Mecanica Clasica 2022-119-135

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con coeficientes
aj =
N∑
i=1
∂f
∂ri
· ∂ri
∂qj
, at =
N∑
i=1
∂f
∂ri
· ∂ri
∂t
+
∂f
∂t
.
La diferencia con los v́ınculos no holónomos es que en este caso el diferencial es integrable,
porque no es más que el diferencial de la función f . Sin embargo, para la aplicación del método
de multiplicadores de Lagrange no hace ninguna diferencia la integrabilidad o no del v́ınculo.
Tenemos entonces una manera de conocer la fuerza de v́ınculo asociada a un v́ınculo holónomo.
Los pasos a seguir son:
No usamos el v́ınculo para despejar coordenadas, ésto implica trabajar con más coordena-
das generalizadas de las estrictamente necesarias,
Pasamos el v́ınculo f = 0 a una forma diferencial → df = 0, de donde obtenemos los
coeficientes a’s.
Incorporamos el v́ınculo mediante un multiplicador de Lagrange λ.
Aparecen dos ecuaciones extras respecto al mismo problema tratado con el formalismo de
Lagrange convencional: la ecuación de movimiento de la coordenada generalizada que no
despejamos y la ecuación del v́ınculo.
Resolvemos las ecuaciones, la función λ estará asociada directamente con la fuerza de
v́ınculo que queremos conocer. Muchas veces no es posible resolver las ecuaciones de mo-
vimiento, sin embargo se puede recurrir a argumentos de enerǵıa para encontrar la fuerza
de v́ınculo en término de las coordenadas generalizadas como veremos en el ejemplo del
péndulo simple más adelante.
¿Por qué nos pueden interesar las fuerzas de v́ınculo?
En algunos sistemas ciertos v́ınculos puede dejar de ser válidos debido a la dinámica del
sistema. Esto ocurre cuando dos objetos en contacto se separan. Pensemos en una escalera
que va cayendo mientras está apoyada en una pared, es decir, un extremo se desliza en
contacto con la pared, el otro en contacto con el piso. Este sistema (si consideramos que se
mueve en un plano vertical) tiene un único grado de libertad. Ahora, si la escalera se desliza
con cierta rapidez puede ocurrir que el extremo superior se separe de la pared, y a partir
de dicho instante pasamos a tener una escalera con dos grados de libertad (suponiendo
que sigue apoyada en el piso). La fuerza de v́ınculo que nos indica que la escalera está
apoyada en la pared es la normal que la pared ejerce sobre la escalera. En el instante que
la escalera se separa de la pared esta normal es nula. Por lo tanto con el método de los
multiplicadores de Lagrange podemos calcular bajo qué condiciones ocurre que la escalera
se separe de la pared, generalmente eso implica que se debe anular el multiplicador de
Lagrange asociado a la fuerza de v́ınculo que se anula.
En otras situaciones puede ocurrir que el material del que está hecho el sistema solo so-
porte hasta cierto valor máximo de fuerzas de v́ınculo. Por ejemplo, en un péndulo real la
tensión no puede ser arbitrariamente grande porque se rompeŕıa la soga o barra que une
a la masa con el punto de suspensión. En estos casos puede ser de interés conocer el valor
de la fuerza de v́ınculo, para saber qué tipo de movimiento soporta el sistema.
119
Despejando aceleraciones y velocidades: Al resolver un problema es común en-
contrar que los multiplicadores de Lagrange depende de las aceleraciones, velocidades
y coordenadas generalizadas. Es de interés poder conocerlos como función únicamente
de las coordenadas (por ejemplo, para saber para cuáles coordenadas una fuerza de
v́ınculo se anula). En una trayectoria f́ısica, ¿cómo podemos despejar aceleraciones y
velocidades en término de coordenadas? Las ecuaciones de movimiento son ecuaciones
diferenciales de segundo orden, por lo tanto, siempre es posible usarlas para despejar las
aceleraciones en término de las coordenadas y velocidades. Por otro lado, si el sistema
tiene constantes de movimiento conocidas (funciones de las velocidades, coordenadas y el
tiempo que permanecen constante) se las puede usar para despejar velocidades en término
de coordenadas. Esto último no siempre es posible, porque pudiese ocurrir que tengamos a
nuestra disposición menos constantes de movimiento que velocidades querramos despejar.
Ejemplo 10.2 (Péndulo simple). Usamos coordenadas polares para tratar el péndulo simple.
El v́ınculo es r − l = 0, el cual no debemos usar para despejar r de la teoŕıa. Por lo tanto,
trabajamos con θ y r como coordenadas generalizadas. Pasamos el v́ınculo a uno diferencial,
ṙ = 0, los coeficientes son ar = 1, aθ = at = 0. La lagrangeana es
L =
1
2
m
(
ṙ2 + r2θ̇2
)
+mgr cos θ.
Las ecuaciones de Lagrange modificadas son
∂L
∂r
− d
dt
∂L
∂ṙ
+ λar = mrθ̇
2 +mg cos θ −mr̈ + λ = 0
∂L
∂θ
− d
dt
∂L
∂θ̇
+ λaθ = −mgr sin θ −mr2θ̈ − 2mrṙθ̇ = 0
ṙ = 0.
De estas ecuaciones obtenemos la ecuación de movimiento del péndulo simple:
θ̈ +
g
l
sin θ = 0,
y el multiplicador de Lagrange
λ = −mlθ̇2 −mg cos θ.
De la relación (10.17)
Qr = λ = T ·
∂r
∂r
= −T
encontramos que λ es la tensión buscada (recordemos que el signo de λ es irrelevante). Para
conocer λ en función del tiempo debemos resolver el problema, sin embargo mucho se puede
hacer sin necesidad de resolver la ecuación: λ depende de la velocidad angular θ̇ y esta velocidad
puede obtenerse en término del ángulo usando la conservación de la enerǵıa
1
2
ml2θ̇2 −mgl cos θ = E,
es decir,
θ̇2 =
2
ml2
(E +mgl cos θ) .
Por lo tanto,
T = −λ = 3mg cos θ + 2E
l
.
120
En esta clase vimos que:
Los v́ınculos del tipo ∑
j
aj q̇j + at = 0,
donde los coeficientes a’s son funciones de las coordenadas y del tiempo, pueden resol-
verse en el formalismo de Lagrange mediante el uso de multiplicadores de Lagrange.
Este tipo de v́ınculos es no holónomo propiamente dicho cuando la expresión anterior
es no integrable, por otro lado cualquier v́ınculo holónomo puede escribirse de esa
forma diferencial.
Las fuerzas de v́ınculo pueden conocerse a través de los multiplicadores de Lagrange.
121
11. Fuerzas centrales. Potencial efectivo
Giros... todo da vueltas como
una gran pelota, todo da vueltas
casi ni se nota.
Fito Páez
En esta clase comenzaremos el estudio del problema de dos cuerpos puntuales que interactúan
entre ellos mediante fuerzas centrales, es decir, mediante fuerzas cuya dirección está en la ĺınea
que une a las part́ıculas y cuya magnitud sólo depende de la distancia entre ellas. Varias fuerzas
fundamentales, como la gravitatoria, la electrostática y ciertas fuerzas nucleares, son de este
tipo, lo que deja en claro la importancia del problema.
Figura 11.1: Las part́ıculas de masas m1 y m2 interactúan mediante un par de acción y reacción
de fuerzas centrales. La fuerza que ejerce la part́ıcula 2 sobre la 1 F21 se escribe F21 = F (r)r̂,
donde r es la distancia entre ambas part́ıculas y r̂ es el versor que va desde la primera a
la segunda part́ıcula. En esta figura estamos considerando una fuerza central atractiva entre
ambas part́ıculas.
Históricamente, el problema más famoso resuelto por la mecánica clásica es de este tipo:
el problema de Kepler del movimiento de los planetas. La deducción teórica de las tres leyes
emṕıricas de Kepler mediante la mecánica de Newton fue su hecho consagratorio. Otro problema
famoso de fuerzas centrales es el de repulsión entre part́ıculas cargadas, veremos más adelante
que el estudio de este tipo de sistemas lo llevó a Rutherford (1911) a proponer el actual modelo
del átomo: un núcleo puntual cargado positivamente y electrones cargados negativamente ’dando
vueltas’ alrededor del núcleo.
En esta clase veremos cómo la aplicación del formalismo de Lagrange y los principios de
conservación permiten, además de obtener las ecuaciones de movimiento, realizar un análisis
cualitativo del movimiento introduciendo el concepto de potencial efectivo.
122
11.1. Problema de dos cuerpos
Consideremos un sistema aislado de dos cuerpos puntuales de masas m1 y m2 que interactúan
entre ellos mediante un par de acción y reacción de fuerza central, como se muestra en la
figura 11.1. Sea r ≡ r2 − r1 el vector posición de 2 relativoa 1, las fuerzas centrales por
definición sólo dependen de la distancia r entre las part́ıculas y están dirigidas a lo largo de la
ĺınea que las une. Aśı la fuerza central que ejerce la part́ıcula 2 sobre la 1 se expresa de la forma
F21 = F (r)r̂, (11.1)
siendo el valor absoluto de F (r) igual al módulo de la fuerza. Por otro lado, la fuerza que ejerce
la part́ıcula 1 sobre la 2 es la reacción de la fuerza anterior
F12 = −F21 = −F (r)r̂. (11.2)
A una fuerza central siempre se la puede obtener a partir de un potencial, es decir, siempre
es conservativa. Al potencial lo llamaremos central y solo depende de la distancia entre las
part́ıculas, V = V (r). Veamos que esto es aśı.
Consideremos una función V (r) = V (|r2−r1|), esta es una función de una sola variable cuyo
argumento es la distancia entre las dos part́ıculas. Es decir, el argumento de V depende de las
seis coordenadas cartesianas x1, y1, z1, x2, y2, z2 según
V (r) = V
(√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
)
. (11.3)
Si pensamos a esta función como una enerǵıa potencial de interacción entre ambas part́ıculas,
para conocer la fuerza que actúa sobre la part́ıcula 1 debemos calcular (menos) el gradiente
de V respecto de las coordenadas cartesianas de dicha part́ıcula. Usando la regla de la cadena
obtenemos
F21 = −∇1V (r) =
dV
dr
(r2 − r1)
|r2 − r1|
=
dV
dr
r̂, (11.4)
donde dV/dr es la derivada de V respecto de su argumento. Vemos entonces que el gradiente
de V respecto de las coordenadas de la part́ıcula 1 tiene la forma de una fuerza central: una
magnitud que solo depende de la distancia y una dirección dada por el versor que une a ambas
part́ıculas. Teniendo en cuenta (11.1), si queremos que la fuerza provenga del potencial, debe
valer
dV
dr
= F (r)⇒ V (r) =
∫
Fdr (11.5)
Mediante simple integración de F (r) obtenemos cuál es el potencial central correspondiente. Por
otro lado, calculando el gradiente de V respecto de las coordenadas cartesianas de la part́ıcula
2 tenemos que la fuerza que ejerce 1 sobre 2 no es otra cosa que la reacción de la fuerza que
ejerce 2 sobre 1:
F12 ≡ −∇2V (r) = −
dV
dr
r̂ = −F21. (11.6)
Se dice que este par de acción y reacción, cuya magnitud solo depende de la distancia y cuya
dirección está dada por la recta une a ambas part́ıculas, satisface la forma fuerte de la tercera
ley de Newton 61.
Veremos a continuación que las simetŕıas nos permitirán pasar de este sistema de dos part́ıcu-
las, con 6 grados de libertad a un sistema equivalente con un único grado de libertad, la distancia
r.
61La forma débil de la tercera ley de Newton es aquella que nos dice que el par de acción y reacción satisface
F12 = −F21, pero no necesariamente están estas fuerzas a lo largo de la ĺınea que une a ambas part́ıculas.
123
11.2. Conservación del momento lineal: Eliminación del centro de masa
La función lagrangeana es
L =
1
2
m1ṙ
2
1 +
1
2
m2ṙ
2
2 − V (|r2 − r1|). (11.7)
Como vimos en una de las aplicaciones del teorema de Noether, una lagrangeana como L es
invariante traslacional y, por lo tanto, el momento lineal total se conserva,
P = m1ṙ1 +m2ṙ2 = cte. (11.8)
Consecuentemente, el centro de masa se mueve a velocidad constante, como si fuese una part́ıcula
libre. Veamos como usar este hecho para eliminar el movimiento del centro de masa: Hacemos una
Figura 11.2: Para eliminar el movimiento del centro de masas podemos pasar de los vectores
posición de cada part́ıcula al vector posición relativa y al vector posición del centro de masas.
transformación puntual de los vectores posición de cada part́ıcula r1, r2 a los vectores posición
del centro de masa y el vector posición relativo de 2 a 1:
Rcm =
m1r1 +m2r2
M
, r = r2 − r1, (11.9)
donde M = m1 +m2 es la masa total. La transformación inversa es
r1 = Rcm −
m2
M
r, r2 = Rcm +
m1
M
r. (11.10)
Transformando la lagrangeana llegamos a 62
L =
1
2
MṘ2cm︸ ︷︷ ︸
Lcm
+
1
2
µṙ2 − V (r)︸ ︷︷ ︸
L(ṙ,r)
, (11.11)
donde µ es la llamada “masa reducida”
µ =
m1m2
M
. (11.12)
La lagrangeana se divide entonces en dos lagrangeanas independientes:
62En la clase de transformaciones puntuales usamos L̄ para notar la lagrangeana transformada. Por simplicidad
y por ser la notación más común en la literatura usamos aqúı la misma notación L para ambas lagrangeanas.
124
Lcm corresponde al movimiento libre del centro de masa,
L(ṙ, r) corresponde al movimiento relativo de las dos part́ıculas, es la lagrangeana calculada
desde el sistema de referencia centro de masa (sistema de referencia que es inercial porque
Vcm es constante).
Decimos que ambas lagrangeanas son independientes porque las variables de una no aparecen en
la otra y viceversa, por lo tanto al calcular las ecuaciones de Lagrange el sistema de ecuaciones
se divide en dos sistemas independientes, uno para Rcm y otro para r.
Las ecuaciones para Rcm son simples: Rcm es ćıclica, por lo tanto se conserva su momento
canónico conjugado, que no es otro que el momento lineal total de las dos part́ıculas:
pcm ≡
∂L
∂Ṙcm
= MṘcm = cte. (11.13)
El movimiento de centro de masa está entonces resuelto:
Rcm(t) = Ṙcmt+ Rcm(t = 0). (11.14)
Podemos “olvidarnos” del movimiento del centro de masa yendo al sistema (inercial) centro de
masa para estudiar el movimiento relativo de las dos part́ıculas. Nos quedan entonces tres grados
de libertad –las tres componentes del vector posición relativa r– con lagrangeana
L(ṙ, r) =
1
2
µṙ2 − V (r). (11.15)
Esta lagrangeana nos dice que el problema original de dos part́ıculas se redujo al problema
equivalente de un único cuerpo con masa µ, vector posición r y bajo el efecto del potencial
central V (r), la fuerza ’apunta’ al centro de fuerzas localizado en el origen de coordenadas. Si
bien nos quedamos con el movimiento relativo, una vez conocida r = r(t) podemos conocer
fácilmente las posiciones de las dos part́ıculas del problema original:
r1(t) =
m2
M
r(t), r2(t) = −
m1
M
r(t). (11.16)
Si una de las part́ıculas tiene mucha mayor masa que la otra, supongamos m1 � m2, entonces
la masa reducida µ ' m2 y teniendo en cuenta que r1 ' 0, podemos considerar que lo que
estamos estudiando es el movimiento de la part́ıcula 2 visto desde la part́ıcula 1 inmóvil. Es
lo que ocurre en muy buena aproximación cuando se analiza el movimiento de los planetas
alrededor del Sol.
11.3. Conservación del momento angular: movimiento en un plano
Como el potencial es invariante rotacional, también se conserva el momento angular l del
problema equivalente,
l = µr ∧ ṙ, (11.17)
que coincide con el momento angular total del problema original
L = m1r1 ∧ ṙ1 +m2r2 ∧ ṙ2. (11.18)
La constancia de la dirección de l implica que el movimiento ocurre siempre en el plano per-
pendicular al momento angular, determinado por la posición y la velocidad iniciales. Goldstein
usa este hecho expĺıcitamente en la lagrangeana (11.15) para quitar del problema un grado de
125
libertad. Dice que como el movimiento ocurre en un plano, basta considerar el problema de la
part́ıcula ’efectiva’ de masa µ en un plano, con coordenadas polares r y θ como las generalizadas,
con lagrangeana L = 12µ
(
ṙ2 + r2θ̇2
)
− V (r). Esto no está bien: el hecho de que la part́ıcula se
mueva en un plano no es una ligadura geométrica (no hay ningún mecanismo externo que esté
obligando a la part́ıcula a moverse en un plano), sino que es una condición que resulta de la
dinámica misma del sistema: la conservación del momento angular es una consecuencia de las
ecuaciones de Lagrange. Como no es una ligadura, no puede usarse la condición de movimiento
en un plano para despejar coordenadas en la lagrangeana, debemos trabajar con los tres grados
de libertad de la part́ıcula ’efectiva’. Veamos cómo hacer las cosas bien.
Tomamos la lagrangeana (11.15) y, teniendo en cuenta la simetŕıa rotacional del problema,
usamos coordenadas esféricas como coordenadas generalizadas.
L =
1
2
µ
(
ṙ2 + r2θ̇2 + r2 sin2 θφ̇2
)
− V (r). (11.19)
Calculamos las tresecuaciones de Lagrange correspondientes
d
dt
∂L
∂ṙ
− ∂L
∂r
= 0
d
dt
∂L
∂θ̇
− ∂L
∂θ
= 0
d
dt
∂L
∂φ̇
− ∂L
∂φ
= 0
⇒ (11.20)
µr̈ = −dV
dr
+ µrθ̇2 + µr sin2 θφ̇2, (11.21)
d
dt
(
µr2θ̇
)
= µr2 sin θ cos θφ̇2, (11.22)
d
dt
(
µr2 sin2 θφ̇
)
= 0. (11.23)
De la tercera ecuación de Lagrange o por simple inspección de la lagrangeana vemos que φ es
una coordenada ćıclica,
∂L
∂φ
= 0⇒ pφ = µr2 sin2 θφ̇ es constante. (11.24)
Asimismo vemos que L no depende expĺıcitamente del tiempo,
∂L
∂t
= 0⇒ H = ṙ ∂L
∂ṙ
+ θ̇
∂L
∂θ̇
+ φ̇
∂L
∂φ̇
− L es constante. (11.25)
Por otra parte, como el potencial no depende de las velocidades generalizadas, ∂V/∂q̇ = 0 y
como las relaciones constitutivas no dependen del tiempo, ∂r/∂t = 0, entonces la hamiltoniana
H es igual a la enerǵıa del sistema, H = E.
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que la posición inicial y la velocidad inicial de la
part́ıcula están en el plano xz{
r(t = 0) ∈ plano xz
ṙ(t = 0) ∈ plano xz equivalentemente
{
y(t = 0) = 0
ẏ(t = 0) = 0.
(11.26)
126
Si se impone que y(t = 0) = 0, entonces el ángulo acimutal inicial debe ser φ(t = 0) = 0 ó
φ(t = 0) = π. Por otra parte, si se impone ẏ(t = 0) = 0, entonces se anula la velocidad angular
acimutal inicial φ̇(t = 0) = 0 ya que
ẏ = ṙ sin θ sinφ+ rθ̇ cos θ sinφ+ rφ̇ sin θ cosφ, (11.27){
r(t = 0) ∈ plano xz
ṙ(t = 0) ∈ plano xz ⇒
{
φ(t = 0) = 0 o φ(t = 0) = π
φ̇(t = 0) = 0.
(11.28)
Además, debido a que el momento canónico conjugado al ángulo acimutal pφ se conserva, debe
valer pφ = µr
2 sin2 θφ̇ para todo instante. En particular, valdrá para el instante inicial, para el
cual φ̇(t = 0) = 0, con lo que tenemos pφ(t = 0) = 0. Esto implica que la velocidad angular
acimutal φ̇ es idénticamente nula con las condiciones iniciales consideradas. Aśı, la ecuación de
Lagrange asociada a φ (11.23) se satisface trivialmente. Considerando estas condiciones iniciales
63, las ecuaciones de Lagrange asociadas a r y θ quedan:
µr̈ = −dV
dr
+ µrθ̇2,
d
dt
(
µr2θ̇
)
= 0.
(11.29)
Estas ecuaciones son las mismas que derivaŕıan de la lagrangeana anterior, (11.19), anulando
alĺı φ̇ , quedándonos con
L =
1
2
µ
(
ṙ2 + r2θ̇2
)
− V (r). (11.30)
Eso es lo que hace Goldstein. Si bien dijimos que Goldstein estaba equivocado en su pro-
cedimiento ¡llega al resultado correcto!. Pero cuidado, enseguida veremos el caso donde el mal
proceder da lugar al resultado incorrecto.
11.4. Potencial efectivo: Problema unidimensional efectivo
En las ecuaciones anteriores tenemos, por un lado, la ecuación de movimiento radial y, por
el otro lado, la conservación de la magnitud
µr2θ̇ ≡ l = cte, (11.31)
que llamaremos l porque es el modulo del momento angular del sistema. Esta última ecuación
nos permite expresar θ̇ en función de r,
θ̇ =
l
µr2
. (11.32)
Yendo con esta expresión a la ecuación de Lagrange radial (11.29) notamos que puede escribirse
en término de la variable r exclusivamente:
µr̈ = −dV
dr
+
l2
µr3
. (11.33)
Si definimos un potencial efectivo
Vef (r) = V (r) +
l2
2µr2
(11.34)
63Repetimos que estas condiciones iniciales no quitan ninguna generalidad, si la posición inicial y la velocidad
inicial de la part́ıcula estuviesen en otro plano distinto al xz, simplemente rotamos el sistema de referencia para
que el plano del movimiento inicial coincida con el plano xz en el nuevo sistema de referencia.
127
la ecuación de movimiento radial adquiere la forma t́ıpica de la segunda ley de Newton
µr̈ = −dVef (r)
dr
. (11.35)
Esta es la ecuación de movimiento de una part́ıcula de masa µ, moviéndose en una semirrecta
positiva (r ≥ 0), bajo el efecto del potencial efectivo Vef (r) que resulta de sumar al potencial
f́ısico el término centŕıfugo l2/2µr2, llamado también ’barrera centŕıfuga’. Este término es conse-
cuencia directa de la conservación del momento angular, l = µr2θ̇ = cte, que nos dice que cuando
r → 0, la velocidad angular θ̇ diverge, debiendo diverger la enerǵıa cinética al mismo tiempo.
Por lo tanto, si el potencial f́ısico V (r) no es lo suficientemente atractivo como para cancelar la
divergencia de la enerǵıa cinética, la part́ıcula no puede acercarse al origen de fuerzas, y eso se
traduce en el carácter repulsivo fuerte de la barrera centŕıfuga para r → 0.
Antes dećıamos que Goldstein procede mal al usar una integral de movimiento para despejar
una coordenada generalizada, el ángulo φ en particular, pero que llega ’de casualidad’ al resultado
correcto. Veamos ahora el caso donde el mismo procedimiento lleva a un resultado incorrecto. Si
en lugar de utilizar la conservación de l, como lo hicimos y bien, para pasar a una única ecuación
en r (11.33), la hubiésemos utilizado mal para quitar la coordenada θ de la lagrangeana (11.30),
tendŕıamos una lagrangeana puramente radial de la forma Lmal =
1
2µṙ
2 + l
2
2µr2
− V (r). La
ecuación de Lagrange correspondiente a Lmal no es la correcta (11.33), cambia el signo del
término centŕıfugo. Vemos entonces que no se puede usar una integral de movimiento, o de
manera general una relación dinámica cualquiera, obtenida de las ecuaciones de Lagrange para
volver atrás a la lagrangeana y despejar una variable en función de otras.
11.5. Conservación del momento angular: velocidad areolar constante
De la conservación de la dirección del momento angular resulta que el movimiento ocurre en
un plano, de la conservación del módulo del momento angular veremos que resulta la segunda
ley de Kepler. Esta ley dice que el radio vector que une a dos part́ıculas que están sujetas a una
fuerza central arbitraria, barre áreas iguales en iguales tiempos, es decir, barre áreas con una
velocidad constante, la velocidad areolar. Remarcamos que si bien este resultado fue obtenido
por Kepler emṕıricamente para el caso planetario, su validez se extiende a cualquier tipo de
fuerza central.
En un diferencial de tiempo el vector posición pasa de r(t) a r(t+ dt) = r(t) + dr(t), como
se muestra en la figura (11.3). El diferencial de área barrida en dt está dada por la mitad del
área del paralelogramo generado por los vectores r, y dr:
dA =
1
2
× area del paralelogramo = 1
2
|r ∧ dr|. (11.36)
En coordenadas polares r = rêr = r(cos θ, sin θ) por lo tanto, dr = drêr + rdθêθ, y el diferencial
de área barrido resulta
dA =
1
2
r2dθ. (11.37)
La velocidad areolar
dA
dt
=
1
2
r2θ̇ =
l
2µ
= cte (11.38)
es constante como consecuencia directa de la conservación del momento angular.
128
dθ
r(t)
r(t+dt)
dr(t)
Figura 11.3: El área barrida por el radio vector en dt es la mitad del área del paralelogramo de
lados r(t) y dr(t).
11.6. Análisis cualitativo a partir del potencial efectivo
De la ecuación de movimiento (11.33) se obtiene rápidamente una integral de movimiento,
la enerǵıa:
E =
1
2
µṙ2 + Vef (r). (11.39)
Como es de esperar, la enerǵıa del problema equivalente de la part́ıcula moviéndose en la semi-
rrecta r ≥ 0 se compone de la enerǵıa cinética, 12µṙ2, y del potencial efectivo. La conservación
de E implica la desigualdad
1
2
µṙ2 = E − Vef (r) ≥ 0. (11.40)
Conociendo la forma del potencial efectivo, esta simple desigualdad nos permite realizar un
análisis cualitativo del problema:
Regiones permitidas: de (11.40) resulta que, para un dado valor de la enerǵıa, la part́ıcu-
la sólo podrá moverse en aquellas regiones donde el potencial efectivo no supere a la enerǵıa.
Clásicamente la part́ıcula nunca puede encontrarse en la región donde Vef (r) > E.
Puntos de retroceso: los puntos r∗ donde el potencial efectivo sea igual a la enerǵıa,
Vef (r∗) = E, son puntos de retroceso, ya que en ellos se anula la velocidad radial. Los
puntos de retroceso se denominan ápsides. En el caso particular del movimiento de los
cuerpos celestes del sistema solar, el punto de mayor cercańıa entre el cuerpo y el sol se
llama perihelio, mientras que el de mayor lejańıa, se llama afelio.
Órbitas acotadas y no acotadas: de acuerdo al tipo de potencialV (r) podrán existir
órbitas acotadas, aquellas en las cuales la distancia al origen no puede ser mayor a una
distancia determinada, y órbitas no acotadas en las cuales la part́ıcula puede ir hacia el
infinito. Todas las órbitas no acotadas son abiertas, porque la part́ıcula una vez en el
infinito no vuelve atrás, mientras que no todas las órbitas acotadas son cerradas 64
64El teorema de Bertrand (ver por ejemplo Goldstein) determina qué potenciales de la forma V ∼ rα, donde
α es una constante, tiene a sus órbitas acotadas siempre cerradas: el potencial de Kepler α = −1 y el potencial
elástico α = 2.
129
Órbitas circulares: si (11.40) vale para un único punto r0, entonces la órbita es circular
y de radio r0 ya que es la única distancia permitida al origen. Estas órbitas circulares se
obtienen minimizando (órbitas estables) o maximizando (órbitas inestables) el potencial
efectivo.
Veamos ahora algunos ejemplos, para potenciales de la forma V ∼ rα.
Ejemplo 11.1 (Potencial repulsivo). Si un potencial es repulsivo entonces vale dV/dr < 0,
ya que la fuerza que actúa sobre la part́ıcula es F(r) = −∇V (r) = −dV/dr r̂ siendo r̂ el
versor radial saliente del origen. Si V = krα, donde k, α son constantes, entonces el potencial
es repulsivo siempre que kα < 0. Un ejemplo es el de repulsión coulombiana entre cargas del
mismo signo.
r
p
o
te
n
ci
al
es
V
ef
V
V
cent
Figura 11.4: Potencial V repulsivo.
Del análisis del potencial Vef (r) –un caso caracteŕıstico se muestra en la figura (11.4)–, vemos
que en este caso el movimiento es siempre no acotado y existe un único punto de retroceso, que es
de mayor cercańıa al centro de fuerzas (punto periápside). Para que exista una región permitida
para el movimiento de la part́ıcula, la enerǵıa E debe ser positiva siempre, como lo demuestra
una simple inspección de (11.39). Decimos que en el caso de potenciales V repulsivos es imposible
que se forme un enlace entre las dos part́ıculas del problema original, las part́ıculas no se ligan
por medio del potencial.
Ejemplo 11.2 (Potencial atractivo con α > −2). Si el potencial es V = krα ahora vale kα > 0.
Cuando r → 0 la barrera centŕıfuga domina sobre el potencial atractivo, ya que la barrera diverge
a +∞ como r−2, más rápidamente que la divergencia con signo contrario del potencial f́ısico (si
α < 0). Un ejemplo es el del potencial de Kepler gravitatorio. Por lo tanto, el potencial efectivo
130
tiende a +∞ cuando r → 0. La part́ıcula no puede pasar por el centro de fuerza y existe cierta
distancia de menor acercamiento al origen.
r
p
o
te
n
ci
al
es
V
ef
V
V
cent
E
1
E
2
E
3
E
4
Figura 11.5: Potencial V ∝ rα atractivo con α > −2.
Si α < 0 una situación t́ıpica es la de la figura (11.5). Para r →∞ domina el potencial f́ısico
y el potencial efectivo tiende a cero viniendo desde valores negativos. Tomemos algunos valores
caracteŕısticos de enerǵıa. Si la enerǵıa E = E1 > 0 entonces el movimiento es no acotado,
la part́ıcula se aleja indefinidamente del centro de fuerza, y en el infinito aún tendŕıa enerǵıa
cinética finita. Si E = E2 = 0 entonces el movimiento también es no acotado, pero ahora la
part́ıcula llega al infinito con velocidad nula. Si E = E3 con Vef |min < E3 < 0, entonces el
movimiento está acotado entre el periápside (rmin) y el apoápside (rmax). Si la enerǵıa E = E4
es la coincidente con el mı́nimo del potencial efectivo, entonces la órbita es circular. Cuando el
movimiento es acotado decimos que se forma un estado ligado entre las dos part́ıculas originales
debido al potencial atractivo.
Por otro lado, si α > 0, los únicos movimientos posibles son los acotados. Mientra la barrera
centŕıfuga no permite que la part́ıcula pase por el origen, el potencial f́ısico actúa como un resorte
que no permite que la part́ıcula se aleje demasiado del origen.
Ejemplo 11.3 (Potencial atractivo con α < −2). En este caso la divergencia ’atractiva’ del
potencial V le gana a la divergencia ’repulsiva’ de la barrera centŕıfuga para r → 0 y la part́ıcula
puede pasar por el centro de fuerza. Un caso t́ıpico es el que se muestra en la figura (11.6):
si E = E1 entonces todo r está permitido, la part́ıcula pasa por el centro de fuerza y va hacia
el infinito donde tendrá velocidad no nula. Si E coincide con el máximo del potencial efectivo
entonces es posible tener una órbita circular, pero inestable. Cualquier pequeña perturbación
apartará significativamente a la part́ıcula de dicha órbita circular. Si E = E2 > 0 existen
dos regiones permitidas disjuntas, una acotada y la otra no acotada. Clásicamente la part́ıcula
131
r
p
o
te
n
ci
al
es
V
ef
V
V
cent E
1
E
2
E
3
Figura 11.6: Potencial V ∝ rα atractivo con α < −2.
nunca puede pasar de una región a otra, la barrera centŕıfuga lo impide. Cuánticamente la
part́ıcula puede pasar bajo la barrera centŕıfuga, mediante el conocido efecto túnel. Finalmente
si E = E3 < 0 el único movimiento posible es acotado pasando por el centro de fuerzas.
11.7. Órbitas casi circulares. Órbitas cerradas y abiertas
Dado un potencial central V (r), el potencial efectivo que actúa en el problema equivalente
unidimensional es
Vef (r) = V (r) +
l2
2mr2
.
Las órbitas circulares estables serán posibles para aquellos de r que minimicen el potencial
efectivo. Es decir, r0 es el radio de una órbita circular si satisface
dVef (r)
dr
∣∣∣∣
r0
= 0
dVef (r)
dr
∣∣∣∣
r0
=
dV (r)
dr
∣∣∣∣
r0
− l
2
mr30
= −f(r0)−
l2
mr30
= 0
f(r0) = −
l2
mr30
Consideremos ahora órbitas que difieren muy poco de la órbita circular, aquellas para las
cuales se cumpla que r − r0 � r0. Para ello desarrollamos el potencial efectivo alrededor de su
mı́nimo r0, en serie de Taylor hasta segundo orden
Vef (r) ∼ Vef (r0) +
1
2
k (r − r0)2 ,
132
k =
d2Vef (r)
dr2
∣∣∣∣
r0
= − df(r)
dr
∣∣∣∣
r0
+
l2
3mr40
= −
(
df
dr
+
3f
r0
)
Para que la órbita circular de radio r0 sea estable, es necesario que la constante k sea positiva.
Con el desarrollo cuadrático del potencial efectivo alrededor del radio de la órbita circular,
nuestro sistema es un oscilador armónico. El peŕıodo de oscilación es
Trad = 2π
√
m
k
Si f(r) = −Crn entonces
rn+30 =
l2
mC
.
Para que sea posible tener una órbita circular, C tiene que ser positivo, es decir, la fuerza tiene
que ser atractiva, apuntando hacia el centro de fuerzas.
k = (3 + n)Crn−10
Las órbitas serán estables para n > −3.
El tiempo de revolución, Trot, se deduce de la conservación del momento angular
l = mr20 θ̇ → Trot =
2π
θ̇
=
2πmr20
l
Trot = 2π
√
mr0
−f(r0)
Trad = 2π
√
mr0
−3f(r0)− r0f ′(
Trot
Trad
)2
= 3 + r0
f ′
f
Para f(r) = −Crn resulta
Trot
Trad
=
√
3 + n,
excepto en el caso del potencial kepleriano, n = −2, los dos peŕıodos son distintos.
r(t) = r0 + a cos (ωradt)
θ(t) = ωrott
Definimos el ángulo apsidal, Ψ, como el ángulo entre un apogeo y el próximo perigeo.
Ψ =
πTrad
Trot
=
π√
3 + n
.
En el caso gravitatorio Ψ = π, el apogeo y el perigeo están en lados opuestos de la órbita. Para
un potencial armónico, n = 1, Ψ = π/2, y una órbita contiene dos apogeos y dos perigeos, y es
otra vez una elipse, pero ahora con el centro de fuerzas en el centro de la elipse y no en uno de
sus focos.
Si Ψ/π no es racional, la órbita nunca se cierra, mientras que si Ψ/π = p/q, la órbita se
cerrará después de p revoluciones, habiendo alcanzado q apogeos y perigeos. La órbita será
cerrada pero, al menos que q = 1, se autointersectará. Esta clausura de la órbita sólo es cierto
en la aproximación de pequeñas desviaciones de la circunferencia; de manera más general el
teorema de Bertrand demuestra que sólo en los casos n = −2 y n = 1 las órbitas genéricas son
cerradas.
133
11.8. Solución formal de las ecuaciones de movimiento
Las conservaciones de enerǵıa y momento angular nos permiten, mediante cuadratura, resol-
ver formalmente el problema de fuerza central. Como
E =
1
2
µṙ2 − Vef (r),
resulta
ṙ = ±
√
2
µ
(E − Vef(r)), (11.41)
separando tiempo de variable r llegamos a
dt = ± dr√
2
µ (E − Vef (r))
, (11.42)
e integrándola conocemos tiempo en función de distancia r
t− t0 = ±
∫ r
r(t0)
dr̃√
2
µ (E − Vef (r̃))
, (11.43)
relación de la cual podemos despejar al menos formalmente r = r(t). Por otro lado la conserva-
ción del momento angular l nos permite encontrar el ángulo θ en función del tiempo
θ̇ =
l
µr2
⇒ θ(t)− θ(t0) =
l
µ
∫ t
t0
dt̃
r(t̃)2
. (11.44)
En el problema tenemos cuatro constantes de movimiento por tener dos ecuaciones de Lagrange
(11.29). Dos constantes son las importantes: la enerǵıa E y el momento angular l, son las
constantes que determinan la forma y el tipo de órbita en algunos casos. Las otras dos constantes,
por ejemplo, r(t0) y θ(t0), junto a E y l determinan orientación de la órbita en el plano de
movimiento.
Veamos ahora que podemos usar las ecuaciones anteriores para obtener además de las leyes
horarias, la órbita r = r(θ):
dr
dt
= ±
√
2
µ
(E − Vef (r)),
dθ
dt
=
l
µr2
. (11.45)
Haciendo el cociente entre ambas cantidades llegamos a una relación integral para la órbita
r = r(θ) :
dθ = ± 1
r2
ldr√
2µ (E − Vef (r))
⇒ (11.46)
θ(r) = θ(r0)±
∫ r
r0
1
r̃2
ldr̃√
2µ (E − Vef (r̃))
.
Para algunos potenciales particulares (ver Goldstein) las integrales pueden calcularse expĺıcita-
mente en término de funciones elementales o no tanto, entre ellas funciones eĺıpticas como las
que vimos en la solución exacta del péndulo simple. Ahora veremos cómo obtener una ecuación
diferencial directamente para la órbita r = r(θ), que nos servirá resolver el problema de Kepler.
134
11.9. Ecuación diferencial de la órbita r(θ)
De las leyes de movimiento r = r(t) y θ = θ(t) se puede despejar el tiempo para llegar a
la ley de la órbita r = r(θ). Despejemos el tiempo en la ecuación de Lagrange radial (11.29),
usando la conservación de l. Necesitamos encontrar la aceleración de r en término de derivadas
respecto a θ. Usando la ecuación de la órbita, la dependencia temporal de r = r(θ(t)), por lo
tanto la velocidad es
dr
dt
=
dr
dθ
θ̇ =
l
µr2
dr
dθ
, (11.47)
y la aceleración
d2r
dt2
=
d
dt
(
l
µr2
dr
dθ
)
= − 2l
µr3
dr
dt
dr
dθ
+
l
µr2
d
dt
dr
dθ
= (11.48)
= − 2l
2
µ2r5
(
dr
dθ
)2
+
l
µr2
d2r
dθ2
θ̇ =
(
l
µr2
)2 [
−2
r
(
dr
dθ
)2
+
d2r
dθ2
]
.
La ecuación de movimiento radial se reescribe como
µ
(
l
µr2
)2 [
−2
r
(
dr
dθ
)2
+
d2r
dθ2
]
= F (r) +
l2
µr3
, (11.49)
donde F (r) = −dV/dr. Haciendo el cambio de variable r = 1/u resulta una ecuación más simple
d2u
dθ2
+ u = − µ
l2
1
u2
F
(
1
u
)
. (11.50)
Esta es la ecuación diferencial para la órbita, r(θ) = 1/u(θ) y recibe el nombre de ecuación de
Binet.
Si la función u(θ) satisface la ecuación de la órbita, también será solución la función ũ(θ) ≡
u(−θ) por ser la ecuación simétrica respecto a la reversión del ángulo θ → −θ. En principio y
según se elijan las condiciones iniciales de la órbita, ambas soluciones u y ũ pueden ser distintas.
Pero si hacemos coincidir θ = 0 con el periápside de la órbita entonces θ = 0 es un punto de
retroceso, ṙ(θ = 0) = 0 y
du
dθ
∣∣∣∣
θ=0
= − 1
r2
dr
dθ
∣∣∣∣
θ=0
= 0 = − dũ
dθ
∣∣∣∣
θ=0
(11.51)
De la condición anterior resulta que las funciones u y ũ coinciden en θ = 0 y lo mismo ocurre
con sus derivadas primeras. Por lo tanto, ambas funciones deben ser la misma función, de donde
resulta que las órbitas son simétricas frente al cambio θ → −θ, es decir, r(θ) = r(−θ) De manera
más general, la órbita será invariante frente a reflexiones respecto a las ĺıneas que unen el origen
con los puntos de retroceso. Si la órbita es acotada, entonces nos basta conocer un tramo que
vaya desde un periápside a un apoápside, el resto de la órbita se obtiene usando la simetŕıa
recien encontrada, reflejando la curva.
135
	Fuerzas centrales. Potencial efectivo
	Problema de dos cuerpos
	Conservación del momento lineal: Eliminación del centro de masa
	Conservación del momento angular: movimiento en un plano
	Potencial efectivo: Problema unidimensional efectivo
	Conservación del momento angular: velocidad areolar constante
	Análisis cualitativo a partir del potencial efectivo
	Órbitas casi circulares. Órbitas cerradas y abiertas
	Solución formal de las ecuaciones de movimiento
	Ecuación diferencial de la órbita r()
	pbs@ARFix@119: 
	pbs@ARFix@120: 
	pbs@ARFix@121: 
	pbs@ARFix@122: 
	pbs@ARFix@123: 
	pbs@ARFix@124: 
	pbs@ARFix@125: 
	pbs@ARFix@126: 
	pbs@ARFix@127: 
	pbs@ARFix@128: 
	pbs@ARFix@129: 
	pbs@ARFix@130: 
	pbs@ARFix@131: 
	pbs@ARFix@132: 
	pbs@ARFix@133: 
	pbs@ARFix@134: 
	pbs@ARFix@135: