TP1_Prob_3_Angel _FrancoV

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y
AGRIMENSURA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA - ESCUELA DE CIENCIAS
EXACTAS Y NATURALES
Trabajo Práctico I
Angel J. Ramírez R.1
Franco J. Vicario2
Ejercicio 3
Resolver, por el método de las imágenes, el potencial eléctrico para r > R de un anillo
cargado uniformemente y concéntrico a una esfera conductora.
Electromagnetismo I
10 de Abril de 2020
1angel.jrr2000@gmail.com
2francojvicario@gmail.com
Trabajo Práctico I Angel Ramírez, Franco Vicario
Resolución
Diferencial de carga frente a una esfera conductora[1]
Figura 1: Carga diferencial y esfera conductora
Aplicando el método de las imágenes, tomemos un diferencial de carga del anillo y busquemos
dq′1 para obtener una superficie equipotencial esférica de radio R, a potencial ϕ0 = 0. Tenemos
que:
ϕ (~r) =
1
4πε0
(
dq1
|~r − ~r1|
+
dq′1∣∣~r − ~r1′∣∣
)
∀~r tal que r > R (1)
Despejamos dq′1 y r′1:
ϕ0 = ϕ (R, θ) =
dq′1√
R2 + r′1
2 − 2Rr′1 cos θ
+
dq1√
R2 + r02 − 2Rr0 cos θ
= 0
dq′1
√
R2 + r02 − 2Rr0 cos θ = −dq1
√
R2 + r′1
2 − 2Rr′1 cos θ
Elevamos ambos términos al cuadrado:
R2 + r0
2 − 2Rr0 cos θ =
(
dq1
dq′1
)2 (
R2 + r′1
2 − 2Rr′1 cos θ
)
Distribuyendo
(
dq1
dq′1
)2
y reagrupando términos obtenemos:
R2 + r0
2 − 2Rr0 cos θ −
(
dq1
dq′1
)2
R2 −
(
dq1
dq′1
)2
r′1
2
+
(
dq1
dq′1
)2
2Rr′1 cos θ = 0
Electromagnetismo I 1
Trabajo Práctico I Angel Ramírez, Franco Vicario
[
1−
(
dq1
dq′1
)2]
R2 − r02 −
(
dq1
dq′1
)2
r′1
2 − 2R cos θ
[
r0 − r′1
(
dq1
dq′1
)2]
= 0
Luego:
r0 − r′1
(
dq1
dq′1
)2
= 0⇒
(
dq1
dq′1
)2
=
r0
r′1
y
[
1− r0
r′1
]
R2 + r0
2 − r0
r′1
r′1
2
= 0 (Ver Apéndice A.1)
r′1 =
R2
r0
Distancia del diferencial de carga ficticio al origen de coordenadas
(2)
Por lo que: (
dq1
dq′1
)2
=
(r0
R
)2
y dq1dq′1 < 0⇒ dq′1 = −dq1
R
r0
(3)
Logramos que si ~r se encuentra en la superficie de la esfera las contribuciones al potencial
eléctrico, debidas a dq1 y dq′1, se anulan.
Potencial eléctrico de un anillo cargado uniformemente
Figura 2: Sistema de referencia
Las condiciones de contorno del sistema son:
1. El valor del potencial en el infinito:
ĺım
r→∞
ϕ(r, θ) = 0 (4)
2. El valor del potencial a lo largo del eje z positivo (Ver Apéndice A.2):
ϕ (r, θ = 0) =
λr0
2ε0
√
r2 + r20
(5)
Electromagnetismo I 2
Trabajo Práctico I Angel Ramírez, Franco Vicario
En particular,
ϕ (r = 0, θ) =
λ
2ε0
(6)
Ahora tenemos que encontrar la solución a la Ecuación de Laplace:
~∇2ϕ = 0
Que en coordenadas esféricas ϕ (r, θ, φ), se escribe:
1
r2
∂
∂r
(
r2
∂ϕ
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂ϕ
∂θ
)
+
1
r2(sin θ)2
∂2ϕ
∂φ2
= 0
Nuestro sistema tiene simetría azimutal, por lo que ∂
2ϕ
∂φ2
= 0. Luego la solución general de
la ecuación de Laplace[2], mediante separación de variables3, para el potencial en coordenadas
esféricas es:
ϕ (r, θ) =
∞∑
l=0
(
Alr
l +
Bl
rl+1
)
Pl (cos θ) (7)
Donde Al y Bl son coeficientes a determinar, y Pl (cos θ) es el polinomio de Legendre de
grado l, evaluado en x = cos θ. Ahora escribimos la condición de contorno 5 cómo una serie,
para comparar con la ecuación (7) (ver Apéndice A.3):
ϕ (r, θ = 0) =
λ
2ε0
r0
r
+
∞∑
n=1
(−1)n
2nn!
[
n∏
k=1
2k − 1
]
λ
2ε0
(r0
r
)2n+1
(8)
Esta serie converge a (5) solo para r > r0, por lo que debemos conseguir otra manera de
expresar la condición de contorno (5) para radios menores al radio del anillo (ver Apéndice
A.4):
ϕ (r, θ = 0) =
λ
2ε0
+
∞∑
n=1
(−1)n
2nn!
[
n∏
k=1
2k − 1
]
λ
2ε0
(
r
r0
)2n
(9)
Serie que converge a (5) solo para r < r0. Al tener estas dos maneras de escribir nuestra
condición de contorno, decidimos separar la solución en dos partes:
Potencial del anillo cargado uniformemente para r > r0
Usamos que en la condición (4) ϕ (r, θ) es solución de la ecuación de Laplace (7):
ĺım
r→∞
ϕ(r, θ) = ĺım
r→∞
[
∞∑
l=0
(
Alr
l +
Bl
rl+1
)
Pl (cos θ)
]
= 0
Ahora, como este límite tiene que dar 0, independientemente de θ, podemos cancelar los
polinomios de Legendre. Además, todos los términos Bl
rl+1
se anulan cuándo r tiende a ∞, por
lo que nos queda:
3ϕ (r, θ, φ) = ϕ (r, θ) = R(r)Θ(θ)
Electromagnetismo I 3
Trabajo Práctico I Angel Ramírez, Franco Vicario
ĺım
r→∞
[
∞∑
l=0
Alr
l
]
= 0
Y, para que el límite de 0, debe ser:
Al = 0 ∀ l � N0 (10)
Luego, comparando con la condición de contorno (8):
ϕ (r, θ = 0) =
∞∑
l=0
Bl
rl+1
Pl (cos 0) =
∞∑
l=0
Bl
rl+1
Pl (1) = ...
... =
B0
r
+
∞∑
l=1
Bl
rl+1
†
=
λ
2ε0
r0
r
+
∞∑
n=1
(−1)n
2nn!
[
n∏
k=1
2k − 1
]
λ
2ε0
(r0
r
)2n+1
De la igualdad † observamos que del lado derecho solo están las potencias impares de 1
r
, por
lo que B2l−1 = 0, ∀ l � N. E igualando término a término, tenemos:
B0 =
λr0
2ε0
, y B2l =
(−1)l
2ll!
[
l∏
k=1
2k − 1
]
λ
2ε0
(r0)
2l+1 ∀ l � N (11)
Por lo tanto, de (10) y (11):
ϕext (r, θ) =
λ
2ε0
r0
r
+
∞∑
l=1
(−1)l
2ll!
[
l∏
k=1
2k − 1
]
P2l (cos θ)
λ
2ε0
(r0
r
)2l+1Potencial eléctrico producido por el anillo, para r > r0
(12)
Potencial del anillo cargado uniformemente para r < r0
Usamos que en la condición4 (5),
ĺım
r→0
ϕ(r, θ) =
λ
2ε0
es solución de la ecuación de Laplace (7):
ĺım
r→0
ϕ(r, θ) = ĺım
r→0
[
∞∑
l=0
(
A′lr
l +
B′l
rl+1
)
Pl (cos θ)
]
=
λ
2ε0
Para que este límite no diverja a infinito, necesitamos que B′l = 0 ∀ l � N0. Por lo que:
4Por la continuidad de ϕ(r, θ)
Electromagnetismo I 4
Trabajo Práctico I Angel Ramírez, Franco Vicario
ĺım
r→0
[
∞∑
l=0
A′lr
lPl (cos θ)
]
= A′0P0 (cos θ) = A
′
0 =
λ
2ε0
Luego,
A′0 =
λ
2ε0
, y B′l = 0 ∀ l � N0 (13)
Ahora, comparando con la condición de contorno (9):
ϕ (r, θ = 0) =
∞∑
l=0
A′lr
lPl (cos 0) = A
′
0 +
∞∑
l=1
A′lr
l ‡=
λ
2ε0
+
∞∑
n=1
(−1)n
2nn!
[
n∏
k=1
2k − 1
]
λ
2ε0
(
r
r0
)2n
Otra vez, de la igualdad ‡ observamos que del lado derecho solo están las potencias pares
de r, por lo que A′2l−1 = 0, ∀ l � N. E igualando término a término, tenemos:
A′2l =
(−1)l
2ll!
[
l∏
k=1
2k − 1
]
λ
2ε0
(
1
r0
)2l
∀ l � N (14)
Por lo tanto, de (13) y (14):
ϕint (r, θ) =
λ
2ε0
+
∞∑
l=1
(−1)l
2ll!
[
l∏
k=1
2k − 1
]
P2l (cos θ)
λ
2ε0
(
r
r0
)2lPotencial eléctrico producido por el anillo, para r < r0
(15)
Observación
Lo desarrollado hasta ahora fue trabajando para z ≥ 0 en la condición (5), es decir para
0 ≤ θ ≤ π
2
. Sin embargo, se intuye por la simetría del sistema que el potencial debe ser simétrico
respecto al plano xy. Encontramos que la dependencia de θ de las soluciones está en el término
P2l (cos θ), que son funciones simétricas respecto a cos (θ = π2 ) = 0 [3], por lo que nuestras
soluciones son simétricas respecto al plano xy.
Luego, (12) y (15) son el potencial eléctrico de un anillo cargado uniformemente en todo el
espacio.
Electromagnetismo I 5
Trabajo Práctico I Angel Ramírez, Franco Vicario
Método de las Imágenes
Figura 3: Anillo del problema (rojo); Anillo ficticio (azul)
Integramos los diferenciales de carga de (3), para conseguir la densidad de carga, λ′, del
anillo ficticio de radio r′1. El sistema de los dos anillos concéntricos nos produce la superficie
equipotencial esférica de radio R, con ϕ0 = 0. Tenemos:∫ Q′1
0
dq′1 = −
R
r0
∫ Q
0
dq1
Si dq1 = λr0dθ y dq′1 = λr′1dθ entonces:
λ′r′1
∫ 2π
0
dθ = −R
r0
λr0
∫ 2π
0
dθ
Por lo que:
λ′ = −R
r′1
λ
Luego, por (2):
λ′ = −r0
R
λ
Densidad de carga del anillo ficticio
(16)
Consideremos ahora que ϕ0 6= 0, entonces colocamos una carga en el centro de la esfera,
que llamamos q′2. Entonces si ~r se encuentra sobre la superficie de la esfera:
ϕ0 =
1
4πε0
q′2
R
⇒
Electromagnetismo I 6
Trabajo Práctico I Angel Ramírez, Franco Vicario
⇒ q′2 = 4πε0Rϕ0
Carga q′2
(17)
Por lo tanto, la solución del potencial eléctrico producido por el anillo con la esfera conduc-
tora en el centro:
ϕ (~r) = ϕanillo ficticio + ϕanillo real + ϕq′2 ∀~r tal que r > R (18)
Figura 4: ¡Gracias!
Electromagnetismo I 7
Trabajo Práctico I Angel Ramírez, Franco Vicario
Solución5
ϕint (r, θ) =
λ
2ε0
(
1− R
r
)
+ ϕ0
R
r
+∞∑
l=1
ΨlP2l (cos θ)
λ
2ε0
[(
r
r0
)2l
−
(
R
r0
)2l(
R
r
)2l+1]Potencial del sistema para R ≤ r < r0
(19)
ϕext (r, θ) =
λ
2ε0r
(r0 −R) + ϕ0
R
r
+
∞∑
l=1
ΨlP2l (cos θ)
λ
2ε0r2l+1
[
r2l+10 −
R4l+1
r2l0
]Potencial del sistema para r0 > r
(20)
Donde
Ψl =
(−1)l
2ll!
[
l∏
k=1
2k − 1
]
Referencias y Bibliografía
[1] E. Ghioldi and C. Gazza, Carga puntual frente a una esfera conductora cargada, 2020.
[2] Electromagnetismo I, FCEIA, Solutions to Laplace’s Equations I, II & III, 2020.
[3] Wikipedia, Propiedades adicionales de los polinomios de Legendre.
https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_de_Legendre. Accedido en la fecha 9/04/2020.
5Desarrollo en Apéndice A.5
Electromagnetismo I 8
Trabajo Práctico I Angel Ramírez, Franco Vicario
A. Cálculos Auxiliares
A.1.
[
1− r0
r′1
]
R2 − r02 − r0r′1 = 0
R2 − r0
r′1
R2 + r0
2 − r0r′1 = 0
Multiplicando por r′1:
R2r′1 − r0R2 + r02r′1 − r0r′1
2
= 0
−r0r′1
2
+
(
R2 + r0
2
)
r′1 − r0R2 = 0
Ésto es una ecuación cuadrática en función de r′1. Luego, aplicamos la resolvente con a =
−r0,b = R2 + r02 y c = −r0R2 = 0
−b±
√
b2 − 4ac
2a
⇒
− (R2 + r02)±
√
(R2 + r02)
2 − 4r0r0R2
−2r0
R2 + r0
2 ±
√
R4 + 2r02R2 + r04 − 4r20R2
2r0
R2 + r0
2 ±
√
R4 − 2r02R2 + r04
2r0
R2 + r0
2 ±
√
(R2 − r02)2
2r0
R2 + r0
2 ± (R2 − r02)
2r0
⇒
{
r′1 = r0 (trivial)
r′1 =
R2
r0
Raíces
(21)
A.2.
Usando la Ley de Coulomb:
dϕ6 =
dq
4πε0
√
z2 + r20
=
λr0dθ
4πε0
√
z2 + r20
Integrando en el anillo:
ϕ(z) =
∫
θ
ϕ(z, θ) =
λr0
4πε0
√
z2 + r20
∫ 2π
0
dθ
6Por simetría, en el eje z el potencial depende solo de la coordenada z.
Electromagnetismo I 9
Trabajo Práctico I Angel Ramírez, Franco Vicario
Figura 5: Calculando el potencial en un punto z en el eje del anillo cargado
Obtenemos:
ϕ(z,0) =
λr0
2ε0
√
z2 + r20
Que escribimos en coordenadas esféricas:
ϕ(r, θ = 0, φ) =
λr0
2ε0
√
r2 + r20
Potencial en el eje
(22)
A.3.
Reescribimos (22) como:
ϕ(r, θ = 0) =
λr0
2ε0
√
r2 + r20
=
λr0
2ε0r
√
1 +
(
r0
r
)2 = λ2ε0
r0
r√
1 +
(
r0
r
)2 (23)
Por ahora, sea f(x) = 1√
1+x
. La serie de Taylor de f(x) converge para |x| < 1, y es:
f(x) = 1 +
∞∑
n=1
(−1)n
2nn!
[
n∏
k=1
2k − 1
]
xn
Ahora evalúo f(x2):
f(x2) = g(x) = 1 +
∞∑
n=1
(−1)n
2nn!
[
n∏
k=1
2k − 1
]
x2n (24)
Luego multiplico por x:
Electromagnetismo I 10
Trabajo Práctico I Angel Ramírez, Franco Vicario
xg(x) =
x√
1 + x2
= x+
∞∑
n=1
(−1)n
2nn!
[
n∏
k=1
2k − 1
]
x2n+1
Que vale para |x| < 1. Ahora sustituyo x = r0
r
, |x| < 1→ r > ro y multiplico por λ2ε0
λ
2ε0
r0
r√
1 +
(
r0
r
)2 (23)= ϕ(r, θ = 0) = λ2ε0 r0r +
∞∑
n=1
(−1)n
2nn!
[
n∏
k=1
2k − 1
]
λ
2ε0
(r0
r
)2n+1Condición de borde expresada en serie, para r > r0
(25)
A.4.
Reescribimos (22) como:
ϕ(r, θ = 0) =
λr0
2ε0
√
r2 + r20
=
λr0
2ε0r0
√
1 +
(
r
r0
)2 = λ2ε0 1√
1 +
(
r
r0
)2 (26)
Usando (24), reemplazando x = r
r0
y multiplicando por λ
2ε0
nos queda:
λ
2ε0
1√
1 +
(
r
r0
)2 (26)= ϕ(r, θ = 0) = λ2ε0 +
∞∑
n=1
(−1)n
2nn!
[
n∏
k=1
2k − 1
]
λ
2ε0
(
r
r0
)2nCondición de borde expresada en serie, para r < r0
(27)
A.5.
Separemos el potencial eléctrico en dos partes:
Para R ≤ r < r0
Tenemos que7:
ϕ (r, θ) = ϕanillo ficticio + ϕanillo real + ϕq′2 = ϕEXTanilloF + ϕINTanilloR + ϕq′2 = ...
7Para simplificar notación, llamo Ψl =
(−1)l
2ll!
[∏l
k=1 2k − 1
]
Electromagnetismo I 11
Trabajo Práctico I Angel Ramírez, Franco Vicario
... =
[
λ′
2ε0
r′1
r
+
∞∑
l=1
ΨlP2l (cos θ)
λ′
2ε0
(
r′1
r
)2l+1]
+
[
λ
2ε0
+
∞∑
l=1
ΨlP2l (cos θ)
λ
2ε0
(
r
r0
)2l]
+
[
1
4πε0
q′2
r
]
= ...
Usando que q′2 = 4πε0Rϕ0:
... =
1
2ε0
(
λ+ λ′
r′1
r
)
+
Rϕ04πε0
4πε0r
+
∞∑
l=1
ΨlP2l (cos θ)
1
2ε0
[
λ
(
r
r0
)2l
+ λ′
(
r′1
r
)2l+1]
= ...
Ahora usando (16) y (2), se puede llegar a:
... =
λ
2ε0
(
1− R
r
)
+
R
r
ϕ0 +
∞∑
l=1
ΨlP2l (cos θ)
λ
2ε0
[(
r
r0
)2l
−
(
R
r0
)2l(
R
r
)2l+1]
(28)
Si tomamos en (28) r=R, se verifica que:
ϕ (r, θ) = ϕ0
Para r > r0
Tenemos que:
ϕ (r, θ) = ϕanillo ficticio + ϕanillo real + ϕq′2 = ϕEXTanilloF + ϕEXTanilloR + ϕq′2 = ...
.. =
[
λ′
2ε0
r′1
r
+
∞∑
l=1
ΨlP2l (cos θ)
λ′
2ε0
(
r′1
r
)2l+1]
+
[
λ
2ε0
r0
r
+
∞∑
l=1
ΨlP2l (cos θ)
λ
2ε0
(r0
r
)2l+1]
+
[
1
4πε0
q′2
r
]
= ..
... =
1
2ε0r
(λr0 + λ
′r′1) +
R
r
ϕ0 +
∞∑
l=1
ΨlP2l (cos θ)
1
2ε0r2l+1
[
λr0
2l+1 + λ′r′1
2l+1
]
= ...
Trabajando de la misma manera que para R ≤ r < r0, se llega a:
... =
λ
2ε0r
(r0 −R) + ϕ0
R
r
+
∞∑
l=1
ΨlP2l (cos θ)
λ
2ε0r2l+1
[
r2l+10 −
R4l+1
r2l0
]
(29)
Al tomar r = r0, (28) y (29) son equivalentes, a pesar de que la serie puede diverger para
algunos θ.
Electromagnetismo I 12