Compendio de TRIGONOMETRÍA

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con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
CE 
PRE 
UNALM 
TU INGRESO ES DIRECTO 
 
TRIGONOMETRÍA 
twitter.com/calapenshko 
Rubén Alva Cabrera 
Uriel Aspilcueta Pérez 
Miguel Delgado García 
Héctor Jara Mory 
Domingo Sánchez Amado 
Luis Vizarreta García 
Rocío Delgado Aguilar 
Juan Carlos Sandoval Peña 
 
02 
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CE 
PRE 
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con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 
 
 
be los od LE 
 
Universidad Nacional Agraria La Molina 
Rector 
Dr. ENRIQUE FLORES MARIAZZA 
Vicerrector Académico 
Dr. JorGE ALARCÓN Novoa 
Vicerrectora de Investigación 
Dra. CARMEN VELEZMORO SÁNCHEZ 
 
TU INGRESO ES DIRECTO 
Centro de Estudios Preuniversitarios 
Director 
Mo. Victor TreEJO CADILLO 
Jefe de la Unidad Académica 
Ma. Teório Cure Murio 
Jefe de la Unidad Administrativa 
Inc. MiGuEL DELGADO GARCÍA 
Edición 2019 
TRIGONOMETRÍA Setima revisión : Domingo Sánchez Amado 
CUniversidad Nacional Agraria La Molina Impreso por — : GRÁFICA BRACAMONTE 
Centro de Estudios Preuniversitarios Gustavo Ádolto Bracamonte Heredia 
Jr. Almirante Guisse 939 - Jesús Maria Calle Eloy Ureta N* 075 
Teléfono: 433-5131 / 330-7010 / 330-8434 Urb. El Mercurio - San Luis - Lima 
e-mail: prelamolina2Hamolina.edu.pe Telf: 326-5361 / Lima 30 - Perú 
ventasiPbracamonte.com.pe 
Novena reimpresión, diciembre de 2019 
Tiraje: 1000 ejemplares Impreso en el Perú Printed in Peru 
Derechos reservados. Prohibida su reproducción 
total o parcial sin permiso del editor. 
E ISBN: 978.-612-45966-1-2 
«E | Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca 
ñ y - Nacional del Perú N*; 2019-13415 
APA 
 
 
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INDICE 
Presentación 
Introducción 
UNIDAD 1 
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y LONGITUD DE ARCO 
1.1. Ángulo trigonométrico: definición, magnitud, ángulo de una vuelta 12 
1.2 Sistemas de medición de ángulos: sistema sexagesimal, sistema centesimal 
y sisterna radial 13 
1.3 Conversión de sistemas. Fórmula de conversión 14 
1.4 Longitud de arco en un sector circular 17 
1.5 Arca de un sector circular 19 
Resumen 22 
Ejercicios Resueltos 23 
Ejercicios Propuestos 33 
UNIDAD 2 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNG ULO AGUDO, 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, 
ÁNGULOS HORIZONTALES Y VERTICALES 
Primera Parte: 40 
2.1 Triángulo rectángulo. Propiedades 40 
22 Razón trigonométrica 41 
23 Razones trigonométricas reciprocas 43 
24 Razones trigonométricas de ángulos complementarios 44 
25 Propiedad fundamental de las razones trigonométricas 46 
2.6 — Razones trigonométricas de ángulos notables 47 
Segunda Parte: 50 
2.7 Resolución de triángulos rectángulos 50 
2.8 Area de un triángulo cualquiera 5 
2.9 Ángulos verticales: Elevación y depresión $3 
2.10 Ángulos horizontal 56 
Resumen 58 
Ejercicios Resueltos 59 
Ejercicios Propuestos 73 
UNIDAD 3 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICION NORMAL 
3.1. Sistema de coordenadas rectangulares 50 
3.2 Ángulos en posición normal 8l 
3.3 — Ángulos cuadrantales 82 
3.4 . Ubicación de un ángulo en el plano cartesiano] 83 
-35 Razones trigonométricas de los ángulos en posición normal B4 
3.6. Signos de las razones trigonométricas 86 
3,7. Razones trigonométricas de los ángulos coterminales 83 
3.8 — Razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales 89 
 
04 
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Resumen 50 
Ejercicios Resueltos 92 
Ejercicios Propuestos 102 
UNIDAD 4 
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE 
4.1. Reducción al primer cuadrante 108 
4.2 — Casos de reducción al primer cuadrante 108 
4.3 Razones trigonométricas de dos ángulos o arcos complementarios y de dos 
ángulos o arcos suplementarios 114 
4.4 Valores notables 115 
Resumen 117 
Ejercicios Resueltos 118 
Ejercicios Propuestos 127 
UNIDAD 5 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
5.1 Identidad trigonométrica 134 
5.2 Identidades trigonométricas fundamentales 134 
5.3 Identidades trigonométricas auxiliares 135 
5.4 Demostraciones de identidades trigonométricas 135 
55 — Simplificaciones 136 
5.6 — Problemas condicionales 138 
Resumen 141 
Ejercicios Resueltos 142 
Ejercicios Propuestos 150 
UNIDAD 6 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS 
6.1. Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos 174 
6.2 — Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos 77 
6.3 — Razones trigonométricas de 75" y 15" 182 
7,4 — Identidades auxiliares 183 
Resumen 185 
Ejercicios Resueltos 186 
Ejercicios Propuestos 199 
UNIDAD 7 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE 
7.1 Función Seno, Coseno y Tangente del ángulo doble 210 
7,2. Relaciones auxiliares 214 
7.3 — Funciones del ángulo doble en términos de la tangente del ángulo simple 215 
74. Propiedades 217 
Resumen 218 
Ejercicios Resueltos 219 
- Ejercicios Propuestos 225 
 
O5 
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UNIDAD 8 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD 
8.1. Función Seno, Coseno y Tangente del ángulo mitad 231 
8,2 — Fórmulas racionalizadas de tangente y cotangente del ángulo mitad 234 
8.3 Razones trigonométricas de 22930" y 67930" 236 
8.4 — Triángulos notables de 18230" y 71%30"; 26%30" y 6330" 237 
Resumen 238 
Ejercicios Resueltos 239 
Ejercicios Propuestos 247 
UNIDAD 9 
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 
9.1 Transformación de una suma y diferencia de senos en un producto 253 
9,2 Transformación de una suma y diferencia de cosenos en un producto 254 
9.3 Casos especiales de factorización trmgonométrica 255 
9.4 Transformación de un producto de senos y cosenos en una suma o diferencia 256 
Resumen 259 
Ejercicios Resueltos 260 
Ejercicios Propuestos 269 
UNIDAD 10 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 
10.1 Introducción 275 
10.2 Ley de Senos 275 
10.3 Ley de Cosenos 2717 
10.4 Ley de las proyecciones 278 
10.5 Razones trigonométricas de los semiángulos de un triángulo 280 
10.6 Área de una región triangular: 281 
a) Fórmula en función de dos lados y el ángulo comprendido 281 
bj Fórmula en función de los lados 282 
e) Fórmula en función de los lados y el cirecunradio 284 
d) Fórmula en función de los ángulos y el circunradio 285 
e) Fórmula en función de un lado y los dos ángulos adyacentes 285 
Resumen 288 
Ejercicios Resueltos 289 
Ejercicios Propuestos 299 
UNIDAD 11 
ESTUDIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
Primera Parte: Lineas Trigonométricas 305 
11.1. Conecpto de la Circunferencia Trigonométrica 305 
11,2 Elementos de la Circunferencia Trigonométrica 305 
11.3. Los números reales sobre la Circunferencia Trgonométrica 306 
- 11,4 Representación de las Razones Trigonométricas mediante segmentos dirigidos 307 
| Ejercicios Resueltos 316 
 
06 
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Segunda Parte: Funciones Trigonométricas 328 
11.5 Introducción 328 
11.6 Definición de función 328 
11.7 Funcion Seno 328 
11,8 Función Coseno 329 
11.9 Función Tangente 330 
11.10 Amplitud y Periodo 333 
Resumen 336 
Ejercicios Resueltos 337 
Ejercicios Propuestos 344 
UNIDAD 12 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
12.1 Definiciones previas 352 
Función inversa 352 
Gráfica de la función inversa 353 
12,2 Funciones trigonométricas inversas 353 
12.3 Dominio, rango y gráfica de las funciones trigonométricas inversas 355 
124 Propiedades 358 
12.5 Método del cambio de variable 362 
Resumen365 
Ejercicios Resueltos 366 
Ejercicios Propuestos 373 
UNIDAD 13 
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 
13.1 Definición de ecuación trigonométrica 378 
13.2 Solución de una ecuación trigonométrica 378 
13.3 Tipos de soluciones 378 
a) Solución principal 378 
bj Solución general 379 
134 Métodos de solución de una ecuación trigonométrica 379 
a) Uso de la circunferencia trigonométrica 379 
bj Uso de las soluciones generales 381 
Resumen 383 
Ejercicios Resueltos 384 
Ejercicios Propuestos 304 
BIBLIOGRAFÍA 399 
CLAVES DE EJERCICIOS 400 
 
07 
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PRESENTACIÓN 
El Centro de Estudios Preuniversitarios de la Universidad Nacional Agraria La Molina 
(CEPRE-UNALM), con mucho entusiasmo, reestructuró y relanzó las publicaciones propias, 
con la finalidad de mantener la mejora continua de sus servicios, dirigidos fundamentalmente 
para el beneficio académico de nuestros estudiantes. 
Te presentamos estos nuevos ejemplares de nuestra colección de 9 libros (Álgebra, 
Aritmética, Geometría, Trigonometría, Biología, Física, Química, Razonamiento 
Matemático y Razonamiento Verbal), revisada y corregida con dedicación por los 
Coordinadores y Profesores de cada uno de los cursos que se imparten a nuestros estudiantes 
en su preparación preuniversitaria. 
Cada libro se viene desarrollando de acuerdo a los contenidos que hoy exige la Universidad 
Nacional Agraria La Molina — UNALM y en diversas instituciones de preparación superior, 
considerado un valioso material académico, que contribuirá a consolidar el conocimiento 
y lograr un mejor aprendizaje. 
Las unidades de cada libro, han sido estructuradas con contenidos teóricos y ejemplos 
que facilitan $u comprensión, con un conjunto de problemas resueltos con diferentes grados 
de dificultad a manera de guia práctica, y un conjunto de problemas propuestos también 
con diferentes grados de dificultad con sus respuestas respectivas, con el objetivo de lograr 
en los estudiantes un auto aprendizaje significativo. 
A ustedes jóvenes estudiantes dejo en sus manos esta colección de libros que es el trabajo 
comprometido de la institución para brindarles una formación académica de calidad, que 
sea la base del desarrollo del éxito de su carrera universitaria; por eso el CEPRE-UNALM 
te prepara para tus éxitos del futuro, y que estos estarán en función de la avidez, empeño 
y dedicación que determines para alcanzar tus metas y objetivos. 
Finalmente quiero expresar mi sincero agradecimiento a cada uno de los Coordinadores 
y su plana Docente por el gran trabajo realizado en forma permanente para la mejora de los 
libros y lograr esta nueva reimpresión. 
Ma. Sc. VÍCTOR TREJO CADILLO 
Director del CEPRE-UNALM 
 
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INTRODUCCIÓN 
La Trigonometría es parte de las matemáticas que estudia las relaciones existentes entre los 
lados y los ángulos de un triángulo. 
La Trigonometría surgió como una herramienta de investigación en la astronomía, peodesia 
y navegación, 
Es de gran importancia, sobre todo para aquellos que van a seguir una carrera profesional, 
pues es la base de las matemáticas superiores, fisica y en casi todas las ramas de la ingeniería, 
Por lo mencionado anteriormente, se ha elaborado este libro de Trigonometría, cuyo contenido 
abarca todos los puntos señalados en el prospecto de admisión de la Universidad Nacional 
Agraria La Molina, y cuyo desarrollo son presentados en 13 unidades. Se empieza por tratar 
el Angulo Trigonométrico, uso de los sistemas angulares y aplicaciones en temas relacionados 
con el Sector circular; se continúa con el estudio de las razones trigonométricas, identidades, 
funciones trigonométricas (Directas e Inversas), razones trigonométricas de ángulos compuestos, 
doble y mitad, ecuaciones trigonométricas y resolución de triángulos. 
Este libro es útil porqué brinda al estudiante, información completa de la Trigonometría 
de una manera didáctica y cuyo objetivo principal es brindarle al alumno un libro con teoria, 
ejercicios resueltos y propuestos por cada capitulo y con un determinado grado de dificultad de 
manera que complemente lo desarrollado en clase. 
 
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UNIDAD 1 
 
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO 
Y LONGITUD DE ARCO 
 
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OBJETIVOS 
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de: 
l. — Definir y conocer las caracteristicas del ángulo trigonométrico. 
2. Deseribir los sistemas de medición de ángulos y establecer un mecanismo que permita 
relacionarlos entre si. 
3. Relacionar los elementos de un sector circular. 
CONTENIDO 
1.1 Ángulo trigonométrico: definición, magnitud, ángulo de una vuelta 
1,2 Sistemas de medición de ángulos: sistema sexagesimal, sistema centesimal y sistema radial 
1.3 Conversión de sistemas. Fórmula de conversión 
1.4 Longitud de arco en un sector circular 
1.5 Área de un sector circular 
CONOCIMIENTOS PREVIOS: 
Operaciones básicas en los reales, Simplificación de expresiones algebraicas. Ecuaciones de primer y 
segundo grado. Despeje de variables. Regla de tres simple. 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 11 
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1.1 Ángulo trigonométrico: definición, sentido, magnitud y ángulo de una vuelta. 
= Definición 
Es aquella magnitud generada por el movimiento de un rayo que gira alrededor de su origen, 
desde una posición inicial hasta otra final. 
A 
DA : Lado inicial 
OA": Lado final 
o :Angulo trigonométrico 
= Sentido 
Un ángulo trigonométrico puede tomar dos sentidos, según sea su rotación: 
+ Antihorario: genera ángulos positivos. 
a 
a es ángulo positivo (a >0) 
+ Horario: genera ángulos negativos, 
O A 
B es ángulo negativo ($ < 0) 
Ar 
» Magnitud: El número de la medida de un ángulo trigonométrico puede tomar cualquier 
valor en el conjunto de los números reales, 
+ Ángulo de una vuelta (<lv): Es aquel ángulo trigonométrico, en el cual su lado final 
coincide con su lado inicial por primera vez. 
O —" E 
«lv (+) £lW(.) 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 12 
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UNALM 
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1.2 Sistemas de medición de ángulos: sexagesimal, centesimal y radial 
* Sistema sexagesimal 
También denominado sistema inglés. La unidad en este sistema es el grado sexagesimal (1%, 
y representa la medida de la trescientos sesenta ava parte del ángulo de una vuelta. 
Unidad: 
Nomenclatura: 
Equivalencias: 
e >= Sistema centesimal 
Un grado sexagesimal = 1* 
19= 1 grado sexagesimal 
1* =1 minuto sexagesimal 
1"= | segundo sexagesimal 
1? =60' 
ll =60" 
1? = 3600" 
 
m<Á 1lv=360% 
También denominado sistema francés, La unidad en este sistema es cl grado centesimal (15), 
y representa la medida de la cuatrocientas ava parte del ángulo de una vuelta. 
Unidad: 
Nomenclatura: 
Equivalencias: 
Un grado centesimal =1* 
1* = 1 grado centesimal 
1%= 1 minuto centesimal 
* <= | segundo centesimal 
1*=100* 
1"= 100" 
1*= 10000" 
 
mÁ lv=400* 
 
» Sistema radial o circular 
Es el sistema preferido en la medición de ángulos por el Sistema Internacional de Unidades. 
Su unidad es el radián (lrad) y representala medida de un ángulo central en una 
circunferencia que subtiende un arco igual al radio. 
SS Unidad: l radián = Irad 
r 
lradián.. —————————— Tr 
má lv ——————— ln 
 
m<Á lv =2x radianes 
 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 13 
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1.3 Conversión de sistemas: Fórmula de conversión 
 
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Á continuación tomaremos el ángulo recto y su medida en los tres sistemas: 
 
a 
|
—
 
360" 
 
100* 
 
4007 
— rad 
 
2x rad 3 
Se observa que el cociente de su medida con la medida del ángulo de una vuelta es una constante, 
Aprovechando esta característica, ahora tomaremos un ángulo cualquiera: 
300. 400" 
 
 
 
ES E — 
 
 
La
 I 
= M
ot
 
Al simplificar la fórmula de conversión, se obtiene: 
 
 
 
 
Ejemplos: 
1) Convierta 20? al sistema radial. 
Ta Resolución: 
204 o 5=20 
Unidad 1 - Léxico y etimología 
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Fórmula de 
Conversión 
Número de grados sexagesimales 
Número de grados centesimales 
Número de radianes 
14
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; 5 OR 0 OR 20H 2 
En la fórmula: —=- e R = Mas 
180 2 o O % 
Luego: 20*= = rad 
2) Halle el equivalente de 1 rad en el sistema sexagesimal, 
Resolución: 
rad E) R=1 
En la fórmula: 5. RAN soy 105% 
180 £ 180 £ o z : 
Luego: 
l rad. = 57,2958* = 57” + 0,2958? 
=57* + (0,2058x60) = 57% + 17,748' 
=57"17'+0,748' = 57917 + (0,748x60)" 
l rad. = 57717'44,88" 
 
 l radián =57%17'45" 
Nota: Para transformar la medida de un ángulo en radianes a grados sexagesimales 0 
grados centesimales y también transformar grados sexagesimales a grados centesimales 
podemos emplear las siguientes igualdades: 
 
 
 
serad = 1809 = 200% go 10 
 
” x . 
3) Convierta —rad a grados centesimales 
4 
Resolución: 
Considerando que x rad = 200£, procedemos a reemplazar en: 
 
A (x= rad) (200) 
—rad - ——— 
4 4 4 
Ed» 50" 
4 
4) Convierta E rad a grados sexagesimales 
3 
Resolución: 
Considerando que x rad = 180”, procedemos a reemplazar en: 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 15 
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5) 
6) 
7) 
8) 
Convierta 60* al sisterna radial. 
 
Resolución: 
60* o) C=60 
CoOOR 6 R 607 3a 
En la fórmula; =— E A 
200 E o 200 A O 200 16 
, g_ 3n 
Luego: 60% = e rad 
Convierta 22930' a radianes, 
Resolución: 
Debemos tener en cuenta que: 22930" = 22? + 30" 
Luego convertimos 30' a grados sexagesimales, para ello aplicamos regla de tres simple: 
PO cana 
Xx oo 30' 
de donde x =30'x Ll = 0,50%, entonces 22730' = 22,5% ESAñ 
so 150" 
=2230 = rad 
. E " ñ 
Convierta —rad al sistema sexagesimal. 
11 
 
Resolución: 
Puesto que nrad=180", entonces: rad A 
l 11 
Efectuando la división ordenadamente: 
! 
180% | 11 ! 40 | 11 540" | 11 
70 £16% 20 (21 100 ¿49"; 
Mea I A e 
qe : 9 y" 
| 
Convirtiendo los minutos a 
I segundos 
| 9'=(9x60)" = 540" 
Convirtiendo el residuo a minutos 
Residuo = 4% = (4160) = 240 
e A 
Finalmente: —rad = 1621'49* 
11 
Halle la medida de un ángulo en radianes, cuyas medidas en los dos sistemas cumplen 
con. ==. 2 ]B 
1 $2 
 
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Resolución: 
5 R 150 
o a = 
10 E x 
pa 
60 6RK 
——= |$ 
Xx E 
Sar 
E 
3 A .1|> R == 
x 3 
1.4 Longitud de arco en un sector circular. 
Un sector circular es una parte de un círculo donde su vértice es el centro del circulo y los otros 
dos son puntos de la circunferencia, Entre sus tres elementos se cumple la siguiente relación: 
 
 
N 
L=b6.r 
r 
A =número de radianes del ángulo 
O e L L. = Longitud del arco 
r =radio de la circunferencia del sector 
circular 
r 
M 
Ejemplos: 
1) Halle la longitud del sector circular de radio 5 em y ángulo central 0 = 18%. 
 
Resolución: 
Convertimos 6 a radianes : 0 = 18% = 18% Farid) - — rad. 
( 120” 10 
Finalmente reemplazamos los datos en: L=0.r= — 5$= A cm 
2) Enla figura mostrada, calcule el perimetro del sector AOB, 
A 
ató 
dl e ] O $ 61425 
at+b 
Unidad 1 - Léxico y etimología 17 
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Resolución: 
Primero reemplazamos los datos en: 
L= Or 
6a+25 =a(at+6) 
efectuando: 64+25=a "+62 o a =25 o) a=5 
Finalmente, el perimetro del sector circular está dado por: 
p=(a+6) + (a+6) + (6+25)=82+37=40+37=77u. 
 
 
3) — Si el ángulo central de un sector circular se reduce a la mitad, el arco disminuye en 4 
unidades. Calcule la longitud del arco si el ángulo se duplica (el radio no varia). 
Resolución: 
o Co) L 0 Sy L-4 o o) L, 
r r r 
Sea el sector inicial de radio r, ángulo central 9 rad y longitud de arco L. Luego: L=8.r (1) 
De la primera condición del problema se tiene que: L -4= >: (11) 
Reemplazando (1) en (11) tenemos: L-4= A ES L = Bu 
Si el ángulo se duplica la longitud del nuevo arco estará dado por: 
L, =26.r =2,L =2,8= 1l6u 
4) Un péndulo oscila, describiendo un ángulo de 7? y un arco de 11 cm. Halle la longitud del 
péndulo (x » ==) 
Resolución: 
Se forma un sector circular donde: 
=P 
r=x 
L=11cm 
Convirtiendo 0 a radianes: 
Caña 
180 = 
l entonces: 
Unidad 1 - Léxico y etimología 18 
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7 R Tm Tr 
A A MS RA A 
180 2 180 180 
Hallando el radio del sector: 
L 11 (110150) 
PESAS 
0 Ta 22 
— (11.—) 
1%0 7 
r=x=90 cm 
1.5 Área de un sector circular. 
El área de la región formada por un sector circular se puede calcular del siguiente modo: 
 
 
 
Ejemplos: 
1) Calcule el área de la región sombreada. si: r=7 cm. (n=237) 
 
Resolución: 
S,= 00) (20) (0) 
S,= Lor Lar ad - TE = (4) 
S, =2n.49 = 15] 495 S.=308 cm! 
2) En la figura mostrada, calcule el valor de: 2 
e 
va 
o 
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S : Área del sector circular 
19 
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Resolución: 
(50n2n 7 3q40nryt 
5,-35, , oy M-12 $ 1 
= = . = Pb nn — E =— 
5.5 (SON 210.4 616 2 
2 z 
Nota: Si superponemos dos sectores circulares que tengan el mismo valor angular, se forma una 
figura que por su semejanza con el trapecio recibe el nombre de TRAPECIO CIRCULAR. El área de 
esta figura se puede calcular del siguiente modo: 
 
 
— (B+b1 
Al 
 
S ; Área del trapecio circular 
También se cumple que: 
 
 
 
 
Ejemplos: 
1) Calcule el área sombreada 
del Irapecio circular, 
 
Resolución: esolución: ¿ 
dr 
 = =r= 4 
ár r+R r+2 
 
sí 2-70 
6 2 
2) Calcule el área de la A 
región sombreada. 
xs 
0 12 
| ES 
3 
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Resolución: 
 
 g= El SARA (0) 
20 
8=16 12 =0(r+3)=12=0=5r+30 
Ñ 
7 
A 
Reemplazando en u: $ = 24u* 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 21 
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RESUMEN: 
Sist tesiimal 1£=100%;]" = 100%; 
14= 10000* 
istema cemtesima mxlv=24008 
* SISTEMA DE. . 1%= 60"; 1! =60"; 12 = 3600" 
MEDICIÓN Sistema sexagesimal a -360* 
Sistema radial [m Xlv=2 rrad.; siendo n= 3,1416 
al _ 
a pe E* 
O R rad 
S...número de grados sexagesimales 5 Cc R E y 
+ FÓRMULA DE CONVERSIÓN: — [7253099 7 y | R--número de radianes 
E] C...número de grados centesimales 
ak 
S=9K C=10K a ER 
20 
Longitud de arco: L=0.kR donde: 
* SECTOR : 
CIRCULAR l Área del sector circular: S = aña, L. = longitud de arco 
2 
R = longitud de radio del sector 
B = ángulo (radianes) 
O = centro de la 
circunferencia 
 
+ TRAPECIO CIRCULAR: 
 
 
 
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EJERCICIOS RESUELTOS 
¿ Ñn 4 á 
l, Convierta —rad, al sistema sexagesimal, 
0 
Resolución: 
Considerando que rrad = 180", procedemos a reemplazar en: 
Ba Rímrad) B(1R0") 
— 1d = = E (20") 
o e] 
Simplificando: A ad =160" 
g 
. in . . 
2, Convierta —rad, al sistema centesimal. 
5 
Resolución: 
Considerando que nrad = 200%, procedemos a reemplazar en: 
Ex 2(rradi 2 (200%) E 
— 1d = — = ——_— = 40” ] 
5 > 5 
a . 32 
Simplificando: —rad = 80* 
5 
Es: E A 
3. Halle el valor numérico de la expresión: M =- + —+ — 
E 
Resolución: 
Considerando las equivalencias: 1?= 60" 
|F= 1007 
9" =10* 
Reemplazando en la expresión: 
120 200% 20 
+ + 
qF E 2 
= 60 100 +4 M . 
] ¡ En consecuencia: M= 164 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 23 
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4. La suma de dos ángulos es 4320" y si uno de ellos mide 50*, halle el valor del otro ángulo, en 
radianes. 
Resolución: 
Planteando la expresión: 50% +0= 4320 
Pasamos los datos a grados sexagesimales: 
pira ro 9% 
20 — ¡+ 77 50t¡—¡=45" 
Pl a Ñ Lro*) 
Reemplazando en la expresión dada: 
 
4548 = 737 = Q a 27* 
> d 3 
Finalmente; 0 = q ] Aa 
Urso") 20 
5. Sabiendo que: E sad = a* b*, halle el valor de: 2a-b. 
l6 
Resolución: 
Considerando la equivalencia: a rad = 180? 
Reemplazando en la expresión: 
FiBOs Y 180% 45% 44% +1* p* 
a — 2 — 2 ——a 1 1*+ —=11*+19=11%15 
mil 16 + 4 4 
ñ 
Luego: —rad =11*15' 
16 
Donde: a=11 y b=15 
Finalmente: 2a-b=2(11)-15=7 
6. Sabiendo que se cumple: 40(R +C)=200+ x=, calcule el valor del ángulo en el sistema 
sexagesimales, 
Resolución: 
 
n5 2005 
C De la fórmula de conversión: R = y 
120 150 
Reemplazando en la expresión dada: 40 = . a = 200+a 
 
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Factorizando y simplificando: ea + 200) = 200 +=x 
1x0 
Resolviendo: s=1*%.2 
40 2 
=4,5* 
Finalmente: 5=4* 30" 
7. Siendo *n” el número de minutos sexagesimales que mide un ángulo y “m” el número de minutos 
s . . . 50n 
centesimales que mide el mismo ángulo, calcule el valor de v = — 
m 
Resolución: 
Sean los datos del problema: 
n = número de minutos sexagesimales = 605 
m= número de minutos centesimales = 100€ 
Reemplazando en la expresión: y . 11039. ,(31 
100€ | co ) 
De la fórmula de conversión, tenemos: y » s0| 
Finalmente: V=27 
8. Sabiendo que *C” es número de grados centesimales, “5” es número de grados sexagesimales y 
(0 -S5)(0 +5) “R” es número de radianes de un mismo ángulo, simplifique: n = : 
380 R' 
 
 
Resolución: 
: si 30 200 
De la fórmula de conversión: 5. _1%* y c= E 
A n 
Reemplazando en la expresión dada: 
¿[200 180% 1( 200% _180R ) — (20% I(380R) 
so End oa y 
3402 3180R * 
Simplificando, se obtiene: 
N=20 
 
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9. Enel triángulo ABC mostrado, halle “0”. 
A 
90 
Orad 69 
 
Resolución: 
Sabemos que: A+ B+O= IB occcccccncno (1) 
Utilizando la fórmula de conversión y reemplazando en (1): 
d 
O cd 
or) Uso”) 
 
fx 
90 + O rad < 69” = e rad => pe 
Efectuando las simplificaciones: 0 rad 
a 23 
— a rad + Drad +4 —a rad = x rad 
2 60 
Despejando la incognita: 
o 23 Gx rad -237arad-23n l0xmrad 
D rad = 2-—a rad - — a rad = - 
20 60 60 60 
 
" KE 
Finalmente: u == 
6 
10. Enla figura mostrada, halle “x”, 
 
(5-1 1x)0 
(27x)? 
 
Resolución: 
Del gráfico se deduce que: COB + BOA = 180* 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 
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Cambiando el sentido del ángulo trigonométrico BOA, obtenemos otro BOA de medida igual al 
original (AOB) pero de signo opuesto; de tal manera que: — (5 —11x)*=(11x 5)" 
Del gráfico, deducimos que: (27x)" + (11x-5)= 180? 
Convirtiendo las unidades angulares, tenemos: 
qe 
(27 + (1 lx Mi ai 
[ po? J 
Resolviendo la igualdad: 
270x + 99x —- 45 = 1800 => 36% = 1845 
Finalmente: x=5 
11. Sabiendo que a un arco de circunferencia de 2 m le corresponde un ángulo central de 307, halle la 
longitud de la circunferencia. 
Resolución: 
Se sabe que: LO=2AR 
Aplicando la fórmula del sector circular: L=8R 
: L 2 12 
Hallamos el radio R: Rh ====. — 
o y T 
b 
; I 
Finalmente: L = el 24m 
mM 
12. Si un automóvil recorre una pista de 560 m de diámetro y en un tiempo de 22 seg barre un ángulo 
de 1/4 rad, calcule la velocidad del automóvil en ms. | Usar: R a 
Resolución: 
R 
Se sabe que: v === 
ñ t 
Reemplazando valores: v = 
Finalmente: V=10 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 27 
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13. Si dos ángulos en el centro de un circulo son complementarios y las longitudes de los arcos que 
subtienden suman 37 m, calcule la longitud del radio del circulo, 
Resolución: 
Scan los ángulos “a” y “0”, tal que: «+= (1) E 
2 
Sean las longitudes “L,” y “L7", tal que: L,+L,=3% crcccsiccoss (2) 
Aplicando la fórmula del sector circular (L=0R ) y reemplazando en (2): 
a(R) + 0(R) = Ja SN TE A 
: fa 
Reemplazando (1) en(3) —R 13] = la 
Finalmente: R=6m 
14. Sienla siguiente figura, AOB y COD son sectores circulares concéntricos, halle: = ] 
 
Resolución: 
Se sabe que: AOB=COD=au 
Aplicando la fórmula del sector circular: L=0R 
Reemplazando valores: 3x =ata+b) cmo... (1) 
x=u1b) | 
Dividiendo las expresiones (1) entre (2), tenemos: 
ala +b) Ax la + b) 
=> 
ab) L 1b) 
 
a 
= 3 => =$] 3 
b 
A . 
Finalmente: — = 2 pa 6 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 28 
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15. Un sector de una via férrea curvilinea esta formado por tres arcos sucesivos, El primer arco 
corresponde a un angulo central de 10% con un radio de 180 m, el segundo arco corresponde a un 
ángulo central de 15? con un radio de 240 m y el tercer arco corresponde a un ángulo central de 5* 
+2 
y un radio de 180 m. Calcule la longitud total de los tres arcos. Lisarim > 7] > 
Resolución: La 
Construyendo la figura correspondiente, se 
 
 
 
 
 
observa: 
L+=L¡+Lo+Li nui (1) 
Aplicando la fórmula del sector circular, 
tenemos: 
LA o hd ón 
luso-] 
coja 
fuarad 
L,= 31 189" ¡at = jam 
$
 
ha
d 
Reemplazando valores en (1): L, = (10+20+5) A «|
 
A
 ñ 1]
 
A 
r
n
,
 
= 
| 
A
 í a 
Finalmente: Ly+=110m 
16. Si cl área de un sector circular es de 4 m* y su perimetro es de 8 m, halle el radio del circulo. 
Resolución: 
Construyendo la figura correspondiente, se observa: 
Área del sector circular: A=4m* R 
Perimetrodel sector circular: 2R+L=8m 
De donde, deducimos: L=8-3R 0... (0) 
Aplicando la fórmula del área de un sector circular, R 
R.L 
3 B 
 tenemos: Ss - 
0 De donde, obtenemos: R.L=2(8)=8 .......... (2) 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 29 
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CE 
PRE 
 
 
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Reemplazando (1) en (2): 
R(8-2R)=8 => 8R-2R"=8 
Luego: R-4R+4=0 
Siendo las raices: (R—2)(R-2)=0 
Finalmente: R=2m 
17. Sea “0” el ángulo central en radianes, “R” es el radio de la circunferencia y “L” es la longitud de 
arco; además si se cumple que: R (0 R + L)=8, halle el área del sector circular. 
Resolución: 
En la condición del problema: R(0R+L)=8 
BR? RL 
. E 
E 
2 2 2 
 Dividimos la expresión por 2: 
Identificando las fórmulas del área de un sector circular: S+S=4 
En consecuencia: 25=4 
Finalmente: S=2u? 
18. Enla figura mostrada, halle el área de la región sombreada. 
 
Resolución: 
En la condición del problema: 3a - 
h
a
a
 y | 
Identificando la fórmula del área de un sector circular correspondiente: 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 30 
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IL Z En (EE 
2 Ls) ¿ 
Finalmente: 5 =- E ul 
19. En la fi gura mostrada, se tienen dos sectores circulares AOB y COD. Si el área del sector AOB es 
dam y el segmento AC mide 2 m, determine la longitud del arco CD. 
 
Resolución: 
En el sector circular AOB, tenemos: 0=30% y r=x 
Identificando la fórmula del área de un sector circular correspondiente: 
SE MURA E 5 => 5 (5) dn 
há
 
Hallando el radio: x?=36 => r=6m 
En el sector circular COD, tenemos: 0=30% y R=r+2=8m 
Aplicando la fórmula de un sector circular: L=0R 
2 A: L La jo => L ] 
. 4 
Finalmente: L= as m 
20. En la figura, el área sombreada del trapecio circular es de 60 mi, halle el valor de *L”. 
 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 31 
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Resolución: 
Como el ángulo central es común para los sectores circulares, tenemos: 
 
F r+a 
Estableciendo una relación entre “L"y*r"; L=r+4 => r=L-4 
 
 
 
Aplicando la fórmula del área de un trapecio circular; 5 = ia ja 
Reemplazando datos: Ss - EFE dd (Li er92 + 60 
2 
Luego: L+r=30 => L+L-4=30 => 2L=34 
Finalmente: L=17m 
Unidad 1 - Léxico y etimología 32 
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PRE 
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EJERCICIOS PROPUESTOS 
s ln á . 
l. Convierta — rad, al sistema sexagesimal. 
7 
A) 7708 37" 
B) 7707 34” 
C) 77 08 34" 
D) 7709 37” 
E) 777 08 32” 
bd
 Convierta 60 E. al sistema radial. 
B) — rad 
E) — rad 
D) 2 rad 
Ey E rad 
3. Sila suma de dos ángulos es 4 320" y uno de ellos mide 50%, halle el valor del otro ángulo. 
A) 27* 
B) 37* 
C) 45* 
D) 27 
E) 45? 
4. Se tienen tres ángulos y se sabe que la suma de los dos primeros es Y2 rad. Si la suma del 
5 
segundo y el tercero es 120% y la suma del primero y tercero es 200%, halle dichos ángulos en 
grados sexagesimales. 
A) 30%,60%, 909 
B) 35%, 78%, 932 
C) 42*,78*, 1022 
0D) 42, 68?, 90 
E) 45,60%, 932 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 33 
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5. Calcule el suplemento del ángulo aj rad , en el sistema centesimal. 
' 
A) 183*,61",54" 
B) 184*,61",54”* 
C) 185*,61”,54” 
D) 186*,61",54” 
E) 187*,61",54” 
6. Calcule el suplemento de 71% 59' 60”, en el sistema radial. 
A) — 
Bj] = 
a = 
Ja 
7 
Ez 
10 
D) 
7. Ordene en forma decreciente los siguientes ángulos: - rad, 82* y 80%. 
A) 82,2% rad, 80* 
20 
By 2 tad, 80" 820 
20 
Dx 
E) 80%, — rad, 82* 
20 
py sos, 822, rad 
20 
E) e rad, 82%, 80% 
8. Ordene en forma creciente los siguientes ángulos: = rad, 22? y 304. 
A) 2. rad. 30* 
B) - rad ,30* , 220 
C) 30. - rad , 22* 
D) 30*,22*, E rad 
3 
E) — rad ,22?, 30 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 34 
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9, 
10. 
1. 
12. 
E — 
51 el número de grados sexagesimales “S", el número de grados centesimales “C" y el número 
a $ Si jo E E 
de radianes “R”, cumplen con la siguiente relación: =+ —+—= 6 ; calcule la medida del 
b 40 n 
ángulo. 
A) 60* 
B) 30? 
C) 50* 
D) 45* 
E) 60* 
Si el número de grados sexagesimales *S”, el número de grados centesimales “C” y el número 
de radianes “R”, cumplen con la siguiente relación: 3C + 55 + R = 150, 31416; halle la 
medida del ángulo en radianes ( = =3,1416), 
A EE 
20 
B) 
0) 
mo
ta
 
|.
 
|
 
En
 
E
 
D) 
o
 
E) 
>= 
[
a
 
Si la diferencia de las inversas de las medidas de un arco en grados sexagesimales y en grados 
centesimales es igual a su medida en radianes dividida por 2 1, halle la medida de dicho arco 
positivo en el sistema sexagesimal. 
Aj 152 
B) 122 
C) 102 
Dj) 9 
E) 6? 
Si al medir un ángulo en el sistema sexagesimal y en el sistema centesimal se obtiene la 
diferencia de las inversas de dichas medidas que es igual a _— veces la media aritmética de 
estas medidas, calcule la medida del ángulo en radianes. 
A) 
|» 
31-
 
B) 
C) 
D) 
al
 
=
 
” 
=
S
|
-
 
3
 
 
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PRE 
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13, 
14, 
15. 
16. 
17. 
Sabiendo que la longitud de una circunferencia es 600 m y que subtiende un ángulo central de 
45", halle la longitud del arco. 
A) 35m 
B) 45m 
O) 55m 
Dj 65m 
Ej 15m 
Si una longitud de arco de 15 m subtiende un ángulo central de 3 radianes. halle el radio de la 
circunferencia. 
A) 5m 
Bj) 7m 
C) 10m 
Dj 12m 
E) l5m 
En una circunferencia de radio (2x + 5) m, para un ángulo central de 72* le corresponde un 
arco de longitud (x + 1) 7 mi halle el radio de la circunferencia. 
A) ¿m 
Bj) 10m 
O lm 
ED) 15m 
E) 18m 
Si un arco subtiende un ángulo central de 19,89 en el centro de una circunferencia cuyo radio 
es 3 cm: halle el ángulo que sublenderá en otra circunferencia cuyo radio es de 11 cm., de tal 
manera que sus respectivas longitudes de arco sean iguales. 
A) 2* 
B) 4% 
O) 6* 
Dj) 8* 
Ej 124 
Dos ángulos en el centro de un circulo son complementarios y las longitudes de los arcos que 
subtienden suman 4x m. Calcule la longitud del radio del circulo. 
Aj 10m 
B) 38m 
CO) 6m 
Dj) 4m 
E) 23m 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 
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CE 
PRE 
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18. Una autopista tiene un tramo formado por dos arcos de circunferencia; el primero tiene un 
ángulo central de = rad y un radio de 18 Km y el segundo tiene un radio de 36 Km. y un 
ángulo central de “2 rad. Halle la longitud total del tramo de la autopista. 
18 
A) 107 Km 
B) 1271 Km 
C) l47 Km 
Dj) 167 Km 
E) 187 Km 
19. Un auto de carrera recorre un circuito circular de 224 m de diámetro y en un tiempo de 44 
segundos gira un ángulo de 135%. Halle la velocidad del auto en m/s. (1 = 22/17) 
A) 32 
B) 24 
C) 16 
D) 12 
E) 6 
20. Un motociclista recorre una autopista circular de 560 m de diámetro y en un tiempo de 5 
segundos barre un ángulo de 45%. Calcule la velocidad del auto en mís. (1 = 227) 
A) 55 
B) 4 
0 33 
D) 22 
E) 11 
21. En lafigura mostrada, si el área de la región sombreada es (n—1) veces el área de la región no 
sombreada; halle “L”.(n > 1) 
A) aun 
B) «lan ada 
O a 
D) an 
E) nx/a 
ss 4 £ s b 
22. En la figura mostrada, si los sectores circulares son concéntricos, halle —. 
a 
A) 1 
B) 2 
0) 3 
Dn: 
3L 
t
u
 
34 
 
Unidad 1 - Léxico y etimología 37 
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23. En la figura mostrada, si las áreas mostradas *S¡" y “S,” son iguales, calcule el valor del 
ángulo “0”, 
Ay Y rad 
0 
Br 2 md 
5 
Cc) Erad qe 
D) h rad 
5 
E) Erad 
10 
24, En la figura mostrada, calcule el área de la región sombreada. 
A) 12(x- 4) ul 
B) 15(5 
C) 13(n 
D) 21 (5 
E) 24(= 
13) ul 
3) ul 
NS 
3) ul 
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BRE 1 
Tu futuro empieza UNALM “> 
con nosotros
 
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UNIDAD 2 
 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
DE UN ÁNGULO AGUDO. 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 
RECTÁNGULOS, ÁNGULOS 
VERTICALES Y HORIZONTALES 
 
38 
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OBJETIVOS 
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de: 
l. Identificar los elementos de un triángulo rectángulo y establecer las relaciones que existen entre 
sus lados y ángulos agudos. 
2. Definir razón trigonométrica y conocer sus propiedades, 
3. Calcular las razones trigonométricas de ángulos notables. 
4. Resolver problemas gráficos y analíticos, 
5. — Relacionar los lados de un triángulo rectángulo y las razones trigonométricas, 
6. — Resolver problemas de aplicación sobre ángulos verticales y horizontales. 
CONTENIDO 
”% + 
2.1 Triángulo rectángulo. Propiedades 
22 Razón Ingonométrica 
2.3 Razones trigonométricas recíprocas 
2.4 Razones trigonométricas de ángulos complementarios 
2.5 Propiedad fundamental de las razones trigonométricas 
2.6 Razones trigonométricas de ángulos notables. 
SEGUNDA PARTE: 
2.7 Resolución de triángulos rectángulos 
2.8 Árca de un triángulo cualquiera 
2.9 — Angulos verticales: Elevación y depresión 
2.10 Angulos horizontales 
CONOCIMIENTOS PREVIOS: 
Operaciones Básicas en R (Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación, Radicación). 
Propiedades Básicas de Geometría (Semejanza de Triángulos, teorema de Pitágoras). 
Productos Notables. 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 
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2.1 Triángulo rectángulo 
Es una figura geométrica que tiene tres lados y uno de sus ángulos es recto. Al lado mayor se le 
denomina hipotenusa y a los lados menores se les llama catetos. 
Entre dichos lados se cumple el Teorema de Pitágoras, el cual señala que "el cuadrado de la 
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Además, los ángulos agudos del 
triángulo suman 90%, por lo que se denominan ángulos complementarios. 
 
 
 
 
B 
a+ b=c 
c 
a 
Ángulos Complementarios 
A + B=%0* 
Ejemplos: 
1) Halle el lado que falta en cada triángulo: 
a) 25 b) 41 
a 9 
7 b 
Resolución: 
Aplicando el Teorema de Pitágoras en los dos triángulos, se obtiene: 
a) a+7=25 
al +49=625 
a =576 
a= y576 -. 1=24 
b) b +9 =41* 
b' +81 = 1681 
b? =1600 
b= Jicoo - b=40 
2) Calcule el complemento de los siguientes ángulos: 
a) 40* 
b) 0 
e) 90" -6 
d)20+0 
0) 247 30" 
AP Resolución: 
DU a) 90" - 401 = 50* 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 40 
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b) 90-06 
€) 90" - (90 -0)=0 
d) 90" - (20"+8)=70"-0 
€) 90" — (24930') = 8960" - 2430" = 6530" 
2,2 Razón trigonométrica 
Es el cociente que se establece entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, Se 
toma con referencia a uno de los ángulos agudos y en total son seis, cuyos nombres son: Seno, 
Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante y se representa por Sen, Cos, Tan, Cot, Sec 
y Cse respectivamente. 
Es importante observar que las razones trigonométricas de un ángulo son cantidades 
numéricas, Cada una de ellas representa la razón de una longitud a otra y nunca deben 
considerarse como longitudes. 
Cuando se toma una razón ingonométrica se le denomina, por ejemplo: "Seno de A" y se le 
representa como SenA, donde se observa la unión del operador trigonométrico Sen y el ángulo A; 
pero esta unión no es una multiplicación. 
Errores comunes: 
 Tando0" *Senld"+Senl0"s. Sen(230"+10%) . = 4d 
Tan10" 
*5Cos0 » Cos50 *Sen*30%= Sen900* 
Definamos las razones trigonométricas del ángulo A en el triángulo rectángulo ABC: 
 
B 
¿ a: cateto opuesto 
«l 
b: caleto adyacente 
e: hipotenusa 
A b e 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 41 
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cotelo opuesto 3 | 
Sena ————= . 
hipotenusa e p ly 
| cateto adyacente Cosa - ——_——_———— 
hipotenusa n 
J
o
 
caleto opuesto 
TanA 
catelo adyacente 
cualquier valor positivo 
cateto adyacente 
ColA 
B
i
r
 
j
a
 
cateto opuesto 
hipotenusa 
tl SecA 
a
 
cateto adyacente 
>] 
hipotenusa E 
CscA == 
a 
| 
| 
| 
| 
| 
catelo opuesto | 
Ejemplo: 
1) En la figura, halle todas las razones trigonométricas del ángulo "0" 
 
Resolución: 
Sea x la longitud de la hipotenusa. 
Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos: 
=5+12 
xi =25+144 5 A 
x=169 
7 Bs, 
x=13 12 
Luego: 
Seng= Cscp= Y 
13 5 
Coso = — Sec = = 
Tand= = Coto = E 
» n 5 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 
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2) SioTano=0,4; calcule el valor de: sen 0.Cos 0 
Resolución: 
Del dato se tiene que: 
3 2 cateto opuesto 
Tan. rr AAA A 
10 05 catetondyvacente 
Luego obtenemos: 
Sen0.Cos0 = ENE 
10 
Sen0.Cos0 = — 
30 
10
] 
 
2.3 Razones trigonométricas recíprocas 
Las razones reciprocas son aquellas cuyo valor es el inverso aritmético de la otra, por ejemplo: 
4 4 so 
— y son razones que cumplen esta condición. 
4 3 
En las razones trigonométricas encontramos parejas de razones reciprocas, a saber: 
B 
SIA mE y éma=E 
E E a 
A b E 
CosA=-= y 5ecA= 7 Razones reciprocas 
E | 
A eto =l | 3nmaA=-— na =- co b y >| 
Si efectuamos la multiplicación de dos razones recíprocas, encontramos que el resultado es la 
unidad. Asi: 2. 2-1, motivo por el cual deducimos la siguiente propiedad: 
4 3 
"El producto de dos razones trigonométricas recíprocas es siempre la unidad” 
Por lo tanto: 
 
SenA.CscA=1 
CosA. .5ecA=1 
Tan A .ComA =1 
 
Nota: Obsérvese que los ángulos de las razones tngonométricas son los mismos. 
 Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 43 
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Ejemplos: 
1) Sena.Csca = 1 
2) = Cscóx 
 3) = Coséx 
Seckx 
4) Cos0.Secó=1=> 0=4 
5) — Tan(2x-12%) Cox +1l4)=1=> —¿x—-12P=x+14 => x=26 
2.4 Razones trigonométricas de ángulos complementarios 
Al definir las razones trigonométricas, hemos considerado a uno de los ángulos agudos, pero 
también se puede tomar las razones trigonométricas del otro ángulo agudo o sea de su 
complemento y como se trata de los mismos lados encontraremos algunasigualdades: 
B 
b a 
S5enB =—= CosA Col =—= Tan 
5 c b 
a e 
a CosB = == 5enA Sec =. == EscA 
c a 
b 
A b e TanB = —= CoiA Cua a Bed 
a b 
a: cateto adyacente a B 
b: cateto opuesto a B 
e: hipotenusa 
De estas igualdades deducimos la siguiente propiedad: 
"La razón trigonométrica de un ángulo es igual a la co-razón trigonométrica de su ángulo 
complementario”, 
 
Si: A+ B=090* 
Razón trigonométrica (A) = Co-razón trigonométrica (B) 
 
 
Son Co-razones: Seno y Coseno 
Tangente y Cotangente 
Secante y Cosecante 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 44 
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Ejemplos: 
1) Exprese lo siguiente en base a su co-razón: 
a) Sen42? 
b) Cot34940" 
ce) Tanú 
d) Csc(90*- 0) 
e) Cos(0+20%) 
Resolución: 
a) Sen 42" = Cos(90* - 42%) = Cos48” 
b) Cot34%40" = Tan(90* - 34740") = Tan 55%20" 
c) Tan6= Cot (90" - 0) 
d) Csc( 90*- 0)= Sec[90” - (907 - 0)] = Sec(90” -907 +8) = SecO 
e) Cos (8+20*) = Sen[90" - (9+20)] = Sen(90* - Q - 20") = Sen (70* - 0) 
2) Encuentre el valor de x en cada uno de los siguientes casos: 
a) 
b) 
e) 
Senóx = Cos3x 
Seci3x - 15%) = Osclx + 25%) 
Tan 2x, Tan 3x=1 
Resolución: 
a) 
b) 
c) 
Senbx = Cos3x 
Como seno y coseno son co-razones, se cumple que: 
6x1 +3Ix= 900 => 9x=90" => x=10" 
Sec(3x — 15%) = Csctx + 25%) > 
Secante y cosecante son co-razones, entonces también $e cumple que: 
Fx 15 + xx + 25 = 900 => dx + 100 =900 = 4x=80" == x=20" 
Tan 2x.Tan 3x = 1 
Primero hacemos lo siguiente: 
1 
Tan 2x = = Cot 3x 
Tan xa 
Como tangente y colangente son co-razones, se cumple que: 
2x1 +3x= 90" = 5$x=9P => x=18 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 45 
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2.5 Propiedad fundamental de las razones trigonométricas 
A continuación vamos a establecer de qué dependen las razones ingonométricas. Sea AOP = 0 
un ángulo agudo, en la recta OP tome dos puntos cualesquiera B y D y trácense Bc y DE 
perpendiculares a 04 . Tome también un punto F en op. y trácese la perpendicular FG . 
 
YA 
E Del triángulo BCO: Tano = LE 
Oc 
€ .. DE Del triángulo DEO: Tano = — 
OE 
0 Del triángulo 
GFO: Tano» Fo: 
O B D F p gu n e 
Pero los triángulos BCO, DEO y GFO tienen un ángulo común: 
BC DE FG 
— ». —. —= Constante 
OC OE OF 
Por consiguiente la tangente del ángulo "0" es la misma ya sea que se obtenga del triángulo BCO, 
DEO o GFO. Una demostración similar puede hacerse para cada razón trigonométrica, por lo que 
deducimos la siguiente propiedad: 
Propiedad: 
 
"Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes de los lados del triángulo 
rectángulo que las contiene y dependen únicamente de la magnitud de dicho ángulo" 
 
Ejemplos: 
1) Si ABCD es un cuadrado y E, es el punto medio de AD, calcule el seno, coseno y tangente del 
ángulo CED. 
Resolución: 
Del triángulo rectángulo EDC obtenemos: 
 
 
 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 46 
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2) Sea el triángulo rectángulo ABC recto en A. Se traza BD perpendicular a pc y corta a la 
prolongación de caen D.SiAB=12, AC=16 y BC = 20, Determine BD y CD. 
Resolución: 
 
 
En el triángulo rectángulo ABC notamos que la longitud de sus lados son proporcionales a 3, 4 
y 5 por lo que obtenemos C=37". 
Luego, en el triángulo rectángulo DBC tenemos: 
D=53" luego: Sens3" = —, también: Sen qn. 
y 
Por lo tanto: ce z => y=25, Además: 
Sen =E - 3 ra 
y 5 25 5 
2.6 Razones trigonométricas de ángulos notables 
a) Razones trigonométricas de 30? y 609 
Construimos un triángulo equilátero, en el cual trazamos la altura y formamos dos triángulos 
rectángulos de 30? y 607. Si uno de los lados del triángulo cquilátero es "L", los lados del 
triángulo rectángulo son 7 yo Y , de donde deducimos la propiedad: 
> 
 
Catelo opuesto a 310"= Mitad de la hipotenusa 
 
Cateto opuesto a 60*= (Mitad de la hipotenusa)* 5 
Pero para tomar el valor de las razones trigonométricas de 30% y 60%, es más cómodo dar un 
valor a "L", pues las razones no dependen de la longitud de los lados. Asi para L=2, 
tenemos: 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 47 
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1 
5Sen30"= —» Coz60” 
Cos30"= —= Senól 
 
 
 
Coti0?» ad = Tanb0* 
| 
2 El 
Seci0?= —= Ya = CscóD” 
A 3 | 
2 
Csci0"= == 2 = 5ecó0” 
t 
b) Razones trigonométricas de 45% 
Construimos un triángulo rectángulo isósceles y a uno de los catetos le llamamos "L", luego 
la hipotenusa se calcula por el Teorema de Pitágoras y su valores "L ala" . 
E 
45 
 
 
 
1/2 2 
 
 e 
Hipotenusa = Cateto x /2. A 
A = F 
Para obtener las razones trigonométricas de 45%, hacemos L = 1 y tenemos: 
1 $2 I 
send5* - = Cosds* Tan45*= ==] = Cot45* 
l La 2 
 
Secds*= dz == 0sc45* 
ce) Razones trigonométricas de 37? y 539 
Para oblener las razones lrigonométricas de estos ángulos recurrimos a un triángulo 
rectángulo, donde sus lados son proporcionales a tres números consecutivos: 3, 4 y 5. Sus 
ángulos agudos son exactamente 36,87? y 53,13” los cuales aproximamos a 37? y 53" para 
fines prácticos. 
E 
 
 
 
Cateto opuesto a 37*: proporcional a 3 SL 
Cateto opuesto a 53%: proporcional a 4 4L 
Hipotenusa: Proporcional a 5 
Po O 
3L 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 48 
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Para obtener los valores de las razones trigonométricas de 37? y 53* damos un valor L = 1 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lenemos: 
Seni7"= z = Cos53” 
5 
Cos37*= Z = 5en53” 
5 
3 
Tan37”= —= Cot5S3” 
4 
dá 
Coti?*= —= Tans3* 
3 
5 
Seci7*= —= Cscil” 
4 
5 
Cicd7* —= 5cchd” 
3 
Resumiendo: 
RAZONES 308 602 459 37 5Í 
Seno E EN ve Es RE, 2% 
2 2 7 5 5 
Cuña A sd A “ E 
1 1 3 5 5 
Tangente Ya dh 1 Ez. eN 
3 4 ] 
3 
Cotangente dh e 1 ES — 
3 3 4 
Secante 25 2 0 BA EM 
A 4 3 
Cosecante 2 a dh paz, pe 
3 3 4 
Ejemplos: 
1) Determine el valor de cada una de las siguientes expresiones: 
a) Cos "60? + 6Sen45* . Cos45* + 0,75Tand45* 
b) 3Cot45% -— y/3 Tanó0" + 4Sen*30* — 1 
€) 5Sen37? + Tan'60* — y/2 Sen45? +2 
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Resolución: 
3 
= —+3+2>=4 a) de rotor 
2 Rh. 4 4 
9 3)- Bda 1 3-3 +11 =0 
c) Sr y sd =3+3-1]1+2=7 
5 da 
2) Dado: Sen(2x + 10%) = Costa + 5*), determine el valor de: 
K- Tan? (3x -15*) + AC 12 e E 3Scco1x +5) 
Resolución: 
Del dato: 
Seni2a + 10%) = Cosix +57) = razón = co - razón 
dd + 10%) + (a+ 57)= 90" 
Jj =75* 
x=. 235 
Reemplazando en K: 
2 o 2 e 2 o E = Tan "60% + ¿Cos 45% + Secc" 30 
El
 a 
m
n
 1
 
—
—
 
1 
+ Le
 
_
—
—
 
w 
[$
 
A
 , a E
 
—
—
 
2.7 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
Resolver un triángulo rectángulo significa calcular las medidas de todos los ángulos y las 
longitudes de todos los lados. 
Esta resolución será posible si se dan: 
* Las longitudes de dos de sus lados. 
* La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 50 
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a) Resolución de un triángulo rectángulo dados un ángulo agudo y la longitud de un lado. 
Casos que se presentan: 
Teorema l: Si en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo (0) y la hipotenusa (H), 
el valor de sus catetos adyacente y opuesto son: H Cos8 y H Sen8 respectivamente. 
E> H. Sen 0 
LD 
 
H. Cos 0 
Teorema 1; Si en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo (6) y su cateto adyacente 
(A), el valor de su cateto opuesto y su hipotenusa son: ATand y ASccB, respectivamente. 
A. Sec O 
=> A. Tan 0 
A 
Teorema MI: Si en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo (0) y su cateto opuesto 
(P), el valor de su cateto adyacente y su hipotenusa son: PCot0 y PCscB, respectivamente. 
 
 
 
Otra forma de calcular: 
Lado que Lado que < 
o ] ps as ] $ [rr] 
Ejemplos: 
Lo que quiero 
Lo que tengo 
1) Halle *x" en cada uno de los siguiente gráficos, en función de “m"” y el ángulo “a” 
"ES E 
Xx “¿== 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 51 
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Resolución: 
a) Sena = m.Cosa ca m. Cosa vs 
Xx 5eno 
b) Sen a. = E = x= m.Sen a. Tana 
m.Tano 
2) Halle *x" en cada uno de los siguientes gráficos, en función de “a” y el ángulo “0” 
 
 
 
3) | Z bi Y, 
la SS 
D HK———— 1 > 
Resolución: 
a) Seno=%£>AC=2aSen0 , 
la 
L BC = a5enú 
3 
Tan 6 = : B 
asen 
¿cx=aTan 6, Sen 0 A 
a 
[2 
bj) El tranguló es equilátero: Cos 0 = z =x=2aC0s 0 
a 
2.8 Área de una región triangular cualquiera 
Dado un triángulo, donde dos de sus lados son conocidos y el ángulo comprendido también, su 
área será igual al semiproducto de éstos multiplicado por el seno del ángulo comprendido. 
 
 
 
 
E 
a 
b ' E Area amé 3 sena 
aL 
A B 
E 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 52 
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Demostración: 
En un tnángulo cualquiera ABC, se tiene: 
Base =b B 
Altura = h 
Hallando el área: á c 
= base , alilura 
PICO y - > 
siendo: h=aSsena 
Luego: 
, ab 
Área BC = Ga 
Ejemplo: 
Dos lados de un triángulo miden 10u y 5 2 u. Calcule el área de la región triangular. si el ángulo 
comprendido entre dichos lados mide 45". 
Resolución: 
Sabemos que: 
ab 
— 5 cna 450 Área mc * A 
Ou 
reemplazando los datos: 5 Lu 
5 
a 10u Sen4s? 
Área, _ 5 
 
29 ÁNGULOS VERTICALES: ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN 
Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical. Para determinarlos se trazan dos lineas 
(imaginarias) denominadas: linea horizontal y linea visual. La linea horizontal tiene que ver 
con el plano de referencia o plano horizontal y debe ser trazada a la altura del ojo del observador 
y la linea visual es la recta que partiendo del ojo del observador, va hacia el objeto observado. 
Según su dirección u orientación, a dichos ángulos se les denomina: ángulo de elevación o 
ángulo de depresión. 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 53 
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2.9.1. ÁNGU VACIÓN: (0,) 
Es el ángulo determinado por un plano horizontal y la linea visual, cuando dicha línea 
está por encima del plano horizontal. 
 
 
Objeto 
QQ 
Linea 
visual 
aL - 
> Linea 
0, horizontal 
Observador 
2.9.2 ÁNGULO DE DEPRESIÓN: ($) 
Es el ángulo determinado por el plano horizontal y la línea visual, cuando dicha linea se 
ubica por debajo de la linea horizontal. 
Observador 
4 Linea 
* horizontal 
 
 
Ejemplos: 
l. Un “enano” tiene una estatura menor en un centimetro que su sombra. Una 
hormiga situada en el extremo de su sombra mira la cabeza de este “enano” con un 
; “ 20 
ángulo de elevación tal que su seno vale —. Calcule su estatura. 
29 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 54 
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Resolución: 
Del enunciado del problema, podemos graficar: 
x-1 Además: Sena. = 22. 20 
Xx 21 
. -1 20 
Finalmente: + 21.21 = 20%» x= 21 
Xx 
- estatura = 20cm 
Un avión que se encuentra a una altura de 4 500 m sobre un objetivo, se viene 
cayendo con un ángulo de inclinación “a” debajo de la horizontal. Luego de 
recorrer 1 300 m, el avión toma la dirección horizontal y recorre “L” m, alejándose 
del objetivo después de lo cual, el piloto observa el objetivo con un ángulo de 
depresión de 53". 
, 5 
Calcule “L” 51: Seña = — 
13 
 
 
 
Resolución: 
Sena = — 
500 | 300 
1 200 objetivo 
ls” 
Ey 
4 000 
. Tania —úo 
ms 
. | 200 +L 
1 
3 11200+L 
| 200 + L=3000 => L=1 800 
-. L=1800 m 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 55 
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2.10 ÁNGULOS HORIZONTALES 
Son aquellos ángulos contenidos en un plano horizontal. Para determinarlos empleamos la rosa 
náutica y una linea imaginaria denominada dirección. 
ROSA NÁUTICA 
En la superficie terrestre, las direcciones están indicadas en la rosa náutica de un compás 
náutico o brújula. Dichas direcciones son denominadas Rumbos del compás y se obtienen 
dividiendo en 08 partes cada uno de los cuadrantes comprendidos entre los cuatro puntos 
cardinales: Norte (N), Sur (5), Este (E) y Oeste (W) Estos: cuatro rumbos y los 
correspondientes a las bisectrices de los cuadrantes: Nor — este, Sur — este, Nor — oeste y Sur — 
oeste, constituyen los rumbos principales. Entre cada dos rumbos principales, se consideran 
otros cuatro rumbos a los que se denominan cuartas del compás. Una rosa náutica consta de 
32 cuartas. Cada cuarta tiene un valor de 119 15" 
 
Ejemplos: 
1) En la siguiente figura, se supone un plano horizontal donde se han representado tres 
rumbos. El punto O es el lugar donde se halla el observador. 
Resolución: 
 
+ El rumbo OA será: Norte 20% al Este. Se escribe: N 20* E 
+ El rumbo OB será: Norte 60% al Oeste. Se escribe: N 60% W 
Fo El rumbo OC será: Sur 307 al Este. Se escribe: 5 30" E 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 
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2) Un hombre caminando en la dirección Nor Oeste ve un molino en la dirección W75*%N. En 
media hora el hombre llega a un lugar que se encuentra en la dirección 5759 W del molino y 
a 5 km de éste. Halle la velocidad con que se desplaza el hombre. 
Resolución: 
Por propiedad del triángulo rectángulo de 308 y 60? : 
e= 10 km 
Luego: v == 
1 
l0km 
y 
12h 
. v=20 km/h 
3) Dos personas se encuentran una al ocste de la otra y van a su encuentro en direcciones 
E20%N y N60%W, Calcula el menor ángulo formado por sus direcciones, en el punto de 
encuentro. 
Resolución: 
plano 
horizonta 
En seguida calculamos los ángulos internos del triángulo ABP, asi: 
ZA=20";£B=30", luego: ¿P= 130" 
Alrededor de “P” se forman dos a dos ángulos suplementarios como: 130? y 50% 
+. Menor ángulo será: 50? 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 57 
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CE 
PRE 
UNALM 
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RESUMEN 
Seno Cotangente 
Senf= Cateto O puesto Cot9= Cateto Adyacente 
Hipotenusa Cateto OpuestoRAZONES Coseno Secante 
TRIGONOMÉTRICAS Cosp= "00 Advyacente SecO= Hipotenusa 
DE ANGULOS AGUDOS Hipotenusa Cateto Adyacente 
Tangente Cosecante 
TanQ= Cateto Opuesto Csc9= Mipotenusa 
Cateto Adyacente Cateto Opuesto 
4 Á 
TRIÁNGULOS 302 
5 
NOTABLES 2 E p 
¿200 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS 
 
 
 Si: a+ fp = 90 => R.T(a)= Co-R.T.(B) 
 
 
 
 
 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS | SenaCsca=1 | Cosa.Seca=1 Tana.Cota = 1 
RECÍPROCAS 
RESOLUCIÓN i L. Sec 0 P, Csc 0 
DE H. 5cn 0 L. Tan 6 
TRIÁNGULOS 
H. Cos 0 P. Cot 0 
Cc 
ÁREA DEL b a AR 
| - k íGULO Área ame a OA 
 
 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 
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EJERCICIOS RESUELTOS 
l. En un triangulo rectángulo ABC (resto en C), Reduzca: SocA .CscB — TanACotB 
Resolución: 
Dado el triángulo rectángulo ABC recto “*C” 
B 
Ñ c 
e Á 
b 
Por el teorema de Pitágoras: 
P = e (+) 
Reemplazando (*) en (**): 
AA 
b” bp” 
. P=] 
2. El perímetro de un triángulo rectángulo es 300m. Si la Tangente de uno de los ángulos es 2,4, 
¿Cuánto mide el cateto menor? 
Resolución: 
Del enunciado dibujamos el triángulo rectángulo donde: Tuna = = 
H=13n 15n 
5n 
- Por Pitágoras la hipotenusa es: 
Wi = (120) +(5n)' 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 59 
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H =13n 
Para la condición, el perimetro es 300: 
l3n +12n +5n = 300 
30n += 300 
n=10 
Finalmente el cateto menor es: 
 5n = 50m 
3. Dela figura, Halle *“x” 
 
 
 
 
Resolución: 
 
 
 
 
Del gráfico: 
* Enel Triángulo Rectángulo ACB: Seno = 
A
 
* Enel Triangulo Rectángulo AHP: Senú == 
J 
Luego igualando las razones trigonométricas se tiene: 
6 1 
* 3 
2x =18 
.x=9 
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4. 
 
 
. ; Tan40" 
Si 0 es un ángulo agudo tal que: Sen (30 -20")Cse (0.+ 50") = — 
Cot507 
Calcule: 2Sen (0 -5*) + A Cos(0 +10") 
Resolución: 
De la condición: 
Tan40* 
Sen (30 - 20") Cse (0 + 50%) = 
Co150" 
Co150* 
Sen(30-20*)Csc(0+50*)= 
Ca150” 
Sen (30 -20")Cse (0 +50") =1 
Propiedades de las R.T. reciprocas: 
30 -20"=0+ 50" 
20 = 70" > 0 = 35" 
Luego reemplazando en: 
25en(0-5*)]+ cos 0 + 10%), se tiene: 
¿Seno 2/20 0545" 
mur 1 
Ag > 
Si*4” esagudo, además: 25en(4 +15") = Tan2" Tan4" Tanó*...Tang4"TanR6* Tan88” 
Calcule:Sen2ó + Tanió 
Resolución: 
De la condición: 
2Sen ($ + 15)*= Tan2*Tan4" Tanó”...Tan84" Tang86" Tands” 
En el segundo miembro el número de factores es 44: 
2Sen($ +15) = Tan2*Tan4”"Tanó".. .Tond4"Tans6”, Tank4"Tankó" Tans8" 
CO..T 
2Sen (4 +15") = Tan2"Tan4” Tanó”.. Tand4"Com44*..Cotd* Cor?” 
Ordenando el Segundo miembro (el orden de los factores no altera el producto) 
25en(4 +15") = Tin2? Coll” Tan” Cord? Tono Coto”... Landa? Colda” 
ñ Ú 1 ' 
2Sen ($ +15") = 1.1 
2Sen[$ +15") =1 
$ + 15%= 30" 
$=15 
Luego lo pedido: —Sen24 + Tan34 
Reemplazando: —4=15" 
Send0” +Tand5” 
| 
A 
E 
[ 
Sen (4 +15") === 
l 
1 
» 
É 
E
d
 
| 
as
 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 
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6. Del gráfico, Calcule Tanó (AOB: es sector circular) 
A 
 old LJ 
Resolución: 
A 
Bk 
 
 ob 
KM 3H 2 B 
En el triángulo rectángulo AOH, sea: AH = 10k 
OA =8k; OH=6k => HB =2k 
Trazamos altura PM, y en el Triángulo rectángulo PMH 
PM =4k % MH =3k 
: 4k 
Finalmente: Tan 0 = — 
Sk 
a 
¿ Tan =. = 
5 
T. Siendo *x”, “y”, “z" ángulos agudos que cumplen las condiciones: 
SenlaCsc(x + y)=1 (1) 
TandaTanz = 1 v«[2) 
1 +20" 
Calcule: 207 2Ton[(y+z)Tanzx 
Sen(70”-y) 
Resolución: 
De la condición (1): 
SendxUCsc(x + y)=1 (Propiedad de las R.T. recíprocas) 
li = 2. + y 
=y (9) 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 62 
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De la condición (2): Tan2x Tanz =1 
ca RT 
Tan2xCot(90*-z)= 1 (Propiedad de las R.T. recíprocas) 
Za = 90*-2 
O (**) 
Reemplazando (*) en (**): 
[xe+x+z=00* 
| yn IR (4. ») 
- iCos(x + 20” 
Luego lo pedido: Pot FR), 2Tan [y + 2)Tanx 
Sen(70* y) 
Como: 10%: %x + 20* son complementarios. 
Sen(70%.x)= Cos(x + 20") 
Reemplazando: ————— 4 2Tan(90-x)Tanx 
cc 
3+ 23 CotxTani =3+42(1) =5 
, ab[(Senl0*-1)+ a. bCosk0" ss El pe -$ 
ab[(Cos80*+1)+ 4" + b'Senlo” 
 
Calcule: Te 
Resolución: 
ab(Sent0"-1)+ a? -bóCosR0" 
De: a - H 
ab(Cos80*+1) + a* + b "Senlo0” 
Reemplazando (Cos80* = Sen10"): 
abSent0".ab+a” -b Sendo” 
 
 
abScen10"+ab + al + bSento” 
Factorizando en el numerador y denominador convenientemente: 
bSenlO0"[(a-.b]+a[(a-b) 
o. 
bSenl0"[(a +b)]+3a(2a +b) 
 AAA ad 
(a + b) [FS mtm] a+b 
Finalmente reemplazando en: 
+ Ho a 
Hobo 
9. Enla figura: Tana = 2,4. El valor de “a” es: 
26 a 
17 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 63 
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Resolución: 
Del dato: Tana = 2,4 = Tana » = 
o 
De donde: BH= 24k y AH = 10k 
Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo AHB: (10k)' + (24) = (AB) se obtiene: 
AB = 26k = 26=>k+=1 
 
 
26 
24 
1 
ñ 
Ú 
4 
ú 
A 
á 
' 
i 
4 
á 
4 
ñ 
4 
 A d Cc 
L 10 En 
| 
| 17 
 
Aplicando el Teorema de Pitágoras, en el triángulo rectángulo BHC, se obtiene: a* =» 247 + 7* de 
donde: a = 25 
z 5 
10. En la figura adjunta: Tano = =¿NB =x +2,AN = 2x entonces: Tan €s: 
A 
 
c 
5 
0 
A AL N B 
Resolución: 
Del dato: Tana = 4 
- Del gráfico se tiene: 
En el triángulo rectángulo ABC Tano = 42) 
a Hx +2 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 
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A 2x x+2 B 
Igualando las ecuaciones (1) y (2). 
Resolviendo la ecuación, se tiene: x= 2 
 Del triángulo rectángulo NBC: Tanú = 
+2 
Reemplazando el valor de “x" 
a 5 
Se obtiene: Tanód = — 
á 
11. Halle “x" del gráfico en términos de “a” y “0” 
Á 
 
Resolución: 
En el Triángulo rectángulo ABC: De “P” se traza PH LAC=PH=AH 
Aplicamos resolución de triángulos rectángulos en: 
 
 
 
[CH =xCo050 
CHP y PHA=(¿ 
[PH = x5cn0 
A 
3 
xSenb 
450 
H P 
Xx 
, xCos0 [9 
45 
Cc B 
a | 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 65 
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Finalmente como: AC=BC 
Reemplazando: xScn0 + xCos0 = a 
1 (Send + Cos0) = a 
a 
ol Kk iz ———_—_———— o. 
Sen + Cosú 
12. Del gráfico mostrado, Halle AB en términos de “R” y “0” (T: es punto de tangencia; O: Centro de 
la semicircunferencia) 
 A 
Resolucion: 
 A 
Unimos OconT: (OT=R 
Trazamos la perpendicular OP, entonces: PB = R, y en el Triángulo Rectángulo OPA aplicamos 
resolución de triángulos: AP=R Sen 6 
Finalmente:AB = AP + PB 
AB=RSen0+R 
2 AB >= R(Send +1) 
13. Del gráfico halle “x", en términos de “L” y “0” 
B 
ana 
E D Je 
| L | 
- Resolución: 
- Del gráfico; trazamos la altura DH, luego aplicamos resolución de Triángulo Rectángulo en DHB 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricasde un ángulo agudo 66 
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L (2 
Observamos: AB = Ya , 
AB = x5en0 + xCo0:20 
L 4/2 
Igualando: xSend + xCosl = ” 
: 1/2 
Despejando “x": — x(Senó+ Cosb]= ——= 
3 
z (Send + Coso) A Mi 
14. Halle “Tan0”; Si: BD = a, CD = b, en términos de a, b y x 
B 
 
A D El 
Resolución: 
Del gráfico, prolongamos BD y desde “C” trazamos una perpendicular a la prolongación, tal como 
CH. 
 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 67 
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Aplicamos resolución de triángulos rectángulos en DHC: 
CH = bSenx 
DH = bCosx 
Luego en el triángulo Rectángulo BHC: 
b5 
“ Tanl = En 
a+bCosx 
15. En la figura, si las áreas de las regiones sombreadas son iguales 
Calcule: Cor0 - Tano 
c 
 
 
 
 
 
Á 
Resolución: 
= (Cot0-Tand] 
2 (Cot0-Tand)Tand 
2 
Sea: AC =a= PC =aTanód 
Aplicamos resolución de triángulos Rectángulos (Triángulo Rectángulo ABC) 
Trazamos la altura MH: 
a 
MH = —(Co0-Ton0)Tond 
3 
Luego: Sa, 
a'Tanó A a 5(Co10-Tan0) Tanó 
2 4 
Igualando áreas: 
 
Lia A (Cor -Tand) End 
 
2 d 
0 Tenemos: (Cor -Tan0) =2 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 68 
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 Desarrollando: Co'0-2Cot0T amO + Tanó0 = 2 
; rin -1)! 
= Coro+Tanú=4 
Finalmente; sumando 2 a ambos miembro: 
Cotd0+2+ Tan 0 =6 
Cod + 2Cot0Tan0 + Tan 0 =6 
ñ 
(Com + Tand)= 6 
¿ Coto + Tand = Je 
16. Del gráfico halle: Es ¿siendo 5 área. 
5 
! B 
5 
a A P 
Resolución: 
Sea BM = a, entonces MC = a. (ver figura) 
Del gráfico; trazando la altura PH-L MC, sea el ángulo AMB = 0, entonces: 
MH = nTanó, HC = a - nTan6 
 A 
 
Luego: Tanó= 2 Tano 
En el Triángulo Rectángulo PHC reemplazando (Tanó = 2Tana): 
Tana = 
a-<2nTanu 
- . aTano 
Despejando n, se liene: n= 
l+2Tan"a 
 Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 69 
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2aTana).a 
a 
Finalmente: 
: af aTana 1 
li, 3Tania) 
9 
E
n
 
he 
Simplificando: 
5, ; 
== 2 (1+ 2 T4n a 2 ) 
17. Un niño de 1m de estatura se dirige hacia un edificio, en un instante dado se detiene y observa la 
azotea del edificio con un ángulo de elevación de 37%, luego avanza 7m y vuelve a observar el 
punto anterior con un ángulo de elevación de 45", Calcule la altura del edificio. 
Resolución: 
 
 
 
Triángulo Rectángulo BDC (45* y 45") > DB=h-1 
Triángulo Rectángulo ADC (37" y 53") => Tan37*= pa 
A 
Como: AD=AB+BD =23=-Y- 
a h-1+7 
 
Resolviendo: h=22 
¿ El edificio tiene una altura de 22m 
18. Desde lo alto del sexto piso de un edificio se observa un punto en el suelo con un ángulo de 
depresión de 37”, y desde dicho punto se observa la azotea del edificio con un ángulo de elevación 
de 82". ¿Cuántos pisos tiene el edificio? 
Resolución: 
Consideramos que cada piso tiene altura “p” 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 70 
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Triángulo Rectángulo ABC (37" y 53%) = AB=8p 
Triángulo Rectángulo ABD (8* y 82") 
BD =» ABTan82* 
7k 
=H= — ip ; 
= H=56p 
El edificio tiene 56 pisos. 
19. Dos ciudadanos A y B están separados 20km, B se encuentra al ESTE de A; una ciudad C se 
encuentra al Sur de B y a una distancia de 25km de A. Halle la distancia de B a € 
Resolución: 
 Y 
5 
En el Triángulo Rectángulo ABC aplicamos el teorema de Pitágoras: 
25 =207+ x" > x=15 
¿ La distancia de B a C es 15km 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 71 
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20. Un móvil se desplaza 40 km según la dirección S60%0 con respecto a un punto inicial, luego se 
desplaza 20 km según la dirección N60%0. Halle la distancia del punto de partida hasta su nueva 
ubicación. 
Resolución: N 
A: Punto de partida 
 
Triángulo Rectángulo BDC (30 y 60) = BD=10 A CD=1043 
Triángulo Rectángulo ADC: Teorema de Pitágoras: 
50 + (10/35) 
r- 20/7 
La distancia es 207 km 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 2 
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EJERCICIOS PROPUESTOS 
l. Si: Cos a = 0,8; donde u es agudo, se pide: 3Csc u + 4Sec a 
A) 4 
B) 6 
C)8 
D) 10 
E) 12 
2. Siendo Ó un ángulo agudo y además: Tanb = 4/5 Calcule: 1 + Cos +0 
Az 
6 
a+ b 
 3, Enuntriángulo ABC (C =90P), se verifica que: e a ; Calcule SecA . CscA 
A) = 
B) 
0) 
D) 
E) 
4. Calcule el valor de x que verifica la igualdad: x50c 45 *-Csc 10"= 2 Cos 45"-2:8cn 30” 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 73 
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5. Enla figura BE = 2EC, Determine el valor de Tan 0 B 
A) 3 
B) 2 
Cy 1 E 
D) Y 
E) 4 Ú 
6. Enel gráfico mostrado, Obtenga x 
 
A) 19 
B) 20 
C) 21 
D) 22 
E) 23 
Te. Sl Sase 2y =1, además: Tam (y +15)= Cot (x -15*); Calcule Tan?x + 25eny 
A) 1 
B) 2 
o3 
D) 4 
E) 6 
Cos (3x4 + 2y) Tan (5x + y) 
A a e 8. Si: Sen4xSecóy = 1; (4x: 6y: agudos); Obtenga el valor de: Satisiyl Galy-x) 
A) 0,5 
B) 1 
C) 1,5 
- D)2 
IP BPES 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 74 
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9. Sise cumple: Tan (x - 5%) = Cos (80 *+ y JCsc (10 "-y) 
Halle el valor de: Tanx Tan (x -10%) + Sen (x+ y).Sec (x-y-10%) 
A) 1 
B) 2 
03 
D) 4 
E) 5 
10. Si se cumplen las relaciones: 
Tan (0-4) = Cor($ +0) 
Senlacse (0 + 30%) = 1 
Calcule el valor de: Sen (9 -10*)Sec0 + Ton (a + 5")Tan(0-5*) 
A) 1 
B) 2 
C) Y 
D) 3 
E) 3/2 
M. En un triángulo rectángulo el lado mayor mide a. Calcule su perimetro, si uno de sus ángulos 
agudos es 0 
A) aSenÚ 
B) 1Co50 
C) aSentó 
D) aCos*8 
E) a(Sen 0 + Cos 0+ 1) 
12. Dada la semicircunferencia mostrada, Determine AC en términos de 0 y m. 
 
A) 4m Sen () 
B) 4m Cos 0 
EC) ¿m SenÚ0 
D) 23m Cos 8 
-——ElmTand 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 75 
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13. En la figura siguiente, Calcule x / ben terminos de O 
 
A) Senf Cos 0 
B) Sen'0 Cos 20 
C) Send Cosb 
D) 2Scn"Cos'0 
E) Send Cos 0 
14. Determine: Tan 76 
A) 1 
B) Ys 
C) 2 4 
D) Ya 
E) 1/8 
bo
 
15. De la figura mostrada, evalúe Tané, siendo S área. 
3 
A) 4/3 
B) 2/3 
0) 3/2 
DD 13 
E) 5/4 
 
Unidad 2 - Razones trigonométricas de un ángulo agudo 76 
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16. Calcule el área (en u*) limitada por el triángulo rectángulo ABC (recto en B), si el área de la región 
sombreada es igual a 9u?, 
 
A) 05m a 
B) 9Cos “a 
C) 9Tam * 
D) Use “a 
E) 05% a 
B 
17. Una persona observa un poste con un ángulo