Cinemática del Rígido

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Mecánica Clásica
Lic. en Física - FCEIA
Cinemática de cuerpos rígidos - Rotaciones
Autor: Dr. César A. Ramírez
(última corrección: Mayo 2014 )
1 Transformaciones ortogonales
Veamos en primer lugar cómo que condición debe cumplir una transformación de las coorde-
nadas de un vector r en el espacio tridimensional que conserve el módulo de dicho vector.
Veamos a continuación qué requisito debe cumplir dicha transformación de tal forma que
eso se cumpla.
r =
3X
j=1
xjej (1)
Los versores ej dan las direcciones de los tres ejes �jos en el espacio. Las nuevas coordenadas
vendrán dadas por
r0 =
3X
j=1
x0je
0
j (2)
donde x0j son las proyecciones de r sobre las direcciones de los nuevos ejes dadas por los versores
e0j:
Multiplicando r por los versores e0i obtenemos las componentes de r sobre esos nuevos ejes
x0i = e
0
i:r =
3X
j=1
xj (e
0
i:ej)
x0i =
3X
j=1
aijxj (3)
aij son los productos escalares entre los versores de ambos sistemas de coordenadas, conocidos
como cosenos directores de los nuevos ejes coordenados respecto a los tres ejes �jos en el espacio.
La condición jrj= jr0j se puede expresar mediante sus módulos al cuadrado dados por
3X
i=1
x02i =
3X
i=1
x2i (4)
Reemplazando x0i por la expresión (3) tenemos
3X
i=1
x02i =
3X
i=1
 
3X
j=1
aijxj
! 
3X
k=1
aikxk
!
(5)
=
3X
j;k=1
xj xk
 
3X
i=1
aij aik
!
(6)
1
Como esta última debe ser igual a
P3
i=1 x
2
i el paréntesis debe ser una delta de Kroneker
3X
i=1
aij aik = �jk =
�
1 si j = k
0 si j 6= k (7)
Estas ecuaciones nos dan la condición de ortogonalidad para cualquier transformación lineal
de las coordenadas de un vector, del tipo (3), cuya propiedad principal es que conserva el módulo
de dicho vector.
Los vectores del espacio tridimensional r y r0, involucrados en la transformación, también
pueden representarse mediante dos matrices columna R y R0 de dimensión 3, y el operador
de transformación A mediante una matriz cuadrada de dimensión 3x3. Una transformación
general de r en r0 se escribe entonces.
R0= AR (8)
Que en forma explícita es 0@ x01x02
x03
1A =
0@ a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
1A0@ x1x2
x3
1A (9)
2 Rotaciones
Si la transformación de coordenadas es producto de una rotación de los ejes coordenados y ésta
se efectúa en sentido antihorario alrededor del eje z, en un ángulo ��:
8<:
x0 = x cos��+ y sin��
y0 = y cos��� x sin��
z0 = z
(10)
2
La matriz que describe dicha transformación es
A =
0@ cos�� sin�� 0� sin�� cos�� 0
0 0 1
1A (11)
Como es fácil comprobar, la matriz de rotación A veri�ca las condiciones de ortogonalidad (7).
La ecuación matricial que veri�ca esta transformación de coordenadas debida a la rotación
del sistema de coordenadas es entonces:0@ x01x02
x03
1A =
0@ cos�� sin�� 0� sin�� cos�� 0
0 0 1
1A0@ x1x2
x3
1A (12)
Ejercicio: Demostrar que la rotación de los ejes en sentido antihorario, representada por la
matriz A, es equivalente a una rotación del vector en un ángulo �� pero en sentido horario.
Las componentes del vector rotado se obtienen proyectando ese vector sobre el mismo sistema
de ejes coordenados.
Observación: Los giros �nitos no se pueden representar mediante vectores pues no ver�can
la propiedad conmutativa de la suma de vectores.
Ejemplo: El producto de dos rotaciones sucesivas de 90o grados en sentido horario sobre el
eje z primero y sobre el eje x después están dados por
B =
0@ 0 1 0�1 0 0
0 0 1
1A (13)
y
C =
0@ 1 0 00 0 1
0 �1 0
1A (14)
3
CB =
0@ 1 0 00 0 1
0 �1 0
1A0@ 0 1 0�1 0 0
0 0 1
1A =
0@ 0 1 00 0 1
1 0 0
1A (15)
BC =
0@ 0 1 0�1 0 0
0 0 1
1A0@ 1 0 00 0 1
0 �1 0
1A =
0@ 0 0 1�1 0 0
0 �1 0
1A (16)
Por lo tanto no es correcto asociar vectores a los giros en ángulos �nitos pues la operación
sucesiva, es decir la suma, no veri�ca la propiedad conmutativa.
Ejercicio:
Efectuar la rotación de un vector alrededor del eje z y luego otra rotación alrededor del eje x,
ambas en ángulos de 90o y en dirección antihoraria. Comprobar, invirtiendo dichas rotaciones,
que la operación de efectuar dos rotaciones sucesivas �nitas no es conmutativa.
2.1 Existencia y signi�cado físico de los autovalores y autovectores
de una matriz de rotación
Representamos con la letra A a una transformación arbitraria ortogonal de rotación y nos
proponemos encontrar, un vector o matriz columna R tal que
R0= AR =�R (17)
Esta es una ecuación de autovalores y autovectores. Donde � es un escalar. Esta ecuación
expresa que el efecto de aplicar A a un cierto vector R no le cambia la dirección, a lo sumo
cambia su módulo. Demostraremos que ese vector existe y que el único autovalor real es igual
a la unidad.
Usando la matriz identidad
I =
0@ 1 0 00 1 0
0 0 1
1A (18)
la ec. (17) se escribe
(A� I�)R = 0 (19)
Esta ecuación representa un sistema de 3 ecuaciones homogéneo. Tendrá solución no trivial
si el determinante de (A� I� se anula. Este determinante es un polinomio cubo en �; con
coe�cientes reales por ser A una matriz de coe�cientes reales. Entonces tendremos 3 raíces �1;
�2 y �3 del polinomio (o autovalores de A) y una ecuación (19) para cada �j:
(A� I�j)Rj= 0 j = 1; 2; 3 (20)
donde Rj es el autovector correspondiente al autovalor �j:
En forma explícita A se escribe
A =
0@ a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
1A (21)
y Rj
Rj =
0@ xj1xj2
xj3
1A j = 1; 2; 3 (22)
4
Los 3 sistemas
(A� I�1)R1 = 0 (23)
(A� I�2)R2 = 0 (24)
(A� I�3)R3 = 0 (25)
se pueden escribir en una sola ecuaciónX
k
aikxjk = �j
X
k
�ikxkj = xji�j i; j = 1; 2; 3 (26)
En forma explícita es:
para j=1 8<:
P
k a1kx1k = x11�1P
k a2kx1k = x12�1P
k a3kx1k = x13�1
para j=2 8<:
P
k a1kx2k = x21�2P
k a2kx2k = x22�2P
k a3kx2k = x23�2
(27)
para j=3 8<:
P
k a1kx3k = x31�3P
k a2kx3k = x32�3P
k a3kx3k = x33�3
(28)
Que ordenadas en columnas se escriben como una igualdad de matrices como sigue.0@ Pk a1kx1k Pk a1kx2k Pk a1kx3kP
k a2kx1k
P
k a2kx2k
P
k a2kx3kP
k a3kx1k
P
k a3kx2k
P
k a3kx3k
1A =
0@ x11�1 x21�2 x31�3x12�1 x22�2 x32�3
x13�1 x23�2 x33�3
1A (29)
Para expresar esta ecuación en forma más compacta de�nimos la matriz
L =
0@ �1 0 00 �2 0
0 0 �3
1A (30)
Y a las 9 componentes de los tres autovectores Rj las agrupamos en una sola matriz
X =
0@ x11 x22 x31x12 x22 x32
x13 x23 x33
1A (31)
La ecuación matricial que contiene al problema completo dado en (29) es
AX = XL (32)
El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes. Entonces
jAj = jLj = �1�2�3 (33)
5
El determinante de una transformación ortogonal es igual a 1 o -1 , entonces tenemos
�1�2�3 = 1 (34)
a) Si todas son +1 es el caso trivial de la transformación identidad
b) Si dos son -1 y la tercera 1 representa un giro de 180o alrededor de uno delos ejes
coordenados.
c) El caso general es cuando dos raices son complejas conjugadas y una raiz es real. En
ese caso dos autovectores serán vectores con componentes complejas conjugadas y el tercer
autovector será real. Multiplicando la ecuación (17) por su conjugada se obtiene
R0�i :R
0
i=�
�
i�i R
�
i :Ri (35)
Por la ortogonalidad de la transformación debe ser
R0�i :R
0
i= R
�
i :Ri (36)
y en consecuencia
��i�i = j�ij
2 = 1 (37)
Entonces
�1 j�2j2 = +1 (38)
O sea que la raiz real es �1 = 1 con su correspondiente autovector real, lo cual demuestra el
teorema. El valor 1 del autovalor real es coherente con el hecho que una rotación en un ángulo
�nito no modi�ca las medidas de los vectores rotados ni del autovector.
Entonces sólo es necesario encontrar el autovector correspondiente al autovalor 1, pero como
es solución de un sistema de ecuaciones homogéneas, tendrá su módulo indeterminado. Sólo
será posible obtener una relación entre sus componentes, es decir una dirección, que será por
tanto la dirección del eje de rotación.
El autovector correspondiente al autovalor +1 veri�ca la ecuación matricial
(A� I)R = 0 (39)0@ a11 � 1 a12 a13a21 a22 � 1 a23
a31 a32 a33 � 1
1A0@ x1x2
x3
1A =
0@ 00
0
1A (40)
de la cual se obtiene el sistema de ecuaciones que permite calcular sus componentes.8<:
(a11 � 1) x1 + a12 x2 + a13 x3= 0
a21 x1 + (a22 � 1) x2 + a23 x3 = 0
a31 x1 + a32 x2 + (a33 � 1) x3 = 0
(41)
Ejercicio:
Calcular el autovector correspondiente a una transformación de coordenadas producto de
dos rotaciones sucesivas de 90o grados en sentido horario sobre el eje z primero y sobre el eje x
después.
B =
0@ 0 1 0�1 0 0
0 0 1
1A (42)
6
C =
0@ 1 0 00 0 1
0 �1 0
1A (43)
A = CB =
0@ 1 0 00 0 1
0 �1 0
1A0@ 0 1 0�1 0 0
0 0 1
1A =
0@ 0 1 00 0 1
1 0 0
1A (44)
A� I =
0@ �1 1 00 �1 1
1 0 �1
1A (45)
det(A� I) = 0 (46)8<:
�x1 + x2 = 0
� x2 + x3 = 0
x1 � x3 = 0
(47)
x1 = x2 = x3 (48)
El autovector correspondiente al autovalor 1 (o la dirección del eje de giro) tiene sus 3 compo-
nentes iguales.
2.2 Giros in�nitesimales
Supongamos ahora que el ángulo rotado por el vector es un ángulo in�nitesimal d� en sentido
antihorario. La ecuación (12) se escribe entonces0@ x01x02
x03
1A =
0@ 1 �d� 0d� 1 0
0 0 1
1A0@ x1x2
x3
1A (49)
o en forma más compacta
R0 = (I+ E)R (50)
Donde I es la matriz identidad y
E =
0@ 0 �d� 0d� 0 0
0 0 0
1A (51)
Entonces
R0 �R =
0@ �d� x2d� x1
0
1A (52)
o
dR = d�
0@ �x2x1
0
1A (53)
La ecuación de transformación (53), en forma vectorial, se escribe
r0 � r = dr = d� (�x2e1 + x1e2) (54)
7
Teniendo en cuenta que
x1 = r sin � cos� (55)
x2 = r sin � sin� (56)
la ecuación (54) resulta
dr = d� r sin � (� sin� e1 + cos� e2) (57)
y como
e� = (� sin� e1 + cos� e2) (58)
dr = d� r sin � e� (59)
Si representamos la rotación in�nitesimal alrededor del eje z como un vector en la dirección
del versor ez
d� =d� ez (60)
y al vector
r =r er (61)
la ecuación (59) se puede escribir simplemente como un producto vectorial
dr =d� ^ r (62)
ya que
ez ^ er = e� sin � (63)
La de�nición del vector (60) es posible debido a que las rotaciones in�nitesimales cumplen
con la propiedad conmutativa de la suma de vectores. Para comprobar esto apliquemos en
forma sucesiva dos giros in�nitesimales, sobre ejes diferentes, y veamos que la matriz resultante
es idéntica a la aplicación de dichos giros en orden inverso.
(I+ E)(I+ E0) = I+ E+ E0 + EE0 (64)
La operación opuesta es
(I+ E0)(I+ E) = I+ E+ E0 + E0E (65)
Los productos entre E y E�son in�nitésimos de 2o orden y por lo tanto pueden despresiarse
frente a los otros. Luego ambas expresiones son iguales y entonces el producto entre matrices
que representan giros in�nitesimales goza de la propiedad conmutativa de la suma de vectores.
Concluimos que un giro in�nitesimal puede representarse mediante un vector. Esta propiedad
no se veri�ca cuando los giros son �nitos.
2.3 Velocidad angular
Dividiendo la ecuación (62) por un escalar dt, diferencial de tiempo, se obtiene
dr
dt
=
d�
dt
^r (66)
8
que representa la derivada temporal de un vector r cuando dicho vector rota con una velocidad
angular de rotación instantánea w:
w =
d�
dt
(67)
Observación: Debido a que los diferenciales de ángulo son representables mediante vectores,
las velocidades angulares también podrán considerarse vectores y podrán sumarse vectorial-
mente. Esta propiedad importante de las velocidades angulares se usará más adelante.
En forma compacta la ecuación (66) se escribe
�
r= w ^ r (68)
Dicha variación se encuentra siempre en una dirección perpendicular a ambos vectores w y
r; como corresponde a todo producto vectorial, y como queda ilustrado en la siguiente �gura.
3 Derivada de un vector y sistemas no inerciales
Supongamos ahora que es el sistema de referencia el que gira en sentido antihorario con velocidad
angular instantánea w; y que el vector r tiene una variación en el tiempo respecto al sistema
�jo en el espacio
�
dr
dt
�
fijo
. Un observador desde el sistema que rota verá una variación del vector
r igual a la diferencia �
dr
dt
�
m�ovil
=
�
dr
dt
�
fijo
�w ^ r (69)
Entonces �
dr
dt
�
fijo
=
�
dr
dt
�
m�ovil
+w ^ r (70)
o
vf = vm +w ^ r (71)
De la ecuación (70) obtenemos el operador de derivación respecto a un sistema �jo en
relación a otro sistema que rota con velocidad angular w.�
d
dt
�
f
=
�
d
dt
�
m
+w^ (72)
9
que podemos aplicar a cualquier vector en el espacio tridimensional.
La aceleración del punto dado por el vector posición r vendrá dada por la derivada de vf�
dvf
dt
�
f
=
�
dvf
dt
�
m
+w ^ vf
Reemplazando vf (ec. 71) obtenemos
af = am + 2w ^ vm + w^ (w ^ r) +� ^ r (73)
donde � =
�
dw
dt
�
m
es la aceleración angular.
Despejando am y multiplicándola por la masa m obtenemos
mam = F� 2mw ^ vm �m w^ (w ^ r)�m� ^ r (74)
donde
F = maf (75)
r es un vector con origen en el centro de coordenadas común a ambos sistemas. Por lo tanto,
en la ecuación (74) es indistinto usar r o rm: En esta igualdad el término de la izquierda se
puede interpretar como la fuerza efectiva que ve el observador ubicado en el sistema móvil. Esta
es la superposición de las fuerzas reales de Newton simbolizadas en la resultante F, aplicadas
por agentes externos sobre m, y tres �fuerzas aparentes�o �fuerzas inerciales� llamadas de
esa manera por que surgen del movimiento del sistema de coordenadas. No surgen de ninguna
interacción con otros cuerpos. La primera de las fuerzas aparentes se conoce como �Fuerza
de Coriolis�, la segunda es la �Fuerza Centrífuga�y la tercera es la �Fuerza de arrastre por
rotación�. Para que la fuerza de Coriolis aparezca, la masa m debe tener una velocidad no nula
respecto al sistema móvil y para que aparezcan las dos restantes la masa m debe estar ubicada
a una distancia no nula del eje de rotación.
Si el sistema móvil tiene, además, un movimiento de traslación respecto al sistema �jo en
el espacio
r = R+ rm (76)
En este caso aparecerá, en la ecuación (74), otra fuerza aparente llamada �Fuerza de arrastre
por traslación��mA. Con
A =
d2R
dt2
(77)
Entonces, en ese caso, la ecuación (74) tiene un término más y se escribe, completa, de la
siguiente manera:
mam = F�mA� 2mw ^ vm �m w^ (w ^ rm)�m� ^ rm (78)
Cuando el sistema móvil se desplaza a velocidad constante sobre una recta y rota con una
velocidad angula constante la ecuación anterior queda
mam = F� 2mw ^ vm �m w^ (w ^ rm) (79)
10
4 Coordenadas independientes - Grados de libertad de
un cuerpo rígido
Un cuerpo rígido se de�ne como un conjunto de N masas puntuales tal que la distancia, entre
cualquier par de masas es constante. Dichas distancias están dadas por los módulos de los
vectores rij (con i y j variando de 1 a N).
Para obtener el número de grados de libertad de un cuerpo rígido y por consiguiente el
número de coordenadas generalizadas independientes, elejimos una masa cualquiera del rígido
ubicada en el punto P1: Una masa puntual libre en el espacio tiene 3 grados de libertad repre-
sentados por las tres componentes del vector posición. Consideramos ahora otra masa ubicada
en P2. Esta también tiene 3 grados de libertad pero su posición en el espacio, respecto a la que
está en P1; tiene una restricción dada por la ecuación de vínculo jr12j = c12: Esta ecuación alge-
braica permite expresar una de las coordenadas en función de las otras cinco. Luego quedan 5
grados de libertad. Pensemos ahora en una tercera masa en un punto P3 no colineal con las dos
anteriores. Su unión rígida con las otras viene dada por las ecuaciones de vínculo jr31j = c31
y jr32j = c32: La nueva masa agrega 3 grados de libertad, pero se restan dos, uno por cada
ecuación de vínculo. Estas tres masas unidas rígidamente tienen, entonces, 6 grados de liber-
tad. Si ahora pensamos en una cuarta masa unida rígidamente a las 3 anteriores mediante los 3
vínculos dados por jr41j = c41 , jr42j = c42 y jr43j = c43, ésta no agrega ningún grado de libertad
al conjunto de 4 masas puntuales. Repitiendo este razonamiento para cada una de las N-4
masas restantes, llegamos a la conclusión que cualquier conjunto de N masas puntuales unidas
rígidamente, libre en el espacio sin vínculo externo alguno, tiene en total 6 grados de libertad.
Bastará entonces con dar 6 coordenadas generalizadas elegidas correctamente para ubicar al
rígido en el espacio tridimensional. La forma más convenientees elegir las tres coordenadas
espaciales de un punto cualquiera del rígido y tres ángulos que �jen la posición de un sistema
de ejes �jo al cuerpo. La forma más usual de elección de esos ángulos es la llamada �ángulos
de Euler�, cuya de�nición se da a continuación.
4.1 Angulos de Euler y el vector velocidad angular
Asociamos 3 rotaciones independientes (alrededor de 3 ejes de rotación diferentes) con los 3
grados de libertad. Estos giros pueden de�nirse de diferentes maneras. La más usual es la dada
por los 3 �Angulos de Euler�.
1er giro: alrededor del eje z en un ángulo ':
2o giro: alrededor del eje x�en un ángulo �:
3er giro: alrededor del eje z�en un ángulo :
11
Las matrices de rotación que representan estos giros son
D =
0@ cos' sin' 0� sin' cos' 0
0 0 1
1A (80)
C =
0@ 1 0 00 cos � sin �
0 sin � cos �
1A (81)
y
B =
0@ cos sin 0� sin cos 0
0 0 1
1A (82)
respectivamente.
Las componentes de un vector en el sistema de referencia rotado vienen dadas por la ecuación
matricial
R0 = AR (83)
donde
A = BCD (84)
Los ángulos �nitos no pueden ser descriptos mediante vectores, pues no veri�can la propiedad
de conmutabilidad de la adición de vectores, pero los ángulos in�nitesimales si veri�can dicha
propiedad del álgebra de vectores (ver apunte de Cinemática del Rígido). Es por esa razón que
las velocidades angulares instantáneas, de�nidas como la variación de un ángulo in�nitesimal
en un tiempo in�nitesimal (la derivada de un ángulo), pueden tener un vector asociado paralelo
al eje de giro, y ser sumadas entre sí.
Como se puede ver en la �gura las tres velocidades angulares instantánes asociadas a los
tres giros dados por los tres ángulos de Euler ', � y ; son:
!' =
�
'ez !� =
�
�ex0 ! =
�
 ez00 (85)
12
Proyectando esos 3 vectores sobre los 3 ejes de referencia (x,y,z), se obtienen las 3 compo-
nentes del vector velocidad angular del rígido vista desde el sistema �jo en el espacio
! = !xex + !yey + !zez (86)
Los vectores indicados con la letra e (negrita), son versores que apuntan en la dirección del eje
que indica el subíndice.
Por simple observación del grá�co se obtiene:
!x =
�
 sin � sin'+
�
� cos' (87)
!y = �
�
 sin � cos'+
�
� sin'
!z =
�
 cos � +
�
'
Para simpli�car la escritura, de ahora en más, a los tres ejes �nales x000, y000 y z000 solidarios
al cuerpo, los llamaremos x1, x2 y x3:
Proyectando ahora !' , !� y ! sobre los tres ejes solidarios al cuerpo y sumando las
proyecciones correspondientes, se obtienen las 3 componentes de la velocidad angular !0 = !,
referidas a estos ejes.
!0 = !1e1 + !2e2 + !3e3 (88)
Estas componentes se pueden obtener por simple observación del grá�co.
Para obtenerlas en forma analítica podemos aplicar la matriz de rotación A a los vectores
!� y !' representados mediante matrices columna.
W0 = AW' +AW� +W
0
 (89)
Al vector !0 no es necesario aplicarle ninguna rotación pues se encuentra completamente sobre
el eje e3: La matriz columna que lo representa viene dada por:
W0 =
0B@ 00�
 
1CA (90)
Los otro términos de la suma son
AW' = BCD
0@ 00
�
'
1A =
0B@
�
' sin � sin 
�
' sin � cos 
�
' cos �
1CA (91)
y
AW� = BCD
0B@
�
� cos'
�
� sin'
0
1CA =
0B@
�
� cos 
�
�
� sin 
0
1CA (92)
Entonces la matriz columna que representa la velocidad angular proyectada sobre los tres ejes
solidarios al cuerpo es
W0 =
0BB@
�
' sin � sin +
�
� cos 
�
' sin � cos �
�
� sin 
�
' cos � +
�
 
1CCA =
0@ !1!2
!3
1A (93)
13
5 Teorema de Euler:
Este teorema dice: Cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido, con un punto �jo en el
espacio, puede reducirse a un único giro alrededor de cierto eje que pasa por ese punto.
Dicho de otro modo: siempre es posible encontrar un único eje alrededor del cual efectuar
un único giro y obtener el mismo resultado �nal que el de un desplazamiento general arbitrario.
Se entiende como desplazamiento general arbitrario a una sucesión de giros diferentes respecto
a ejes diferentes que pasen por un punto �jo del espacio.
Matemáticamente hablando el teorema consiste en demostrar que siempre existe una direc-
ción que no resulta alterada por la aplicación de una transformación ortogonal de rotación.
5.1 Signi�cado geométrico de la "transformación de semejanza"
Nos proponemos ahora calcular el ánguo � que predice el teorema de Euler a partir de una
transformación de rotación arbitraria.
Representamos con la letra A a una transformación arbitraria ortogonal que opera sobre
un vector arbitrario R tal que
R0= AR (94)
Supongamos que se aplica una rotación rígida B sobre R0:Entonces
BR0 = BAR
= BA(B�1B)R
= (BAB�1)(BR) (95)
De esta última ecuación puede hacerse la siguinete interpretación: La matriz A0 = BAB�1
transforma al vector T = BR en T0 = BR0:
T0= A0T (96)
Entonces B puede interpretarse como un operador que efectúa la misma rotación rígida
a los vectores R y R0 transformándolos en T y T0. El operador que transforma T en T0 es
A0; producto de la transformación de A en A0: Esta última es también una transformación
ortogonal pues la superposición sucesiva de varias transformaciones ortogonales es también una
transformación ortogonal.
La traza de A0 es igual a la traza de A, como se demuestra a continuación.
Un término genérico de A0 es:
a0ij=
3X
m;n=1
bimamnb
�1
nj (97)
TrA0 =
3X
i=1
a0ii=
3X
i=1
3X
m;n=1
bimamnb
�1
ni (98)
=
3X
m;n=1
amn
3X
i=1
bimb
�1
ni (99)
=
3X
m;n=1
amn�mn =
3X
m=1
amm (100)
14
Entonces
TrA0 = TrA (101)
Este resultado se usa en el siguiente apartado.
5.2 Cálculo del ángulo � del teorema de Euler
En particular calculemos ese ángulo � en función de los tres ángulos de Euler �; ' y .
Suponiendo que existe una transformación B; de rotación, tal que produce un giro de todo
el espacio hasta ubicar el eje de rotación de Euler sobre el eje z. Entonces la rotación en un
cierto ángulo �; predicha por el teorema de Euler, se reduce a una rotación simple alrededor
del eje z.
Para calcular ese ángulo aprovechamos la igualdad de las trazas de A y A0 de la transforma-
ción de semejanza BAB0 = A0 . La matriz A0 representa entonces una rotación en un ángulo
� alrededor del eje de Euler ubicado, ahora, sobre el eje z.
La traza de la matriz A que representa las tres rotaciones de Euler es
Tr(A) = cos cos'� cos � sin' sin � sin sin'+ cos � cos' cos + cos � (102)
= cos ( + ') + cos � cos ( + ') + cos � (103)
= cos ( + ') (cos � + 1) + cos � (104)
Según el teorema de Euler existe una matriz que representa un único giro en un ángulo �
sobre un cierto eje en el espacio. Representamos ese giro mediante la matriz de transformación
A0
A0=
0@ cos� sin� 0� sin� cos� 0
0 0 1
1A (105)
obtenida mediante la rotación de los ejes originales hasta ubicar el eje z sobre el eje de rotación
que predice el teorema de Euler y cuya traza es
TrA0 = 1 + 2 cos� (106)
Entonces
1 + 2 cos� = cos ( + ') (cos � + 1) + cos � (107)
Sumando una unidad a ambos lados de esta igualdad y usando las relaciones entre el coseno de
un ángulo y el coseno del ángulo mitad, se obtiene
cos
�
�
2
�
= cos
�
 + '
2
�
cos
�
�
2
�
(108)
De donde es posible calcular el ángulo � a partir de los tres ángulos �nitos conocidos , '
y �:
Ejercicio:
1) Encontrar el eje y el ángulo de Euler correspondiente a dos rotaciones sucesivas de un
paralelepípedo rectangular. Una alrededor del eje z y otra alrededor del eje x, ambas en un
ángulo de 90o y en dirección antihoraria.
15
A
A’
A’’
z=z’
x
y=x’
z’’
Eje
de
Eu
ler
120º
90º
90º
16