TP1_Prob_5_Schivazappa_Meriño

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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
Trabajo Práctico 1 - Problema 5
Electromagnetismo 1
Schivazappa, Franco; Meriño, Guillermo
Docentes a cargo:
Gazza, Claudio J.; Ghioldi, Esteban
Electromagnetismo I
Problema 5
Un cilindro circular hueco de radio b tiene su eje coincidente con el eje z y sus extremos
en z = 0 y z = L. El potencial en las caras finales es cero, mientras que el potencial en la
superficie del cilindro viene dado por ϕ(φ, z). Usando la separación apropiada de variables en
coordenadas ciĺındricas, encuentre una solución en serie para el potencial en todas partes dentro
del cilindro.
Solución
Las condiciones de contorno del problema están dadas por:
ϕ(z, ρ, φ) = 0 en z = 0
ϕ(z, ρ, φ) = 0 en z = L
ϕ(z, ρ, φ) = ϕ(z, φ) en ρ = b
Además, el potencial deberá estar acotado dentro del volumen del cilindro.
Como se conocen las condiciones de contorno, existirá entonces una única distribución de
potencial posible. La falta de cargas en el interior del cilindro hacen que el problema a resolver
sea de la forma:
∇2ϕ = 0
Que en coordenadas ciĺındricas se convierte en:
∇2ϕ = 1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂ϕ
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2ϕ
∂φ2
+
∂2ϕ
∂z2
= 0 (1)
Se busca una solución de forma ϕ(z, ρ, φ) = Z(z)R(ρ)G(φ). La separación de variables
brinda las siguientes funciones para el radio, el ángulo de giro y la distancia en el eje z respec-
tivamente:
d2G
dφ2
+ α2G = 0
d2Z
dz2
− k2Z = 0
ρ
d
dρ
(
ρ
dR
dρ
)
+ (k2ρ2 − α2)R = 0
Cuyas soluciones tendrán respectivamente la forma:
Gα(φ) = Aαe
iαφ +Bαe
−iαφ (2)
Zk(z) = Cke
kz +Dke
−kz (3)
Rkα(ρ) =

E0 + F0 ln ρ con k = 0 , α = 0
Eαρ
α + Fαρ
−α con k = 0 , α 6= 0
EkαJα(kρ) + F
k
αNα(kρ) con k
2 > 0
EkαIα(κρ) + F
k
αKα(κρ) con k
2 < 0
(4)
Franco Schivazappa, Guillermo Meriño 1
Electromagnetismo I
Analizando primero la ecuación 3, las condiciones de contorno establecen que en Z(0) = 0
y en Z(L) = 0. Se utilizará entonces k = iκ. Esto convierte a la ecuación 3 en:
Z(z) = A sinκz +B cosκz
Tomando B = 0 queda que el potencial en z = 0 será nulo, y luego estableciendo que κ = nπ
L
se obtiene lo mismo para z = L. Queda entonces la nueva expresión para 3 como:
Z(z) =
∑
n
An sin (κz) con κn =
nπ
L
(5)
Luego, en la ecuación 2 se requiere que G(φ) = G(φ + 2π), es decir, que tenga peŕıodo 2π.
Esto no seŕıa posible si α2 < 0 (condición que implicaŕıa senos y cosenos hiperbólicos). De esta
manera, tomando α ∈ R, la ecuación 2 toma la forma:
G(φ) =
∑
α
Cα sin (αφ) +Dα cos (αφ) (6)
Por último, la elección de k en el desarrollo de la función Z(z) implica que k2 < 0 por lo
que la única solución posible de las presentes en la función 4 es la última.
Por otro lado, la función Kα es divergente en el origen, y como este no es el caso para el
potencial en el eje del cilindro, los coeficientes F kα se igualan a 0. Queda entonces:
Rkα(ρ) = E
k
αIα(κnρ) (7)
Donde Iα(x) = i
−α
√
2
πx
cos
(
x− απ
2
− π
4
)
Juntando entonces los resultados de las ecuaciones 5, 6 y 7 se tiene:
ϕ(z, ρ, φ) =
∑
n
∑
α
Z(z)G(φ)R(ρ) =
∑
n
∑
α
An sin (κnz)
[
Cα sin (αφ) +Dα cos (αφ)
]
EkαIα(κnρ)
(8)
Al hacer el análisis de la función 8 en el radio ρ = b, la contribución de la función R(ρ) será
constante. De esta manera, 8 se convierte en:
ϕ(z, φ) =
∞∑
n=0
An sin (
nπ
L
z)
∞∑
α=−∞
C̃α sin (αφ) + D̃α cos (αφ) con κn =
nπ
L
(9)
Donde C̃ y D̃ incluyen la constante que surge al evaluar R(ρ).
Luego, distribuyendo las sumatorias, resulta:
ϕ(z, φ) =
∞∑
n=0
∞∑
α=−∞
Sn,α sin (
nπ
L
z) sin (αφ) + Tn,α sin (
nπ
L
z) cos (αφ) (10)
Donde Sn,α y Tn,α resultan del producto de An con C̃α y D̃α respectivamente. Para hallar el valor
de dichos coeficiente se analiza cada término de la sumatoria 10 por separado. Comenzando
por el primer término se tiene:
ϕ1(z, φ) =
∞∑
n=0
∞∑
α=−∞
Sn,α sin (
nπ
L
z) sin (αφ)
Franco Schivazappa, Guillermo Meriño 2
Electromagnetismo I
Aplicando el truco de Fourier a esta expresión, queda:
2
2L
2
2π
∫ 2L
0
∫ 2π
0
ϕ1(z, φ) sin (
n′π
L
z) sin (α′φ)dzdφ
=
∞∑
n=0
∞∑
α=−∞
2
2L
2
2π
∫ 2L
0
∫ 2π
0
Sn,α sin (
nπ
L
z) sin (αφ) sin (
n′π
L
z) sin (α′φ)dzdφ
Donde ϕ1(z, φ) es tal que ϕ(z, φ) = ϕ1(z, φ)+ϕ2(z, φ), y 2π es el periodo de las dependencias
de z y 2L el de las dependencias de φ. Continuando el trabajo con la expresión anterior:
1
Lπ
∫ 2L
0
∫ 2π
0
ϕ1(z, φ) sin (
n′π
L
z) sin (α′φ)dzdφ =
∞∑
n=0
∞∑
α=−∞
Sn,αδn,n′δα,α′ (11)
Luego, en la sumatoria del lado derecho de 11 todos los términos de las funciones δ se anularán
excepto cuando los sub́ındices coincidan, en cuyo caso resulta:
Sn′,α′ =
1
Lπ
∫ 2L
0
∫ 2π
0
ϕ1(z, φ) sin (
n′π
L
z) sin (α′φ)dzdφ
⇒ Sn,α =
1
Lπ
∫ 2L
0
∫ 2π
0
ϕ1(z, φ) sin (
nπ
L
z) sin (αφ)dzdφ (12)
Un procedimiento análogo se lleva a cabo con el segundo término de la sumatoria en la
ecuación 10, dando como resultado:
Tn,α =
1
Lπ
∫ 2L
0
∫ 2π
0
ϕ2(z, φ) sin (
nπ
L
z) cos (αφ)dzdφ (13)
Recordando que en la ecuación 9 los coeficientes absorbieron a la constante Iα(κnb) =
Iα(
nπ
L
b), queda entonces determinado el potencial dentro del cilindro por la expresión:
ϕ(z, φ) =
∞∑
n=0
∞∑
α=−∞
[
S ′n,α sin (αφ) + T
′
n,α cos (αφ)
]
sin (
nπ
L
z)
con S ′n,α =
1
Lπ
1
Iα(
nπ
L
b)
∫ 2L
0
∫ 2π
0
ϕ1(z, φ) sin (
nπ
L
z) sin (αφ)dzdφ
y T ′n,α =
1
Lπ
1
Iα(
nπ
L
b)
∫ 2L
0
∫ 2π
0
ϕ2(z, φ) sin (
nπ
L
z) cos (αφ)dzdφ
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