peqoscilaciones v2

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Mecánica Clásica (Lic. en Física)
Pequeñas Oscilaciones
Dr. César A. Ramírez (2015-última corrección)
1 Función de Lagrange y ecuaciones de movimiento
Una forma de movimiento que se observa muy frecuentemente en la naturaleza, en un sistema
de partículas, es la vibración (oscilación) alrededor de una posición de equilibrio estable del
sistema. Al separar levemente una o varias de las partículas de esa posición de equilibrio
surgen fuerzas que tienden a llevarlo a la posición original donde dichas fuerzas son nulas. Un
ejemplo simple es el péndulo doble oscilando alrededor de su posición de equilibrio en pequeños
ángulos. Las moléculas tienen vibraciones internas que pueden modelizarse suponiendo fuerzas
elásticas interatómicas. Lo mismo puede hacerse con los movimientos internos de los átomos
que componen un sólido metálico.
Supongamos un sistema compuesto por n partículas que interactúan entre si mediante
fuerzas que dependen de las distancias que las separan y cuyas posiciones están dadas por
los siguientes vectores:
r1 = r1(q1, q2, ..., ql, t)
... = ........... (1)
rn = rn(q1, q2, ..., ql, t)
funciones de las l coordenadas generalizadas qj y del tiempo t. La velocidad de la partícula
i-ésima es:
vi =
dri
dt
=
∂ri
∂t
+
l�
j=1
∂ri
∂qj
dqj
dt
(2)
Reemplazando esta expresión en la energía cinética total
T =
1
2
n�
i=1
miv
2
i (3)
obtenemos
T =
1
2
n�
i=1
mi
��
∂ri
∂t
�2
+ 2
l�
j=1
∂ri
∂t
∂ri
∂qj
•
qj +
l�
j,k=1
∂ri
∂qj
∂ri
∂qk
•
qj
•
qk
�
(4)
Si las coordenadas no dependen en forma explícita del tiempo
∂ri
∂t
= 0 ⇒ a = aj = 0 (5)
T se reduce a la forma cuadrática:
T =
1
2
l�
j,k=1
Tjk
•
qj
•
qk (6)
donde
Tjk =
n�
i=1
mi
∂ri
∂qj
∂ri
∂qk
(7)
1
con la propiedad de simetría Tjk = Tkj
Por otra parte suponemos que la energía potencial, dependiente de las coordenadas gener-
alizadas, tiene un mínimo en un punto del espacio l − dimensional de las qj .
V = V (q1, q2, ..., ql)
�
∂V
∂qi
�
(q10, q20, ..., ql0) = 0 i = 1, ..., l (8)
Definimos las coordenadas xi = qi − qi0
∂V
∂qi
=
∂V
∂xi
∂xi
∂qi
=
∂V
∂xi
(9)
Desarrollando V en serie de Taylor, alrededor del punto de equilibrio, tenemos
V = V0 +
l�
i=1
�
∂V
∂xi
�
xi=0
xi +
1
2
l�
j,k=1
�
∂2V
∂xj∂xk
�
xj ,xk=0
xjxk +O (10)
Si elegimos V0 = 0, y como es
�
∂V
∂xi
�
xi=0
= 0 i = 1, ..., l (11)
la energía potencial se expresa
V =
1
2
l�
i,k=1
Vik xixk (12)
donde
Vik =
�
∂2V
∂xi∂xk
�
xi,xk=0
(13)
con la propiedad de simetría Vik = Vki.
La energía cinética ahora puede expresarse en función de las velocidades
•
xj
T =
1
2
l�
j,k=1
Tjk
•
xj
•
xk (14)
Entonces la función de Lagrange es
L =
1
2
l�
j,k=1
(Tjk
•
xj
•
xk − Vjk xjxk) (15)
Las l ecuaciones de movimiento que resultan, son:
�
l�
k=1
(Tjk
••
xk + Vjk xk) = 0 , j = 1, ..., l (16)
Esta ecuación representa un sistema de l ecuaciones diferenciales acopladas en las l coordenadas
xk.
Para cada una de estas coordenadas se proponen l soluciones complejas de prueba de la
forma
zk(t) = ak exp(iωt), zk ∈ C, ak ∈ R, k = 1, ..., l (17)
Las funciones que resuelven cada paréntesis de la suma son senos y cosenos pero elegimos
la forma compleja por que resulta más operativa. Las soluciones físicas serán la parte Real o la
2
parte Imaginaria de estas funciones. Las soluciones complejas reemplazadas en las ecuaciones
de movimiento generan el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo
⇒
�
l�
k=1
(Vjk − ω2Tjk) ak = 0 , j = 1, ..., l (18)
Este sistema de ecuaciones, cuyas incógnitas son las constantes ak , tendrá solución si
det(Vjk − ω2Tjk) = 0 (19)
Este determinante define un polinomio de orden l en ω2. De cuyas raices obtenemos las l
frecuencias ω1, .., ωl, llamadas frecuencias propias del sistema. Reemplándolas, una por vez,
obtenemos l sistemas de ecuaciones
⇒ n = 1, ..., l
�
l�
k=1
(Vjk − ω2nTjk) ank = 0 , j = 1, ..., l (20)
De los cuales se pueden obtener las l componentes reales ank de cada uno de los vectores an.
De todos modos estas componentes no están determinadas en forma unívoca, por lo que habrá
que imponer nuevas condiciones para determinarlas (ver ec. 32).
Con estos resultados se obtienen l soluciones, una para cada n, del tipo.
znk(t) = ank exp(iωnt), k = 1, ..., l (21)
La solución general zk(t), será una combinación lineal de las znk(t).
zk(t) =
l�
n=1
cn ank exp(iωnt) , cn ∈ C (22)
Expresando los números complejos cn en forma polar queda
zk(t) =
l�
n=1
|cn| ank exp [i(ωnt+ ϕn)] (23)
La solución física es la parte Real o la parte Imaginaria de la solucióm compleja zk. Por ejemplo
si tomamos la parte Real:
xk(t) = Re(zk) =
l�
n=1
ank |cn| cos[ωnt+ ϕn] (24)
Con las 2l condiciones iniciales (CI)
xk(0) =
l�
n=1
ank |cn| cosϕn = xk0 (25)
•
xk(0) = −
l�
n=1
ank |cn|ωn sinϕn = vk0 (26)
pueden determinarse las 2l constantes |cn| y ϕn.
3
2 Definición de: coordenadas normales o modos normales
de vibración
La solución general para la coordenada xk(t) y sus velocidades también pueden ponerse de la
siguiente manera
xk(t) =
l�
n=1
ank ξn(t) (27)
•
xk(t) =
l�
n=1
ank
•
ξn(t) (28)
donde
ξn(t) = |cn| cos[ωnt+ ϕn] (29)
•
ξn(t) = − |cn|ωn sin[ωnt+ ϕn] (30)
son las coordenadas normales y las velocidades correspondientes. Reemplazando en la energía
cinética, obtenemos
T =
1
2
l�
j,k=1
Tjk
l�
n=1
ank
l�
m=1
amj
•
ξn
•
ξm =
1
2
l�
n,m=1
�
l�
j,k=1
Tjk ank amj
�
•
ξn
•
ξm (31)
Ahora imponiendo las condiciones, a las constantes ank
l�
j,k=1
Tjk ankamj = mnδnm (32)
Donde se ha agregado la masa mn con el objeto de obtener para las constantes ank números
adimensionales. De ese modo se consigue que las nuevas coordenadas ξn tengan las mismas di-
mensiones que las coordenadas generalizadas x. En el caso que alguna coordenada generalizada
sea un ángulo deberá ser reemplazada por una longitud que represente el mismo desplazamiento
angular.
Obtenemos asi para la energía cinética, la siguiente expresión.
T =
1
2
l�
n=1
mn
•
ξ
2
n (33)
Reemplazando xk en la energía potencial
V =
1
2
l�
j,k=1
Vjk xjxk =
1
2
l�
n,m=1
(
l�
j,k=1
Vjk ank amj) ξnξm (34)
y teniendo en cuenta la siguiente relación:
l�
j,k=1
Vjk ank amj = ω
2
n
l�
j,k=1
Tjk ank amj
l�
j,k=1
Vjk ank amj = ω
2
nmnδnm (35)
4
que puede obtenerse a partir de la ecuación (20) luego de multiplicarla por amj y sumar en j,
obtenemos, para la energía potencial
V =
1
2
l�
n
ω2n mnξ
2
n (36)
Con las condiciones (32) y (35) quedan definidas completamente las constantes ank.
La función de Lagrange se escribe ahora como una suma de n términos independientes, de
la siguiente manera:
L =
1
2
l�
n=1
mn(
•
ξ
2
n − ω2n ξ2n) =
l�
n=1
Ln (37)
Las ξn(t) representan coordenadas completamente desacopladas. Llamadas coordenadas nor-
males (o coordenadas ortogonales ) del sistema acoplado.
3 Relaciones entre los valores iniciales de las coorde-
nadas de uno y otro sistema de coordenadas
Las relaciones entre las coordenadas originales y las coordenadas normales se obtienen multi-
plicando por la izquierda por Tjkanj y sumando por j y k
xk(0) =
l�
n=1
l�
j,k=1
Tjkamjank |cn| cosϕn =
l�
j,k=1
Tjkamjxk0 (38)
•
xk(0) = −
l�
n=1
l�
j,k=1
Tjkamjank |cn|ωn sinϕn =
l�
j,k=1
Tjkamjvk0 (39)
Entonces
l�
n=1
l�
j,k=1
Tjkamjank |cn| cosϕn =
l�
n=1
mnδnm |cn| cosϕn (40)
−
l�
n=1
l�
j,k=1
Tjkamjank |cn|ωn sinϕn = −
l�
n=1
mnδnm |cn|ωn sinϕn (41)
Luego
mm |cm| cosϕm =
l�
j,k=1
Tjkamjxk0 (42)
−mm |cm|ωm sinϕm =
l�
j,k=1
Tjkamjvk0 (43)
tanϕm =
−�lj,k=1 Tjkamjvk0
ωm
�l
j,k=1 Tjkamjxk0
|cm| =
�l
j,k=1 Tjkamjxk0
mn cosϕm
(44)
Si las condiciones iniciales son tales que una sola de las coordenadas normales es activada,
todas las demás permanecerán idénticamente nulas en el tiempo y el sistema seguirá moviéndose
en el modo normal coorespondiente a esa coordenada en un movimiento oscilatorio de una sola
frecuencia.
5
4 Forma general de calcular las coordenadas normales
Multiplicando por la izquierda, las ecuacionesque dan xk(t) y
•
xk(t), por Tjkamj y sumando
sobre j y k, obtenemos
l�
j,k=1
Tjkamj xk(t) =
l�
n=1
l�
j,k=1
Tjkamjank ξn(t) = mmξm(t) (45)
l�
j,k=1
Tjkamj
•
xk(t) =
l�
n=1
l�
j,k=1
Tjkamjank
•
ξn(t) = mm
•
ξm(t) (46)
Comparando con las ecuaciones (44), la relación con las condiciones iniciales de las ξm(t) es
tanϕm =
−
•
ξm0
ωmξm0
|cm| =
ξm0
mm cosϕm
(47)
Se pueden obtener estos resultados directamente desde las CI para las ξm(t) :
CI :
�
ξm(0) = |cm| cosϕm = ξm0
•
ξm(0) = − |cm|ωm sinϕm =
•
ξm0
m = 1, ..., l
�
(48)
5 Ejemplo resuelto:
Calcular las frecuencias propias de vibración, y encontrar los modos normales de vibración de
dos masas unidas entre sí por un resorte, y a dos puntos fijos por otros dos resortes iguales.
Todo sobre una misma línea.
La energía cinética es
T =
1
2
l�
j=1
m
•
x
2
j (49)
Que escrita en forma general es
T =
1
2
l�
j,k=1
Tjk
•
xj
•
xk (50)
Entonces
Tjk =
�
m 0
0 m
�
(51)
La energía potencial es
V =
1
2
	
kx2
1
+ k(x2 − x1)2 + kx22
=
1
2
	
2kx2
1
− 2kx2x1 + 2kx22
(52)
Que escrita en forma general es
V =
1
2
l�
i,k=1
Vik xixk Vjk =
�
2k −k
−k 2k
�
(53)
6
Para encontrar una solución no trivial debe ser
det(Vjk − λTjk) = det
�
2k − λm −k
−k 2k − λm
�
= (2k − λm)2 − k2 = 0 (54)
4k2 + λ2m2 − 4kmλ− k2 = 0 (55)
ω2
0
=
k
m
(56)
λ2 − 4ω2
0
λ+ 3ω4
0
= 0 (57)
λ1,2 =
1
2
�
4ω2
0
±
�
16ω4
0
− 12ω4
0
�
=
ω2
0
2
(4± 2) =
�
λ1 = ω
2
0
λ2 = 3ω
2
0
(58)
Las frecuencias angulares propias del sistema son
ω1 = ω0 ω2 =
√
3ω0 (59)
n = 1, 2
�
l�
k=1
(Vjk − λnTjk) ank = 0 , j = 1, ..., l (60)
�
V11 − λnT11 V12
V21 V22 − λnT22
��
an1
an2
�
=
�
0
0
�
n = 1, 2 (61)
�
2k − λnm −k
−k 2k − λnm
��
an1
an2
�
=
�
0
0
�
n = 1, 2 (62)
�
(2k − λnm) an1 − kan2
−kan1 + (2k − λnm) an2
�
=
�
0
0
�
n = 1, 2 (63)
De donde se obtienen las relaciones
an1 =
k
(2k − λnm)
an2 (64)
para λ1 = ω
2
0
a11 =
ω2
0
(2ω2
0
− ω2
0
)
a12 = a12 (65)
para λ2 = 3ω
2
0
a21 =
ω2
0
(2ω2
0
− 3ω2
0
)
a22 = −a22 (66)
La condición de ortogonalidad es
l�
j,k=1
Tjk ank amj = mnδnm (67)
l�
j,k=1
Tjk a1k a1j = m1δ11 = m
l�
j,k=1
Tjk a2k a1j = δ21 = 0 (68)
l�
j,k=1
Tjk a1k a2j = δ12 = 0
l�
j,k=1
Tjk a2k a2j = m2δ22 = m (69)
7
m 2a2
11
= m a11 =
1√
2
(70)
a11 − a12 = 0 a11 = a12 (71)
a21 + a22 = 0 a21 = −a22 (72)
m 2a2
22
= 1 a22 =
1√
2
(73)
De las que se obtiene finalmente
a11 =
1√
2
= a12 a21 =
1√
2
= −a22 (74)
Las posiciones
x1(t) = a11 |c1| cos[ω1t+ ϕ1] + a12 |c2| cos[ω2t+ ϕ2] (75)
x2(t) = a21 |c1| cos[ω1t+ ϕ1] + a22 |c2| cos[ω2t+ ϕ2] (76)
Las condiciones iniciales (CI)
x1(0) = a11 [|c1| cosϕ1 + |c2| cosϕ2] = x10 (77)
x2(0) = a21 [|c1| cosϕ1 − |c2| cosϕ2] = x20 (78)
v1(0) = −a11 [ω1 |c1| sinϕ1 + ω2 |c2| sinϕ2] = 0 (79)
v2(0) = −a21 [ω1 |c1| sinϕ1 − ω2 |c2| sinϕ2] = 0 (80)
Donde hemos supuesto
|c1| cosϕ1 + |c2| cosϕ2 = x10
√
2 (81)
|c1| cosϕ1 − |c2| cosϕ2 = x20
√
2 (82)
|c1| sinϕ1 +
√
3 |c2| sinϕ2 = 0 (83)
|c1| sinϕ1 −
√
3 |c2| sinϕ2 = 0 (84)
La única forma que las dos últimas se cumplan es que
ϕ1 = ϕ2 = 0 (85)
Entonces las dos primeras quedan
|c1|+ |c2| = x10
√
2 (86)
|c1| − |c2| = x20
√
2 (87)
Sumando y luego restando
|c1| =
1√
2
(x10 + x20) |c2| =
1√
2
(x10 − x20) (88)
Con estos resultados
x1(t) =
(x10 + x20)
2
cos(ω1t) +
(x10 − x20)
2
cos(ω2t) (89)
x2(t) =
(x10 + x20)
2
cos(ω1t)−
(x10 − x20)
2
cos(ω2t) (90)
Ahora primero sumando y luego restando
m
2
(x1(t) + x2(t)) =
m
2
(x10 + x20) cos(ω1t) = ξ1(t) (91)
m
2
(x1(t)− x2(t)) =
m
2
(x10 − x20) cos(ω2t) = ξ2(t) (92)
8
Si x10 = 0
x1(t) =
x20
2
�
− cos(
√
3ω0t) + cos (ω0t)
�
(93)
x2(t) =
x20
2
�
cos(
√
3ω0t) + cos (ω0t)
�
(94)
Si x10 = x20
x1(t) = x10 cos(ω0t) (95)
x2(t) = x10 cos(ω0t) (96)
ξ1(t) =
√
2x10 cos(ω0t) (97)
ξ
2
(t) = 0 (98)
Si x10 = − x20
x1(t) = x10 cos(
√
3ω0t) (99)
x2(t) = −x10 cos(
√
3ω0t) (100)
ξ
1
(t) = 0 (101)
ξ
2
(t) =
√
2x10 cos(
√
3ω0t) (102)
Ejercicios:
1. Calcular las frecuencias propias y los modos normales de vibración del sistema de la figura,
para pequeñas amplitudes de vibración.
2. Calcular las frecuencias propias de vibración, y encontrar los modos normales de vibración
de un péndulo doble.
3. Calcular las frecuencias propias de vibración, y encontrar los modos normales de vibración
lineal de una molécula triatómica lineal simétrica.
4. Calcular las frecuencias propias de vibración, y encontrar los modos normales de vibración
transversal de una molécula triatómica lineal simétrica.
9