PRACTICA 01_CALCULO

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FACULTAD DE INGENIERÍA 
 CARRERA: 
 ING. INDUSTRIAL 
 CURSO: 
 CALCULO 
 TEMA: 
 APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN NUESTRAS 
 CARRERAS 
 PROFESOR: 
 CRISTIAN ALFREDO YAÑEZ HUARILLOCLLA 
 PRESENTADO POR: 
 -SOLANO HUAMANI ALEX 
 -GARCIA CCUNO LESLY YOVANA 
 AREQUIPA 
 2018 
 1.Una fábrica vende q miles de ar�culos fabricados cuando su precio es de p U$S /unidad. 
 Se ha determinado que la relación entre p y q es: 
 𝑞 2 − 2 𝑞 𝑝 − 𝑝 2 − 31 = 0 
 Si el precio p del ar�culo es de 9 U$S y se incrementa a una tasa de 0,20 U$S semana, te 
 pedimos: 
 a) Calcula el número de ar�culos vendidos a 9 dólares. 
 b) ¿Con qué rapidez cambia la can�dad de unidades q , vendidas por semana cuando el precio 
 es de 9 U$S? 
 a) Como la relación entre q y p es: 
 …..(1) 𝑞 2 − 2 𝑞 𝑝 − 𝑝 2 − 31 = 0 
 Si p = 9 U$S 𝑞 2 − 6 . 𝑞 − 112 = 0 
 Resolviendo la ecuación obtenemos: q = 14 unidades. 
 b) Como el precio p varía en el �empo, q será consecuentemente función del �empo. 
 Se te pide calcular la rapidez de variación de la demanda, o sea expresada en 𝑑𝑞 𝑑𝑡 
 cuando el precio es de 9 U$S. 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 
 La tasa de variación del precio por semana es constante e igual a 0.20 U$S. 
 En consecuencia 𝑑𝑝 𝑑𝑡 = 20 
 𝑈 $ 𝑆 
 𝑆𝐸𝑀𝐴𝑁𝐴 
 Derivemos la relación (1) respecto del �empo. 
 2 𝑞 . 𝑑𝑞 𝑑𝑡 − 2 
 𝑑𝑞 
 𝑑𝑡 . 𝑝 + 𝑞 .
 1 
 2 . 𝑝 
. 𝑑𝑝 𝑑𝑡 
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
− 2 . 𝑝 . 𝑑𝑝 𝑑𝑡 = 0 
 2 𝑞 − 2√ 𝑝 ( ). 𝑑𝑞 𝑑𝑡 =
 𝑞 
 √ 𝑝 − 2 𝑝 ⎡⎣ ⎤⎦
 𝑑𝑝 
 𝑑𝑡 
 Sus�tuyendo valores: 
 2 ( ). 14 ( ) − 2√9 [ ] 𝑑𝑞 𝑑𝑡 =
 14 
 √9 − 4 ( ). 9 ( )⎡⎣ ⎤⎦. 0 . 20 
 Finalmente, despejando ob�enes: 
 𝑑𝑞 
 𝑑𝑡 = 0 . 206 
 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 
 Habrá entonces un incremento de 206 unidades demandadas. 
 2.Una fábrica de muebles en el cual cierta can�dad de muebles conocidos como x cuesta 
 producir con la siguiente función: 
 C 𝑥 ( ) = 𝑋 3 − 3 𝑋 2 − 80 𝑋 + 500 
 Precio por escritorio es 2800 dólares ¿cuál es la u�lidad máxima mensual? Y mayor 
 ganancia posible. 
 Calculamos la u�lidad 
 𝑈 𝑥 ( ) = 𝐼 𝑥 ( ) − 𝐶 ( 𝑥 )
 𝑈 𝑥 ( ) = 2800 𝑥 − 𝑋 3 − 3 𝑋 2 − 80 𝑋 + 500 ( )
 𝑈 𝑥 ( ) = 2800 𝑥 − 𝑋 3 + 3 𝑋 2 + 80 𝑋 − 500 
 𝑈 𝑥 ( ) =− 𝑋 3 + 3 𝑋 2 + 2880 𝑥 − 500 
 Derivamos 
 𝑈 ́ 𝑥 ( ) =− 3 𝑋 2 + 6 𝑥 + 2880 
− 1 ( ) 0 =− 3 𝑋 2 + 6 𝑥 + 2880 − 1 ( )
 0 = 3 𝑋 2 − 6 𝑥 − 2880 
 Puntos crí�cos 
 0 = 3 𝑥 + 30 ( ) 𝑥 − 32 ( )
 𝑥 
 1 
=− 30 𝑥 
 2 
= 32 
 U�lidad máxima, para esto u�lizamos el criterio de la segunda derivada con los puntos 
 crí�cos 
 𝑈 " ( 𝑥 ) =− 6 𝑥 + 6 
 Reemplazamos: 
 . mínimo 𝑈 " (− 30 ) =− 6 (− 30 ) + 6 = +
 𝑈 " ( 32 ) =− 6 ( 32 ) + 6 = −
 .máximo valor máximo de la función 
 (Número de carpetas) 
 Ahora calculamos la mayor ganancia posible en la función general 
 𝑈 𝑥 ( ) =− 𝑋 3 + 3 𝑋 2 + 2880 𝑥 − 500 
 𝑈 32 ( ) =− 32 3 + 3 32 ( ) 2 + 2880 ( 32 ) − 500 
 𝑈 32 ( ) = 61 964 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 
 La función presenta un máximo de ganancia cuando se construyen 32 escritorios 
 mensuales y 61 964 dólares es lo máx. Que se puede ganar