Ec Gral de Seg Orden

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ECUACIONES DIFERENCIALES 
 
Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza Página 1 
 
Capítulo # 7 
ECUACION GENERAL DE SEGUNDO ORDEN 
Introducción: 
Este tipo de ecuaciones tiene la siguiente forma general: 
𝒚′′ + 𝑹(𝒙)𝒚′ + 𝑺(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙) 
No existe un método general que permita la resolución de esta ecuación, 
pero sí existen técnicas para ciertos casos particulares. 
 Si los coeficientes R y S son constantes la ecuación diferencial sería de 
coeficientes constantes, caso contrario se puede efectuar un cambio de 
variable. 
Cambio de Variable Dependiente: 
 Sea: 𝒚 = 𝒖 ∙ 𝒗 con 𝒖 = 𝒖(𝒙) 𝑦 𝒗 = 𝒗(𝒙) entonces: 𝒚′ = 𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′ 
𝒚′′ = 𝒖′′ ∙ 𝒗 + 𝒖′ ∙ 𝒗′ + 𝒖′ ∙ 𝒗′ + 𝒖 ∙ 𝒗′′ de donde: 𝒚′′ = 𝒖′′ ∙ 𝒗 + 𝟐𝒖′ ∙ 𝒗′ + 𝒖 ∙ 𝒗′′ 
reemplazando en la forma general tendremos: 
𝒖′′ ∙ 𝒗 + 𝟐𝒖′ ∙ 𝒗′ + 𝒖 ∙ 𝒗′′ + (𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′)𝑹(𝒙) + (𝒖 ∙ 𝒗)𝑺(𝒙) = 𝑸(𝒙) 
Operando y ordenando para v tenemos: 
𝒖′′ ∙ 𝒗 + 𝟐𝒖′ ∙ 𝒗′ + 𝒖 ∙ 𝒗′′ + 𝒖′ ∙ 𝒗𝑹(𝒙) + 𝒖 ∙ 𝒗′𝑹(𝒙) + 𝒖 ∙ 𝒗 ∙ 𝑺(𝒙) = 𝑸(𝒙) 
𝒗
𝒖
∙ 𝒖′′ +
𝟐𝒖′
𝒖
∙ 𝒗′ + 𝒗′′ + 𝑹(𝒙) ∙
𝒗
𝒖
∙ 𝒖′ + 𝑹(𝒙) ∙ 𝒗′ + 𝑺(𝒙) ∙ 𝒗 =
𝑸(𝒙)
𝒖
 
𝒗′′ + [
𝟐𝒖′
𝒖
+ 𝑹(𝒙)] 𝒗′ + [
𝟏
𝒖
𝒖′′ +
𝑹(𝒙)
𝒖
𝒖′ + 𝑺(𝒙)] 𝒗 =
𝑸(𝒙)
𝒖
 
𝒗′′ + [
𝟐𝒖′
𝒖
+ 𝑹(𝒙)] 𝒗′ +
𝟏
𝒖
[𝒖′′ + 𝑹(𝒙)𝒖′ + 𝒖 ∙ 𝑺(𝒙)] =
𝑸(𝒙)
𝒖
 
Sea: 𝑹𝟏(𝒙) = [
𝟐𝒖′
𝒖
+ 𝑹(𝒙)]; 𝑺𝟏 =
𝟏
𝒖
[𝒖′′ + 𝑹(𝒙) ∙ 𝒖′ + 𝒖 ∙ 𝑺(𝒙)] y 𝑸𝟏 =
𝑸(𝒙)
𝒖
 
De donde la nueva ecuación a resolver es: 
𝒗′′ + 𝑹𝟏(𝒙) ∙ 𝒗′ + 𝑺𝟏(𝒙) ∙ 𝒗 = 𝑸𝟏(𝒙) 
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a) Si u es una integral particular de la ecuación general de segundo orden 
(solución particular), entonces 𝑺𝟏(𝒙) = 𝟎 de donde la ecuación anterior se 
transformará en: 
 
 
 
Aplicando una nueva sustitución obtendremos una ecuación de primer 
grado, primer orden de la siguiente forma: 
 
Sea: 𝒑 = 𝒗′ → 𝒗′′ = 𝒑′ entonces: 
 
𝒑′ + 𝑹𝟏(𝒙) ∙ 𝒑 = 𝑸𝟏(𝒙) 
 
b) Si se elige u de modo que: 𝑹𝟏(𝒙) = 𝟎 es decir: 
𝟐𝒖′
𝒖
+ 𝑹(𝒙) = 𝟎 
de donde: 
𝒖′
𝒖
= −
𝑹(𝒙)
𝟐
 → 
𝟏
𝒖
∙
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= −
𝑹(𝒙)
𝟐
 → 
𝒅𝒖
𝒖
= −
𝑹(𝒙)
𝟐
𝒅𝒙 integrando: 
 
𝑳𝒏 𝒖 = −
𝟏
𝟐
∫ 𝑹(𝒙)𝒅𝒙 → 𝒖 = 𝒆−
𝟏
𝟐
∫ 𝑹(𝒙)𝒅𝒙 
 
Ahora bien: 
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= −𝒖 ∙
𝑹(𝒙)
𝟐
 ⇒ 
𝒅𝟐𝒖
𝒅𝒙𝟐
= −
𝟏
𝟐
(𝑹(𝒙) ∙
𝒅𝒖
𝒅𝒙
+ 𝒖 ∙
𝒅𝑹
𝒅𝒙
) de modo que al 
reemplazar en 𝑺𝟏 tendremos: 
𝑺𝟏 =
𝟏
𝒖
[𝒖′′ + 𝑹(𝒙) ∙ 𝒖′ + 𝒖 ∙ 𝑺(𝒙)] 
𝑺𝟏 =
𝟏
𝒖
[−
𝟏
𝟐
(𝑹(𝒙) ∙
𝒅𝒖
𝒅𝒙
+ 𝒖 ∙
𝒅𝑹
𝒅𝒙
) + 𝑹(𝒙) ∙ (−𝒖 ∙
𝑹(𝒙)
𝟐
) + 𝒖 ∙ 𝑺(𝒙)] 
𝑺𝟏 = [𝑺(𝒙) −
𝟏
𝟐
(
𝑹(𝒙)
𝒖
∙
𝒅𝒖
𝒅𝒙
+
𝒅𝑹
𝒅𝒙
) −
𝑹𝟐(𝒙)
𝟐
] 
𝑺𝟏 = [𝑺(𝒙) −
𝟏
𝟐
∙
𝑹(𝒙)
𝒖
∙
𝒅𝒖
𝒅𝒙
−
𝟏
𝟐
∙
𝒅𝑹
𝒅𝒙
−
𝑹𝟐(𝒙)
𝟐
] 
𝑺𝟏 = [𝑺(𝒙) −
𝟏
𝟐
∙
𝑹(𝒙)
𝒖
∙ (−𝒖 ∙
𝑹(𝒙)
𝟐
) −
𝟏
𝟐
∙
𝒅𝑹
𝒅𝒙
−
𝑹𝟐(𝒙)
𝟐
] 
𝒗′′ + 𝑹𝟏(𝒙) ∙ 𝒗′ = 𝑸𝟏(𝒙) 
 
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𝑺𝟏 = [𝑺(𝒙) +
𝟏
𝟒
∙ 𝑹𝟐(𝒙) −
𝟏
𝟐
∙
𝒅𝑹
𝒅𝒙
−
𝑹𝟐(𝒙)
𝟐
] = 𝑺(𝒙) −
𝑹𝟐(𝒙)
𝟒
−
𝟏
𝟐
∙
𝒅𝑹
𝒅𝒙
= 𝑨 
Si A es una constante, la ecuación diferencial se convierte en: 
 
 
 
Que es una ecuación lineal con coeficientes constantes. 
Si: 𝑺𝟏(𝒙) =
𝑨
𝒙𝟐
 la ecuación se transformará en: 
 
 
 
que es la ecuación lineal de Cauchy. 
Cambio de Variable Independiente: Sea la transformación: 𝒛 = 𝜽(𝒙) entonces: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒛
∙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
 → 
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
=
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐
+
𝒅𝒚
𝒅𝒛
∙
𝒅𝟐𝒛
𝒅𝒙𝟐
 
Reemplazando en la ecuación general de segundo orden tendremos: 
𝒚′′ + 𝑹(𝒙)𝒚′ + 𝑺(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙) 
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐
+
𝒅𝒚
𝒅𝒛
∙
𝒅𝟐𝒛
𝒅𝒙𝟐
+ 𝑹(𝒙) (
𝒅𝒚
𝒅𝒛
∙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
) + 𝑺(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙) 
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐
+ (
𝒅𝟐𝒛
𝒅𝒙𝟐
+ 𝑹 ∙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝒅𝒚
𝒅𝒛
+ 𝑺𝒚 = 𝑸 
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
+
𝒅𝟐𝒛
𝒅𝒙𝟐
+ 𝑹 ∙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐 ∙
𝒅𝒚
𝒅𝒛
+
𝑺𝒚
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐 =
𝑸
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐 
𝒗′′ + 𝑨𝒗 =
𝑸
𝒖
 
 𝒙𝟐𝒗′′ + 𝑨𝒗 =
𝑸𝒙𝟐
𝒖
 
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 Se elegirá 𝒛 = 𝜽(𝒙) de modo que: 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= √
±𝑺
𝒂𝟐
 cuyo signo es aquel que haga 
la derivada real, siendo a una constante positiva cualquiera, que puede tomar el 
valor de 1. 
Si ahora: 
 
 
 
Donde A es una constante, la ecuación a resolver será: 
 
 
 
 
La anterior ecuación es lineal de orden n con coeficientes constantes. 
Descomposición en factores Tipo Operador: Se puede separar el miembro de 
la izquierda de la ecuación: 
{𝑷(𝒙)𝑫𝟐 + 𝑹(𝒙)𝑫 + 𝑺(𝒙)}𝒚 = 𝑸(𝒙) 
En dos operadores lineales de la forma: 𝑭𝟏(𝑫) 𝑦 𝑭𝟐(𝑫) de modo que: 
{𝑭𝟏(𝑫) ∙ 𝑭𝟐(𝑫)}𝒚 = 𝑭𝟏(𝑫){ 𝑭𝟐(𝑫)𝒚} = {𝑷(𝒙)𝑫
𝟐 + 𝑹(𝒙)𝑫 + 𝑺(𝒙)}𝒚 = 𝑸(𝒙) 
Entonces renombrando a uno de los factores, por ejemplo: 𝑭𝟐(𝑫)𝒚 = 𝒗 la 
anterior ecuación se convierte en: 𝑭𝟏(𝑫)𝒗 = 𝑸(𝒙) una ecuación lineal de primer 
orden (Bellman). 
Resumen: 
Por todo lo anterior expuesto podemos decir que para resolver una 
ecuación de segundo orden se procede del siguiente modo: 
 Hallar por inspección una solución particular: 𝒖 = 𝒖(𝒙) de la ecuación 
que se tiene al hacer 𝑸(𝒙) = 𝟎 . 
𝒅𝟐𝒛
𝒅𝒙𝟐
+ 𝑹 ∙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐 = 𝑨 
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
+ 𝑨
𝒅𝒚
𝒅𝒛
+ 𝒂𝟐𝒚 =
𝑸
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐 
 
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La sustitución (Cambio de variable) 𝒚 = 𝒖 ∙ 𝒗 conducirá a una ecuación lineal 
en la que no aparecerá la variable dependiente v. Esta ecuación es de primer 
grado primer orden. 
 
 Si no se puede hallar una solución particular. Calcúlese: 𝑺 −
𝑹𝟐
𝟒
−
𝟏
𝟐
∙
𝒅𝑹
𝒅𝒙
 
si esta expresión es una constante k o bien 
𝑲
𝒙𝟐
, la transformación: 
 
 𝒚 = 𝒗𝒆−
𝟏
𝟐
∫ 𝑹𝒅𝒙 
Reduce la ecuación dada a una ecuación lineal con coeficientes constantes 
o una ecuación de Cauchy. 
 Si no se aplica el anterior procedimiento, se utiliza la siguiente fórmula: 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= √
±𝑺
𝒂𝟐
 
 
Eligiendo el signo de forma que la raíz cuadrada sea real, para sustituir 
en: 
𝑨 =
𝒅𝟐𝒛
𝒅𝒙𝟐
+ 𝑹 ∙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐 
Si esta expresión es una constante, la transformación: 𝒛 = ∫ √
±𝑺
𝒂𝟐
𝒅𝒙 
conduce a una ecuación lineal de coeficientes constantes. 
 Alguna soluciones particulares para la ecuación: (𝑫𝟐 + 𝑹𝑫 + 𝑺)𝒚 = 𝟎 son 
las siguientes: 
 
a) 𝒚 = 𝒙 si 𝑹 + 𝒙𝑺 = 𝟎 
b) 𝒚 = 𝒆𝒙 si 𝟏 + 𝑹 + 𝑺 = 𝟎 
c) 𝒚 = 𝒆−𝒙 si 𝟏 − 𝑹 + 𝑺 = 𝟎 
d) 𝒚 = 𝒆𝒎𝒙 si 𝒎𝟐 + 𝒎𝑹 + 𝑺 = 𝟎 
 
Ejem. 1 Resolver las siguientes ecuaciones de segundo orden: 
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a) 𝒙𝒚′′ − (𝒙 + 𝟐)𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟎 (Tarea) 
b) (𝟏 + 𝒙𝟐)𝒚′′ − 𝟐𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟐 
c) (𝒙𝟐 + 𝟒)𝒚′′ − 𝟐𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟖 (Tarea) 
d) 𝟒𝒙𝟐𝒚′′ + 𝟒𝒙𝟑𝒚′ + (𝟏 + 𝒙𝟐)𝟐𝒚 = 𝟎 
e) 𝒙𝟒𝒚′′ + 𝟐𝒙𝟑𝒚′ + 𝒚 =
𝟏+𝒙
𝒙
 
f) 𝒙𝟖𝒚′′ + 𝟒𝒙𝟕𝒚′ + 𝒚 =
𝟏
𝒙𝟑
 (Tarea) 
g) [(𝒙 + 𝟏)𝑫𝟐 − (𝟑𝒙 + 𝟒)𝑫 + 𝟑]𝒚 = (𝟑𝒙 + 𝟐)𝒆𝟑𝒙 (Tarea) 
h) [(𝒙 + 𝟑)𝑫𝟐 − (𝟐𝒙 + 𝟕)𝑫 + 𝟐]𝒚 = (𝒙 + 𝟑)𝟐𝒆𝒙 
Soluciones: 
b) (𝟏 + 𝒙𝟐)𝒚′′ − 𝟐𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟐 dividiendo todo entre: (𝟏 + 𝒙𝟐) 
𝒚′′ −
𝟐𝒙
𝟏 + 𝒙𝟐
𝒚′ +
𝟐
𝟏 + 𝒙𝟐
𝒚 =
𝟐
𝟏 + 𝒙𝟐
 
 Identificando los valores de R y S: 
 𝑹(𝒙) = −
𝟐𝒙
𝟏+𝒙𝟐
 y 𝑺(𝒙) =
𝟐
𝟏+𝒙𝟐
 
Si verificamos la condición: 𝑹 + 𝒙𝑺 = 𝟎 podemos decir que una solución 
particular de la ecuación es: 𝒚 = 𝒙 por lo cual la transformación adecuada es: 
𝒚 = 𝒙𝒗 → 𝒚′ = 𝒗 + 𝒙𝒗′ → 𝒚′′ = 𝒗′ + 𝒗′ + 𝒙𝒗′′ = 𝒙𝒗′′ + 𝟐𝒗′ 
Reemplazando en la ecuación tenemos: 
𝒙𝒗′′ + 𝟐𝒗′ −
𝟐𝒙
𝟏 + 𝒙𝟐
(𝒗 + 𝒙𝒗′) +
𝟐𝟏 + 𝒙𝟐
(𝒙𝒗) =
𝟐
𝟏 + 𝒙𝟐
 
𝒙𝒗′′ + 𝟐𝒗′ −
𝟐𝒙
𝟏 + 𝒙𝟐
𝒗 −
𝟐𝒙𝟐
𝟏 + 𝒙𝟐
𝒗′ +
𝟐𝒙
𝟏 + 𝒙𝟐
𝒗 =
𝟐
𝟏 + 𝒙𝟐
 
𝒙𝒗′′ + (𝟐 −
𝟐𝒙𝟐
𝟏 + 𝒙𝟐
) 𝒗′ = 
𝟐
𝟏 + 𝒙𝟐
 → 𝒗′′ +
𝟏
𝒙
(
𝟐 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟐
𝟏 + 𝒙𝟐
) 𝒗′ =
𝟐
𝒙(𝟏 + 𝒙𝟐)
 
𝒗′′ +
𝟐
𝒙(𝟏 + 𝒙𝟐)
𝒗′ =
𝟐
𝒙(𝟏 + 𝒙𝟐)
 
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Sea: 𝒑 = 𝒗′ → 𝒗′′ = 𝒑′ entonces: 
𝒑′ +
𝟐
𝒙(𝟏 + 𝒙𝟐)
𝒑 =
𝟐
𝒙(𝟏 + 𝒙𝟐)
 
Nos queda una ecuación de primer grado, primer orden (Bellman para p), 
aplicando la fórmula, nos queda: 
𝒑 = 𝒆
− ∫
𝟐
𝒙(𝟏+𝒙𝟐)
𝒅𝒙
[∫ 𝒆
∫
𝟐
𝒙(𝟏+𝒙𝟐)
𝒅𝒙
(
𝟐
𝒙(𝟏 + 𝒙𝟐)
) 𝒅𝒙 + 𝑪] 
Op. Aux.: Sea 𝑰 = ∫ (
𝑨
𝒙
+
𝑩𝒙+𝑪
𝟏+𝒙𝟐
) → 𝑰 = ∫ (
𝟐
𝒙
−
𝟐𝒙+𝟎
𝟏+𝒙𝟐
) → 𝑰 = 𝒍𝒏 (
𝒙𝟐
𝟏+𝒙𝟐
) + 𝒌 
 𝒑 = 𝒆
−𝒍𝒏(
𝒙𝟐
𝟏+𝒙𝟐
)
[∫ 𝒆
𝒍𝒏(
𝒙𝟐
𝟏+𝒙𝟐
)
(
𝟐
(𝟏+𝒙𝟐)𝒙
) 𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒗′ = 𝒆
𝒍𝒏(
𝒙𝟐
𝟏+𝒙𝟐
)
−𝟏
[∫ (
𝒙𝟐
𝟏+𝒙𝟐
) (
𝟐
(𝟏+𝒙𝟐)𝒙
) 𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒗′ = (
𝒙𝟐
𝟏 + 𝒙𝟐
)
−𝟏
[𝟐 ∫
𝒙𝒅𝒙
(𝟏 + 𝒙𝟐)
𝟐 + 𝑪] ; 𝑪𝑽: 𝒖 = 𝟏 + 𝒙
𝟐 → 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙𝟐
(∫
𝒅𝒖
𝒖𝟐
+ 𝑪) → 
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙𝟐
(∫ 𝒖−𝟐𝒅𝒖 + 𝑪) 
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙𝟐
(−𝒖−𝟏 + 𝑪) → 
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙𝟐
(𝑪 −
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐
) 
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝑪 (
𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙𝟐
) − 𝒙−𝟐 → ∫ 𝒅𝒗 = ∫ [𝑪 (
𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙𝟐
) − 𝒙−𝟐 ] 𝒅𝒙 
𝒗 = 𝑪 ∫(𝟏 + 𝒙−𝟐)𝒅𝒙 − ∫ 𝒙−𝟐𝒅 𝒙 → 𝒗 = 𝑪(𝒙 − 𝒙−𝟏) − (−𝒙−𝟏) + 𝑪𝟏 
𝒚 = 𝒙[𝑪(𝒙 − 𝒙−𝟏) + 𝒙−𝟏 + 𝑪𝟏] → 𝒚 = 𝑪(𝒙
𝟐 − 𝟏) + 𝟏 + 𝑪𝟏𝒙 
𝒚 = 𝑪(𝒙𝟐 − 𝟏) + 𝑪𝟏𝒙 + 𝟏 
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d) 𝟒𝒙𝟐𝒚′′ + 𝟒𝒙𝟑𝒚′ + (𝟏 + 𝒙𝟐)𝟐𝒚 = 𝟎 
𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + (
𝟏+𝒙𝟐
𝟐𝒙
)
𝟐
𝒚 = 𝟎 donde: 𝑹(𝒙) = 𝒙 y 𝑺(𝒙) = (
𝟏+𝒙𝟐
𝟐𝒙
)
𝟐
 verificamos en: 
𝑺(𝒙) −
𝑹𝟐(𝒙)
𝟒
−
𝟏
𝟐
∙
𝒅𝑹
𝒅𝒙
= 𝑨 
𝐴 = (
1
2𝑥
+
𝑥
2
)
2
−
1
4
𝑥2 −
1
2
 → 𝐴 =
1
4𝑥2
+ 2 (
1
2𝑥
∙
𝑥
2
) +
𝑥2
4
−
1
4
𝑥2 −
1
2
 
𝐴 =
1
4𝑥2
+
1
2
−
1
2
=
1
4𝑥2
 
Entonces, podemos calcular u con la siguiente fórmula: 𝑢 = 𝑒−
1
2
∫ 𝑅𝑑𝑥 
 𝒖 = 𝒆−
𝟏
𝟐
∫ 𝒙𝒅𝒙 = 𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 , entonces el cambio de variable será: 𝒚 = 𝒗 𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 
 𝒚′ = 𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 𝒗′ + 𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 (−
𝒙
𝟐
) 𝒗 → 𝒚′ =
𝒆
−
𝒙𝟐
𝟒
𝟐
(𝟐𝒗′ − 𝒙𝒗) 
𝒚′′ =
𝟏
𝟐
𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 [− (
𝒙
𝟐
) (𝟐𝒗′ − 𝒙𝒗) + 𝟐𝒗′′ − (𝒗 + 𝒙𝒗′)] 
𝒚′′ =
𝟏
𝟐
𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 (−𝒙𝒗′ +
𝒙𝟐
𝟐
𝒗 + 𝟐𝒗′′ − 𝒗 − 𝒙𝒗′) =
𝟏
𝟐
𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 (𝟐𝒗′′ − 𝟐𝒙𝒗′ + (
𝒙𝟐
𝟐
− 𝟏) 𝒗) 
𝟏
𝟐
𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 (𝟐𝒗′′ − 𝟐𝒙𝒗′ +
𝒙𝟐−𝟐
𝟐
𝒗) + 𝒙 [
𝒆
−
𝒙𝟐
𝟒
𝟐
(𝟐𝒗′ − 𝒙𝒗)] + (
𝟏+𝒙𝟐
𝟐𝒙
)
𝟐
𝒗𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 = 𝟎 
𝟏
𝟒
𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 [𝟒𝒗′′ − 𝟒𝒙𝒗′ + (𝒙𝟐 − 𝟐)𝒗] + 𝒙𝒗′𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 −
𝒙𝟐
𝟐
𝒗𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 + (
𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟒
𝟒𝒙𝟐
) 𝒗𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 = 𝟎 
𝒗′′ − 𝒙𝒗′ +
𝒙𝟐 − 𝟐
𝟒
𝒗 + 𝒙𝒗′ −
𝒙𝟐
𝟐
𝒗 + (
𝟏
𝟒𝒙𝟐
+
𝟏
𝟐
+
𝒙𝟐
𝟒
) 𝒗 = 𝟎 
𝒗′′ +
𝒙𝟐
𝟒
𝒗 −
𝒗
𝟐
−
𝒙𝟐
𝟐
𝒗 +
𝒗
𝟒𝒙𝟐
+
𝒗
𝟐
+
𝒙𝟐
𝟒
𝒗 = 𝟎 → 𝒗′′ +
𝒙𝟐
𝟐
𝒗 −
𝒙𝟐
𝟐
𝒗 +
𝒗
𝟒𝒙𝟐
= 𝟎 
 𝒗′′ +
𝒗
𝟒𝒙𝟐
= 𝟎 → 𝟒𝒙𝟐𝒗′′ + 𝒗 = 𝟎 → (𝟒𝒙𝟐𝑫𝟐𝒗 + 𝒗) = 𝟎 
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Como se puede observar es la ecuación de Cauchy: 
C.V.: 𝒙 = 𝒆𝒛 Op. Dif.: 𝒍 =
𝒅
𝒅𝒛
 Fórmula de transformación: 𝒙𝟐𝑫𝟐𝒗 = 𝒍(𝒍 − 𝟏)𝒗 
𝟒𝒍(𝒍 − 𝟏)𝒗 + 𝒗 = 𝟎 → (𝟒𝒍𝟐 − 𝟒𝒍 + 𝟏)𝒗 = 𝟎 → (𝟐𝒍 − 𝟏)𝟐𝒗 = 𝟎 
Como v no puede ser cero debe serlo: (𝟐𝒍 − 𝟏)𝟐 = 𝟎 → 𝟐𝒍 − 𝟏 = 𝟎 
Ecuación que tiene raíces reales repetidas dos veces de valor: 𝑚 =
1
2
 
𝒗 = 𝑪𝟏𝒆
𝟏
𝟐
𝒛 + 𝑪𝟐𝒛𝒆
𝟏
𝟐
𝒛 → 𝒗 = 𝑪𝟏𝒙
𝟏
𝟐 + 𝑪𝟐𝒙
𝟏
𝟐 𝒍𝒏 𝒙 
𝒚 = 𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 (𝑪𝟏𝒙
𝟏
𝟐 + 𝑪𝟐𝒙
𝟏
𝟐 𝒍𝒏 𝒙) → 𝒚 = 𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 𝒙
𝟏
𝟐(𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒍𝒏 𝒙) 
𝒚 = 𝒆−
𝒙𝟐
𝟒 √𝒙(𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒍𝒏 𝒙) ; 𝒄𝒐𝒏: 𝒙 > 𝟎 
e) 𝒙𝟒𝒚′′ + 𝟐𝒙𝟑𝒚′ + 𝒚 =
𝟏+𝒙
𝒙
 ⇒ 𝒚′′ +
𝟐
𝒙
𝒚′ +
𝟏
𝒙𝟒
𝒚 =
𝟏+𝒙
𝒙𝟓
 
Donde: 𝑹(𝒙) =
𝟐
𝒙
 y 𝑺(𝒙) = 𝟏
𝒙𝟒
 entonces: 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= √
+𝑺
𝟏𝟐
 de donde: 
𝒅𝒛 = √
𝟏
𝒙𝟒
𝒅𝒙 → 𝒛 = ∫
𝒅𝒙
𝒙𝟐
 → 𝒛 = ∫ 𝒙−𝟐𝒅𝒙 → 𝒛 = −𝒙−𝟏 = −
𝟏
𝒙
 
Entonces: 𝒙 = −
𝟏
𝒛
 
Derivando z tenemos: 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= 𝒙−𝟐 , 
𝒅𝟐𝒛
𝒅𝒙𝟐
= −𝟐𝒙−𝟑 reemplazamos en: 
 
𝒅𝟐𝒛
𝒅𝒙𝟐
+ 𝑹 ∙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐 = 𝑨 
 
𝑨 =
−𝟐𝒙−𝟑 + 𝟐𝒙−𝟏(𝒙−𝟐)
(𝒙−𝟐)𝟐
=
−𝟐𝒙−𝟑 + 𝟐𝒙−𝟑
𝒙−𝟒
= 𝟎 
Como A es una constante, la ecuación resultante será de la forma: 
 
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𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
+
𝒅𝟐𝒛
𝒅𝒙𝟐
+ 𝑹 ∙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐 ∙
𝒅𝒚
𝒅𝒛
+
𝑺𝒚
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐 =
𝑸
(
𝒅𝒛
𝒅𝒙
)
𝟐 
Encontramos S y Q en términos de z: 
𝑺(𝒙) =
𝟏
𝒙𝟒
 ⇒ 𝑺(𝒛) =
𝟏
(−
𝟏
𝒛
)
𝟒 = 𝒛
𝟒 , 𝑸(𝒙) =
𝟏 + 𝒙
𝒙𝟓
 ⇒ 𝑸(𝒛) =
𝟏 + (−
𝟏
𝒛
)
(−
𝟏
𝒛
)
𝟓 =
𝒛−𝟏
𝒛
−
𝟏
𝒛𝟓
 
𝑸(𝒛) = −𝒛𝟒(𝒛 − 𝟏) = 𝒛𝟒(𝟏 − 𝒛) 
Reemplazando tendremos una ecuación con coeficientes constantes: 
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
+
𝒛𝟒
[(−
𝟏
𝒛
)
−𝟐
]
𝟐 𝒚 =
𝒛𝟒(𝟏 − 𝒛)
[(−
𝟏
𝒛
)
−𝟐
]
𝟐 → 
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒛𝟐
+ 𝒚 = 𝟏 − 𝒛 
(𝑫𝟐 + 𝟏)𝒚 = 𝟏 − 𝒛 𝒄𝒐𝒏: 𝑫 =
𝒅
𝒅𝒛
 
Solución Complementaria: (𝑫𝟐 + 𝟏)𝒚 = 𝟎 como 𝒚 ≠ 𝟎 ⇒ 𝑫𝟐 + 𝟏 = 𝟎 , 𝒎 = ± 𝒊 
𝒚𝒄 = 𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔 𝒛 + 𝑪𝟐𝑺𝒆𝒏 𝒛 
𝒚𝒄 = 𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔 (−
𝟏
𝒙
) + 𝑪𝟐𝑺𝒆𝒏 (−
𝟏
𝒙
) ⇒ 𝒚𝒄 = 𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔 (
𝟏
𝒙
) − 𝑪𝟐𝑺𝒆𝒏 (
𝟏
𝒙
) 
Solución Particular: (𝑫𝟐 + 𝟏)𝒚 = 𝟏 − 𝒛 por abreviados tenemos: 𝒚 =
𝟏
𝑫𝟐+𝟏
(𝟏 − 𝒛) 
𝒚𝒑 = 𝟏 − 𝒛 ⇒ 𝒚𝒑 = 𝟏 − (−
𝟏
𝒙
) =
𝒙 + 𝟏
𝒙
 
𝒚 = 𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔 (
𝟏
𝒙
) − 𝑪𝟐𝑺𝒆𝒏 (
𝟏
𝒙
) +
𝒙 + 𝟏
𝒙
 
𝒚 = 𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔 (
𝟏
𝒙
) + 𝑪𝟐𝑺𝒆𝒏 (
𝟏
𝒙
) +
𝒙 + 𝟏
𝒙
 
 Con 𝒙 ≠ 𝟎 
h) [(𝒙 + 𝟑)𝑫𝟐 − (𝟐𝒙 + 𝟕)𝑫 + 𝟐]𝒚 = (𝒙 + 𝟑)𝟐𝒆𝒙