tp_modulo 5 corregido

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Informe 
 
 
MODULO V 
 
 
 
 
Alumno: Giancarelli Mauro, Kaufmann Carlos, Schlundt 
Nicolás 
 
Carrera: Ingeniería Mecánica 
 
Curso: Tercer nivel 
 
Asignatura: Calculo Avanzado 
 
Docentes: Cavalieri Federico 
 Contini Liliana 
 
 
 
 
Año: 2014 
 
 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Santa Fe 
Calculo Avanzado: TP Modulo V 
Alumnos: Giancarelli Mauro, Kaufmann Carlos, Schlundt Nicolás Página 2 de 19 
 
 
Problema 1 Ecuación unidimensional de onda no estacionaria- Módulo II: 
 La cuerda que se muestra en la figura tiene una longitud de 3 [m], es de acero con 
una densidad 7800 [kg/m3] y se encuentra fija en sus extremos. La cuerda se encuentra 
tensa con un valor de 10 [kN] y luego se la perturba de su posición inicial. Si la ecuación 
diferencial con sus condiciones de borde e iniciales, respectivamente, es la que se muestra 
a continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
donde 
 
 
, T es la tensión en la cuerda y es la densidad de la cuerda. 
 
 
 
Se pide calcular: 
1. El desplazamiento transversal para cualquier punto [0, L] y t > 0 aplicando el 
método de separación de variables. 
2. Graficar con Matlab la solución para: t=1, t=2 y t=3 segundos. 
3. Demuestre que c tiene unidades de velocidad. 
 
 
RESOLUCION PROBLEMA 1: 
Siendo f(x) = 0 ; g(x) = x.(3-x) 
Planteamos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Alumnos: Giancarelli Mauro, Kaufmann Carlos, Schlundt Nicolás Página 3 de 19 
 
 
Los coeficientes serán: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta 3): Acá ya queda demostrado que C tiene unidades de velocidad. 
Continuando con la resolución hallamos el valor del coeficiente 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolviendo las integrales llegamos a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reacomodando la función y reemplazando en la ecuación general: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para t=1: 
>> clear all 
>> syms x t 
>> x=0:0.1:3; 
>> t=1; 
>> c=(5*78^0.5)/39; 
>> sum=0; 
>> for n=1:1:100; 
sum=sum+(sin(n*pi*x/3)*(-12/(n^2*pi^2*c^2))*((2/3)*sin(n*pi*c)+cos(n*pi*c)-
1)*sin(n*pi*t*c/3)); 
end 
>> sum 
 
sum = 
 
 Columns 1 through 9 
 
 0 0.1656 0.3310 0.4967 0.6629 0.8291 0.9959 1.1636 1.3318 
 
 Columns 10 through 18 
 
 1.5011 1.6725 1.8453 1.9154 1.9390 1.9722 2.0095 1.9665 1.9068 
 
 Columns 19 through 27 
 
 1.8366 1.7573 1.6692 1.5711 1.4593 1.2877 1.0882 0.8992 0.7152 
 
 Columns 28 through 31 
 
 0.5346 0.3556 0.1774 0.0000 
 
>> plot(sum); 
>> grid on 
 
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Para t=2: 
sum = 
 
 Columns 1 through 9 
 
 0 0.1947 0.3924 0.5992 0.7802 0.8985 1.0024 1.0956 1.1794 
 
 Columns 10 through 18 
 
 1.2541 1.3182 1.3652 1.3338 1.3038 1.2826 1.2660 1.2521 1.2400 
 
 Columns 19 through 27 
 
 1.2295 1.2202 1.2115 1.2034 1.1965 1.1338 0.9718 0.8092 0.6470 
 
 Columns 28 through 31 
 
 0.4853 0.3235 0.1616 0.0000 
0 5 10 15 20 25 30 35
0
0.5
1
1.5
2
2.5
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Para t=3: 
sum = 
 
 Columns 1 through 9 
 
 0 -0.1788 -0.3109 -0.4245 -0.5252 -0.6146 -0.6929 -0.7579 -0.7886 
 
 Columns 10 through 18 
 
 -0.7497 -0.7288 -0.7139 -0.7019 -0.6922 -0.6843 -0.6772 -0.6710 -0.6657 
 
 Columns 19 through 27 
 
 -0.6606 -0.6560 -0.6520 -0.6480 -0.6441 -0.6408 -0.6376 -0.6337 -0.6285 
 
 Columns 28 through 31 
 
 -0.4767 -0.3181 -0.1589 -0.0000 
0 5 10 15 20 25 30 35
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
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0 5 10 15 20 25 30 35
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
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Problema 2 Ecuación unidimensional para una barra elástica- Módulo V: 
 La barra que se muestra en la figura es de acero con un módulo de elasticidad de 
E=210 [GPa], tiene una longitud de 1 [m] y una sección transversal de 1 [cm2]. La barra 
tiene restringida en sus extremos su desplazamiento axial y es solicitada a lo largo de todo 
su eje por una carga constante de 2 [kN/m]. Si la ecuación diferencial que gobierna el 
problema se presenta a continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
donde E es el módulo de elasticidad y A es el área, se pide calcular: 
1. La solución exacta del problema. 
2. En forma manual, resolver numéricamente el problema por medio del método de los 
elementos finitos utilizando una discretización de cuatro elementos. Luego graficar la 
solución analítica y la numérica en un solo grafico utilizando Matlab. 
3. Utilizando el programa desarrollado por la cátedra, resolver numéricamente el problema 
por medio del método de los elementos finitos utilizando una discretización de treinta 
elementos. Luego graficar la solución analítica y la numérica en un solo grafico utilizando 
Matlab. 
4. Modifique el programa desarrollado por la cátedra para resolver el problema si se 
considera que la barra está formada por acero con un módulo de elasticidad E = 210 [GPa] 
para 0 < x < L/2 y de aluminio con un módulo de elasticidad de E = 70 [GPa] para 
L/2<x<L. Utilizar una discretización de 30 elementos. Grafique la solución y extraiga 
conclusiones de los resultados obtenidos utilizando Matlab. 
 
 
 
 
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RESOLUCION PROBLEMA 2: 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces la ecuación exacta será: 
 
Respuesta 1): La ecuación exacta será 
 
2. 
Ahora planteamos el problema por el método de loselementos finitos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ahora con estos valores armamos la matriz: 
 
 
 
 
 
Multiplicamos por el vector 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Debemos hallar Fi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El sistema matricial será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Finalmente la ecuación solución aproximada será: 
Respuesta ): La ecuación aproximada será: 
 
 
 
 
Programación: 
function MEF 
x=0:0.001:1; 
f=((x>=0)&(x<=0.25)).*((3.568*10^-5)*x)+((x>0.25)&(x<=0.5)).*((1.192*10^-
5)*x+(5.94*10^-6))+((x>0.5)&(x<=0.75)).*((-1.192*10^-5)*x+(1.786*10^-
5))+((x>0.75)&(x<=1)).*((-3.568*10^-5)*x+(3.568*10^-5)); 
g=-(4.7619*10^-5)*x.^2+(4.7619*10^-5)*x; 
plot(x,f,'g',x,g,'r'),grid 
sizeFontA = 20; 
sizeFontB = 20; 
grid on 
legend('Solucion Numerica','Solucion Analitica',2); 
set(gca,'Fontsize',10); 
xlabel ('Coodernada x'); 
ylabel ('Desplazamiento axial'); 
set(legend,'FontSize',10); 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x 10
-5
Coodernada x
D
e
s
p
la
z
a
m
ie
n
to
 a
x
ia
l
 
 
Solucion Numerica
Solucion Analitica
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Respuesta 3): 
Por MatLab: 
Ecuación de Poisson 
clc 
clear all 
close all 
gcoord= [(1:1:30)',(0:(1/29):1)']; 
E=210*10^9; 
A=0.0001; 
bcdof = [1 30]; 
bcval= [0 0]; 
f=2000; 
nnel=2; 
nnode = length(gcoord); 
nel = nnode -1; 
ndof = 1; 
sdof = nnode*ndof; 
edof = nnel*ndof; 
nd = gcoord(:,1) ; 
x = gcoord(:,2); 
ff = zeros(sdof,1); 
kk = zeros(sdof,sdof); 
disp = zeros(sdof,1); 
index = zeros(edof,1); 
ke = zeros(edof,edof); 
fe = zeros(edof,1); 
for iel=1:nel 
 h(iel) = x(iel+1)- x(iel); 
fe = Vfuerza(h,iel,f); 
ke = rigidez(h,iel,E,A); 
index = feeldof(iel,nnel,ndof); 
 [kk,ff]=fensamble(kk,ff,ke,fe,index); 
 end 
 
[kk,ffq]=fcond(kk,ff,bcdof,bcval); 
disp =inv(kk)*ffq; 
num=1:1:sdof; 
Desplazamientos=[num' disp] 
 
 
 
 
 
 
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Solución analítica 
x_ana = 0:0.01:1; 
disp_ana = -(9.5238*10^-5)*x_ana.^2/2 + (9.5238*10^-5)*x_ana./2; 
hold on 
grid on 
plot(x_ana,disp_ana,'r'); 
 
plot(x,disp,'*b'); 
 
sizeFontA = 20; 
sizeFontB = 20; 
grid on 
legend('Solucion Analitica','Solucion Numerica',2); 
set(gca,'Fontsize',10); 
xlabel ('Coodernada x'); 
ylabel ('Desplazamiento axial'); 
set(legend,'FontSize',10); 
 
 
 
 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-2
0
2
4
6
8
10
12
x 10
-6
Coodernada x
D
e
s
p
la
z
a
m
ie
n
to
 a
x
ia
l
 
 
Solucion Analitica
Solucion Numerica
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Desplazamientos = 
Desplazamientos = 
 1.000000000000000 -0.000000000000000 
 2.000000000000000 0.000001585414189 
 3.000000000000000 0.000003057584508 
 4.000000000000000 0.000004416510956 
 5.000000000000000 0.000005662193534 
 6.000000000000000 0.000006794632241 
 7.000000000000000 0.000007813827077 
 8.000000000000000 0.000008719778042 
 9.000000000000000 0.000009512485137 
 10.000000000000000 0.000010191948361 
 11.000000000000000 0.000010758167714 
 12.000000000000000 0.000011211143197 
 13.000000000000000 0.000011550874809 
 14.000000000000000 0.000011777362550 
 15.000000000000000 0.000011890606421 
 16.000000000000000 0.000011890606421 
 17.000000000000000 0.000011777362550 
 18.000000000000000 0.000011550874809 
 19.000000000000000 0.000011211143197 
 20.000000000000000 0.000010758167714 
 21.000000000000000 0.000010191948361 
 22.000000000000000 0.000009512485137 
 23.000000000000000 0.000008719778042 
 24.000000000000000 0.000007813827077 
 25.000000000000000 0.000006794632241 
 26.000000000000000 0.000005662193534 
 27.000000000000000 0.000004416510956 
 28.000000000000000 0.000003057584508 
 29.000000000000000 0.000001585414189 
 30.000000000000000 0 
 
 
 
 
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Respuesta 4): 
Por MatLab: 
Ecuación de Poisson 
clc 
clear all 
close all 
gcoord= [(1:1:30)',(0:1/29:1)']; 
E1=210*10^9; 
E2=70*10^9; 
A=0.0001; 
bcdof = [1 30]; 
bcval= [0 0]; 
f=2000; 
nnel=2; 
nnode = length(gcoord); 
nel = nnode -1; 
ndof = 1; 
sdof = nnode*ndof; 
edof = nnel*ndof; 
nd = gcoord(:,1) ; 
x = gcoord(:,2); 
ff = zeros(sdof,1); 
kk = zeros(sdof,sdof); 
disp = zeros(sdof,1); 
index = zeros(edof,1); 
ke = zeros(edof,edof); 
fe = zeros(edof,1); 
 
for iel=1:nel 
 h(iel) = x(iel+1)- x(iel); 
 fe = Vfuerza(h,iel,f); 
if iel<16 
 E=E1 
 else iel>=16 
 E=E2 
 end 
 ke = rigidez(h,iel,E,A);index = feeldof(iel,nnel,ndof); 
 
 [kk,ff]=fensamble(kk,ff,ke,fe,index); 
 
end 
 [kk,ffq]=fcond(kk,ff,bcdof,bcval); 
disp = inv(kk)*ffq; 
 
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num=1:1:sdof; 
Desplazamientos=[num' disp] 
 
Numérico por MEF 
plot(x,disp,'-*b'); 
 
sizeFontA = 20; 
sizeFontB = 20; 
grid on 
legend('Solucion Analitica','Solucion Numerica',2); 
set(gca,'Fontsize',10); 
xlabel ('Coodernada x'); 
ylabel ('Desplazamiento axial'); 
set(legend,'FontSize',10); 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x 10
-5
Coodernada x
D
e
s
p
la
z
a
m
ie
n
to
 a
x
ia
l
 
 
Sol. MEF Acero-Aluminio
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Desplazamientos = 
 1.000000000000000 0 
 2.000000000000000 0.000002002628450 
 3.000000000000000 0.000003892013029 
 4.000000000000000 0.000005668153737 
 5.000000000000000 0.000007331050575 
 6.000000000000000 0.000008880703542 
 7.000000000000000 0.000010317112639 
 8.000000000000000 0.000011640277865 
 9.000000000000000 0.000012850199220 
 10.000000000000000 0.000013946876704 
 11.000000000000000 0.000014930310318 
 12.000000000000000 0.000015800500061 
 13.000000000000000 0.000016557445934 
 14.000000000000000 0.000017201147935 
 15.000000000000000 0.000017731606066 
 16.000000000000000 0.000018148820327 
 17.000000000000000 0.000019060731496 
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 30.000000000000000 0 
 
 
 
 
 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Santa Fe 
Calculo Avanzado: TP Modulo V 
Alumnos: Giancarelli Mauro, Kaufmann Carlos, Schlundt Nicolás Página 19 de 19 
 
 
CONCLUSION: 
 Por medio del presente trabajo practico pudimos ampliar nuestro 
conocimiento del programa MatLab y profundizar el en calculo de 
componentes por elementos finitos, como así también corroborar a través 
de las graficas como a medida que vamos agregando mas discretización 
vamos obteniendo aproximaciones cada vez mas exactas.