor de deformaciones (εij) con las componentes del vector de desplazamiento u 
= (ux, uy, uz): 
 
• Condiciones de contorno, que fijan el valor del desplazamiento para algunos puntos 
del contorno exterior, normalmente los puntos que sean puntos de unión del sólido 
deformable a alguna otra estructura o elemento resistente sobre el que se apoye o 
ancle. 
Resistencia de materiales 
Artículo principal: Resistencia de materiales. 
Ciertos problemas sencillos de la mecánica de sólidos deformables con geometrías simples 
pueden tratarse mediante la resistencia de materiales clásica. En especial para el cálculo de 
vigas y cuando la concentración de tensiones no es particularmente pueden plantearse 
ecuaciones diferenciales ordinarias en una variable para el cálculo de tensiones y 
deformaciones, lo cual hace muy fácil el encontrar soluciones analíticas que aproximen las 
tensiones del problema real tridimensional. 
Además, muchos problemas que son indeterminados según el modelo de la mecánica del 
sólido rígido (problemas hiperestáticos), son resolubles en el modelo de sólidos deformables 
gracias a que se usan ecuaciones adicionales (ecuación constitutiva y ecuaciones de 
compatibilidad). Normalmente estas ecuaciones adicionales se escriben en términos de 
esfuerzos, deformaciones o desplazamientos (Véase también: teoremas de Castigliano, 
ecuaciones de Navier-Bresse, teoremas de Mohr). 
http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales
http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales
http://es.wikipedia.org/wiki/Viga
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Concentraci%C3%B3n_de_tensi%C3%B3n&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgido
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgido
http://es.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1tico
http://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_Castigliano
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Navier-Bresse
http://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_Mohr
Una de las principales aplicaciones de la mecánica de sólidos deformables es el cálculo de 
estructuras en ingeniería y arquitectura. Como campo de estudio, la mecánica de sólidos 
deformables forma parte de la mecánica de medios continuos. Cabe señalar que los métodos 
simplifcados usados en resistencia de materiales también pueden extenderse a materiales con 
cierto tipo de plasticidad o materiales viscoelásticos, por lo que la resistencia de materiales no 
está limitada estrictamente a materiales elásticos, aunque en la práctica la resistencia de 
materiales no elásticos es poco usada en la práctica, siendo más común el uso de códigos 
basados en elementos finitos u otros métodos computacionales y el tratamiento no 
simplificado de la geometría. 
Materiales viscoelásticos 
 
Uno o varios wikipedistas están trabajando actualmente en este artículo o sección. 
Es posible que a causa de ello haya lagunas de contenido o deficiencias de formato. Si 
quieres, puedes ayudar y editar, pero antes de realizar correcciones mayores 
contáctalos en sus páginas de discusión o en la página de discusión del artículo para 
poder coordinar la redacción. 
Para un sólido viscoelástico el tensor de tensiones se puede descomponer en una combinación 
lineal de tensiones en el equilibrio (al que convergerían las tensiones si la deformación se 
mantiene constante) y tensiones transitorias asociadas al comportamiento propiamente 
viscoelástico. Usando la forma (6) para la energía libre de Helmholtz, el tensor de tensiones 
tendrá la forma: 
 
donde el último término contiene las tensiones de no equilibrio asociadas al comportamiento 
de fluencia y relajación. 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura
http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/Arquitectura
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuos
http://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_finitos
http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Wikipedistas
http://es.wikipedia.org/wiki/Ayuda:Tutorial_%28p%C3%A1ginas_de_discusi%C3%B3n%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Discusi%C3%B3n:Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformables
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_deformables#Equation_6
http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_libre_de_Helmholtz