TEOREMAS_CALCULO_DIFERENCIAL

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INTRODUCCIÓN 
 
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
 TEOREMA DE ROLLE 
 
 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
 TEOREMA DE CAUCHY 
 
 PRIMERA REGLA DE L´HOPITAL 
 
 SEGUNDA REGLA DE L´HOPITAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMAS 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
 
UNIDAD 
TEMÁTICA 
 7 
 Pág. 2 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
Michel Rolle 
(Ambert, 1652-París, 1719) Matemático francés. De formación autodidacta, 
publicó un Tratado de álgebra (1690) en que expuso un método de resolución 
de determinados tipos de ecuaciones. Mantuvo una viva polémica con 
diversos matemáticos sobre los principios del cálculo diferencial. 
 
 
JOSEPH LOUIS DE LAGRANGE (Turín, 1736-París, 1813) Matemático francés 
de origen italiano. Escribió numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones 
diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción 
mutuas. Escribió gran variedad de tratados sobre astronomía, resolución de ecuaciones, 
cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, ecuaciones diferenciales y 
mecánica analítica. Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras 
Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798). En 1810 
inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su 
muerte. 
 
 AUGUSTIN-LOUIS CAUCHY (París, 1789-Sceaux, Francia, 1857) Matemático francés. A 
los veinticuatro años volvió a París y dos más tarde demostró una conjetura de 
Fermat que había superado a Euler y Gauss. Publicó un total de 789 trabajos, entre 
los que se encuentran el concepto de límite, los criterios de convergencia las 
fórmulas y los teoremas de integración y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-
Riemann. Su extensa obra introdujo y consolidó el concepto fundamental de rigor 
matemático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Johann Bernoulli, matemático, médico y filólogo suizo. 
Nació el 27/07/1667 en Suiza murió el 1 de enero de 
1748, Basilea, Suiza 
Guillaume François marqués 
de l'Hôpital -1661 en París- 
Francia y murió allí el 
0202/1704 
L´Hópital escribió el primer libro de cálculo en el año 1696, el cuál estuvo influenciado por las lecturas que realizaba de sus 
profesores, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli y Leibniz. 
Su fama esta basada en su libro “Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes” publicado en 1696. 
El texto incluye las clases de su profesor, Johann Bernoulli, en donde Bernoulli discute la indeterminación 0/0. Este es el 
método para resolver estas indeterminaciones a través de derivadas sucesivas que lleva su nombre. 
En 1694 Bernoulli y l'Hôpital acordaron que l'Hôpital le pagaría trescientos francos anuales para que le transmitiera sus 
descubrimientos, que l'Hôpital describiría en su libro. En 1704, tras la muerte de l'Hôpital, Bernoulli reveló la existencia del trato, 
asegurando que la mayoría de los descubrimientos que aparecían en el libro de l'Hôpital's eran suyos. 
http://www.biografica.info/biografia-de-fermat-860
http://www.biografica.info/biografia-de-euler-823
http://www.biografica.info/biografia-de-gauss-983
https://www.google.com.ar/search?client=firefox-a&hl=es-419&rls=org.mozilla:es-AR:official&channel=np&biw=1280&bih=666&q=basilea+suiza&stick=H4sIAAAAAAAAAGOovnz8BQMDgwUHnxCnfq6-gWFeQZqJEgeYmW2SpiWfnWylX5CaX5CTqp-SmpyaWJyaEl-QWlScn2eVkpmaUhrhu7igzqPpy-N5L-4tDDjuHaSVCACl0LR3VQAAAA&sa=X&ei=E-tBUpSiG4H9iwK2_4CIBA&ved=0CJ8BEJsTKAIwEw
http://www.unex.es/~fan/cuantica/mc%2010/Web/Tales/ber2.html
http://www.unex.es/~fan/cuantica/mc%2010/Web/Tales/ber3.html
http://www.unex.es/~fan/cuantica/mc%2010/Web/Tales/leib.html
http://es.wikipedia.org/wiki/1696
http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli
http://es.wikipedia.org/wiki/Indeterminaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/1694
http://es.wikipedia.org/wiki/1704
 Pág. 3 
 
Geométricamente, el Teorema de Rolle 
afirma que existe al menos un punto 
sobre la curva entre A y B, donde la 
recta tangente es horizontal y por lo 
tanto paralela a la recta secante AB 
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
8.1.- TEOREMA DE ROLLE 
8.1.2 TEOREMA 
"Sea una función continua en [a,b] y derivable en (a,b) con f(a) = f(b) entonces existe al menos un 
punto x=c en (a,b) tal que: f ' (c) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demostración: 
Como f es continua en [a,b] y de acuerdo al Teorema de Weierstrass o del Valor Extremo que 
asegura que bajo estas condiciones f tiene un valor extremo en [a,b], aceptamos que existe al 
menos un punto x=c en (a,b) en el cuál f presenta un valor extremo. Como según hipótesis f es 
derivable en (a,b) , f'(c) existe y como ya vimos en el estudio de extremos relativos, si f( c) es 
extremo, entonces f '(c) = 0, con lo cual queda demostrado el Teorema. 
 
 
 
¿Satisface la función dada las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo indicado? Si se 
cumple, encuentre todos los valores de c en [a,b] para los que f ’(c ) = 0 
13x
12x2x
f(x)


 en [-3, 4] 
Ejercicio 1 
 Pág. 4 
 
Las hipótesis del Teorema de Rolle son: 
 
a) Continua en [-3, 4]: El dominio de la función es:  13Rmfdo  por lo tanto f es continua 
en el intervalo dado [-3, 4]. 
 
b) Derivable en [-3, 4]: ya que f no es derivable en x=13  [-3,4] 
 
c) f(a) = f(b) 
 
       
f(b) f(a) 0
134
12424
f(4) ; 0
133-
123-23-
f(-3) 






 
Entonces según Rolle 
 
   
   
 
 
 
 1 c
[-3,4] 25 c
 026cc 0
13c
2526cc
 (c)f'
13x
2526xx
13x
.112-x-x13-x.1-2x
f´(x)
2
12
2
2
2
2
2
2



















25
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 5 
 
Geométricamente, el Teorema del 
Valor Medio del Cálculo Diferencial 
afirma que existe al menos un punto 
sobre la curva entre A y B, donde la 
recta tangente es paralela a la recta 
secante a la curva que pasa por los 
puntos A y B. 
8.2.- TEOREMA DE LAGRANGE/T.DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
8.2.1 TEOREMA 
Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b), entonces existe al menos un punto x=c en 
(a,b) tal que : 
ab
f(a)f(b)
(c)'f


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demostración: 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación de la recta que pasa por los puntos A (a,f(a)) y B (b,f(b))es: 
)().(
)()(
).(
)()(
)( afax
ab
afbf
yax
ab
afbf
afy 





 (1) 
Geométricamente, el Teorema de 
Lagrange afirma que existe al menos 
un punto (c, f(c) ) sobre la curva entre 
A y B, donde la recta tangente es 
paralela a la recta secante que pasa 
por A y B. 
 Pág. 6 
 
Con el objeto de trabajar con una función que cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle, 
consideremos una nueva función F(x) combinación lineal entre f y la recta secante AB: 
 F(x) = f(x) - y (2) 
reemplazando (1) en (2): 









 )().(
)()(
)()( afax
ab
afbf
xfxF (3) 
como F es combinación lineal entre dos funciones ( f y g ), continuas en [a,b] y derivables en 
(a,b), ella (F) también es continua en [a,b] y derivable en (a,b). 
Por otra parte, haciendo x = a y x = b en (3) : 
 
0)(0)()()()()().(
)()(
)()(
0)(0)()()()(.
)()(
)()(
0























bFafafbfbfafab
ab
afbf
bfbF
aFafafafaa
ab
afbf
afaF 
 
o sea : F(a) = F(b) 
 
Con esto último, vemos que se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle (F es continua en [a,b], 
derivables en (a,b) y F(a) = F(b) ), entonces podemos decir que existe un valor x=c en (a,b) tal 
que F'(c)= 0, 
derivando (3) : 








ab
afbf
xfxF
)()(
)(')(' (4) 
particularizando (4) para x=c y aplicando el Teorema de Rolle: 
0
)()(
)(')(' 








ab
afbf
cfcFdespejando 
ab
afbf
cf



)()(
)(' 
 
con lo cual queda demostrado el teorema. 
 Pág. 7 
 
 
¿Satisface la función dada las condiciones del Teorema de Lagrange en el intervalo indicado? Si 
se cumple, encuentre todos los valores de c en [a,b] que lo verifican. 
g(x) = ln x en [1, e] 
 
Las hipótesis del Teorema de Lagrange son: 
a) Continua en [1, e]: El dominio de la función es:   0,mfdo por lo tanto f es continua en 
el intervalo dado [1, e]. 
b) Derivable en [1, e]: f es derivable en [1, e] 
 
 
 
 
Según Lagrange 
0 1 lnf(a) ; eln)e(f)b(f  1
 
 
1,72 c 

 1,72 1-e c 
1-e
0-1
c
c
 )c('f y 
x
f´(x)
1
11
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2 
 Pág. 8 
 
La interpretación geométrica del teorema de 
Cauchy nos dice que si f(x) y g(x) cumplen las 
hipótesis, existe al menos un punto c entre a y 
b en el que la pendiente de la recta tangente 
a f es k veces la de la tangente a g 
(c)g' . k (c)f'  
8.3.- TEOREMA DE CAUCHY 
8.3.1 TEOREMA 
Sean f y g funciones continuas en [a,b] . derivables en (a,b) , 
con 0)(' xg para todo x en (a,b), entonces existe al menos 
un número c en (a,b) tal que : 
 
)()(
)()(
)('
)('
agbg
afbf
cg
cf


 
.. 
Demostración: 
Considerar la función H(x), combinación lineal entre f y g: 
 H(x) = f(x) + k. g(x) (1) con k   
particularizar (1) para x=a y x=b: 
H(a) = f(a) + k. g(a) y H(b) = f(b) + k. g(b) 
Determinar el valor de k para el cuál H(a) = H(b): 
  
)()(
)()(
)()(
)()(
)()()()(.
)(.)()(.)(
agbg
afbf
k ; 
bgag
afbf
k
afbfbgagk
bgkbfagkaf








 
reemplazar en (1) : )(.
)()(
)()(
)()( xg
agbg
afbf
xfxH


 (2) 
como f y g son continuas en [a,b] y derivables en (a,b) - según hipótesis- y como H es 
combinación lineal entre ellas, también H es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y como 
además consideramos que H(a) = H(b), se verifican las hipótesis del Teorema de Rolle y por lo 
tanto se puede aplicar. 
Derivamos (2) )('.
)()(
)()(
)(')(' xg
agbg
afbf
xfxH


 
Particularizando para x = c : )('.
)()(
)()(
)(')(' cg
agbg
afbf
cfcH


 
Aplicando el Teorema de Rolle : 0)('.
)()(
)()(
)(')(' 


 cg
agbg
afbf
cfcH 
 
Con lo cual: )('.
)()(
)()(
)(' cg
agbg
afbf
cf


 
O sea : 
)()(
)()(
)('
)('
agbg
afbf
cg
cf


 
 Pág. 9 
 
 
En el ejercicio siguiente obtenga todos los valores de c en el intervalo dado, que satisfagan la 
conclusión de Cauchy para la función dada. 
f(x) = 204x  ; g(x) = 2x +6 en [-1,4] 
 
Las Hipótesis del Teorema de Cauchy son: 
i) Continuas en [a,b] : el dominio de f es   5,-mfdo por lo tanto es continua en 
 [-1, 4]. El domg son todos los reales por lo tanto lo es en [-1, 4]. 
ii) Derivables en (a,b): la función f es derivable en todo su dominio, por lo tanto lo es en (-1,4). 
La función g es derivable en R y por lo tanto en (-1,4) 
ii) b)(a, en 0)x´(g  : La función g’(x)= 2 por lo tanto no se anula para ningún x. 
 
Entonces se puede aplicar el Teorema de Cauchy. 
4 61)2.(g(-1)g(a) ; 14 62.4g(4)g(b)
4204.(-1)f(-1)f(a) ; 6 204.4f(4)f(b)
(c)g' 2(x)g'
204c
2
(c)f' 
204x
2
204x 2
4
(x)f'









 
 
1,25
4
5
 c 









 5204c ; 
10
2
204c
1
 
 
414
46
2
204c
2
 
g(a)g(b)
f(a)f(b)
(c)'g
(c)'f
 
 
 
Ejercicio 3 
 Pág. 10 
 
8.4 REGLA DE BERNOULLI- L’ HÔPITAL 
8.4.1 INTRODUCCIÓN 
Con frecuencia se presentan funciones tales que para un determinado valor de x, el límite de 
dichas funciones tiende a una de las siguientes formas: 
      


10000
0
0
;;;.;;; 
dichas formas son llamadas indeterminaciones. La Regla de L`Hópital permite salvar las 
indeterminaciones de la forma 


;
0
0
aplicando derivadas. 
 
8.4.2 PRIMERA REGLA DE L’ HÓPITAL 
0
0
 
ENUNCIADO 
Sean f y g funciones continuas en [a,b] . derivables en (a,b) , con 0)(' xg para todo x 
en (a,b) y 00 



)x(g
ax
lim;)x(f
ax
lim , entonces si existe 
)x(g
)x(f
ax
lim

 , se verifica que : 
)x('g
)x('f
 
ax
lim
)x(g
)x(f
 
ax
lim



 
 
Demostración 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 11 
 
Según hipótesis f y g son continuas en [a,b], por lo tanto se cumple que: 
 f y g sean continuas en (a,b) 
 )b(g)x(g
bx
lim y )b(f)x(f
bx
lim 


 
 
 )a(g)x(g
ax
lim y )a(f)x(f
ax
lim 


 
 (1) 
y como según hipótesis 00 



)x(g
ax
limy)x(f
ax
lim 
 
reemplazando en (1): 
0 )a(g)a(f (2) 
 
Por otra parte, si se considera el intervalo (a,x] contenido en [a,b] y se aplica allí el Teorema de 
Cauchy: 
)c('g
)c('f
)a(g)x(g
)a(f)x(f



 con a < c < x (3) 
 
reemplazando (2) en (3): 
)c('g
)c('f
)x(g
)x(f
;
)c('g
)c('f
)x(g
)x(f



0
0
 
 
en funciones continuas, cuando x  a , c  a o sea : 
 
 
)c('g
)c('f
ac
lim
)x(g
)x(f
ax
lim



 
 
generalizando : 
)x('g
)x('f
ax
lim
)x(g
)x(f
ax
lim



 
 
con lo cual queda demostrada la Regla. 
 
 Pág. 12 
 
8.4.3 SEGUNDA REGLA DE L’ HÓPITAL 


 
ENUNCIADO 
Sean f y g funciones tales que sean derivables en (a,b) , con 0)(' xg para todo x en 
(a,b) y 



)x(g
ax
lim;)x(f
ax
lim , entonces si 
)x(g
)x(f
ax
lim

 existe, se verifica que : 
 
)x('g
)x('f
ax
lim
)x(g
)x(f
ax
lim



 
Demostración : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicar el Teorema de Cauchy en (a, x] contenido en (a,b] : 
)c('g
)c('f
)a(g)x(g
)a(f)x(f



 con a < c < x (1) 
 
sacar factor común en el primer miembro de (1): 
)c('g
)c('f
)x(g
)a(g
).x(g
)x(f
)a(f
).x(f















1
1
 
 Pág. 13 
 
en funciones continuas, cuando xa ; c  a 
 
)c('g
)c('f
ac
lim
)x(g
)a(g
)x(f
)a(f
.
)x(g
)x(f
ax
lim































1
1
 
según propiedades: 
 
)c('g
)c('f
ac
lim
)x(g
ax
lim
)a(g
)x(f
ax
lim
)a(f
..
)x(g
)x(f
ax
lim






















 1
1
 
y según hipótesis: 
)c('g
)c('f
ac
lim
)a(g
)a(f
..
)x(g
)x(f
ax
lim


















 1
1
 ; 
)c('g
)c('f
ac
lim..
)x(g
)x(f
ax
lim









 01
01
 
 
)c('g
)c('f
ac
lim
)x(g
)x(f
ax
lim



 
 
generalizando : 
)x('g
)x('f
ax
lim
)x(g
)x(f
ax
lim



 
 
 
con lo cuál queda demostrado el teorema. 
 
 
 Pág. 14 
 
 
Evalúe el siguiente límite aplicando Regla de L’Hopital. 
xsenx
xsenx
 
x
lim
4
2
0 


 
 
Desarrollo 
5
1




















 
5
1
 
41
21
 
cos4x 41
2cos2x1
 :Hópit alL' de Regla aplicando
sen4xx
sen2xx
 
0x
lim
 
0x
lim
sen4xx
sen2xx
 
0x
lim
0
0
sen4xx
sen2xx
 
0x
lim
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 4 
 Pág. 15 
 
 
Evalúe el siguiente límite aplicando Regla de L’Hopital. 
 xln.tgx
x
lim
0
 
Desarrollo 
 
 
0 xln tgx.
0x
lim 


















 
xcos.senx.
x
lim :L R.de nuevamente aplicando
x
xsen
x
lim
xsen
x
x
lim
gxcot
xln
x
lim :L´Hópital deRegla aplicando
gxcot
xln
x
limxln.tgx
x
lim
.xln.tgx
x
lim
0
1
2
0
0
02
02
1
1
00
00
0
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 5 
 Pág. 16 
 
 
Evalúe el siguiente límite aplicando Regla de L’Hopital. 
0
1
0


x
ecxcos
x
lim 
Desarrollo 
0























































x
ecx
x
 
2
0
xsenxxx
senx
x
 
xxsenx
x
xx
ecx
x
 
senxx
senxx
xxsenxxx
ecx
x
 -
x
ecx
x
 :L R.de nuevament e aplicando
:L´Hópit al de Regla aplicando
1
cos
0
lim
coscos0
lim
0
0
cos
cos1
0
lim
1
cos
0
lim
0
0
.0
lim
11
0
lim
1
cos
0
lim
1
cos
0
lim
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 6 
 Pág. 17 
 
 
Evalúe el siguiente límite aplicando Regla de L’Hopital.  cosxtgx
2
π
x
lim


 
Desarrollo 
0
π
cos
2
π
 tg
π
x
lim 














2
2
 
 
   
    





 0. tgx.lncosx 
2
π
x
lim y ln 
2
π
x
lim
tgxln.xcosyln
xcos
tgxy
 
0
1
2.secx 
1
 
2
π
x
lim
x
2
2.t gx.sec 
t gx x. sec
 
2
π
x
lim 
x
2
t g 
x sec
 
2
π
x
lim
x
2
t g . secx
x.1
2
sec
 
2
π
x
lim
secx.t gx
t gx
x
2
sec
 
2
π
x
lim 
 
secx
t gx ln
 
2
π
x
lim
cosx
1
t gx ln
 
2
π
x
lim y ln 
2
π
x
lim






















































































 
  1
cosx
tgx 
2
-π
x
lim 
















 
 1y lim0e 0 y 
2
π
x
limln 0 y ln 
2
π
x
lim
2
π
x
 
 
Ejercicio 7