ESTRUCTURA COMBINATORIA DE UNA RED, LEYES DE KIRCHHOFF Y ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES DE UNA RED PT.2

Vista previa del material en texto

Apuntes de circuitos de CA y CD Elementos básicos en circuitos eléctricos 
 
Profesor Pantle Abris Adrián 
 
1 
 
 
3.4 SISTEMA DE ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES DE UNA RED 
 
 
 
3.4.1 Ecuación integrodiferencial para un elemento general tipo serie 
 
 
En la figura siguiente, el sentido del elemento general tipo serie, está dado por el sentido 
de las fuentes. 
 
k
R
k
L
k
C
kl
L
kn
L....
fv
v
fc
i
A B
 -
+
 -
+
 -
+
 +
−
 +
−
 
 
BA
k
 
 
 
Aplicando la ley de Kirchhoff de caída de voltaje entre los nodos A y B 
 
R C L fv fc ABv v v v v v+ + − − = 
 
además, el voltaje en cada elemento básico del circuito se calcula como: 
 
Rv Ri= Cv S idt= ∫ 
1
Nb
l
L kl
l
di
v L
dt=
=∑ 
 
entonces obtenemos la ecuación integro diferencial 
 
1
 
Nb
l
AB kl fv fc
l
di
v Ri S idt L v v
dt=
= + + − −∑∫ 
 
si con vk se denota el voltaje del k-ésimo elemento tipo serie, entonces podemos escribir. 
 
1
 
Nb
l
k k k k k kl fvk fck
l
di
v R i S i dt L v v
dt=
= + + − −∑∫ 
 
y se aplica para 1, 2, 3,.......,k Ne= 
 
 
Apuntes de circuitos de CA y CD Elementos básicos en circuitos eléctricos 
 
Profesor Pantle Abris Adrián 
 
2 
Nota importante Si la rama tiene conectada una fuente de corriente ésta será el 
valor para la corriente de la rama debido a que está en serie. 
 
 
3.4.2 Ecuación integro diferencial para un elemento general tipo paralelo 
 
Sea el elemento general tipo paralelo, en el que la dirección es de a hacia b 
 
k
Γ
b
a
b
ki
vkf
v
k
G
.
C
k
fck
i
,k ki v.
Nb
Γ
.
klΓ
a
.
 
 
 
 
En la figura se observa que si en un elemento general tipo paralelo esta conectada una 
fuente de voltaje de valor vfv, este será el valor de voltaje para todos los elementos. 
 
Aplicando la ley de kirchhoff de corriente al nodo b se tiene: 
 
0k Gk Ck k fvk fcki i i i i iΓ− − − − − = 
 
que se puede escribir como 
 
k Gk Ck k fvk fcki i i i i iΓ= + + + + 
 
y la corriente para cada elemento esta dada como 
 
Gi Gv= 
 
C
dv
i C
dt
= 
 
1
Nb
L kl l
l
i v dt
=
= Γ∑ ∫ 
 
entonces la ecuación integro diferencial para un elemento general tipo paralelo es: 
 
Apuntes de circuitos de CA y CD Elementos básicos en circuitos eléctricos 
 
Profesor Pantle Abris Adrián 
 
3 
1
 
Nb
k
k k k k kl l fvk fck
l
dv
i G v C v dt i i
dt =
= + + Γ + +∑ ∫ 
 
se aplica 1, 2, 3,.......,k Ne= 
 
 
Ejemplo. 
 
Para la red que se muestra: 
 
a) Escribir las ecuaciones integro diferenciales. 
b) Las ecuaciones de las leyes de Kirchhoff. 
 
 
I .
.
II III.1
2
5
4
3
 
 
Solución: 
 
Como el voltaje del elemento k-ésimo se calcula con 
 
1
1
 
Nb
l
k k k k kl fvk fck
lk
di
v R i i dt L v v
C dt=
= + + − −∑∫ 
entonces para cada elemento será 
 
 
31 2
1 1 1 1 11 12 13
1
1
 
didi di
v R i i dt L L L
C dt dt dt
= + + + +∫ 
 
 
31 2
2 2 21 22 23
2
1
 
didi di
v i dt L L L
C dt dt dt
= + + +∫ 
 
 
Apuntes de circuitos de CA y CD Elementos básicos en circuitos eléctricos 
 
Profesor Pantle Abris Adrián 
 
4 
31 2
3 3 31 32 33
3
1
 
didi di
v i dt L L L
C dt dt dt
= + + +∫ 
 
 
4
4 4 4 4 44 4
4
1
 fc
di
v R i i dt L v
C dt
= + + −∫ 
 
 
5
5 5 5 55 5fv
di
v R i L v
dt
= + − 
 
 
LCK LVK 
 
Nodo I 
1 5 0i i− − = malla 1 1 2 5 0v v v+ − = 
 
Nodo II 
1 2 3 0i i i− + = malla 2 2 3 4 0v v v+ − = 
 
Nodo III 
3 4 0i i− − = 
 
 
 
Ejemplo 
 
Para la red que se muestra: 
 
a) Escribir las ecuaciones integro diferenciales. 
b) Las ecuaciones de las leyes de Kirchhoff. 
 
 
 
.
.
.
2
1
43
 
Apuntes de circuitos de CA y CD Elementos básicos en circuitos eléctricos 
 
Profesor Pantle Abris Adrián 
 
5 
 
 
Solución: 
 
 
El diagrama equivalente con segmentos orientados es 
 
 
III
01
2
1
4
3
 
 
 
Como la corriente del elemento k-ésimo se calcula con 
 
 
1
Nb
k
k k k k kl l fvk fck
l
dv
i G v C v dt i i
dt =
= + + Γ + +∑ ∫ 
 
entonces las ecuaciones integro diferenciales son 
 
1
1 1 11 1 12 2 13 3 1fc
dv
i C v dt v dt v dt i
dt
= +Γ +Γ +Γ +∫ ∫ ∫ 
 
2 2 2 21 1 22 2 23 3i G v v dt v dt v dt= +Γ +Γ +Γ∫ ∫ ∫ 
 
3 3 3 31 1 32 2 33 3i G v v dt v dt v dt= +Γ +Γ +Γ∫ ∫ ∫ 
 
4 4 4 4 4 4fvi G v v dt i= +Γ −∫ 
además, debemos recordar que las invertancias se calculan por 
 
cof kl
kl
kl
L
L
Γ =
∆
 
 
las leyes de Kirchoff son: 
 
 
 
 
Apuntes de circuitos de CA y CD Elementos básicos en circuitos eléctricos 
 
Profesor Pantle Abris Adrián 
 
6 
LCK LVK 
 
Nodo I 
1 2 0i i− + = malla 1 1 2 3 0v v v+ + = 
 
Nodo II 
2 3 4 0i i i− + + = malla 2 3 4 0v v− + = 
	Ejemplo.
	Ejemplo