Compendio Algebra

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Tu futuro empieza UNALM 
con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 
 
+ HOM INE 
 
TU INGRESO ES DIRECTO 
twitter.com/calapenshko 
ÁLGEBRA 
 
Rocío Delgado Aguilar 
José Gutiérrez Salazar 
Leandro A. Huanca Velarde 
Nilton Machicao Béjar 
Fausto Marcelo De La Cruz 
Juan Carlos Mesia Mendoza | 
Raúl Mítac Portugal ll 
Armando Quispe Pauyace 
Carlos Torres Matos 
Victor Trejo Cadillo 
 
 
02 
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PRE 
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EA * 
 
Universidad Nacional Agraria La Molina 
Rector 
Dr. Esrique Fiores Mariazza 
Vicerrector Académico 
Dr. JororE Alarcón Novoa 
Vicerrectora de Investigación 
Dra. CARMEN VELEZMORO SÁNCHEZ 
 
TU INGRESO ES DIRECTO 
Centro de Estudios Preuniversitarios 
Director 
Ma. Victor Trejo CADILLO 
Jefe de la Unidad Académica 
M6. TeóriLo CHIRE MurILLO 
| Jefe de la Unidad Administrativa 
Ivo. MicuEL DeLGADO GARCÍA 
Edición 2019 
ÁLGEBRA Sexta revisión: Rocío Delgado Aguilar | ¡ 
É 
GUniversidad Nacional Agraria La Molina Impreso por : GRÁFICA BRACAMONTE N 
Centro de Estudios Preuniversitarios Gustavo Adolla Bracamonte Heredia 
Je. Almiranto Guisso 939 - Josús Maria Callo Eloy Urota N* 076 
Toléfono: 433.5131 /330-7010 / 330-8434 Urb. El Morcurio - San Luis - Lima 
e-mail: prolamolinaGHlamolina.edu.pa Toti: 326-5361 / Lirna 30 - Perú | 
ventas bracamonte.cóm.pe 
Novena reimpresión, diciembre de 2019 
Tiraje: 1000 ajemplares Impreso en al Perú £ Printed in Por 
Darechos reservados. Prohibida su reproducción 
total o parcial sin permiso del editor, J 
ISBN: 978-0977-2049-8-3 4 
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca 
Nacional del Perú N*: 2019.13414 f ME A BA ES 
——= A li. 0 Mi mar TR 
 
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INTRODUCCIÓN 
El Álgebra como parte de las matemáticas, constituye una herramienta 
básica de la ciencia. Su aporte consiste, en utilizar conceptos y algoritmos para 
analizar, comprender, explicar y sistematizar situaciones, que se presentan en 
las diversas áreas científicas. 
El presente texto está conformado por 16 unidades. Cada una contiene 
definiciones, propiedades y algoritmos, asimismo incluye ejercicios de 
aplicación teórico-prácticos, 30 ejercicios resueltos con diferentes grados de 
dificultad y 50 ejercicios propuestos con claves de respuestas. 
La elaboración del presente texto se ha dado con la participación de los 
profesores del curso de Álgebra del Centro de Estudios Preuniversitarios de la 
UNALM, de acuerdo al contenido exigido por esta universidad, lo que lo 
convierte en una herramienta básica para el inicio de los estudios 
universitarios. 
Deseo expresar mi agradecimiento a los profesores por su aporte en la 
ejecución y elaboración de este material didáctico. 
 
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PRESENTACIÓN 
El Centro de Estudios Preuniversitarios de la Universidad Nacional Agraria La Molina 
(CEPRE-UNALM), con mucho entusiasmo, reestructuró y relanzó las publicaciones propias, 
con la finalidad de mantener la mejora continua de sus servicios, dirigidos fundamentalmente 
para el beneficio académico de nuestros estudiantes. 
Te presentamos estos nuevos ejemplares de nuestra colección de 9 libros (Álgebra, 
Aritmética, Geometría, Trigonometría, Biología, Física, Química, Razonamiento 
Matemático y Razonamiento Verbal), revisada y corregida con dedicación por los 
Coordinadores y Profesores de cada uno de los cursos que se imparten a nuestros estudiantes 
en su preparación preuniversitaria. 
Cada libro se viene desarrollando de acuerdo a los contenidos que hoy exige la Universidad 
Nacional Agraria La Molina — UNALM y en diversas instituciones de preparación superior, 
considerado un valioso material académico, que contribuirá a consolidar el conocimiento 
y lograr un mejor aprendizaje. 
Las unidades de cada libro, han sido estructuradas con contenidos teóricos y ejemplos 
que facilitan su comprensión, con un conjunto de problemas resueltos con diferentes grados 
de dificultad a manera de guía práctica, y un conjunto de problemas propuestos también 
con diferentes grados de dificultad con sus respuestas respectivas, con el objetivo de lograr 
en los estudiantes un auto aprendizaje significativo. 
A ustedes jóvenes estudiantes dejo en sus manos esta colección de libros que es el trabajo 
comprometido de la institución para brindarles una formación académica de calidad, que 
sea la base del desarrollo del éxito de su carrera universitaria; por eso el CEPRE-UNALM 
te prepara para tus éxitos del futuro, y que estos estarán en función de la avidez, empeño 
y dedicación que determines para alcanzar tus metas y objetivos. 
Finalmente quiero expresar mi sincero agradecimiento a cada uno de los Coordinadores 
y su plana Docente por el gran trabajo realizado en forma permanente para la mejora de los 
libros y lograr esta nueva reimpresión. 
M6. Sc. VÍCTOR TREJO CADILLO 
Director del CEPRE-UNALM 
 
O5 
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INDICE 
Presentación 
Introducción 
UNIDAD 1 
LEYES DE EXPONENTES 
1.0 Introducción 12 
1.1 Potenciación 12 
1.2 Radicación 14 
1.3 Ecuaciones Exponenciales 16 
Resumen 18 
Ejercicios resueltos 19 
Ejercicios propuestos 26 
UNIDAD 2 
POLIXOMIOS 
2.0 Introducción 38 
2.1 Definición 38 
2,2 Notación polinómica 38 
2.3 Grados de un polinomio 39 
2.4 Polinomios especiales 40 
2.5 Operaciones con polinomios 41 
2.6 Productos notables 43 
Resumen 44 
Ejercicios resueltos 44 
Ejercicios propuestos 52 
UNIDAD 3 
DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
3.0 Introducción 63 
3.1 División de polinomios 63 
Resumen m3 
Ejercicios resueltos 73 
Ejercicios propuestos 34 
UNIDAD 4 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
4.0 Introducción 95 
4.1 Factor primo 95 
42 Criterios de factorización 95 
Resumen 104 
Ejercicios resueltos 104 
Ejercicios propuestos 115 
UNIDAD 5 
FRACCIONES ALGEBRAICAS 
5.0 Introducción 125 
5.1 Minimo común múltiplo (MCM) y Máximo común divisor (MCD) 
de dos o más polinomios. 125 
 
06 
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5.2 Fracción algebraica racional 126 
5.3 Fracciones parciales 123 
5.4 Calculo del límite de una fracción algebraica 130 
Restimen 130 
Ejercicios resueltos 131 
Ejercicios propuestos 140 
UNTDAD 6 
COCIENTES NOTABLES 
Y BONOMIO DE NEWTON 
6.0 Introducción 151 
6.1 Cocientes notables 153 
6.2 Factorial de un número natural y número combinatorio 158 
6.3 Binomio de Newton 160 
Resumen 162 
Ejercicios resueltos 163 
Ejercicios propuestos 172 
UNIDAD 7 
RADICACIÓN 
7.0 Introducción 133 
7.1 Definición 183 
7.2 Radicales semejantes 183 
7.3 Radical doble 184 
7.4 Racionalización 184 
7.5 Cálculo de límites para expresiones irracionales de la forma (5) 185 
Resumen 185 
Ejercicios resueltos 186 
Ejercicios propuestos 193 
UNIDAD 8 
NÚMEROS COMPLEJOS 
8.0 Introducción 203 
8.1 Números complejos, Definición 203 
8.2 Sistema de los números complejos o Sistema C 203 
8,3 Clases de números complejos 204 
8.4 Unidad imaginaria, potencias de exponente entero de la unidad imaginaria 204 
8.5 Plano complejo. Representación geométrica de un número complejo 205 
8.6 Representación de un número complejo: binomial o cartesiana, 
polar o trigonométrica, 205 
8.7 Relacionesentre números complejos: complejos conjugados 
complejos opuestos 208 
38,8 Operaciones con números complejos. En forma binomial. 
En foma trigonométrica 208 
Resumen 211 
Ejercicios resueltos 211 
Ejercicios propuestos 219 
UNIDAD 9 
ECUACIONES LINEALES Y DE SEGUNDO GRADO 
- Ecuaciones lineales 2329 
9.0 Introducción 229 
9.1 Definición de ecuación 229 
59,2 Clasificación general de ecuaciones 230 
 
07 
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9.3 Igualdad 232 
Resumen 233 
Ejercicios resueltos 233 
Ecuación de segundo grado 240 
9.6 Introducción 241 
9.7 Definición de la función cuadrática 241 
9.8 Definición de la ecuación de segundo grado 241 
Resumen 246 
Ejercicios resueltos 247 
Ejercicios propuestos 253 
UNIDAD 10 
ECUACIONES POLINOMIALES 
10.0 Introducción 264 
10.1 Ecuación bicuadrada 264 
10.2 Ecuación binomia 265 
10.3 Raices cúbicas de la unidad 265 
10.4 Ecuación trinomia 266 
10.5 Ecuación polinomial de grado *n" 267 
Resumen 269 
Ejercicios resueltos 269 
Ejercicios propuestos 278 
UNIDAD 11 
SISTEMA DE ECUACIONES 
11.0 Introducción 259 
11.1 Definición de sistema lineal 290 
11.2 Clasificación de un sistema lineal 290 
11.3 Métodos de resolución de un sistema lineal 291 
11.4 Análisis de compatibilidad o consistencia del sistema lineal de dos incógnitas 292 
11.5 Resolución de un sistema mediante cambio de variable 294 
11.6 Método o Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales 295 
Resumen 300 
Ejercicios resueltos 301 
Ejercicios propuestos 314 
UNIDAD 12 
DESIGUALDADES E INECUACIONES 
12.0 Introducción 326 
12.1 Números Reales 326 
12.2 Desigualdades 330 
Resumen 336 
Ejercicios resueltos 337 
Ejercicios propuestos 348 
UNIDAD 13 
VALOR ABSOLUTO 
13.0 Introducción 360 
13.1 Definición del valor absoluto en R 360 
13.2 Propiedad del valor absoluto 360 
- 13,3 Definiciones esenciales 361 
- Resumen 362 
- Ejercicios resueltos 362 
Ejercicios propuestos 31 
 
08 
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UNIDAD 14 
RELACIONES Y FUNCIONES 
14.0 Introducción 381 
14.1 Par ordenado 381 
14.2 Producto cartesiano 382 
14,3 Relación 384 
14.4 Función 389 
Resúmen 393 
Ejercicios resueltos 394 
Ejercicios propuestos 403 
UNIDAD 15 
FUNCIONES ESPECIALES 
15.0 Introducción 414 
15.1 Funciones especiales 415 
15.2 Función cuadrática general 416 
15.3 Construcción de funciones 417 
Resumen 418 
Ejercicios resueltos 419 
Ejercicios propuestos 428 
UNIDAD 16 
LOGARITMOS 
16.0 Introducción 440 
16.1 Función exponencial 440 
16.2 Definición del logaritmo 442 
16.3 Función logaritmo 443 
16.4 Relaciones entre las funciones: exponencial y logaritmo 445 
16.5 Propiedades penerales de los logaritmos 445 
16.6 Cologaritmo y antilogaritmo 446 
16.7 Sistema de logaritmos 446 
16.8 Resolución de ecuaciones logaritmicas 447 
Resumen 448 
Ejercicios resueltos 448 
Ejercicios propuestos As7 
BIBLIOGRAFÍA 467 
CLAVES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 468 
 
09 
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UNIDAD 1 
 
LEYES DE EXPONENTES 
 
 
10 
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OBJETIVOS 
Al finalizar la unidad el alumno será capaz de: 
1. Identificar los diferentes exponentes y el significado de cada una de ellos. 
2. Realizar las operaciones de multiplicación y división de potencias en una misma base. 
3, 
4. Entender que las leyes de exponentes es la base para el manejo de los distintos tipos de 
Expresar un número de diferentes formas, como potencias de una cierta base. 
operaciones y artificios dentro de la matemática. 
Descomponer números en Una ecuación exponencial, para acomodar en forma conveniente 
sus miembros, y aplicar uno de los principios fundamentales con que resuelven aquellas. 
CONOCIMIENTOS PREVIOS 
Para la presente unidad, el alumno deberá conocer previamente: 
Las operaciones básicas con números racionales. 
Las propiedades básicas de la igualdad. 
La resolución de una ecuación de primer y segundo grado, 
CONTENIDO 
1.0 Introducción 
1.1 Potenciación 
1.1.1 Definición 
1.12 Regla de signos 
1.1.3 Principales propiedades o leyes 
1.2 Radicación 
1.2.1 Definición 
1.22 Regla de signos 
123 Principales propiedades o leyes 
1.3 Ecuaciones exponenciales 
1.31 Principios fundamentales de resolución 
Resumen 
Ejercicios resueltos 
Ejercicios propuestos 
 
Unidad 1- Leyes de exponentes 1 
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PRE 
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1.0 INTRODUCCIÓN 
Esta unidad es importante para el estudiante porque le permite identificar, reconocer que 
propiedades se pueden aplicar para solucionar un problema planteado. Además, la expresión 
a” se puede extender al caso que *n” no sea un entero positivo, siempre que el desarrollo 
sea consistente con las leyes de los exponentes. Es decir, los exponentes pueden ser 
enteros positivos o negativos o cero, números racionales o complejos. 
Si el exponente en uno de los miembros de una ecuación incluye una incógnita 
a* =aY, donde a)0 y az1, esta última recibe el nombre de ecuación exponencial. 
Las leyes de exponentes son un conjunto de propiedades referidas a las distintas formas en 
que aparecen los exponentes, el significado de éstos, las transformaciones y operaciones 
que pueden llevarse a cabo con ellos. 
Los exponentes, de alguna forma, se relacionan con dos operaciones algebraicas: la potenciación 
y la radicación. 
1.1 POTENCIACIÓN 
El esquema general (o algoritmo) de la potenciación es: a” =P a” =P 
donde: A, se llama base; n, se llama exponente y P, potencia. 
1.1.1 DEFINICIÓN. Sea ae R y n e N, la potenciación se define asi: 
 
 
a :¿sin=1 
a'=/aaa..... a ¡sin>1 
n Veces 
Ejemplos: 
1) 2-22222-32 
2) (37 =(3)13)(3) = 27 
3) (-5)' =(-5)(-5)(-5)(-5)= 625 
1.1.2 REGLADE SIGNOS: —(+)P" =+ E =+ 
qa en sÑ a a 
Es recomendable que recuerde los siguientes resultados; pues, éstos se presentan en 
determinadas ocasiones, dentro de ciertos problemas, y hay necesidad de expresarlos de la 
forma más adecuada. 
 
Unidad 1- Leyes de exponentes 12 
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2 =4 3? =9 4? =16 52-25 7? =49 
2-8 3% =27 49 64 5% 125 7% 343 
2* =16 3-81 41 256 51-625 7* 2401 
2 =32 3 -243 4 =1024 5% -3125 7" -16807 
2 - 64 3% =729 4% = 4096 5% - 15625 7% -117649 
2” -128 3' -2187 
2% - 256 
2 =512 
21 -1024 
1.1.3 PRINCIPALES PROPIEDADES 
 
1.1.3.1 | Multiplicación de bases iguales | g" g” gm" 
 
 
 
1.1.3.2 | División de bases iguales = =a77 : vaz0 
a 
1.1.3.3 | Exponente Cero a -1 ¡vaz0 (0%= forma indeterminado) 
1 ay” (py 1.1.3.4 | Exponente negativo at. va =D * (5) -(2) 
a 
 
1.1.3.5 | Potencia de una multiplicación (abc) = ag" pr 
 
n n 
1.1.3.6 | Potencia de una división (5) E y b=0 
b 
 
m 
[erp] mr, ego [an] <e79 (2 
(5 " ¿en 
1.1.3.7 | Potencia de potencia 
Podemos demostrar algunas de estas propiedades, haciendo uso de la definición. 
1131 a” a” = (a.a.98.a......a).(a.a.a.a.......a)J-a.a.aa........a=a"*" 
m factores n factores men factores 
 
1.1.3.2 Suponiendo que m,n e N/m>n a a=0, se tiene: 
 
 
 
J m factores men factores n factores 
. 2 » A » A / » . men factores 
a_._29a.988......a _ AAA.4.4.9.4........aA “ana. 8 dama 
a” 2.a8.8.4........a á.4.8.8........d 
n factores n factores 
Unidad 1- Leyes de exponentes 13 
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Realmente, la validez de éstas propiedades 1.1 y 1.2 se extienden para exponentes m y n 
cualesquiera (racionales). 
1.1.3.3 En la propiedad 1.2, supongamos que m=n; entonces: 
ar 
ar 
Ejemplos: 
1. 2,2%7,24m = gmelmeám = 26m = (28)m = 2567 
2 PPG (2.3.5 =30* 
3 (at? =g18= gl 
A ES 
95 
4 22228 
121 
5, 2= = 
eN 
a (ALA 
la) la) Fa” se 
1.2 RADICACIÓN 
El esquema general de la radicación es: YA =q 
Donde: n, es el Índice del radical 
A, es el radicando o cantidad sub radical 
q, esla raiz enésima 
1.2.1 DEFINICIÓN. Siendonm e N 4n > 2, la radicación se define asi: 
 
 
YA=9>0P=A a q esúnica 
 
Además: sin es par, la operación está definida sólo si A > 0 
sin es impar, la operación está definida Y A e R. 
Ejemplos: 
1 %5=5 , pues: 5 = 625 
2. Yea4=4 , pues: 4% = 64 
3. Y2243=-3 pues: (-3)=-243 
i 
1.2.2 REGLA DE SIGNOS: DP =+ a 
meto mm. P=/= no existe en R (Reales) 
1.2.3 PRINCIPALES PROPIEDADES 
Considerando que: a>0,b>0yneNanz22: 
 
Unidad 1- Leyes de exponentes 14 
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123.1 |Raíz de una multiplicación ab = Ya Ub 
e a Ya 
fl= == ——= 1.232 | Raiz de una división bw 
Raíz de una potencia m 
123.3 (Exponente fraccionario) Nam -0a "an ; vmeN 
1.2.3.4 | Raiz de otra raíz n/mia = nm 
Ejemplos: 
al 
1. Calcule: E=64%* 
Resolución: 
Aplicando sucesivamente propiedades y desarrollando de arriba hacia abajo: 
a 1 2 
37 y 1 Ja 2 E 
ge 
234 44 ; 92 ==> > E-=643 -Y64 -Y4? -4, luego: E=4 a 
2. Calcule: E=279”* 
Resolución: 
Siguiendo la secuencia anterior. 
A 4 
a A E == 1 21m E=27? 4 2=- 27 y 2 
3d 3 1.4 92=- => E=27 3 = ==, luego: 
3 Yer 3 3 
j ay 3 7 gy 
a ca [3] (2) 2] 
Resolución: 
Por propiedad del exponente negativo, se tiene: 
1 
sy (47. 207 f27,. 16 201% 
e-[9(3).(3) + s Es) 
| 1642012 ] 3 E-[95. . y > E=(45+4 => E=49? 
=> Ex=237*? W
i 
as
 
|
.
 
 
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e lr (21? pa Y sz 4. Calcule: e- [63] (5) (5) +10] 
Resolución: 
Al igual que el anterior, por propiedades, resulta: 
Me. 2 1 a 
ES I[11 41,8, 10l2 => eE=-[39,2%,%,10)? 
3 2 4 4 4 
1 1 
> E=(27+12+10)% =(49)? = E=7 
Xx 
xXx X+X 
5. Si x” =3 halle el valorde: E= Xx 
Resolución: 
Por propiedad, se tiene que: 
E sl 
ESPA > Eno] > E=(3)%-27 
1.3 ECUACIONES EXPONENCIALES 
Una ecuación exponencial es aquella donde la incógnita forma parte de algún exponente. 
5 
Ejemplos: * 9%*2 -27*-2 e =Y4 
Para resolver una ecuación de este tipo, para los casos más elementales, se usa una secuencia 
de artificios, basados en las leyes de exponentes; junto con los siguientes principios. 
1.3,1 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 
1.3.1.1 ABASES IGUALES, EXPONENTES IGUALES 
 
 
at=ad => x=y : az0;1 
Ejemplos: 
1. El valor de "x" que verifica la ecuación: 9*2 2742 | as: 
Resolu 
Expresando ambos miembros en una misma base: (32/42 = (392 > 324 - 3h 
Aplicando el principio: 2x+4=3x-6 , entonces: x= 10 
9 Entaecuación: 125 =25+1 el valor de *x" es: 
Resolución: 
8 1 
Expresando ambos miembros en base 5: (se) 5 (52) > 59502 
Aplicando el principio: 3x-9=2x+2 entonces: x=11 
 
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1.3.1.2 A EXPONENTES IGUALES, BASES IGUALES 
 
xi=yi=>x=y y x=-y; aeZ' pares 
 
Ejemplos: 
1. Luego de resolver: (2x-— qy2 = (x + 2y+2 , el valor de "x” es: 
Resolución: 
 
Observe que x+2 = (0, pues de lo contrario el segundo miembro sería: 0% (valor 
indeterminado). Entonces, aplicando el criterio: 
Pa=l=xr2 > x=3 
 
Observación: Siendo a = b y ambos distintos de cero: | 4*=b* = x=0 
 
1 
¿2143 
2. Enlaecuación: (3) 523 el valor de “x" es: 
Resolución: 
Como 1.25 «entonces, por la observación: 2x+3=0 => x== 
Pa
lt
a 
1.3.1.3 BASES Y EXPONENTES RESPECTIVAMENTE IGUALES 
 
> x=a ¡a=0;1 
 
Ejemplos: 
1. El valor de "x" en la ecuación: 7 -Y9 , BS: 
Resolución: 
Acomodando el segundo miembro como una potencia, de modo que la base y el exponente 
sean iguales: 
33 24 E. 1 
Iv 
XX 3 —» yr =33 — 
aX =3 3 —+ y? =(37 y3 > 
y (3) 
Luego, aplicando el principio: x= 1 
3 
 
Observación: En general: a" >x=a -azD01Avneo 
 
2. Elvalor de "x" que verifica la ecuación: x" =%YA es: 
Resolución: 
Fijese como se acomoda el segundo miembro, tratando de que su estructura sea la 
misma que la del primero: 
5 2 > 
Pr = 32 pa X = Y2 
De donde podemos afirmar, por la observación anterior, que: x= Y 
53? 
 
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7 
3, Delaecuación: Xx" = 27 2 , el valor de "x" es: 
Resolución: 
En el segundo miembro, descomponiendo 27 y 729 en potencias de 3, se tiene: 
a 27 A A, sy a go 
Luego, se puede afirmar que: x= 3 
RESUMEN 
POTENCIACIÓN: AP =P 
a -sin=1 
a <aasa..... a ¡sin>1 
€ KXÉÁ 
n Veces 
Regla de signos: (+ =+ (Po =+ 
¿e me par LN 
Principales propiedades: m p prop 4) ag ¿men 2 Ear -az0 
a 
Dar E 3)a”=1; a=0 y Ga" =— ¡ax0 
ar 
5) (ab" =a” b” , 6am7P =(a7y”" =amn 
a" a”. 7) (2) 5 5 D0 
 
RADICACIÓN: YVA=4 0 q =A a q esúnica 
 
Además sin es par, la operación está definida sólo si A > 0 
sin es impar, la operación está definida v A e R. 
Regla de signos: "PF =+ PUE 
impar __ P2/- no existe en R (Reales) 
Principales propiedades Vb -Ya.06 dE _Ya : Bb 
+ b , 
E 
 
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+ ECUACIONES EXPONENCIALES 
Principios Fundamentales: A Bases iguales, exponentes iguales 
 
4-2 >x=-y ; a>0 n ax! 
 
A Exponentes iguales, bases Iguales 
 
B=y => x=y ¡x>0 a y>0 
 
Bases y exponentes respectivamente iguales 
 
X=a > x=48 :a20:1 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
Pal gl, e qa 
01. Reducir: EAT 
Resolución: 
Notamos que el menor exponente de 3 en el numerador es: x + 1 y el menor 
exponente en el denominador es: x-4; luego descomponiendo en bases iguales y 
sacando factor común se tiene: 
1 2.23 
Él 3x+1, qerigl ¿9 +32, gx+ 193 A (rara2 25] 
A 
m 
Aplicando la propiedad 5 =a7 resulta: E = 31404) = 35= 243 
. : 2ogan+4 
02. Simplifique: E a 
Pp q gan+5 y 49503 
Resolución: 
225=325%, 25=5* Aplicando la propiedad: (a"b"P =a"? p". resulta: 
4n+874n+8 4n+874n+8 4n+874n+8 a pp 
ganó y, gen+5s Bn 4 +5) gan+532 
Aplicando la propiedad: e <a" resulta: E =*Y5203322n+3) 
a 
 
y | mp 
Aplicando la propiedad: Va"bP = dam abP =anbn, resulta: E=5.32=45 
 
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03, 
04. 
05. 
Simplifique: E= 7 y Ale” 
Resolución: 
1 
Aplicando propiedad "/W/E/a ="""Y/a resulta E- 2 PR 695% 
2 
En el índice: 2222'4-228+2'4-9828' 4 2924 - (2 4-%a 
m e 1 
Aplicando propiedad Va” =an resulta E=6258% 4 -6254 =5 
x ¿nr 
Dadas las expresiones: P= AS 
Q= 0 a 
dx x 
Xx de sl xXx 
R= "xrsi 23 “entonces, ¿a qué es igual: P+Q0+R? 
Resolución: 
Trabajando en la cantidad sub radical de P: 
yo ¿tral Ae Ml a E qa 
Note que: y -3 reemplazando y aplicando propiedades se tiene: 
40 
== dl x 2x 2x-x x Xx 
P= Ey =x yx =x9* - ] = 34-81 
De forma análoga se determinan Q y R.. Por lo que: Q =R = 81 
Por lo tanto: P+QG+R=81+ 81 +81 = 243, 
Resolver: ye = ¿ae 
Resolución: 
En el segundo miembro, el exponente de 4 es: y por eso debemos poner (|). 
Pi 
Sabemos que: 4=2* , reemplazando: (2) AR) _ a 
+3 + 
Luego: 2" 92% 
Como las bases son iguales, entonces: 4%+9 - 2X+4 
+3 
Nuevamente: (2 y TA, y PRA ga 
“De donde: 2x + 6 =x+ 4; despejando x=-2 
 
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2893 ga ir 
06. Alresolver: (87) - (91 ] . Calcule: E= x*-8 , y12-x 
Resolución: 
En ambos miembros, multiplicando los exponentes, resulta: 
gire) = gir) gire 
Igualando exponentes, resulta 17%.172*8 17%+8 . 47% 
Nuevamente, igualando exponentes resulta: 3x +6=36, despejando: x= 10 
Reemplazando, se tiene: E=10? + 10? = 200, 
25 a 
07, Halle"x" si: xXx” =5* 
Resolución: 
25 125 si 55 
Elevando a la 25: [e ) -(5 ) 
Realizando un intercambio de exponentes en cada miembro: 
25 sis 55 
(ey ==(5*) 
Aplicando propiedad: y! =a?* =>y=a, resulta: x% =5* 
Despejando x =Y5 
08. Halle “a” si: nj =N 
Resolución: 
nm rn n n 
Sabemos que: (erp = (a Y y n=Yn qa 
a” 
Reemplazando se tiene: (a ] F e 
Aplicando la propiedad: xo" -aN >x=a, resulta a” =Yh. 
Despejando, resulta a = nn 
09, A partir de: A y p2a-3b _ a el valor de "2a — 3b” es igual a: 
Resolución: 
De la segunda ecuación despejando "b”, se obtiene b= 2? 
Reemplazando en la primera ecuación exponencial resulta: 
22. 728 728 
¿ao _ 20 3 7 alado —= 22 _ 22d 
Como las bases son iguales, igualando exponentes, se tiene: 
2a-3b= A de donde: (2a-—3b? =14? > 2a-3b=14 
10. Untemo standard cuesta x* nuevos soles y un terno especial cuesta el triple que un 
temo Standard. Si se compran xternos standard y x temos especiales, calcule el valor 
de x, si se gastó en total 324 nuevos soles. 
 
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Resolución: 
11. 
12. 
13. 
Costo: Terno standard: x* 
Terno especial: 3x* 
Gasto = (Cantidad).(Costo) > 324 = xx +x.3x 
Efectuando resulta 4.%*! = 324 = 0 =81=3=3% => x=3 
1 
. B 
Si at=4 calcule: E= a?” +[a%”") 
Resolución: 
1 
Acomodando la expresión que piden calcular: E = aña, (ana y8 
Sabemos que: ad =4 => a%=16 
Reemplazando: E = at y, (a16a)1/8 
Aplicando la siguiente propiedad a”” =(a7)" ; (a) =a"" y reemplazando: 
E=(aty + 4% 
Reemplazando otra vez lo anterior: E =4% +16 = 256+16=272 
| mn ñ 
Después de resolver la ecuación: od = 0.25, halle E = xx + 5y 
+X 
Resolución: 
'n ñ n n 
Tenemos: +07 4. dlevandoala 'n” se obtiene 220%, Y 
go + xn” 4 80" 4x" yn 
Multiplicando: (x" +5"pm"=80"+x" = 4%x"4207 =807 4 xP 
Factorizando y agrupando resulta: xnla3|. 80” - 20” = 200/49) 
Después de simplificar. x” =20" , de donde: x=20 
Luego, reemplazando: E =20+12(20 +5)20-4 -PsiB-5 => E II on 
MX mn 
K x 
E a E x x 
El valor de *x” que verifica la ecuación exponencial (e ) = x* ¡eSs: 
Resolución: 
Aplicando la propiedad: (aT"yP =2a" ; m=x*in=x"* 
2 mx pa ye A o e = 
yn 
Pero: n= Yn' =Yn , Luego x=Yn 
a" =>N=X (igualando los exponentes). 
 
qx HN 
14. Si x* =2, el valor de la expresión: R = x . Ss: 
Resolución: 
Por exponentes se tiene que: x* =xx* =2x 
Además: 2% 10% <= xy = x(2)? =4x 
Finalmente:R= x2%% = x9% =(2049P =2% - 256. 
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15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
-5 2 
Resolver 5% =31252%"", 
Resolución: 
at . 
31255 = (5*) 52? 
A bases iguales se tiene exponentes iguales: 5% * 5,5% - 8205 
Una vez más, a bases iguales exponentes iguales: x-5=2x4+5 => x=-10 
a a 
Sabiendo que ab=1 ; simplifique: E =(a>)” (pa)? le)”] loey] 
Resolución: 
Efectuando los signos de colección, se tiene: 
E=(a)”.(b)”.(am9)” (pe) > E=(aby ab? => E=(abJPaby 
Reemplazando datos se tiene: E=1 
mg mas 
manos 
Simplifique: E= 
Resolución: 
Expresando en función de un solo radical el numerador Y denominador, se tiene: 
(m2 (0+2(0+) 0,7 as 
E= == >» E= =1 
(042093 245 (n+2](n+3 qna? 
AL | ab ,Jab' 
Reduzca: E= is 
Resolución: 
Efectuando operaciones de exponentes de bases iguales se tiene: 
5 3 1 1 
E= | D-+ | D.> E=Yab) + bi(ab)! > E=(ab) 1b.(ab)i 
(ab)a (ab)a 
1 1 
Finalmente: E=(ab) 4(ab) /b=(abb=b => E=b 
1 
Calcule: E-(3)" Va /16 (321125 . 
 
Efectuando operaciones de exponentes se tiene: 
 
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20. 
21. 
22. 
23, 
24. 
E= (2): 2/2/25 /27 =(2 y A (2)1s 19/249 
E=(2y16.1$28 =(2)16.(2)i =(2)16 =(2? > E=8 
 
 
 
ab 
Calcule: E-(5) : Sabiendo que: 2%'P=6? y 3% = 3(2>*) 
Resolución 
a+b a+b b b E 
E n= 2 E 2 = 6 == 8 = 5 = 2 => E = A * 
3 qab qa 3b 3(2" ) qb gas 6 6 
Halle el valor de: E= a+1 + iia ; Sabiendo que 4 = Y8 
2b+3 b+1 
Resolución: 
22 23 2 
Por la condición inicial se tiene: 2% =2P >= .b > a= 3? , Luego: 
2 2 
joer a(gjp+2 2+3_,2Ab+1)_1 
—2b+3 b+1 3XA2b+3) b+1 3 
e = E= 
3 L
u
 
| 
= 
se 
Si: a* =2 ¡ entonces, halle :E = (a? ) 
Resolución: 
Mediante propiedades de exponentes tenemos: 
aja y? atan 
Ela) > E-l(ar)” -(29/90-16 => E-=16 
Halle el valor de"a"en: a3d?0 ¿320 ,¿30, . ¿a _gA!: 
81 veces 
 
Resolución: 
Efectuando operaciones se tiene: 
8182 -gP1 — ¿2 go > ¿37 > ¿0-30 > a-3 
Halle E=x+y, sabiendo que: y" =x e Y yo 
Resolución: 
De la primera condición: y*=x = y=Yx 
E E 
De la segunda condición se tiene que: xY =y* 
a 
 
Luego: xY =x** > == >y=X% 
Xx 
Reemplazando en la primera condición resulta que: 
1 
1 1 1 á 3 
mm? = Xx == =— =— e _— =— ASA > 2 z > X 5 0 z' Finalmente: E=x+y A 
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25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Hallar el valor de "x" en: (x+ q Pedo) =2 
Resolución 
e 2 > to? 22 > [0 a > (x+1 =2 
Finalmente se tiene que: x+1=Y2 > x=Y2-1 
Si: ja? =2 “entonces, halle: E=a? +3 
1 1 
39% =2 07 4 > a” =16; luego, E=164+3=19, 
Si: CAE -x+5=0: entonces. hallar E=x? +2. 
Resolución: 
2 2 
Ex 5 > 16=(x 5 > 2% (15 3 
Luego se tiene que x-5=2 => x=7, finalmente: E= 49+ 2= 51 
a ML 
Six * 2 8 ; halle el valor de: "x", 
Resolución: 
Multiplicando y dividiendo el exponente del segundo miembro por Y/2, se tiene que: 
ME 4 1 
O Y Y 
1 
xx -2 > -2 2230" -(3) (ay (3) 
si 9” 0,125, halle el valor de "x”. 
Resolución: 
1 y 3 ' 114 1 1 eta Wo Pol x 32» ] -(3) = XxX ax ] -(3) == Xx => > X= 
Es
 
soluci 
2 6 
A >. y" 5x2 > *=42. 
 
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CE 
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D1. 
D2. 
03. 
DA. 
05. 
Z A). 
B) 242 
y2 > 
-D) y2 
Ej) 2 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
Calcule el valor de “a”; si (a? y ( a? y =(a5)' (a? y (a
y 
A) 4 
B) 5 
G) 3 
D) 2 
1 El — 
13 
Calcule el valor de "x"en: 2/a %/a “Ya “Ja =a'; sabiendo que a > 1 
O 
—
 
0
B
a
u
N
-
—
 
si Y VE TZAR ZA - a Nrza ; halle el valor de E = q 
O —
 
D
m
 
w
h
o
 
ed
 
1 =1 
Halleel valor de: E= po” er ; sabiendo que: bt/b => 
A) 7 
B) 2 
c) /2 
1 
Da 
E Y 
Halle el valor de “x" en: “Y2= 048, 
 
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CE 
 
| PRE 
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(ao e] 06. Si <=Y2; entonces, halle el valor de : E 
[(c%) a] 
A) 64 
B) 32 
C) 28 
D) 16 
E) 8 
07. Simplifique: E=, Y p4Y_ 
 
ay" 5 
08. Halle el valor de "abc"; sabiendo que; a=Y Y, pel ) 0 
A) 3% 
B) a 
Cc) ex 
D) e 
E) 3x 
o (ab"") ab+b? El 
09. Simplifique: E= (ca) (2 
S
I
T
O
 
hp 
O
 
2 q? 
10. Señale la relación correcta en las siguientes expresiones: M= (( ay) Pala)”; 
y+ 
N=(a)” ; sabiendo que "a" es un entero positivo diferente de la unidad. 
A) N>P>M 
B) P>=N>M 
C) M>N>P 
D) N>=M>P 
E) M>P>N 
 
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X4 +. xr 
11. Si 3 2-4 2-3 2 ¡entonces, halle el valor de E=x?. 
1 
ay 2 
) 2 
1 
Bm 
) 4 
c) 2 
D) 4 
E) 8 
12. Halle el valor de x*; sabiendo que: yea? 
Aj) 12 
B) 10 
C) 8 
D) 6 
E) 4 
p+1 
13. Si -27* =-4*? : entonces, halle el valor de E-*? ya? 
A) 1 
B) 4 
Cc) /2 
D) 2 
1 Ey? 
13 
y 
14. Halle el valor de E=x-+1 en: ap E 
5 ay 2 
15 
2 By £ 
) 5 
3 oy 2 
)3 
2 Dy £ 
) 3 
5 
E) 3 
dE 
15. Halle el valor de "x"en: Ed =2, 
A) -1 
B) y2 
O) 2-1 
ma 2 
7 
E) 1+42 
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16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Halle el valor de "x"en: 2 4/2 Jar =Y2 
A) 2 
B) -1 
Cc) 2 
D) 3 
E) 5 
Sabiendo que: x* -Y/4, halle el valor de: E =x7! 
1+E Za 
Halle el valor de Vx en: Y2? =82""" 
A) y2 
B) 43 
Cc) 8 
D) 411 
E) Y7 
Halle el valor de xó en: 3% - 302-216 
A) 9 
B) 12 
C) 14 
D) 16 
E) 25 
¿1 
yo 
Halle el valor de "x" en: (x+ yan? =2 
A) y2 
B) 42+1 
GC) Y2-1 
D) Y2/2 
E) 2/2 
 
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29
CE 
PRE 
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xx? (é UM 
21. Reduzca: EE=-———__—__—-. 
A y yt 
AJ Xx 
B) x 
C) 118 
D x 
El x 
ay 2 A 
22. Simplifique: E= 2
 
2. xP +2 
x= A) 
B) 
Cc) 
D) 
E) 
N
E
S
 
Es
 
>=
 
 
23, Reduzca: 
 
A) x 
B) x? 
C) 
D) 
E) 
24. Calcule el valor de: 
(8 Ni 
A) 2/2 
B) yY2 
Cc) 43 
D) 342 
E) 243 
mM 
mx 
Bb
 
Y
 
ha
 
CAS 5] 25. Efectúe: E >; > 
FG) 
 
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26. 
27. 
28. 
29. 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Halle el valor de “x"en: (4125 
y? 
Xx 
y" 
= yalsy 
O
A
 
t
y
 
dz 
pe] xa entonces, calcule el valor de; E =Lx256 
0
0
 
0
d
 
X= 5+/6+/6+/6+... «entonces, halle el valor de E=15x + %15x +... 
H
b
 A
 
Halle el valor de "a" en la expresión para que se cumpla que "x"se repita 5 veces 
como factor: b- 
2 
z 
C) 
D) 
E) 
x ye y a o 
0 ya 
u
n
]
 
1 
R
I
0
 
t
o
l
 
Í
A
 
m
i
r
o
 
 
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4x1 
30. Halle el valor positivo de "x” en la ecuación: 2x+1= l 1) 
A) 
B) 
Cc) 
D) 
E) 
Xx 
U
A
 
a
j
o
 
aj
 
tw
] 
0
)
 
31. Halle el valor de"x"*" en la ecuación: Yx**? =9 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
32, Si 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
33. Halle el valor de "x?"en; (x-42) 
5
5
3
8
5
"
 
 
pr 
pan 
E= | z | : señale el exponente de "x"después de simplificar la expresión 
7-7 
apar ) 
A) 4 
B) 8 
C) 
| D) 
(Pp ¿El 
9 
12 
16 
 
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34, Halle "xy"; sabiendo que: x=y*; y! =x* 
35. 
36. 
37. 
38. 
A) 
B) 
E) 
D) 
M
6
)
 
0
]
 
05
/6
4 
00
] 
M
0
]
 
le 
E) 
3 
13% 2 
Calcule el valor de "x" en: 21 243 
o 
ll
 
tO
 
cn
 
(0
 
Halle "x?"en: 2/42 - 2% 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) a
b
l
a
 
N
e
 
Halle el valor de "x+3" en: x=y2 2x2 Y2x...; x>0 
3 
5 
E) 7 
9 
1 
1 1 A 
Halle el valor de "x"en: d yal 246) 
A) 1 
B) 2 
Cc) 1 
-D) 43 
E) 4 
 
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39. 
41. 
42. 
Halle el valor de "n" para que se cumpla la igualdad: 2" = a A az. 
A) 
B) 
Cc) 
D) 
E) 
2-42 
2+/2 
2/2 
y2 
2 
2-1 
2 
Halle el valor de "x" en: "VTE-x4+5=0. 
A) 
8) 
Cc) 
D) 
E) 
3 
5 
7 
9 
11 
Halle: E=3*+2* ; sabiendo que: 35% 5%-1 451+9x. 
A) 
B) 
Cc) 
D) 
E) 
62 
57 
43 
35 
28 
 
si 
A) 
B) 
E) 
D) 
E) 
Si: 
A) 
B) 
E 
E) 
(xP 222 ; entonces, halle: E=Ux. Yx Y... 
3 
43 
43 +1 
2/3 
y2 
pa a. 1P 
(x+1) % =4y2 Y2 W2......... ; halle "x*" 
ta 
242 -1 
42 +1 
3-242 
y2 
 
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45 Ss: xi tx? 42 : entonces, halle el valor negativo de "x". 
A) 8 
3 | o 
Hx 
46. Si xXx” =16; entonces, halle. el ra Jo Jak) 
A) 64 
B) 81 
C) 32 
E) 256 
Xx A 
47. Hallar “x"en: (3) -$ 
A) 2 
B) y2 
o. 24 
D) 
E) 0 
lía
 
A 
48. Hallar E=Yx; sabiendo que: ez A . ol
 
A) 912 
B) 9-16 
c) 2% 
D 2% 
Ey 2% 
49. Si 8*-8*”?-14; entonces, halle el valor de E=(3x)" 
A) 2%2 
a) 16Y2 
c) 3Y8 
-D) 4Ya 
E 8Y2 
 
Unidad 1- Leyes de exponentes 35 
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50. Si: “2/Y2 =2*?: entonces, halle: E=+5 
Xx 
A) 2 
B) 4 
C) 6 
D) 8 
E) 10 
 
Unidad 1- Leyes de exponentes 36 
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UNIDAD 2 
 
POLINOMIOS 
 
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OBJETIVOS 
Al finalizar la unidad, el estudiante será capaz de: 
1. Utilizar de modo preciso la definición y la notación polinómica 
2. Reconocer las características y propiedades de los polinomios, distinguir sus elementos, 
determinar sus grados. 
3, Realizar operaciones básicas con polinomios. 
4. Utilizar los productos notables, en forma correcta y cuando sea necesaño, para efectuar 
la multiplicación. 
CONOCIMIENTOS PREVIOS 
Para la presente unidad, el estudiante debe conoce previamente: 
+= Las leyes de exponentes. 
* Reducción de términos semejantes. 
= Resolución de ecuaciones lineales y sistema de ecuaciones elementales. 
CONTENIDO 
2.0 Introducción 
2.1 Definición 
2.2 Notación Polinómica 
2.2.1 Evaluación de un polinomio 
222 Propiedades: Suma de coeficientes y Término independiente 
2.3 Grado de un polinomio 
2.3.1 Tipo de grados de un Polinomio 
2.3.1.1 Grado Relativo 
2.3.1.2 Grado Absoluto 
2.3.2 Grado en las operaciones algebraicas con polinomios 
2.4 Polinomios especiales 
24.1 Polinomio Ordenado 
24.2 Polinomio Completo24.3 Polinomio Completo y Ordenado 
24.4 Polinomio Homogéneo 
245 Polinomio Idénticamente nulo 
246 Polinomios Idénticos 
24.6.1 Propiedades 
2.5 Operaciones con polinomios 
2.5.1 Adición de polinomios 
25.2 Sustracción de polinomios 
25.3 Multiplicación de polinomios 
25.31 Métodos de Multiplicación 
2.5.32 La Regla Diagonal 
2.6 Productos Notables 
Resumen 
Ejercicios resueltos 
Ejercicios propuestos 
 
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2.0 INTRODUCCIÓN 
Los matemáticos para poder expresarse hacen uso de fórmulas donde aparecen simbolos. 
Estos pueden ser sustituidos por números reales. El valor de la velocidad de la luz siempre 
es el mismo, aproximadamente 300000 km por segundo, o sea es una constante. Mientras 
que la velocidad de un auto varia con el tiempo, según la aceleración que lleve, es decir es 
una variable. 
2.1 DEFINICIÓN 
Se llama polinomio a la suma finita de expresiones de la forma: ax" (si el polinomio tiene 
una sola variable) ó de la forma: ax"y"” (sí el polinomio tiene dos variables). 
donde: a: es una constante, a la que se denomina coeficiente. 
x, y son las variables. 
m, ñ: son los exponentes de las variables, los cuales son enteros no negativos, 
En particular, al término ax" se le llama monomio de variable *x" y al término ax"y", monomio 
de variables "x” é “y”. 
2.2 NOTACIÓN POLINÓMICA 
Ptx) : polinomio de una sola variable "x", 
Poy) ; polinomio de dos variables "x” e *y”. 
Ejemplos: 
1 Pix) =13-2x+7, es un polinomio de variable x; donde los coeficientes son los números 
reales: 13; -2; 7. 
2. Qíxy) =7%y* -4x%y* + 11x%, es un polinomio de variables x é y; donde los coeficientes 
son los números reales: 7; —4; 11. 
Un polinomio de variable única "x”, tiene la siguiente forma general: 
Pix] FA a a nt +HaniX+an; an 0. 
Donde: x:;esla variable 
n : es el grado del polinomio, n e Nu (0)=Na 
a, ,a2,..., an : son los coeficientes 
ap: es el coeficiente principal, an = 0 
a, : es el término independiente. 
Ejemplo: En el polinomio: P(x)=-1Mé +34 +16x7 + 41 + 20x +35 
donde: n=5; ap=-10; an=35 
10; 3; 16; 4; 20: 35 : son los coeficientes 
Al último coeficiente 35 se le llama término independiente. 
 
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2.2.1 EVALUACIÓN DE UN POLINOMIO 
Ejemplo: 
Sea: PO)=- +2 +x-6 
Si x=-1, entonces: P(-1)=-2-1P + A-1P +(-1)-6=-2. => P(=1)=-2 
Six=2, entonces: —P(2)= 42 + a2y +(2)-6=-20 => P(2)=-20 
2.2.2 PROPIEDADES 
Si P(x) es un polinomio, entonces se cumple que: 
P(1) = suma de coeficientes del polinomio 
P(0) = término independiente del polinomio 
Ejemplo: 
Para el polinomio: P(x)= 2 + 17% +3x-4 ,se tiene que: 
*P(1)=2+17+3-4=18 = Suma de coeficientes del polinomio 
*P(0)=0+0+0-4=-4 = Término independiente . 
2.3 GRADO DE UN POLINOMIO 
El grado de un polinomio o de un monomio está relacionado con los exponentes de sus 
variables; esto quiere decir que el grado es siempre un número entero no negativo. 
2.3.1 TIPO DE GRADOS 
2.3.1.1 GRADO RELATIVO 
Está referido a una de las variables del polinomio, se denota por GR, ó GR, y está dado por 
el mayor exponente de dicha variable. 
Ejemplo: Sea el polinomio: P(x, y) =Yy” + x0y?, 
Entonces: GRx = 18 (El mayor exponente respecto a x) 
GRy = 21 (El mayor exponente respecto a y) 
2.3.1.2 GRADO ABSOLUTO 
Está referido a todas las variables a la vez, se denota por GA(P) y está dado por la mayor 
suma de exponentes de variables en uno de sus términos. 
, , " A] 11 q Ejemplo: Sea el polinomio Pyy;y; ca NES +5 
En cada término: GA = 30 29 322 33 
Finalmente: GA(P)= 33 
 
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2.3.2 GRADO EN LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS CON POLINOMIOS 
L. GA(P-Q)=GA(P)+ GA(Q) Ejemplo: (2x3 X7x") => GA=3+5=8 
II. GA(É-)=GA(P)-GA(Q) Ejemplo: 2x1 +5x* > GA=4-3=1 
ll, GA(P")= n-GA(P) Ejemplo: (+5)? => GA=2(7)=14 
Iv. ca (ve) = 48) Ejemplo: 3x% +1 > GA =h=6 
2.4 POLINOMIOS ESPECIALES 
2.4.1 POLINOMIO ORDENADO 
Con respecto a una variable, es aquel donde los exponentes de dicha variable están ordenados 
de menor a mayor o viceversa (en forma creciente o decreciente). 
Ejemplo: P(x) = 227 + 544 330 es ordenado en forma creciente. 
Q(x) = -30x19+ 21x0+ 6x$ es ordenado en forma decreciente. 
2.4,2 POLINOMIO COMPLETO 
Con respecto a una variable, es aquel polinomio donde dicha variable presenta todos sus 
exponentes desde O hasta el mayor incluso. Un polinomio de una sola variable P(x), completo 
y de grado n, posee n+1 términos diferentes de grados menor o igual que n. 
Ejemplo: 
P1L)=7 + 31? +13x +19, es completo, pues siendo de 4? grado tiene 5 términos 
diferentes, cuyos grados son menores o iguales que 4, 
2,4,3 POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO 
Con respecto a una vaniable, es aquel que tiene las caracteristicas de los dos polinomios 
anteriores. 
Ejemplo: Los siguientes polinomios de una sola variable, donde ningún coeficiente es cero, 
son completos y ordenados en forma decreciente: 
 
P(x) = anx + as De 1” grado 
P(x) = apx? + as x+ az De 2* grado 
PO) = 80 no + d1xX 24 ax + as De 39 grado 
P(x) = aox'+ ax?+ and + asx+ as De 4* grado 
P(x) = a+ apta 074, + ap + an De n - ésimo grado 
2.4.4 POLINOMIO HOMOGÉNEO 
Es aquel polinomio reducido que posee dos o más términos y dos o más variables, donde 
lodos sus términos son del mismo grado absoluto. 
Ejemplo: Py) = 7x4 y? + Dé y? day? es homogéneo de 7” grada, pues todos sus 
términos tienen el mismo grado absoluto 7. 
 
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2.4.5 POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO 
Se le denomina también polinomio cero y es aquel que, luego de ser reducido, se caracteriza 
por tener todos sus coeficientes nulos o ceros. 
Ejemplo: Si Py, = ax? + bx + c es idénticamente nulo, entonces: a=0, b=0 y c=0 
2.4.6 POLINOMIOS IDÉNTICOS 
Dos polinomios reducidos, del mismo grado y con las mismas variables, se dice que son 
idénticos si y sólo si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales. 
Ejemplos: 
Los polinomios: PL) = 16? + 45x +98 y Q(x) = 98 + 450 + 16%, 
son idénticos y se denota ask. P(x) = Q(x). 
Si Pb)=ax+bé+c y Q(í) = 9 + 31? +20, 
son idénticos, entonces se tiene que: 
=> 1204 bc 94 312420, YxeR 
>a=9 b=31,c=20 
2.4.6.1 PROPIEDAD: Para cualquier sistema de valores atribuidos a sus variables dos 
polinomios idénticos siempre tienen igual valor numérico. 
Ejemplo: Si 12+2x+1 = (x+ 1), entonces para x= 2 
2+22)41 = (2+1P 
9=8 
2.5 OPERACIONES CON POLINOMIOS 
2.5.1 ADICIÓN DE POLINOMIOS 
Dados dos polinomios: P y Q, de grados m y n; para obtener la suma de ellos se suman 
algebraicamente sus términos y se reducen los términos semejantes (aquellos términos de 
igual parte variable). 
Notación: —P+0=S5, donde: GA (5) < máx(m:n) 
Ejemplo: Sean: P(x) =7x*+ 11x-31 y O) = 34 + 19x +45 
donde: GA(P)=2 y GA(Q) = 3 
S(x) =P(x) + 00) =34 +7x? +30x +14, donde: GA(S) = 3 
Ejemplo: Sean A(x)= 10x?- 29% + 46x +33 y B(x)=-10x*+ 20% + 38x + 21 
S(x) = A(x) + B(x) = 10x* — 29x7 + 46x + 33 +(- 10x! + 209 + 38x +21) 
5) = Ox! + 0x7 + 84x + 54 
 5(x) = B4x +54, donde: GA(S)= 1 
NOTA: Observe que la suma resultante es de grado menor o igual que el máximo grado de 
uno de los sumandos. 
 
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2.5.2 SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS 
Dados dos polinomios: P y Q, de grados m y n; la diferencia o resta se realiza asi: 
Notación: P-Q=P+(-Q)=D, donde: GA (D) <máx(m;n) 
Ejemplo: Sean: A(x)=49%%*-7x?+16 y B(x)= 59 - 18x?- 30 
> Dix) = A(x) - B(x) = 49x7 - 7? + 16 - (59? — 18: — 30) 
> D(x)=49%%-— 7x2 + 16 - 59% + 18x? + 30 
=> D(x)=-104+11+46, donde: GA(D)=3 
2.5.3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 
Dados dos polinomios A y B de grados m y n, llamados factores, se obtiene un tercer 
polinomio P llamado producto. 
Notación: AB=P, donde: GA(P)=m=+n 
2.5.3.1 MÉTODOS DE MULTIPLICACIÓN 
Los métodos de multiplicación se sustentan en dos axiomas de R, que se extienden también 
para polinomios: 
Axioma de conmutatividad : Ya,b : ab=ba 
Axioma de distributividad : va, b,c:a(b+c)=ab+ac Ó (a+b)jc=ac+ bc 
Ejemplos: 
1 5 1) = 5248 51 = 205 + 55xé 
2. (2x+ 7) (Ox+ 5) = (2x+ 7) 9x + (2x+7)5 =2x9x+ 70 +215+7.5 
D (2x +7) (9x + 5) = 18x? + 73x + 35 
3. Dy (15 + 39) = 2x%y (15) + 2x0 (3y") = 2xy + 6x3y7 
4. (34447421) (49411) = (39470421497) + (374742192) + (34324474 21)(11) 
= 124 20 B4x?- 27-63 189x + 33% + T7x + 231 
= 12040 4 54 112x + 231 
2.5.3.2 LA REGLA DIAGONAL 
Una disposición usual para ejecutar el producto de polinomios mediante la Regla de distribución 
es la variante de orientación rectangular, la cual se expone a continuación. 
Ejemplo. Efectuar: E = (342 +7x +21) (42 - 9x + 11) 
Resolución: 
1) ono rectangular 2) EAS una fila 3) De modo análogo 
del —9x + 11 de = 11 del —Ox 11 
se] 
a A 12 2 39 1H -2hé 33 
28 —63% 77x 
84 -—189x 231 
Luego de sumar términos semejantes por las diagonales, resulta: 
Es 12 +x +54 -112x + 231 
El ejemplo desarrollado fue el ejecutado anteriormente por lo que se tiene los mismos 
resultados. 
 
 
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2.6 PRODUCTOS NOTABLES 
Son resultados de ciertas multiplicaciones que se anotan directamente, sin necesidad de 
usar los axiomas de conmutatividad y distributividad, pues sólo basta reconocer la forma 
que presenta dicha multiplicación. Estos productos están determinados por las siguientes 
identidades algebraicas. 
 
Trinomio Cuadrado Perfecto 
(a + bP = a? + 2ab + b? 
(a —bY = a?- 2ab + b? 
 
Diferencia de Cuadrados (a + b) (ab) = a?-b? 
 
Identidades de LEGENDRE 
(a+ bP + (a —- bY = 2(a? + b?) 
(a + bP —- (a— b) a 4ab 
 
Desarrollo de un 
Trinomio al cuadrado 
(a+b+c)=a?+b*+c?+2ab+2ac+2bc 6 
(a+ b+ c)?=a? + b?+c? + 2(ab + ac + bc) 
 
Desarrollo de un 
Binomio al Cubo 
(a + bP =a?*+ 3a*b + 3ab?+ b? 
(a + b)? = a?+ b?+ 3abía + b) 
(a — b)? = a*-3a%b + 3ab?- b* 
(a-b)' =a?-b?*- 3ab(a — b) 
 
Suma de Cubos (a + b) (a? — ab + b?) = a? + b? 
 
Diferencia de Cubos (a —b) (a? + ab + b?*) = a? —b? 
 
Desarrollo de un 
Trinomio al Cubo 
(a + b + c)? = a? + b?+ 0? + 3(a + b) (a + c) (b+c) 
(a+b+c)? = ad+ b?+ c? + Ia+b+c)iab+bc+ac) - 3abe 
 
Producto de Multiplicar Binomios 
con un Término Común 
(+ a) (+ b) =é+ (a + b)x + ab 
(e+a)O+b)bRc) 3 + (arb+cpé+(ab+bc+ac)x + abc 
 
Identidades de ARGAND 
(a? + ab + b?) (a? — ab + b?) = a! + atb? + b* 
(?+a+r1)(a-a+1)=at+at+1 
 identidad de GAUSS (a+b+c)(a*b*+cab — ac — bc) = a? + b? + 0? 3abe Además: Sia+b+c=0 => al+b*+c?*=3abc 
 
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RESUMEN 
Los pollnomios son expresiones algebraicas racionales enleras de dos o más términos. 
A los polinomios se les denota de la siguiente forma: P(x)., Py), ... 
Los polinomios poseen grados relativos y absolutos y estos son enteros y positivos. 
Los polinomios especiales son: Polinomios ordenados, completos, homogéneos, idénticos o 
idénticamente nulo. 
Con los polinomios podemos adicionar, sustraer, multiplicar y dividir, este último se estudiará 
en el siguiente capitulo. 
Los productos notables son expresiones que nos permile escribir el resultado de una 
multiplicación en forma abreviada. 
EJERCICIOS RESUELTOS 
01. Simplifique: E= (a +b) (a — b) + (a + 3b) (a — 3b) + (a + 5b) (a — 5b) 
Resolución: 
Ejecutando por partes. 
(a +b) (a- b)=a?- pb? 
(a + 3b) (a — 3b) = a? - (3b)? = a? - 9b* 
(a + 5b) (a— 5b) = a? — (5b)? = a? — 25b* 
Luego, reemplazando: E =a?-b? + a?-9b*+ a?-25b? => E=3a?-35b? 
02. Reduzca: K= (a+ b) (a? - ab + b?)+ (a—b) (a? +ab + b?) 
Resolución: 
Usando la suma y diferencia de cubos: 
(a + b) (a* — ab + b?) = a? + b* 
(a — b) (a? + ab + b?) = a? - b? 
Luego: K=a+b+ai-bd > K=2a8* 
03. Sia=3 2 y b=1, calcule: E=(a+b)'+(a-b)' 
Resolución: 
E= [(a+b)?P +((a-b)P?P => E=(a?+b?*+2ab) + (a? + b?- 2ab)? 
De los datos: a= 34/2 > a=(3/2P=92)=18 y b=1 > b?=1 
Sustituyendo: E = [18+1+2(3 4/2 )(1)P + [181-2342 1? = (194642 P + (19-642 y 
Según Legendre: E=2[19+(6/2] = E=2[361+72] => E=2[433]=866 
 
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04. Si: Fix =%+3x+5 y G(x)=2x+1 Halle: F(G(x)) 
05. 
07. 
Resolución: 
1) Mediante la Regla establecida: — F(G(x)) 
2) Sustituyendo: G(x)=2x +1 : F (2x + 1) 
Sustituyendo en F(x) : = (2x+ 19+3 (2x+1)+5 
3) Desarrollando : = 4 +4x+1+ 6x+3+5 
“. F(G(x)) =4x2+ 10x +9 
Si: F(x+1)=13x+7 y G(2x-1)=6x+11 Halle: F(G(x)) + G(F(x)) 
Resolución: 
De los datos: F(x + 1)=13x + 13-13+7=13 (x+ 1) -6, entonces F(x) = 13x — 6 
Además: G(2x-— 1) =6x-3+3+11 
G(2x- 1)=3 (2x-— 1) +14, entonces G(x) = 3x + 14 
Luego: 
F [G(x)] = F [3x + 14] = 13 (3x + 14) -6 = 39x + 182-6 =39x+176 y 
G [F(x)] = G [13x 6] = 3 (13x — 6) + 14 = 39x-18 +14 = 39x-4 
Sumando: F(G(x)) + G(F(x)) = 78x + 172. 
si F (Ho) =15x+2, Halle: F(F(x)) 
Resolución: 
Del dato: F (3 x4 5) = 15x +2, haciendo cambio de variable: 1x42 =a 
- 
an A 2 6 
Y despejando x= 3=*%5 = NE entonces: 
Fla) = 15 (sa-7) =459-18+2 =45a-16 
Luego: F(F(x)) = F(45x — 16) = 45 (45x — 16) - 16 = 2025x - 736 
Si F(x) es de primer grado y cumple con F(x+1) + [F(2x + 1) + F(3x + 1) = 42x + 24 
Halle: E = F(x) + F(F(00) + F(F(F(0). 
Resolución: 
Por ser de primer grado: F(x) = ax + b 
5 a(x+1)+b, + a2x+1]+b + a(3x+ 1)+b>542x+ 24 
F (x+1) F(2x + 1) F(3x + 1) 
> axtatb + 2Zaxra+b + 3ax+a+b=42x +24 
> bax + Ja + 3b =42x +24 
 
Unidad 2 - Polinomios 45 
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entonces 6a=42 »/ 3a+3b=24; de donde: a=7 y b=1. 
Luego: F(x)=7x+1 
Se calcula el valor de: F(F(x)) = F (Tx + 1) =7(7x+ 1) +1=49+ 7 +1=49x +8 
> FE(F(F(x))) = Fl49x +8) =7 (49x + 8) + 1 =343x + 56 + 1 =343x + 57 
Finalmente, reemplazando, se tiene: 
EsT7x+1 +49x+8 +343x +57 = 399x +66 
 
 
08. Halle el número de términos del polinomio completo en: 
PO) = (MP0 m2 ant 
Resolución: 
Como (m — 6) < (m — 5) entonces Plx) es además ordenado en forma ascendente, 
Luego: 
m-6=0> m=6 > P(x)=5+4x+ 3 +2 +x 
+. P(x) tiene 5 términos 
09. Si x+x"?= 5, entonces el valorde: E=x"+x*% ,es: 
Resolución; 
(+ x= ES 424x235 > x4x?=3.. (a) 
(+1 = 5 > ed a a) =5/5 
4x4 3/5 =5/5 > x+x*=245 ......(B) 
De (6).(B): (2 +x?)(0+x3)=3(2/5) > E+xtex+x?= 6/5 
> exo! = 6/5 > 54x5+ 4/5 = 645 
Finalmente: E=x"+x5=5/58 => E=545 
ni Án n n 
10. St (5) »(Y) =62 , calcule: E= Y 
y x xr. y" 
Resolución: 
xx" yn 
De la condición: — +L-=62 => x%'+ y?" =62x" y" 
y" gn 
Sumando miembro a miembro 2x" y": xM4+ 2x7 y" + y? =62x y" + 2x7 y” 
m 
SD (My =64x0y" > xy" =8B xy" > eS a 8 
ay 
Remplazando en E resulta: E= Y8 =2 
Unidad 2 - Polinomios 46 
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11. 
12. 
13. 
14. 
Si el polinomio: P(x)=3xP — 403 , 7:18 es ordenado y completo ascenden- 
temente, calcule el valor de: —E=2m-3n+4p 
Resolución: 
Por ser P(x) completo y ordenado en forma ascendente, se tiene que: 
p-n+5=0>p=1, luego: n-m+3=1>n=6 
m-6=2-=>m=8, Finalmente: E=-16-18+4=2 
Halle el grado de homogeneidad del polinomio: P(x, y) =8x "y" — 5xmM+8yn+4> sabiendo 
que el grado respecto de "x "es menor en dos unidades que el grado respecto de * y *. 
Resolución: 
Por ser el polinomio homogéneo se tiene que: m+2N=m+n+10—>n=10 
GR(x) =m+n—>SGR(x)=m>+10, luego: GR(y)=n+4 —>GR (y) =14 
Por condición : GR(x)-GR(y)=2 +m+10-14=2 ->m=6 
Finalmente el polinomio tiene su grado de homogeneidad igual a 26. 
Si el polinomio: P(x,z) =x9"222 4 870 _ 50-175 _ 7 b+278+ es completo y orde- 
nado en forma decreciente respecto *x "y en forma creciente respecto de *"z" halle 
el grado de homogeneidad del polinomio. 
Resolución: 
Por ser homogéneo, el grado de homgeneidad será: a+b+3 
Por ser decreciente respecto de la variable "x":b+2=0-—=>b=-2 y a-1=1>a8=2 
Luego el grado de homogeneidad del polinomio es igual a 3. 
Si los polinomios: P(x) =(a+b+ c)x? + (a? 4 b? +0%)x +abe; Q(x)=nmx?+n?x 207, 
poseen el mismo valor numérico, Entonces, halle :E =(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a). 
Resolución: 
Por tener el mismo valor numérico para todo "x " entonces, los polinomios son idénti- 
cos. 
Por lo tanto se tiene: a+b+c=n : al+b+có=nm ; abc=2n 
Efectuando operaciones en la expresión E, se liene: 
E=n? -2 (a+b+c)+4n(ab+ ac +bc)-Sabc (1) 
Como (a+b+c)=n->(a+b+cP =n? 
a +b?+c?+2(ab+ac+bc)=n? +ab+ac+bc=0 (2) 
- Remplazando (2) en (1) se tiene: E=ré - 20% -16n +>E=-170 
 
Unidad 2 - Polinomios 47 
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15. 
16. 
17. 
18. 
Se tiene dos polinomios completos y ordenados P(x) y Q(y), si se verifica que la su- 
ma de los grados relativos de los términos de P(x) exceden en 24 a la suma de los 
grados relativos de los términos de Gx), y que el grado del producto de multiplicar 
ambos es 15; halle el grado absoluto de la suma de ellos. 
Resolución: 
Considerando los polinomios: 
P(x)=8, +2ax+2I +.......+29,, — Q(%)=bp +Dyt+ box? +... + Dx 
La suma de los grados relativos de los términos de P(x) respecto de la variable 
"x"es: pi la suma de los grados relativos de los términos de Q(x) respecto de 
m(m +1) entonces: n(n+1) Ez m(m+1) =24 la iabl variable 3 2 
(n-m)(n+m>+1)=48 (1) 
El grado del producto de P(x).Q(x)=m+n=15 (2) 
xXx es luego: 
De (1) y (2) se tiene que: n=9 y m=6, luego, el grado absoluto de la suma de 
los polinomios es 9. 
Efectúe: P(x) =(x+ 1) -(x-1P. 
Resolución: 
Aplicando productos notables se llene: 
P(x)=x% +3x? + 3x + -3x? + 3x -1) 
Simplicando: P(x) =2(3x? +1) 
 
 
2, y2 
si 1,28 _ : entonces, halle el valor de: Es YY 
Xx Y 2x+y (y "+ (x+y) 
Resolución: 
A, partir de la condición inicial se tiene: 24, (2x + y) =8xy 
xy 2x+y 
Efectuando operaciones indicadas tenemos: (2x-y) =0 > Yy=2x 
2 2 2 
Remplazando en: E APR E E 
(2x —x)" + (x + 2x) 10x 10 
Si (a+b+c+d) =4(a+b)(c+d) ; entonces, halle el valor de: E = Alo] 
Resolución: 
Haciendo los cambios de variables: a+b=m , c+d=n,en la condición inicial se 
—Mlene: 
(m+n)? =4mn > (m-n)?=0 = m=n, luego el valor pedido será: 
E=5(243) > E-243 > E=3 
 
Unidad 2 - Polinomios 48 
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19, Sabiendo que: a?+b%+c2=17; ad+b d+ 043, (a+b)+(b+cY +(c+a)' =66 
20. 
21. 
22. 
a+b+c 
at+bi+o”? 
entonces; halle el valor de: E= 
Resolución: 
ss 2 2 2 2 2 2 A partir de: (a+b)"+(b+c)'+(c+a)"=66 > 2(a?+b?+c?+ab +ac+bc)=66 
Reemplazando una de las condiciones iniciales se tiene que: 
2(17+ab+ac+bc)=66 > ab+ac+bc=16. Luego, desarrollando se tiene: 
(a+b+c -a+b?+0?+2(ab+bc+ac)>(a+b+c) =17+2(16) > atb+e=7 
(a+b+c)' =3(a +b+c)[a? +b? +0?)-2(8? +b? +07). Gabe 
Luego: (7)" =3(7)(17)-2(43) + 6abe 
Obteniéndose: abc =12. 
Finalmente resulta que: E = —————— === => Es-— 
q ab+ac+bc 16 4 á 
Sabiendo que: a? +b? + c? =3; entonces; halle el valor de 
E=(a+b+c)+(a+b-c)+(b+c-aj"+(c+a-bY 
Resolución: 
Agrupando convenientemente los términos en: 
E-[(a+b)+c]' +[(a+b)-c]'+[c+(b-a)]" +[c-(p-a)]' 
Simplificando la expresión mediante la identidad de Legendre se tiene: 
E-2(a+b) ES (b- ay | >E= 2/23 +bY +20] >E=4(a +b? +0?) 
Remplazando el dato se tiene: E=4(3)=12 
Si P(x.y,z)=2(y) 2 9x0 512) y. Entonces, halle el valor de: 
E=b" +Yb+a? 
Resolución: 
Por ser un polinomio homogéneo se tiene; 
P(x yz) =2x%2y9:220 , 9293 _ 597001 
2a+b+4=ab+3=b+8. Porlotanto: a=2 y b=5 
Luego: E=5?+/5+2? =25+3=28 
Calcule la suma de coeficientes del polinomio homogéneo en: 
Px y, 2) =adx O —p2y + apzo”? 
Resolución: 
Por ser un polinomio homogéneo se tiene que: 
ae =b* at? luego: a =P >ob=a-b>a=2b 
a? =b*>(20)” =b% >2b'=b%>2=b'>b=2 y a=4 
Luego la suma de coeficientes del polinomio es: a? —b* +ab =68 
 
Unidad 2 - Polinomios 49 
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23. 
25. 
Si PO = ax? + pqrx y Q(x)=(b +0)x -abex, son dos polinomios de tal forma que 
su suma es un polinomio idénticamente nulo; entonces, halle el valor de: 
g-L+b? +0? + Sabe 
2abe 
Resolución: 
Sumando los polinomios: P(x)+0(x)=(a+b+c)x* + (pgr —abc)x=0 
Entonces: a+b+c=0 y pgr-abc=0 
Si a+b+c=0 => al+bó+cd=3abc y par=abe 
Jabc + 5abce 
Luego: E==—————— =4i E=4 
.9o Zabe > 
Sabiendo que el polinomio: P(x)= ax(a? + bx) + bx[b? + ac] =c-(3x- 1y , se anula 
Ze zp 
para más de dos valores de” x". Entonces, halle el valor de: E= [5 + =) 
Resolución: 
Efectuando operaciones en el polinomio se tiene: 
P(x)=(ab-9)x? +(a? +b* +abe +6)x -E-1 
Entonces como admite más de dos valores que anulan al polinomio, luego éste debe 
ser idénticamente nulo; por lo tanto: ab-9=0 ; a+blraber+6=0; <-1=0 
3 gee —¿ 
eE) -(5) -32-9 > E=39 
Dados los polinomios: P(x)= a(a-6+ 2) «b(b-8-2hx +ofe -10+ 2) 
Q(x)=3x[x? -1)+7(x+1)-2. 
(a-37 (b-4y (c-sy 
tas 
 Entonces, halle el valor de: E = , sabiendo que los poli- 
nomios son idénticamente nulos. 
Resolución: 
Efectuando operaciones en Q(x), se tiene que: Q(x) =3x7 +4x +5 
P0)=009=a(a-64 2)-38 -6a+9=0>(a-3) =0 
b[b- 3 2)-420% -80+16=0>(b-4)=0 
c[c-10+2)-5>02 -100+25=0>(0-5] =0 
Por lo tanto el valor de E=0 
Sea P y Q dos polinomios dados por: P(x)=ax +bx+cx+*d, y 
000 =20 2 +3x+1; tal que: P(x)=0Xx—-1). Entonces, halle el valor de 
E-a-b+c-d 
 
Unidad 2 - Polinomios 50 
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Resolución: 
27. 
Se determina el polinomio Ax 1) =2(x-1)? -(x-1) +3(x-—1)+1 
Si: P()=Qx-1)>a=2;b=-7; c=11; d=-5 
Entonces: E=a-b+c-d=25 =>. E=25 
Sean los polinomios: P(x)=ax? +bx?+cx+d; Q(x)=ax?+d; R(x)=ax+b, tal que: 
P(0)=2; 1) =R(2) =1; entonces, halle el valor de "x", sabiendo que R(x)=0 
Resolución: 
Por las condiciones iniciales se tiene: P(O)>d=2 ; 
Q(1) =R(2)=1>a+d=2a+b=1; luego: a=-1;b=3; d=2 
Por lo tanto R(x) =-x+3=0=>x=3 
 
28. Si: P(x)=x?* -10000x? — 10002x + 9999 ; entonces, halle el valor de: P(10001) 
Resolución: 
Haciendo : 10000 =a >a+1=10001 >a-1=9999 
Luego: Pla+1)=(a +1)" -a(a+ 1)” - (a+2)(a +1) + a-1. simplificando el polinomio, 
se tiene: Pla+=-2 — => P(10001)=-2 
29. Si P(x)es un polinomio de grado absoluto dos y de término independiente uno: y 
Q(x) =(x-1)P(x) +3x +1; entonces, halle: Q(1); sabiendo que: Q(2)=7 y P(1)=2 
Resolución:Por la condición ¡inicial se tiene: P(x)=ax? +bx +1, por lo tanto : 
QU) = (x—1)[ax? + bx +1)+3x +15 0Q(x)=a00 + (b-aJx? +(4-b)x 
Si P()=2a+b=1 y 0(2)=7 >4a+2b=-1 
Luego: 09-04 > Q(1=4 
30. Sea P(x)=ax? +bx+c ; tal que: P(1)=-2 ; P(2)=3; P(5) =34. Entonces, halle P(3). 
Resolución: 
Si P9=ax +bx+c, entonces: P()=a+b+c=-2 ; P(2)=4a+2b+c=3; 
P(5) =25a +5b+c=344, luego resolviendo el sistema se tiene que: a= 5 b=1; 
q z 
Finalmente el polinomio será: P09= 5 mo > P)- 
Unidad 2 - Polinomios 51 
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EJERCICIOS PROPUESTOS 
01, Calcule "ab” en el polinomio homogéneo: 
02, 
03, 
05. 
Plxy.z) A, ya, (ar? 
A) 3 
á 
C) 5 
6 
B 
Si el polinomio: P(x) =(4a+2)x2%39 , 4ax2929 , (42 -2)12928 , ..........: es completo 
y ordenado en forma creciente; halle el grado del polinomio, sabiendo que sus coeficientes 
son positivos. 
A) 31 
8) 30 
C) 28 
D) 26 
E) 21 
Calcule la suma de los coeficientes del polinomio homogéneo: 
5n+1 
P(x, y) =mnx9y302 4 2n2my3na - my 
A) 13 
B) 15 
C) 17 
D) 19 
E) 21 
Si el polinomio: P(x)=(a? +3ab +b?)x +(b? + 5bc +0) + (0? +7ac+a? )x+abc-3 
, es idénticamente nulo; entonces, calcule: E =(a— by c*+(b- ey a +(c- a] b? 
A) 1039 
B) 1195 
C) 1275 
D) 1395 
E) 1593 
Siendo el polinomio: P(x,y)=5x22*y91_ ayb. , 03,85 homogéneo: halle 
el valor de :E=a+b+e , sabiendo que a, b y c son enteros positivos. 
A) 21 
B) 18 
C) 15 
D) 11 
E) 9 
 
Unidad 2 - Polinomios 52 
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07. 
08. 
09. 
10. 
5D) 
Sabiendo que los polinomios son idénticos calcule el valor de E=mnp en: 
P(x) = m(x? + 1) +n(x -2J4 -1) +p(x -2)[x? -x +1) y Q(x)= a( -2 +5x-48). 
A) -24 
B) -14 
Cc) 12 
D) 16 
E) 21 
Si P(x)=(ax + 2X(bx -1)-x? con “a” positivo, toma un valor constante "k” para todo 
4 
valor de "x": entonces , halle el valor de E =a? 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
Si P(x)=ax? +b, y además P(P(x))=8x*+24x? +c; entonces, halle el valor de: 
E=a+b+c 
A) 20 
B) 24 
C) 26 
D) 32 
E) 36 
En la identidad: ad +bxé+cox=P +2 4324424... 43%. Halle: E= 
|
 
+
 
O0
|)
]a
 
+ 
D
a
 
A) 
B) 
2) 
D) 
E) a
c
o
g
e
 
z
e
 
—
 
En la identidad: ax? + aty? =b 2 +bPy?; ab, calcule: E=Yab 
A) 
B) 
Cc) 
M
l
a
s
j
o
 
y
l
a
 
w
i
n
s
 
E) 
 
Unidad 2 - Polinomios 53 
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141. 
12. 
13, 
14. 
15. 
Calcule el término independiente del polinomio racional: 
Pr +(n-2)? +(n-1)x+n, si al evaluarlo en P(2), 
resulta 1013. 
A) 
B) 
E) 
D) 
E) 
A
 
m
0
 
Si el polinomio: P(x) = (ab bem?) x* + (bc -ca-4mn)x? +(ca-ab-4m?) es 
1.1 
A 
idénticamente nulo, entonces, halle: E=2 1: abe=0, 
e 
D
n
 
d
e
 h
y
 
—
+
 
Si el polinomio: P(x)=x"""94 puta _purie2 es completo y ordenado, 
tiene como suma de coeficientes 3. Entonces, halle el grado del polinomio 
Q0)=307 0 o tm 
2 
0
 
mA 
0
)
 
Hallar el máximo valor de "n”" si los polinomios : P(x)=(x=+ 2y +8x+7n y 
Qi) =(x+ a) +nx+2 son idénticos. 
A) 12 
B) 14 
C) 15 
D) 17 
E) 18 
Si el polinomio: P(x) =127 42: 434124... tiene "2m" términos, es completo 
y ordenado decrecientemente. Entonces, halle el valor de: E=m? +n? + p*, 
 
Unidad 2 - Polinomios 54 
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16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
St a(x-by+a)+b(x-ay +b)=2x+4y +8, para todo x, y . Entonces, calcule el valor 
dect (ey 
2 
O
A
 
Si el polinomio: Py) =(a+b-c-d?)x? + (b-de)xy-(b+c-a-—e”], es idénticamente 
nulo. Entonces, halle el valor de: E = e 35 + = : 
e 
A) 5 
B) 7 
Cc) 9 
D) 11 
E) 13 
Halle el valor de "n" en el monomio: Mx)=2*%a? do Y $00: sabiendo que 
es de grado igual a 22. 
A) 40 
B) 36 
Cc) 32 
D) 28 
E) 14 
Halle el valor de "n” en el polinomio: P(x y,2)==yz+2xy?2+3y 2 + m0y"z, 
sabiendo que el grado absoluto del polinomio es igual a 24. 
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 6 
E) 8 
Sabiendo que el polinomio es de grado absoluto 41 y además el grado relativo de 
*x"es al grado relativo de "y” como 5 es a 2, Luego, halle el valor de "m+n” en: 
P(x y) ES Gm ns ji PPMAMAM + PERRERA , 
A) 18 
B) 16 
Cc) 12 
D) 10 
E) 8 
 
Unidad 2 - Polinomios 55 
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21. Si P(x) es de segundo grado y verifica la relación: 
PL9+PO0+1)+P(x+2)+P(x-2)=4x? +6x +14, VxeR. Halle P(8) 
A) 56 
B) 65 
C) 73 
D) 74 
E) 78 
22. Si ES =x? —x+1. Entonces, halle: P(-2) 
max X 
Xx 
e” 
23. Si F(x*-2) =x; 
 
Entonces, halle F(1). 
A) 3? 
B) 3? 
Cy > 
D) 35 
Ey 38 
24, Si P(x)=ax+b; P[P[P(x)]]=8x+189. Entonces, halle: P(3). 
A) 33 
B) 43 
C) 53 
D) 63 
E) 83 
 25. Sise tienen: P(x)=x-1 y Q(x)=X+1. Entonces, halle: P z, 
ra) 
A) x 
B) 1+x 
€) x-1 
1p'¿BJ 1 
E) -1 
 
Unidad 2 - Polinomios 56 
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26. 
27, 
28. 
29. 
30. 
7 
Pro] 
si = -6)+9; 3. Ent halle: Es PX) =x(x4-6)+9; x%3, Entonces, ha PO 2)-Px=2)-5 
A) 
B) 
€) 
D) 
E) 
w
i
 
m
i
 
u
l
a
 
Dl
 
0
1
m
 
Sabiendo que G(x)=x,G[5P(x)-4F(x)] =13x +18, G[2P(x)+F(x)]=15. Entonces, 
halle: G[P[F(2)]] 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) co)
 0
0 
Ch
 
e 
Le
 
Si Fo9=t+ , 0) = Halle el valor de "x" que verifique: 
F[G(x)]=2-G[F(x)]. Luego, señale el valor de: E=x? di 
X 
A) 18 
B) 22 
C) 28 
D) 34 
E) 42 
Si P(x+2)=x?+4x +4. Entonces, halle: P(x + 4) -P(x-4). 
A) 16x 
B) x+4 
C) x-4 
D) (x+4 
E) (x-4 
Halle “n”, en el polinomio: P(x-—2)=(3nx -8ny +(x 8 +12x-24, sabiendo que 
el término independiente excede en 14 a la suma de coeficientes del polinomio. 
A) 2 
B) 3 
0) 6 
D) 9 
E) 13 
 
Unidad 2 - Polinomios 57 
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31. 
32. 
33. 
34, 
35. 
36. 
Halle el valor de F(11), sabiendo que: F(2a-1)=F(2a+1)-a+1 y F(3)=1. 
A) 5 
B) 7 
C) 9 
D) 11 
E) 13 
Si E). 2 y F(F(x))=2. Entonces, halle: E= xx +79. 
A) 93 
B) 81 
C) 72 
D) 67 
E) 53 
Si el término independiente y el coeficiente principal del polinomio: 
P(x) = (2 -3x +5)[6x" + n)[2x* + +n+ 1)(10x"" -5xn -1). mi, son iguales. 
Luego, halle el grado absoluto del polinomio. 
A) 12 
B) 10 
C) 9 
D) 8 
E) 6 
1 1 
Si el monomio: Macy) = EY es de : GR(x) =19 y GR(y)=22 . Luego, halle el 
yx 
valor de: E=b+2a 
A) 126 
Bj) 138 
C) 144 
D) 164 
E) 186 
SPAN in es homogéneo. Entonces, cuántos términos 
posee dicho polinomio para que sea de grado 45 respecto de "y”. 
A) 10 
B) 12 
Cc) 13 
D) 14 
E) 16 
Halle la reducción de: G(x,y)=2mx"2yM3 , 3nx?y""?. sabiendo que mn +0. 
A) 114%y? 
B) 25x?y* 
Cc) 27y? 
D) 35: y” 
E) 45 y? 
 
Unidad 2 - Polinomios 58 
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ñn ñ ñ 
37. Dado el polinomio: P(x,y)= 3x2" ya” any an. Halle el grado absoluto 
del polinomio, sabiendo que: 6<GR(x) <12. 
A) 23 
B) 21 
C) 19 
D) 17 
E) 15 
38. Enel polinomio P(xy)=2x"y"" + 34M 1y" —7gM2y0+2 , ¿meyn+l el grado relativo 
respecto a "x” es 12. Además, el grado absoluto del polinomio es 18. Halle el grado 
relativo respecto a "y". 
A) 12 
B) 10 
C) 9 
D) 8 
E) 7 
39. Enelpolinomio P(x,y)=x*-%y**5, x28-6y1 _ xy)" 7; calcule el grado absoluto mínimo 
del polinomio. 
A) 17 
B) 16 
Cc) 15 
D) 13 
E) 11 
40. Halle el valor de "m+n" con la condición que el polinomio 
P(x y) = 20 Aymn2, 2d mn, 22340043. seg de grado absoluto 28 y 
que la diferencia de los relativos de "x" e "y" sea igual a 6. 
A) 14 
B) 8 
C) 6 
D) 5 
E) 4 
1 1 Xx 
41. Halle el valor de: E (yl (2) | saven que: x+2 =3. 
A) 20 
B) 18 
Cc) 16 
D) 12 
E) 9 
 
Unidad 2 - Polinomios 59 
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42, 
46. 
Dadas las condiciones: a+b+c=1 ; a+bé+c=9 ; a+bi+e?<1, halle: 
3 3 3 
Et abc 0. 
A) 
B) 
Cc) 
D) 
E
 
al 
a 
E) 
si at+bi+cé=83 ; atbt+atc?+b?=19 ; abrac+bc=7, halle: 
arbitro 11 
abc+3 
1 
3 
o) 7 
9 
1 
El grado de homogeneidad del polinomio: P(x,y,z)= pap ia +xty? +22m91) 
es 23, Luego, halle el valor de. E=mnp. 
A) 36 
B) 54 
Cc) 70 
D) 96 
E) 124 
Dado el polinomio completo y ordenado: P(x)=2x M3, ¿m2 ope: 
Cuyo número de términos es (n+1); determine el valor de "p". 
A) -2 
B) 3 
c) 2 
D) 3 
E) 4 
En el polinomio completo, ordenado y homogéneo: 
Plx y) =x 0 may y 2 ym, se verifica que la suma de los grados 
absolutos de sus términos es 240. Halle su grado de homogeneidad. 
A) 32 
B) 26 
0) 21 
D) 18 
E) 15 
 
Unidad 2 - Polinomios 60 
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47. 
49. 
Halle el valor de "k” para que la expresión: 
(a+b)” -a? -b* =kab(a +b)(a? + ab +?) sea igual a una identidad. 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) A
 
D 
Dados los polinomios: —P(x)=(x+a)(nx+m)+ax+4 y Q(x)=(x+m)(x+2)+x, 
halle el valor de: (n + 4a?) .si el polinomio: “P(x)-Q(x)" es de grado absoluto cero. 
A) 4 
B) 6 
Cc) 8 
D) 10 
E) 12 
Halle el valor de "n”, en el polinomio homogéneo: 
b*+10 2 ci 
Pl y)= YX yet y 3 4x0 +89 Considerando que "a" y "b" son números 
enteros tales que: get: nen. 
A) 13 
B) 11 
Cc) 9 
D) 7 
E) 5 
Halle el número de términos del polinomio completo y ordenado en: 
Po) =(N-1)00 + (02305 4 (030 
A) 8 
B) 7 
Cc) 6 
D) 5 
E) 3 
 
Unidad 2 - Polinomios 61 
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UNIDAD S 
 
DIVISIÓN DE 
POLINOMIOS 
 
 
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PRE 
 
 
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OBJETIVOS 
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de: 
1. Reconocer los elementos y las propiedades de la división. 
2. Efectuar la división, usando los métodos de Hórner y Ruffini. 
3, Encontrar el resto de una división, sin efectuar la operación (en ciertos casos). 
4. Reconstruir polinomios, bajo ciertas condiciones, usando la divisibilidad polinómica. 
5. Conocer la importancia y aplicaciones del teorema del factor. 
CONOCIMIENTOS PREVIOS 
Para el desarrollo de la presente unidad, el alumno debe conocer previamente: 
=. Lasleyes de los exponentes. 
* Polinomios: grado de polinomios, operaciones con polinomios, valor numérico de polinomios, 
polinomios especiales. 
* Productos notables. 
CONTENIDO 
3.0 Introducción 
3.1 División de polinomios 
3.1.1 Definición: Algoritmo de la división 
3.1.2 Clases de división: División exacta y división inexacta 
3,13 Propiedades de grado 
3.14 Casos que se presentan en la división de polinomios 
3.1.4.1 División de monomios 
3.1.4.2 División de un pollnomio entre un monomio 
3.1.43 División entre polinomios 
3,1.4.3.1 Métodos para dividir polinomios 
A) Método de Hómer 
B) Método de Ruffini 
3.15 Teorema del resto o de Descartes 
3.1.6 Restos especiales 
31.7 Divisibilidad polinómica: Teorema del factor 
Resumen 
Ejercicios resueltos 
Ejercicios propuestos 
 
Unidad 3 - División de Polinomios 62 
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3.0 INTRODUCCIÓN 
La división de polinomios se origina con la división entera de números naturales, y hay una 
relación directa entre las propiedades de ambas divisiones, Asi, las operaciones algebraicas 
de polinomios son análogas a las operaciones de los números naturales, de este modo, la 
adición y multiplicación de números naturales generan números naturales, en cambio la 
sustracción y la división de los números naturales no siempre genera números naturales. 
Luego, para dividir enteros se creó el algoritmo de Euclides, y como consecuencia de la 
operación de división nace la teoria de la divisibilidad entre enteros, pero no solamente 
estos resultados se pueden aplicar para dividir números enteros, sino también se pueden 
aplicar para dividir polinomios y en forma análoga aplicar la divisibilidad entre polinomios. 
3.1 DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
3,1,1 DEFINICIÓN: ALGORITMO DE LA DIVISIÓN 
La operación de división tiene por objeto calcular dos polinomios denominados COCIENTE y 
RESIDUO, partiendo de dos polinomios conocidos: DIVIDENDO y DIVISOR. 
DEFINICION.- Dados dos polinomios Diy y dim, denominados dividendo y divisor, donde 
GA(D)= GA(d) > 0, existen dos únicos polinomios Gi Y Riy tales que: 
Dx) =.q00+RO) (1) 
 
 
Donde: GA(R) <GA(d) 
La relación (1) se denomina ALGORITMO DE LA DIVISION, donde "q" recibe el nombre de 
COCIENTE y "R” el de RESIDUO. 
Ejemplo: A partir de: os 101) + 1 jempo: AP A AE 
D d a R 
2 
podemos afirmar que: al efectuar la división o se obtiene como cociente dy = X-1 y 
como residuo Riy = 1; donde además se puede observar que: 
GA(R) < GA(d), pues GA(R)=0 y GA(d)=1. 
3.1.2 CLASES DE DIVISIÓN: DIVISIÓN EXACTA Y DIVISIÓN INEXACTA 
De acuerdo a su resto, se pueden clasificar en: 
DIVISION EXACTA: Es aquella que no deja residuo o que: R(x) =0. 
Con esto, el algoritmo de la división queda asf: D(x) = d(x).q(x) 
Ejemplo: Al dividir x2x-12 entre x-+3, se obtiene: X% —X-12=(X+3XX-4), 
D(x) Ax) qx) 
Donde: R(x)=0 
 
Unidad 3 - División de Polinomios 63 
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DIVISIÓN INEXACTA: Es aquella que si deja residuo o que: R(x)=0. 
Ejemplo: Al dividir x? —2x +6 entre x? + 2x1, se obtiene: 
Xx -2x+6=(x? +2x-1Xx-2) + IXx+4 donde: R(x) «0 
 
 
 
D(x) dix) ax) R(x) 
Á, partir del algoritmo, dividiendo ambos miembros entre di, Dix) Rix) 
se obtiene: =Qíx) + 
dx) dx) 
La expresión del segundo miembro se denomina cociente Ríx) 
completo y se denota por O,,,, es decir 0) = Ux) + din 
po 
3.1.3 PROPIEDADES DEL GRADO. 
En cualquier caso, la división de polinomios se efectúa con respecto a una sola variable. 
Según esto, respecto a esa variable, se cumple que: 
+ GA(D)> GA(d) 
+ GA(q)=GA(D)- GA(d) 
+ GA(R) <GA(d) 
+ GA(R)máx =GA(d)-1 
3.1.4 CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
3,1,4,1 DIVISIÓN DE MONOMIOS 
Ejemplo: Aplicando las leyes de los exponentes se tiene: 
agx” _ap zm 
 
5) 
= , para bg = 0 
bgx” bo y 
17 
8 _8 ,1m1158_1,5 
2402 24 3 
3.1.4.2 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO 
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio 
separadamente entre el monomio divisor y se suman algebraicamente cada uno de estos 
términos. Es decir, aplicando la propiedad distributiva de la división se tiene: 
a+b+c a bc 
=> AP 
m m mim 
 
4_,3 á 3 
5x7 —x +3x _5x XK 8 23 
Xx Xx x Xx 
Ejemplo: 
3.1.4.3 DIVISIÓN ENTRE DOS POLINOMIOS 
La división de polinomios está definida para una variable tomada como referencia, a la cual 
se le llama variable ordenatriz, 
 
Unidad 3 - División