clase 12

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11. Fuerzas Centrales
Clase 12: jueves 23 de abril
Giros... todo da vueltas como una gran
pelota, todo da vueltas casi ni se nota.
Fito Páez
En esta clase comenzaremos el estudio del problema de dos cuerpos pun-
tuales que interactúan entre ellos mediante una fuerza central, es decir, me-
diante una fuerza cuya dirección está en la ĺınea que une a las part́ıculas
y cuya magnitud sólo depende de la distancia entre ellas. El problema más
famoso resuelto por la mecánica clásica es de este tipo: el problema de Kepler
del movimiento de los planetas. La deducción teórica de las tres leyes emṕıri-
cas de Kepler mediante la mecánica de Newton fue su hecho consagratorio.
Otro problema famoso de fuerzas centrales es el de repulsión entre part́ıculas
cargadas, veremos más adelante que el estudio de este tipo de sistemas lo
llevó a Rutherford (1911) a proponer el actual modelo del átomo: un núcleo
puntual cargado positivamente y electrones cargados negativamente ’dando
vueltas’ alrededor del núcleo.
En esta clase veremos cómo la aplicación del formalismo de Lagrange y
los principios de conservación permiten, además de obtener las ecuaciones
de movimiento, realizar un análisis cualitativo del movimiento.
11.1. Problema de dos cuerpos
Consideremos un sistema aislado de dos cuerpos puntuales de masas m1
y m2 que interactúan entre ellos mediante un par de acción y reacción de
fuerza central. Sea r ≡ r2−r1 el vector posición de 2 relativo a 1, las fuerzas
centrales por definición sólo dependen de la distancia r entre las part́ıculas
y están dirigidas a lo largo de la ĺınea que las une. Sabemos que en el caso
de fuerzas centrales siempre existe un potencial V (r) del cual derivan:
F12 = −∇2V (r) = F12(r)
r
r
, F21 = −∇1V (r) = F21(r)
r
r
, (11.1)
siendo válida la forma fuerte de la tercera ley de Newton,
F12(r) = −F21(r) = −
dV (r)
dr
.
Veremos que las simetŕıas nos permitirán pasar de este sistema de dos
part́ıculas, con 6 grados de libertad a un sistema equivalente con un único
grado de libertad, la distancia r.
105
11.2. Conservación del momento lineal: Eliminación del cen-
tro de masa
La función lagrangeana es
L =
1
2
m1ṙ
2
1 +
1
2
m2ṙ
2
2 − V (|r2 − r1|). (11.2)
Como vimos en una de las aplicaciones del teorema de Noether, una la-
grangeana como L es invariante traslacional y, por lo tanto, el momento
lineal total se conserva,
P = m1ṙ1 +m2ṙ2 = cte. (11.3)
Consecuentemente, el centro de masa se mueve a velocidad constante, como
si fuese una part́ıcula libre. Veamos como usar este hecho para eliminar el
movimiento del centro de masa: Hacemos una transformación puntual de los
vectores posición de cada part́ıcula r1, r2 a los vectores posición del centro
de masa y el vector posición relativo de 2 a 1:
Rcm =
m1r1 +m2r2
M
, r = r2 − r1, (11.4)
donde M = m1 +m2 es la masa total. La transformación inversa es
r1 = Rcm +
m2
M
r, r2 = Rcm −
m1
M
r. (11.5)
Transformando la lagrangeana llegamos a 31
L =
1
2
MṘ2cm︸ ︷︷ ︸
Lcm
+
1
2
µṙ2 − V (r)︸ ︷︷ ︸
L(ṙ,r)
, (11.6)
donde µ es la llamada “masa reducida”
µ =
m1m2
M
. (11.7)
La lagrangeana se divide entonces en dos lagrangeanas independientes:
Lcm corresponde al movimiento libre del centro de masa,
L(ṙ, r) corresponde al movimiento relativo de las dos part́ıculas, es la
lagrangeana calculada desde el sistema de referencia centro de masa
(sistema de referencia que es inercial porque Vcm es constante).
31En la clase de transformaciones puntuales usamos L̄ para notar la lagrangeana trans-
formada. Por simplicidad y por ser la notación más común en la literatura usamos aqúı la
misma notación L para ambas lagrangeanas.
106
Decimos que ambas lagrangeanas son independientes porque las variables de
una no aparecen en la otra y viceversa, por lo tanto al calcular las ecuaciones
de Lagrange el sistema de ecuaciones se divide en dos sistemas independi-
entes, uno para Rcm y otro para r.
Las ecuaciones para Rcm son simples: Rcm es ćıclica, por lo tanto se
conserva su momento canónico conjugado, que no es otro que el momento
lineal total de las dos part́ıculas:
pcm ≡
∂L
∂Ṙcm
= MṘcm = cte. (11.8)
El movimiento de centro de masa está entonces resuelto:
Rcm(t) = Ṙcmt+Rcm(t = 0). (11.9)
Podemos “olvidarnos” del movimiento del centro de masa yendo al sistema
(inercial) centro de masa para estudiar el movimiento relativo de las dos
part́ıculas. Nos quedan entonces tres grados de libertad –las tres compo-
nentes del vector posición relativa r– con lagrangeana
L(ṙ, r) =
1
2
µṙ2 − V (r). (11.10)
Esta lagrangeana nos dice que el problema original de dos part́ıculas se re-
dujo al problema equivalente de un único cuerpo con masa µ, vector posición
r y bajo el efecto del potencial central V (r), la fuerza ’apunta’ al centro de
fuerzas localizado en el origen de coordenadas. Si bien nos quedamos con el
movimiento relativo, una vez conocida r = r(t) podemos conocer fácilmente
las posiciones de las dos part́ıculas del problema original:
r1(t) =
m2
M
r(t), r2(t) = −
m1
M
r(t). (11.11)
11.3. Conservación del momento angular: movimiento en un
plano
Como el potencial es invariante rotacional, también se conserva el mo-
mento angular l del problema equivalente,
l = µr ∧ ṙ, (11.12)
que coincide con el momento angular total del problema original
L = m1r1 ∧ ṙ1 +m2r2 ∧ ṙ2. (11.13)
La constancia de la dirección de l implica que el movimiento ocurre siempre
en el plano perpendicular al momento angular, determinado por la posición
y la velocidad iniciales. Goldstein usa este hecho expĺıcitamente en la la-
grangeana (11.10) para quitar del problema un grado de libertad. Dice que
107
como el movimiento ocurre en un plano, basta considerar el problema de la
part́ıcula ’efectiva’ de masa µ en un plano, con coordenadas polares r y θ
como las generalizadas, con lagrangeana L = 12µ
(
ṙ2 + r2θ̇2
)
− V (r). Esto
no está bien: el hecho de que la part́ıcula se mueva en un plano no es una
ligadura geométrica (no hay ningún mecanismo externo que esté obligando
a la part́ıcula a moverse en un plano), sino que es una condición que resulta
de la dinámica misma del sistema: la conservación del momento angular es
una consecuencia de las ecuaciones de Lagrange. Como no es una ligadura,
no puede usarse la condición de movimiento en un plano para despejar coor-
denadas en la lagrangeana, debemos trabajar con los tres grados de libertad
de la part́ıcula ’efectiva’. Veamos cómo hacer las cosas bien.
Tomamos la lagrangeana (11.10) y, teniendo en cuenta la simetŕıa rota-
cional del problema, usamos coordenadas esféricas como coordenadas gen-
eralizadas.
L =
1
2
µ
(
ṙ2 + r2θ̇2 + r2 sin2 θϕ̇2
)
− V (r). (11.14)
Calculamos las tres ecuaciones de Lagrange correspondientes
d
dt
∂L
∂ṙ
− ∂L
∂r
= 0
d
dt
∂L
∂θ̇
− ∂L
∂θ
= 0
d
dt
∂L
∂ϕ̇
− ∂L
∂ϕ
= 0
⇒ (11.15)
µr̈ = −dV
dr
+ µr2θ̇2 + µr sin2 θϕ̇2, (11.16)
d
dt
(
µr2θ̇
)
= µr2 sin θ cos θϕ̇2, (11.17)
d
dt
(
µr2 sin2 θϕ̇
)
= 0. (11.18)
De la tercera ecuación de Lagrange o por simple inspección de la lagrangeana
vemos que ϕ es una coordenada ćıclica,
∂L
∂ϕ
= 0 ⇒ pϕ = µr2 sin2 θϕ̇ es constante. (11.19)
Asimismo vemos que L no depende expĺıcitamente del tiempo,
∂L
∂t
= 0 ⇒ H = ṙ ∂L
∂ṙ
+ θ̇
∂L
∂θ̇
+ ϕ̇
∂L
∂ϕ̇
− L es constante. (11.20)
Por otra parte, como el potencial no depende de las velocidades general-
izadas, ∂V/∂q̇ = 0 y como las relaciones constitutivas no dependen del
108
tiempo, ∂r/∂t = 0, entonces la hamiltoniana H es igual a la enerǵıa del
sistema, H = E.
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que la posición inicial y la ve-
locidad inicial de la part́ıcula están en el plano xz{
r(t = 0) ∈ plano xz
ṙ(t = 0) ∈ plano xz
equivalentemente
{
y(t = 0) = 0
ẏ(t = 0) = 0.
(11.21)
Si se impone que y(t = 0) = 0, entonces el ángulo acimutal inicial debe ser
ϕ(t = 0) = 0 ó ϕ(t = 0) = π. Por otra parte, si se impone ẏ(t = 0) = 0,
entonces se anula la velocidad angularacimutal inicial ϕ̇(t = 0) = 0 ya que
ẏ = ṙ sin θ sinϕ+ rθ̇ cos θ sinϕ+ rϕ̇ sin θ cosϕ, (11.22){
r(t = 0) ∈ plano xz
ṙ(t = 0) ∈ plano xz
⇒
{
ϕ(t = 0) = 0 o ϕ(t = 0) = π
ϕ̇(t = 0) = 0.
(11.23)
Además, debido a que el momento canónico conjugado al ángulo acimutal pϕ
se conserva, debe valer pϕ = µr
2 sin2 θϕ̇ para todo instante. En particular,
valdrá para el instante inicial, para el cual ϕ̇(t = 0) = 0, con lo que tenemos
pϕ(t = 0) = 0. Esto implica que la velocidad angular acimutal ϕ̇ es idénti-
camente nula con las condiciones iniciales consideradas. Aśı, la ecuación de
Lagrange asociada a ϕ (11.18) se satisface trivialmente. Considerando estas
condiciones iniciales 32, las ecuaciones de Lagrange asociadas a r y θ quedan:
µr̈ = −dV
dr
+ µr2θ̇2,
d
dt
(
µr2θ̇
)
= 0.
(11.24)
Estas ecuaciones son las mismas que derivaŕıan de la lagrangeana anterior,
(11.14), anulando alĺı ϕ̇ , quedándonos con
L =
1
2
µ
(
ṙ2 + r2θ̇2
)
− V (r). (11.25)
Eso es lo que hace Goldstein. Si bien dijimos que Goldstein estaba equivo-
cado en su procedimiento ¡llega al resultado correcto!. Pero cuidado, ensegui-
da veremos el caso donde el mal proceder da lugar al resultado incorrecto.
32Repetimos que estas condiciones iniciales no quitan ninguna generalidad, si la posi-
ción inicial y la velocidad inicial de la part́ıcula estuviesen en otro plano distinto al xz,
simplemente rotamos el sistema de referencia para que el plano del movimiento inicial
coincida con el plano xz en el nuevo sistema de referencia.
109
11.4. Potencial efectivo: Problema unidimensional efectivo
En las ecuaciones anteriores tenemos, por un lado, la ecuación de movimien-
to radial y, por el otro lado, la conservación de la magnitud
µr2θ̇ ≡ l = cte, (11.26)
que llamaremos l porque es el modulo del momento angular del sistema.
Esta última ecuación nos permite expresar θ̇ en función de r,
θ̇ =
l
µr2
. (11.27)
Yendo con esta expresión a la ecuación de Lagrange radial (11.24) notamos
que puede escribirse en término de la variable r exclusivamente:
µr̈ = −dV
dr
+
l2
µr3
. (11.28)
Si definimos un potencial efectivo
Vef (r) = V (r) +
l2
2µr2
(11.29)
la ecuación de movimiento radial adquiere la forma t́ıpica de la segunda ley
de Newton
µr̈ = −
dVef (r)
dr
. (11.30)
Esta es la ecuación de movimiento de una part́ıcula de masa µ, moviéndose
en una semirrecta positiva (r ≥ 0), bajo el efecto del potencial efectivo
Vef (r) que resulta de sumar al potencial f́ısico el término centŕıfugo l
2/2µr2,
llamado también ’barrera centŕıfuga’. Este término es consecuencia directa
de la conservación del momento angular, l = µr2θ̇ = cte, que nos dice que
cuando r → 0, la velocidad angular θ̇ diverge, debiendo diverger la enerǵıa
cinética al mismo tiempo. Por lo tanto, si el potencial f́ısico V (r) no es
lo suficientemente atractivo como para cancelar la divergencia de la enerǵıa
cinética, la part́ıcula no puede acercarse al origen de fuerzas, y eso se traduce
en el carácter repulsivo fuerte de la barrera centŕıfuga para r → 0.
Antes dećıamos que Goldstein procede mal al usar una integral de movimien-
to para despejar una coordenada generalizada, el ángulo ϕ en particular,
pero que llega ’de casualidad’ al resultado correcto. Veamos ahora el caso
donde el mismo procedimiento lleva a un resultado incorrecto. Si en lugar
de utilizar la conservación de l, como lo hicimos y bien, para pasar a una
única ecuación en r (11.28), la hubiésemos utilizado mal para quitar la coor-
denada θ de la lagrangeana (11.25), tendŕıamos una lagrangeana puramente
radial de la forma Lmal =
1
2µṙ
2+ l
2
2µr2
−V (r). La ecuación de Lagrange cor-
respondiente a Lmal no es la correcta (11.28), cambia el signo del término
110
centŕıfugo. Vemos entonces que no se puede usar una integral de movimien-
to, o de manera general una relación dinámica cualquiera, obtenida de las
ecuaciones de Lagrange para volver atrás a la lagrangeana y despejar una
variable en función de otras.
11.5. Conservación del momento angular: velocidad areolar
constante
De la conservación de la dirección del momento angular resulta que el
movimiento ocurre en un plano, de la conservación del módulo del momento
angular veremos que resulta la segunda ley de Kepler. Esta ley dice que el
radio vector que une a dos part́ıculas que están sujetas a una fuerza central
arbitraria, barre áreas iguales en iguales tiempos, es decir, barre áreas con
una velocidad constante, la velocidad areolar. Remarcamos que si bien este
resultado fue obtenido por Kepler emṕıricamente para el caso planetario, su
validez se extiende a cualquier tipo de fuerza central.
dθ
r(t)
r(t+dt)
dr(t)
Figura 11.1: El área barrida por el radio vector en dt es la mitad del área
del paralelogramo de lados r(t) y dr(t).
En un diferencial de tiempo el vector posición pasa de r(t) a r(t+ dt) =
r(t)+dr(t), como se muestra en la figura (11.1). El diferencial de área barrida
en dt está dada por la mitad del área del paralelogramo generado por los
vectores r, y dr:
dA =
1
2
× area del paralelogramo = 1
2
|r ∧ dr|. (11.31)
En coordenadas polares r = rêr = r(cos θ, sin θ) por lo tanto, dr = drêr +
rdθêθ, y el diferencial de área barrido resulta
dA =
1
2
r2dθ. (11.32)
111
La velocidad areolar
dA
dt
=
1
2
r2θ̇ =
l
2µ
= cte (11.33)
es constante como consecuencia directa de la conservación del momento
angular.
11.6. Análisis cualitativo a partir del potencial efectivo
De la ecuación de movimiento (11.28) se obtiene rápidamente una inte-
gral de movimiento, la enerǵıa:
E =
1
2
µṙ2 + Vef (r). (11.34)
Como es de esperar, la enerǵıa del problema equivalente de la part́ıcula
moviéndose en la semirrecta r ≥ 0 se compone de la enerǵıa cinética, 12µṙ
2,
y del potencial efectivo. La conservación de E implica la desigualdad
1
2
µṙ2 = E − Vef (r) ≥ 0. (11.35)
Conociendo la forma del potencial efectivo, esta simple desigualdad nos per-
mite realizar un análisis cualitativo del problema:
Regiones permitidas: de (11.35) resulta que, para un dado valor de
la enerǵıa, la part́ıcula sólo podrá moverse en aquellas regiones donde
el potencial efectivo no supere a la enerǵıa. Clásicamente la part́ıcula
nunca puede encontrarse en la región donde Vef (r) > E.
Puntos de retroceso: los puntos r∗ donde el potencial efectivo sea
igual a la enerǵıa, Vef (r∗) = E, son puntos de retroceso, ya que en
ellos se anula la velocidad radial. Los puntos de retroceso se denominan
ápsides. En el caso particular del movimiento de los cuerpos celestes
del sistema solar, el punto de mayor cercańıa entre el cuerpo y el sol
se llama perihelio, mientras que el de mayor lejańıa, se llama afelio.
Órbitas acotadas y no acotadas: de acuerdo al tipo de potencial
V (r) podrán existir órbitas acotadas, aquellas en las cuales la distancia
al origen no puede ser mayor a una distancia determinada, y órbitas
no acotadas en las cuales la part́ıcula puede ir hacia el infinito. Todas
las órbitas no acotadas son abiertas, porque la part́ıcula una vez en
el infinito no vuelve atrás, mientras que no todas las órbitas acotadas
son cerradas 33
33El teorema de Bertrand (ver por ejemplo Goldstein) determina qué potenciales de la
forma V ∼ rα, donde α es una constante, tiene a sus órbitas acotadas siempre cerradas:
el potencial de Kepler α = −1 y el potencial elástico α = 2.
112
Órbitas circulares: si (11.35) vale para un único punto r0, entonces la
órbita es circular y de radio r0 ya que es la única distancia permitida
al origen. Estas órbitas circulares se obtienen minimizando (órbitas
estables) o maximizando (órbitas inestables) el potencial efectivo.
Veamos ahora algunos ejemplos, para potenciales de la forma V ∼ rα.
Ejemplo 11.1 (Potencial repulsivo)
Si un potencial es repulsivo entonces vale dV/dr < 0, ya que la fuerza que
actúa sobre la part́ıcula es F(r) = −∇V (r) = −dV/dr r̂ siendo r̂ el versor
radial saliente del origen. Si V = krα, donde k, α sonconstantes, entonces
el potencial es repulsivo siempre que kα < 0. Un ejemplo es el de repulsión
coulombiana entre cargas del mismo signo.
r
po
te
nc
ia
le
s
V
ef
V
V
cent
Figura 11.2: Potencial V repulsivo.
Del análisis del potencial Vef (r) –un caso caracteŕıstico se muestra en la
figura (11.2)–, vemos que en este caso el movimiento es siempre no acotado
y existe un único punto de retroceso, que es de mayor cercańıa al centro
de fuerzas (punto periápside). Para que exista una región permitida para el
movimiento de la part́ıcula, la enerǵıa E debe ser positiva siempre, como
lo demuestra una simple inspección de (11.34). Decimos que en el caso de
potenciales V repulsivos es imposible que se forme un enlace entre las dos
part́ıculas del problema original, las part́ıculas no se ligan por medio del
potencial.
Ejemplo 11.2 (Potencial atractivo con α > −2)
Si el potencial es V = krα ahora vale kα > 0. Cuando r → 0 la barrera
113
centŕıfuga domina sobre el potencial atractivo, ya que la barrera diverge a
+∞ como r−2, más rápidamente que la divergencia con signo contrario del
potencial f́ısico (si α < 0). Un ejemplo es el del potencial de Kepler gravi-
tatorio. Por lo tanto, el potencial efectivo tiende a +∞ cuando r → 0. La
part́ıcula no puede pasar por el centro de fuerza y existe cierta distancia de
menor acercamiento al origen.
r
po
te
nc
ia
le
s
V
ef
V
V
cent
E
1
E
2
E
3
E
4
Figura 11.3: Potencial V ∝ rα atractivo con α > −2.
Si α < 0 una situación t́ıpica es la de la figura (11.3). Para r → ∞
domina el potencial f́ısico y el potencial efectivo tiende a cero viniendo desde
valores negativos. Tomemos algunos valores caracteŕısticos de enerǵıa. Si la
enerǵıa E = E1 > 0 entonces el movimiento es no acotado, la part́ıcula
se aleja indefinidamente del centro de fuerza, y en el infinito aún tendŕıa
enerǵıa cinética finita. Si E = E2 = 0 entonces el movimiento también
es no acotado, pero ahora la part́ıcula llega al infinito con velocidad nula.
Si E = E3 con Vef |min < E3 < 0, entonces el movimiento está acotado
entre el periápside (rmin) y el apoápside (rmax). Si la enerǵıa E = E4 es
la coincidente con el mı́nimo del potencial efectivo, entonces la órbita es
circular. Cuando el movimiento es acotado decimos que se forma un estado
ligado entre las dos part́ıculas originales debido al potencial atractivo.
Por otro lado, si α > 0, los únicos movimientos posibles son los acotados.
Mientra la barrera centŕıfuga no permite que la part́ıcula pase por el origen,
el potencial f́ısico actúa como un resorte que no permite que la part́ıcula se
aleje demasiado del origen.
114
r
po
te
nc
ia
le
s
V
ef
V
V
cent E
1
E
2
E
3
Figura 11.4: Potencial V ∝ rα atractivo con α < −2.
Ejemplo 11.3 (Potencial atractivo con α < −2)
En este caso la divergencia ’atractiva’ del potencial V le gana a la diver-
gencia ’repulsiva’ de la barrera centŕıfuga para r → 0 y la part́ıcula puede
pasar por el centro de fuerza. Un caso t́ıpico es el que se muestra en la figura
(11.4): si E = E1 entonces todo r está permitido, la part́ıcula pasa por el
centro de fuerza y va hacia el infinito donde tendrá velocidad no nula. Si E
coincide con el máximo del potencial efectivo entonces es posible tener una
órbita circular, pero inestable. Cualquier pequeña perturbación apartará sig-
nificativamente a la part́ıcula de dicha órbita circular. Si E = E2 > 0 ex-
isten dos regiones permitidas disjuntas, una acotada y la otra no acotada.
Clásicamente la part́ıcula nunca puede pasar de una región a otra, la barrera
centŕıfuga lo impide. Cuánticamente la part́ıcula puede pasar bajo la barrera
centŕıfuga, mediante el conocido efecto túnel. Finalmente si E = E3 < 0 el
único movimiento posible es acotado pasando por el centro de fuerzas.
11.7. Solución formal de las ecuaciones de movimiento
Las conservaciones de enerǵıa y momento angular nos permiten, medi-
ante cuadratura, resolver formalmente el problema de fuerza central. Como
E =
1
2
µṙ2 − Vef (r),
resulta
ṙ = ±
√
2
µ
(E − Vef (r)), (11.36)
115
separando tiempo de variable r llegamos a
dt = ± dr√
2
µ (E − Vef (r))
, (11.37)
e integrándola conocemos tiempo en función de distancia r
t− t0 = ±
∫ r
r(t0)
dr̃√
2
µ (E − Vef (r̃))
, (11.38)
relación de la cual podemos despejar al menos formalmente r = r(t). Por
otro lado la conservación del momento angular l nos permite encontrar el
ángulo θ en función del tiempo
θ̇ =
l
µr2
⇒ θ(t)− θ(t0) =
l
µ
∫ t
t0
dt̃
r(t̃)2
. (11.39)
En el problema tenemos cuatro constantes de movimiento por tener dos
ecuaciones de Lagrange (11.24). Dos constantes son las importantes: la en-
erǵıa E y el momento angular l, son las constantes que determinan la forma
y el tipo de órbita en algunos casos. Las otras dos constantes, por ejemplo,
r(t0) y θ(t0), junto a E y l determinan orientación de la órbita en el plano
de movimiento.
Veamos ahora que podemos usar las ecuaciones anteriores para obtener
además de las leyes horarias, la órbita r = r(θ):
dr
dt
= ±
√
2
µ
(E − Vef (r)),
dθ
dt
=
l
µr2
. (11.40)
Haciendo el cociente entre ambas cantidades llegamos a una relación integral
para la órbita r = r(θ) :
dθ = ± 1
r2
ldr√
2µ (E − Vef (r))
⇒ (11.41)
θ(r) = θ(r0)±
∫ r
r0
1
r̃2
ldr̃√
2µ (E − Vef (r̃))
.
Para algunos potenciales particulares (ver Goldstein) las integrales pueden
calcularse expĺıcitamente en término de funciones elementales o no tanto,
entre ellas funciones eĺıpticas como las que vimos en la solución exacta del
péndulo simple. Ahora veremos cómo obtener una ecuación diferencial di-
rectamente para la órbita r = r(θ), que nos servirá resolver el problema de
Kepler.
116
11.8. Ecuación diferencial de la órbita r(θ)
De las leyes de movimiento r = r(t) y θ = θ(t) se puede despejar el
tiempo para llegar a la ley de la órbita r = r(θ). Despejemos el tiempo en
la ecuación de Lagrange radial (11.24), usando la conservación de l. Nece-
sitamos encontrar la aceleración de r en término de derivadas respecto a θ.
Usando la ecuación de la órbita, la dependencia temporal de r = r(θ(t)),
por lo tanto la velocidad es
dr
dt
=
dr
dθ
θ̇ =
l
µr2
dr
dθ
, (11.42)
y la aceleración
d2r
dt2
=
d
dt
(
l
µr2
dr
dθ
)
= − 2l
µr3
dr
dt
dr
dθ
+
l
µr2
d
dt
dr
dθ
= (11.43)
= − 2l
2
µ2r5
(
dr
dθ
)2
+
l
µr2
d2r
dθ2
θ̇ =
(
l
µr2
)2 [
−2
r
(
dr
dθ
)2
+
d2r
dθ2
]
.
La ecuación de movimiento radial se reescribe como
µ
(
l
µr2
)2 [
−2
r
(
dr
dθ
)2
+
d2r
dθ2
]
= F (r) +
l2
µr3
, (11.44)
donde F (r) = −dV/dr. Haciendo el cambio de variable r = 1/u resulta una
ecuación más simple
d2u
dθ2
+ u = − µ
l2
1
u2
F
(
1
u
)
. (11.45)
Esta es la ecuación diferencial para la órbita, r(θ) = 1/u(θ) y recibe el
nombre de ecuación de Binet.
Si la función u(θ) satisface la ecuación de la órbita, también será solución
la función ũ(θ) ≡ u(−θ) por ser la ecuación simétrica respecto a la reversión
del ángulo θ → −θ. En principio y según se elijan las condiciones iniciales
de la órbita, ambas soluciones u y ũ pueden ser distintas. Pero si hacemos
coincidir θ = 0 con el periápside de la órbita entonces θ = 0 es un punto de
retroceso, ṙ(θ = 0) = 0 y
du
dθ
∣∣∣∣
θ=0
= − 1
r2
dr
dθ
∣∣∣∣
θ=0
= 0 = − dũ
dθ
∣∣∣∣
θ=0
(11.46)
De la condición anterior resulta que las funciones u y ũ coinciden en θ = 0 y
lo mismo ocurre con sus derivadas primeras. Por lo tanto, ambas funciones
deben ser la misma función, de donde resulta que las órbitas son simétricas
frente al cambio θ → −θ, es decir, r(θ) = r(−θ) De manera más general, la
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órbita será invariante frente a reflexiones respecto a las ĺıneas que unen el
origen con los puntos de retroceso. Si la órbita es acotada, entonces nos basta
conocer un tramo que vaya desde un periápside a un apoápside, el resto de
la órbita se obtiene usando la simetŕıa recien encontrada, reflejando la curva.
En esta clase:
El problema de dos cuerpospuntuales que interactúan mediante
una fuerza central puede reducirse siempre a un problema equiv-
alente de una part́ıcula de masa µ = m1m2/(m1 + m2), sujeta a
un potencial efectivo Vef (r) = V (r) + l
2/2µr2, que se mueve en la
semirrecta r ≥ 0.
El potencial efectivo permite realizar un análisis cualitativo del
movimiento, posibilitando encontrar los puntos de retroceso, el
carácter acotado o no de las órbitas y la caracterización de las
órbitas circulares.
Para cualquier problema de fuerza central vale la segunda ley de
Kepler de velocidad areolar constante: el vector que une ambas
part́ıculas barre áreas iguales en tiempos iguales.
Encontramos una ecuación diferencial para la órbita.
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