Mecanica Clasica 2022-159-184

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y por lo tanto es suficiente recurrir a la óptica geométrica para tratar el problema. En segundo
lugar, los fenómenos ópticos de reflexión y de refracción tienen sus śımiles mecánicos. Vimos que
en el ejemplo de dispersión por una esfera ŕıgida que las part́ıculas se reflejan especularmente en
la superficie de la esfera, por otro lado los invitamos a demostrar que el problema de part́ıculas
que dispersan debido a un potencial central del tipo
V (r) =
{
0 si r > R
V0 si r < R,
(13.27)
donde V0 es una constante, es el śımil mecánico del fenómeno de refracción. Cuando una part́ıcula
que viene desde afuera ingresa a la región r < R (si es que su enerǵıa E lo permite), su dirección
de movimiento cambia según una ley de Snell
sinϕi = n sinϕr, (13.28)
donde ϕi es el ángulo de incidencia y ϕr es el refractado. El ı́ndice de refracción vale
n =
√
E − V0
E
. (13.29)
Cuando calculamos la sección eficaz lo hicimos igualando el conteo de part́ıculas que pasa
por una sección del haz incidente con las part́ıculas que dispersan en determinado ángulo sólido.
Ese tipo de cuentas es independiente de si lo que dispersan son part́ıculas o rayos de luz, por
lo tanto, la fórmula de la sección eficaz (13.9) valdrá para el caso óptico. Sin embargo, hay una
diferencia esencial: mientras que en el śımil mecánico de la refracción si la part́ıcula trae una
enerǵıa E mayor a V0 entrará en la región central r < R y luego de atravesar dicha región
saldrá al exterior, en el caso del rayo de luz cada vez que se encuentra con una superficie entre
dos medios una parte se reflejará y otra parte se refractará. Veamos qué procesos son los que
originan el arco iris, es decir, aquellos para los cuales la sección eficaz diverge para un ángulo
de dispersión no nulo.
Reflexión: En primer lugar tenemos el proceso de reflexión del rayo en la superficie de la
gota, la sección eficaz corresponde en este caso al ejemplo de dispersión por una esfera
ŕıgida. Alĺı hab́ıamos encontrado que la dispersión es isotrópica, la misma cantidad de
rayos saldrá en cualquier dirección y no tendremos un ángulo ’favorito’.
Refracción - refracción: En el proceso siguiente, ilustrado en la figura 13.11 el rayo se
refracta al interior de la gota según la ley de Snell
sinϕi = na sinϕr (13.30)
y luego se refracta nuevamente saliendo al aire. De la figura 13.11 vemos que el ángulo de
dispersión de este proceso es
Θ = 2 (ϕi − ϕr) . (13.31)
La sección eficaz σ(Θ) ∝ ds/dΘ, por lo tanto su divergencia ocurrirá cuando diverja la
derivada o bien cuando se anule la derivada dΘ/ds. Calculamos esta última derivada a
partir de (13.31)
dΘ
ds
= 2
(
dϕi
ds
− dϕr
ds
)
(13.32)
Derivamos impĺıcitamente la relación entre s y el ángulo ϕi,
s = R sinϕi ⇒ 1 = R cosϕi ×
dϕi
ds
⇒ dϕi
ds
=
1
R cosϕi
(13.33)
159
Derivamos impĺıcitamente la ley de Snell
cosϕi ×
dϕi
ds
= na cosϕr ×
dϕr
ds
⇒ dϕr
ds
=
1
Rna cosϕr
(13.34)
Por lo tanto, llegamos a
dΘ
ds
=
2
R
(
1
cosϕi
− 1
na cosϕr
)
. (13.35)
Esta derivada se anula si vale para algún ángulo de incidencia
na cosϕr = cosϕi ⇒ (13.36)
⇒ na
√
1− sin
2 ϕi
n2a
=
√
1− sin2 ϕi ⇒ n2a = 1.
Vemos entonces que la derivada no se anula nunca, por lo tanto, la sección eficaz σ(Θ) no
diverge para ningún ángulo no nulo en estos procesos.
φ
i
φ
r
φ
i
φ
r
Θ=2(φ −φ )
i r
φ
r
φ −φ 
i r
Figura 13.11: Procesos de dispersión refracción-refracción.
Refracción - reflexión interna - refracción: Estudiemos este proceso, que se muestra en la
figura 13.12. El ángulo de dispersión es
Θ = π + 2ϕi − 4ϕr. (13.37)
Derivamos respecto a s y usamos (13.33) y (13.34)
dΘ
ds
= 2
dϕi
ds
− 4dϕr
ds
=
2
R
(
1
cosϕi
− 2
na cosϕr
)
. (13.38)
La derivada anterior se anula si
na cosϕr = 2 cosϕi ⇒ (13.39)
⇒ na
√
1− sin
2 ϕi
n2a
= 2
√
1− sin2 ϕi ⇒ sinϕi =
√
4− n2a
3
.
160
φ
i
φ
r
π − 2φ 
r
φ −φ 
i r
φ −φ 
i r
φ
i
φ
r
φ
r
φ
r
φ −φ 
i r
Θ=π + 2φ −4φ
i r
Figura 13.12: Proceso de dispersión refracción - reflexión interna - refracción.
Teniendo en cuenta que el ı́ndice de refracción es mayor a uno, entonces ahora si se puede
anular la derivada dΘ/ds. El ı́ndice de refracción del agua es aproximadamente na =
1,333, por lo tanto el ángulo de incidencia que satisface la ecuación anterior es ϕi '
60◦ y el ángulo de dispersión del efecto arco iris es Θ ' 138◦. El arco iris se destaca
por sus colores, ¿cómo aparecen en estos cálculos? El ı́ndice de refracción depende del
medio de propagación y también depende de la longitud de onda de la luz, en el caso
del agua tenemos en los extremos del espectro visible que vale nrojo = 1,330 y nvioleta =
1,343. Consecuentemente, para cada longitud de onda la dispersión de arco iris ocurre para
ángulos levemente diferentes, en los extremos visibles Θrojo ' 138◦ y Θvioleta ' 140◦. La
apertura angular del arco iris es entonces de aproximadamente ∆Θ ' 2◦.
Figura 13.13: (Foto tomada de la web) Arco iris doble.
161
Encontramos entonces que si miramos una región del cielo dando las espaldas al sol, luego
de una lluvia que dejó muchas gotas de agua suspendidas, cuando elevemos la vista 40◦
respecto a la horizontal comenzaremos viendo una franja luminosa de colores cercanos al
violeta, luego sigue el resto del espectro visible, que termina a los 42◦ sobre la horizontal
con franjas rojizas.
Otros procesos: Podemos considerar más procesos, en el siguiente por ejemplo el rayo de
luz se refleja dos veces dentro de la gota antes de salir al aire. En este caso, repitiendo
cuentas análogas llegamos que existe dispersión de arco iris para un ángulo de dispersión
Θ ' 130◦ (50◦ visto desde la horizontal). Este es el arco iris secundario, raramente visible
debido a su menor intensidad. En este arco iris el orden de los colores está invertido (ver
figura 13.13).
Otros fenómenos ópticos atmosféricos se explican de manera similar: por ejemplo, el fenómeno
de los halos alrededor del sol o de la luna, producidos por la dispersión de la luz solar en cristales
de hielo.
En esta clase:
Definimos la sección eficaz diferencial σ(Θ) que nos permite cuantificar
el efecto de un potencial central sobre la dispersión de part́ıculas que son
afectadas por el mismo.
Calculamos la sección eficaz de Rutherford, correspondiente a un poten-
cial coulombiano repulsivo. La medición de esta sección eficaz llevó al
descubrimiento del núcleo atómico.
Aunque Keats se lamente, hemos destejido el arco iris con la ayuda de
Newton y ćıa.
162
14. Relatividad especial: Introducción, postulados y
efectos fundamentales
No cuentes lo que hay detrás de
aquel espejo
Serú Girán
La relatividad de Einstein es indudablemente la
teoŕıa más famosa de toda la F́ısica. Es sinónimo
de teoŕıa indescifrable, de paradojas que desaf́ıan
el sentido común, de agujeros negros y de Big
Bang, de espacio y tiempo tan entremezclados
que permiten discutir la posibilidad de atravesar
el universo mediante agujeros de gusano. La
icónica ecuación E = mc2 es sinónimo de enerǵıa
atómica, de fuentes inagotables de enerǵıa y tam-
bién de destrucción masiva. Relatividad y f́ısica
cuántica son las teoŕıas f́ısicas que revolucionaron
a la ciencia del siglo XX, y junto a ella a toda la
sociedad.
Bajo el nombre de “teoŕıa de la relatividad”
se agrupan dos teoŕıas, ambas formuladas por
Einstein. La primera es la relatividad especial
(también llamada relatividad restringida) de 1905
y es la que nos ocupa en esta materia. Consiste
en la reformulación de los conceptos de espacio
y tiempo absolutos de Newton, pero mantiene la
existencia de ciertos sistemas de referencia privi-
legiados, estos son los sistemas inerciales. En esta
teoŕıa la duración del intervalo de tiempo entre
dos eventos o la longitud de un objeto depen-
den del observador inercial que los mide. No exis-
te más un reloj newtoniano universal que imper-
turbablemente mide el mismo tiempo para todos
los sistemas de referencia. El espacio y el tiempose funden en un continuo llamado espacio-tiempo
(plano).
The New York Times
10 de noviembre de 1919
La segunda teoŕıa es la relatividad general de 1915. Consiste en una teoŕıa de la gravita-
ción, superadora de la de Newton. En ella el espacio-tiempo es curvo, niega tanto el espacio y el
tiempo absolutos de Newton como también el estándard del reposo o movimiento uniforme de
los sistemas inerciales. Es una teoŕıa válida respecto de cualquier sistema de referencia. Quienes
cursan la licenciatura verán los rudimentos de esta teoŕıa en Mecánica Clásica II.
Como todos los procesos f́ısicos ocurren en el espacio y en el tiempo, la reformulación que
la relatividad hace de estos conceptos implica una revisión de las leyes de la F́ısica, las cuales
deben ser compatibles con las teoŕıas aceptadas del espacio y del tiempo. Vale remarcar que
ambas teoŕıas de la relatividad describen estructuras reales en el mundo real, sujetas a pruebas
163
experimentales. Como tal, sus predicciones han sido verificadas en una cantidad enorme de
diferentes situaciones 76.
En esta clase presentamos una breve introducción general de carácter histórico a los pro-
blemas que vino a resolver la teoŕıa de Einstein. Presentamos también los dos postulados de la
relatividad especial y deducimos de ellos los llamados efectos fundamentales: pérdida de la si-
multaneidad, dilatación del tiempo y contracción de la longitud. Con estos tres efectos podremos
tener una muy clara idea de porqué la relatividad desaf́ıa al sentido común.
14.1. Espacio y tiempo absolutos
En la f́ısica de Aristóteles los cuerpos pesados cáıan porque cada uno de los elementos de los
que estaba hecho el universo (fuego, agua, tierra y aire 77) teńıa su propio lugar de pertenecia, su
propia esfera, hacia el cual naturalmente se mov́ıan, al menos que fueran retenidos forzosamente.
El lugar de pertenencia de los elementos tierra y agua era el centro del universo que, en la mirada
geocéntrica, coincid́ıa con el centro de la Tierra. Por esa razón los cuerpos pesados (los que en su
composición teńıan una mayor proporción de los elementos tierra y agua) tend́ıan hacia abajo.
Por la misma razón, los cuerpos de aire o fuego tend́ıan hacia arriba. En esta teoŕıa del universo
exist́ıan puntos o esferas privilegiadas, lugares absolutos. El centro de la Tierra era uno de ellos.
Por otro lado, en la f́ısica de Newton los cuerpos
caen porque son atráıdos por la fuerza de grave-
dad de la Tierra, no porque sean atráıdos hacia
un punto fijo en el espacio. Por lo tanto, la po-
sición de un cuerpo tiene un sentido relativo,
en el caso de los objetos cerca de la superficie
terrestre importa la posición relativa del objeto
a la Tierra. De la misma manera, la velocidad
de un objeto solo tiene un significado relativo:
si dos cuerpos se mueven con una velocidad re-
lativa constante es imposible decidir cuál de los
dos está en movimiento y cuál está en reposo.
Este resultado es el principio de relatividad,
enunciado por primera vez por Galileo.
Viajando en postes
Dibujo: Elisa Kolodziej
A pesar de la relatividad del movimiento, Newton en sus Principia postula la existencia
de un espacio absoluto, casi sustancial 78, que no puede ser influenciado por nada externo y
permanece siempre igual e inamovible. En su época no se sab́ıa de la existencia de las galaxias,
por lo tanto Newton considera que el centro de masas del sistema Solar está en reposo en un
sistema solidario al espacio absoluto. Al espacio absoluto podemos pensarlo como un escenario
fijo en el cual transcurre la realidad f́ısica, escenario en el cual están y se mueven todos los
cuerpos que forman el universo.
Por otro lado, Newton también postula la existencia de un tiempo absoluto, verdadero
y matemático, que fluye por su propia naturaleza uniformemente, que no es influenciado por
76La relatividad es conocida por sus paradojas, por ejemplo la de los mellizos. Una paradoja en una teoŕıa
significa algo que “no cierra”. Sin embargo en la relatividad todas las paradojas son aparentes, son paradojas para
el sentido común, pero no para la teoŕıa. Ambas teoŕıas son lógicas y experimentalmente sólidas, no se conoce
actualmente ningún fenómeno que se aparte de sus predicciones, no hay nada paradójico respecto a ellas.
77Aristóteles introduce además un quinto elemento, el éter. Todo lo que exist́ıa estaba formado a partir del éter,
llenaba el espacio entre la superficie terrestre y las esferas celestiales.
78Noción no muy diferente quizás a la idea del éter aristotélico que llenaba el universo.
164
nada externo. Podemos pensar a este tiempo absoluto como el que mide un reloj universal, el
cual marca con infinita regularidad cada segundo y cada segundo es idéntico para cualquier
observador, independientemente de su estado de movimiento.
Los Principia de Newton dan origen al “sistema del mundo” más exitoso de toda la historia de
la humanidad, la teoŕıa explica y unifica los movimientos terrestres y celestiales. Sin embargo, los
conceptos de espacio y tiempo que usó Newton siempre fueron controvertidos, particularmente
la idea de espacio absoluto 79 Algunas cŕıticas fueron:
el espacio absoluto no pod́ıa distinguirse experimentalmente de todos los otros sistemas de
referencia inerciales (principio de relatividad de Galileo), por lo tanto no existe la necesidad
de introducir tal idea. Podemos conjeturar que Newton introduce estos conceptos por una
necesidad filosófica y/o teológica de que exista algo “absoluto”.
Einstein no aceptaba que el espacio absoluto actuase sobre un sistema (¡sin espacio no hay
movimiento!) pero que el sistema no pudiese actuar sobre el espacio. En las definiciones
newtonianas está claro que espacio y tiempo absolutos no pueden ser influenciados por
nada externo.
Mach: lo que importa es el movimiento relativo de un cuerpo respecto de todas las otras
masas del universo. Todos los sistemas ŕıgidos son equivalentes.
Newton responde a las cŕıticas: el balde de Newton
De acuerdo a Newton la inercia es un fenómeno que relaciona al movimiento
de los cuerpos con el espacio absoluto. La rotación de un cuerpo respecto al
espacio absoluto es el origen de fuerzas ficticias –fuerzas de Coriolis, centŕıfuga
y de Euler. A partir de este hecho, en 1689 Newton plantea su argumento más
fuerte a favor de la existencia del espacio absoluto: el experimento de rotación
de un balde con agua. En primer lugar se gira el balde para que se tense la
cuerda que lo sostiene y luego se lo suelta. Al principio el agua no rota, luego
por rozamiento con las paredes del balde el agua empieza a girar y su superficie
se curva, volviéndose cóncava.
¿Por qué se curva la superficie del agua? ¿Qué significa que rote el agua?
¿Rota respecto de qué? Respecto al balde no rota (balde a la izquierda abajo
en la figura 14.1), por lo tanto el movimiento relativo del agua respecto del
balde no determina la concavidad de la superficie del agua. En el instante
inicial (balde a la izquierda arriba de la figura 14.1), cuando tampoco hab́ıa
rotación relativa entre balde y agua, la superficie del agua era plana. Según
Newton hay rotación respecto al espacio absoluto, es decir que podemos ha-
blar de rotación o no de un cuerpo de manera absoluta. En el caso de sistemas
inerciales en movimiento relativo, los dos observadores pueden decir que ellos
están quietos y que el que se mueve es el otro. En el caso de la rotación, un
observador solidario al balde y al agua notará una gran diferencia: la superficie
del agua es plana o es cóncava.
79La grieta acerca de los conceptos absolutos de espacio y tiempo dividieron a cient́ıficos y filósofos de renombre.
Kant y Euler estaban a favor; de hecho Kant es el que da un status filosófico importante a ambas nociones. Berkley,
Huygens y Leibniz critican a su manera. El f́ısico austŕıaco Mach dice que ambos conceptos son monstruosidades.
Poincaré y Einstein eran contrarios a los absolutistas, pensaban que la teoŕıade la relatividad apoya la descripción
relacional del espacio: según Mach el espacio no es “una cosa”, sino que es una abstracción que surge de las
distancias relativa entre la materia.
165
Figura 14.1: Experimento del balde de Newton (imagen de Jeroen van Engelshoven).
Mach considera que la inercia es una consecuencia del movimiento rela-
tivo del balde respecto al resto del universo: según el principio de Mach
da lo mismo que gire el cuerpo a que giren las estrellas lejanas alrededor del
cuerpo. Para el filósofo austŕıaco todo movimiento, traslacional o rotacional,
es relativo. Mach predice que si las estrellas lejanas girasen al uńısono con el
balde, entonces la superficie del balde no se curvaŕıa. Esta es una predicción
concreta (aunque irrealizable en término de baldes y estrellas). Para Mach un
estado de movimiento en el cual no se percibe ninguna rotación es el resul-
tado del promedio sobre la distribución y movimiento de toda la materia del
universo 80.
14.2. Sistemas de referencia inerciales
Las leyes de la F́ısica siempre se enuncian relativas a un sistema de referencia. Estos sistemas
son ŕıgidos: se los piensa como la extensión imaginada de un cuerpo ŕıgido. Ejemplo: la Tierra
y todo lo solidario a ella. Si asociamos un sistema de coordenadas cartesianas fijo al sistema de
referencia ŕıgido podremos dar las coordenadas de todos los puntos del espacio y cuantificar la
posición de cualquier part́ıcula. Las escalas de los ejes cartesianos funcionan como reglas que
nos permiten medir longitudes. Por otro lado, necesitamos un reloj para medir tiempos. En
la mecánica de Newton una vez que dos relojes son sincronizados, continuarán indicando por
siempre los mismos tiempos, independientemente de cómo se muevan los relojes.
Disponiendo de reglas y relojes ya podemos cuantificar eventos. Un evento es un aconte-
cimiento f́ısico que ocurre en un punto espećıfico del espacio y en un instante espećıfico de
tiempo. Las coordenadas (x, y, z) del punto del espacio donde ocurre el evento, tomadas
respecto al sistema de referencia, y el instante de tiempo t que se lee en el reloj cuando
ocurre el evento son cuatro números o coordenadas espacio-temporales que caracterizan
numéricamente al evento.
80El efecto de Lense-Thirring de la relatividad general sugiere que Mach estaba en lo correcto. Este efecto refiere
al “arrastre” del espacio-tiempo provocado por un cuerpo que rota.
166
En la mecánica de Newton, entre todos los posibles sistemas de referencia se destacan los
sistemas inerciales. Si pensásemos como Newton podŕıamos decir que un sistema inercial es aquel
que se mueve con velocidad constante respecto del espacio absoluto 81. Pero vimos que el espacio
absoluto era una idea f́ısicamente cuestionable. Por lo tanto definimos a los sistemas inerciales
como aquellos respecto de los cuales es válida la primera ley de Newton: todo cuerpo continúa
en su estado de reposo o movimiento uniforme en ĺınea recta, a menos que se le aplique una
fuerza. Podemos considerar a esta ley de inercia como una definición de sistemas inerciales 82.
Dado un sistema inercial sabemos que cualquier otro sistema de referencia que se mueve con
velocidad constante respecto al primero también es un sistema inercial. Vemos entonces que
si bien experimentalmente no es detectable un espacio absoluto a lo Newton, śı es detectable
un estándar de reposo o de movimiento uniforme, estándar que corresponde a los sistemas
inerciales. A priori siempre podemos idear un experimento que nos permita saber si nuestro
sistema es inercial o no 83.
Un sistema inercial perfecto es una idealización: Newton pensaba que un sistema tal era el
que se mov́ıa con velocidad constante respecto del centro de masas del sistema Solar (al cual
supońıa inmóvil), pero hoy en d́ıa sabemos que el sistema Solar está girando alrededor del centro
de la Vı́a Láctea, y sabemos que las galaxias a su vez giran. Sin embargo, de acuerdo al fenómeno
f́ısico que nos interese estudiar, podemos elegir sistemas que se compartan casi perfectamente
como inerciales ó, recurriendo a la mecánica relativa, podemos estimar los errores que introduce
la no inercialidad del sistema de referencia.
En relatividad especial los sistemas inerciales siguen siendo privilegiados. Einstein con su
teoŕıa de 1905 derrumba las ideas de espacio y tiempo absolutos, sin embargo sigue en pie
la existencia de un “absoluto” o estándard de movimiento, el de los sistemas inerciales. En
cambio, en la relatividad general, todos los sistemas de referencia son igualmente apropiados
para describir la f́ısica.
14.3. Transformación de Galileo
La transformación de Galileo nos indica cómo cambian las coordenadas de una part́ıcula
cuando las referimos respecto a distintos sistemas inerciales. En la figura 14.2 el sistema de
referencia S′ se mueve con velocidad constante V respecto del sistema inercial S. ROO′ es el
vector posición del origen de S′ respecto de S. Sin pérdida de generalidad podemos considerar
que en el instante inicial t = 0 ambos sistemas de referencia coinciden. En tal caso tenemos
ROO′ = V t. (14.1)
De la figura 14.2 vemos que la relación entre vectores posición de un punto genérico P es
r = r′ +ROO′ = r
′ + V t. (14.2)
Expresada como transformación de coordenadas la transformación de Galileo (TG) es
x = x′ + Vxt
y = y′ + Vyt
z = z′ + Vzt
t = t′.
(14.3)
81Cuando decimos que un sistema se mueve con respecto a otro con cierta velocidad estamos suponiendo que
los ejes de los sistemas no rotan, siempre permanecen paralelos a śı mismos.
82Existe una especie de tautoloǵıa: los sistemas inerciales son aquellos en los cuales valen las leyes de Newton,
pero ...¿dónde valen las leyes de Newton? ¡En los sistemas inerciales!.
83Quien alguna vez fue sorprendido estando parado en un colectivo que giró o frenó bruscamente sabe de que
hablamos.
167
Figura 14.2: Transformación de Galileo entre sistemas de referencia inerciales.
En la última ĺınea estamos teniendo en cuenta que, acorde con la noción de tiempo absoluto
de Newton, observadores solidarios a ambos sistemas miden el mismo tiempo (por supuesto,
suponiendo que sus relojes están sincronizados).
La transformación inversa de (x, y, z, t)→ (x′, y′, z′, t′) se obtiene trivialmente de (14.3):
x′ = x− Vxt
y′ = y − Vyt
z′ = z − Vzt
t′ = t.
(14.4)
Transformación de velocidades: Para encontrar cómo transforman las velocidades simple-
mente derivamos (14.2 respecto del tiempo (el cual es el mismo para ambos sistemas):
v = v′ + V . (14.5)
A esta relación la llamamos la ley de adición de velocidades de la mecánica newtoniana. Note-
mos que si V 6= 0 entonces una part́ıcula moviéndose con cierta velocidad respecto a S tendrá
siempre una velocidad diferente respecto de S′.
Transformación de aceleraciones: Si ahora derivamos la relación entre velocidades (14.5)
obtenemos que las aceleraciones satisfacen:
a′ = a, (14.6)
decimos que las aceleraciones son invariantes frente a una TG.
14.4. Principio de relatividad galileano
El principio de relatividad galileano es un postulado que establece que las leyes de la
mecánica son invariantes frente a la transformación de Galileo (14.3) ó, dicho en otras palabras,
las leyes de la mecánica son las mismas en todos los sistemas inerciales. También podemos enun-
ciarlo como la imposibilidad de distinguir un estado de movimiento uniforme de un estado de
reposo, hecho estrechamente relacionado a la imposibilidad experimental de detectar el espacio
168
absoluto.
Este principio es un postulado, por lo tanto no puede ser demostrado de manera general, no
es un teorema. Śı podemos chequear su validez en distintas situaciones.
Por ejemplo, veamos que la ley de inercia es invariante frente a una TG: si sobre una
part́ıcula no actúan fuerzas, por ley de inercia su velocidad respecto al sistema inercial S
será constante: u = cte. Si hacemos una TG al sistema S′ la velocidad de la part́ıcula
transforma de acuerdoa (14.5), y por lo tanto también será constante en el sistema S′,
u′ = u− V = cte′.
Por otro lado, es un resultado emṕırico que la masa es una propiedad intŕınseca de una
part́ıcula y por lo tanto es invariante frente a una TG. En el caso de fuerzas independientes
de la velocidad, éstas son también invariantes galileanas 84. Esta propiedad junto a la
invariancia de las aceleraciones implica que si la segunda ley de Newton es válida en un
sistema inercial, lo seguirá siendo en todo otro sistema inercial:
F = ma⇒ F ′ = ma′. (14.7)
14.5. Las ecuaciones de Maxwell y la transformación de Galileo
El principio de relatividad galileano trata sobre la mecánica. Esto es aśı porque al momento
de formularse (Galileo, Newton) la mecánica era la única teoŕıa f́ısica madura y consistente. En
el siglo XIX se desarrollan la óptica y el electromagnetismo. En 1864 Maxwell condensa el cono-
cimiento sobre el electromagnetismo en sus famosas leyes y conjetura además que la luz es una
onda electromagnética transversal. Dos décadas después Hertz demuestra experimentalmente la
existencia de ondas electromagnéticas.
El desarrollo de la teoŕıa de Maxwell era espectacular, pero teńıa hab́ıa un par de cosas
inquietantes:
Por un lado, todas las ondas conocidas hasta el momento eran ondas materiales, involucra-
ban el movimiento de part́ıculas (vibraciones de una cuerda, sonido, olas del mar). ¿Qué
era entonces lo que vibraba en una onda electromagnética que era capaz de propagarse en
el vaćıo? ¿Qué hab́ıa en el vaćıo?
Por otro lado, las ecuaciones de Maxwell no son invariantes frente a una transformación
de Galileo (14.3). Por lo tanto, en distintos sistemas inerciales valdŕıan diferentes leyes del
electromagnetismo. Existe una clara violación del principio de relatividad galileano.
Veamos un ejemplo de esto último. Una consecuencia directa de las ecuaciones de Maxwell es
la ecuación de ondas que satisfacen los potenciales 85 y los campos electromagnéticos en el vaćıo,
en regiones libres de fuentes. Por ejemplo, cada componente φ del campo electromagnético o de
los potenciales satisface
∂2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y2
+
∂2φ
∂z2
− 1
c2
∂2φ
∂t2
= 0, (14.8)
84Estas fuerzas dependen solamente de las posiciones relativas entre part́ıculas. Pensá, por ejemplo, en la fuerza
gravitatoria, que depende inversamente de la distancia al cuadrado entre las dos part́ıculas en interacción, o en
la fuerza de Hooke que depende de las posiciones de los dos extremos del resorte. Estas fuerzas que dependen
solamente de las posiciones relativas son invariantes frente a (14.3). Algunas fuerzas que dependen de la velocidad
también son invariantes, por ejemplo, una fuerza viscosa depende de la velocidad relativa del cuerpo respecto al
medio en que se mueve, esa velocidad relativa es invariante galileana. En cambio, en el caso de la fuerza de Lorentz,
para que resulte invariante galileana se necesita redefinir los campos electromagnéticos al pasar del sistema S al
S′, de una manera no consistente con el electromagnetismo de Maxwell.
85Eligiendo un gauge adecuado.
169
donde c = 299792,458 km/s es la velocidad de la luz en el vaćıo. Si la ecuación (14.8) es válida
en el sistema inercial S, en una transformación de Galileo del tipo
x = x′ + V t, y = y′, z = z′, t = t′ (14.9)
la ecuación de onda en el sistema inercial S′ resulta ser
∂2φ̃
∂x′2
+
∂2φ̃
∂y′2
+
∂2φ̃
∂z′2
− 1
c2
∂2φ̃
∂t′2
+
1
c2
(
2V
∂2φ̃
∂x′∂t′
− V 2 ∂
2φ̃
∂x′2
)
= 0, (14.10)
donde hemos definido φ̃(x′, y′, z′, t′) = φ(x′ + V t′, y′, z′, t′) = φ(x, y, z, t). Ambas ecuaciones de
onda son manifiestamente diferentes. Si la solución en el sistema S corresponde, por ejemplo, a
frentes de onda esféricos, en el sistema S′ la solución no tendrá tal simetŕıa esférica.
¿Debemos preocuparnos porque las ecuaciones de Maxwell y sus consecuencias no respeten
el principio de relatividad galileano? Podemos argumentar que no. De hecho si en lugar de ondas
electromagnéticas, estuviésemos hablando de ondas sonoras el resultado es completamente lógico.
Las ondas sonoras no tienen las mismas propiedades respecto a un sistema de referencia en el
cual el aire está en reposo, que respecto a un sistema móvil. Recordemos, por ejemplo, el efecto
Doppler, esto es, el cambio de la frecuencia aparente de una onda cuando observador y fuente se
mueven uno respecto de otro. Se entiende además perfectamente porqué la onda no es invariante
de Galileo: la onda se propaga en un medio y ese medio determina un sistema de referencia
privilegiado, el que está en reposo respecto del mismo. Los otros sistemas de referencia inerciales
no tienen ese privilegio de ver al medio de propagación de la onda en reposo.
Todo esto parećıa indicar que para las ondas electromagnéticas también exist́ıa un sistema
de referencia privilegiado, el sistema en el cual vaĺıan las ecuaciones de Maxwell en su forma
estándard, en el cual la ecuación de ondas teńıa la forma (14.8) y las ondas electromagnéticas
se propagaban con velocidad c. ¿Pero cuál era ese sistema de referencia?
Éter: el hipotético medio de propagación de las ondas electromagnéticas
Para responder a esta última pregunta reaparece en escena el viejo éter, una hipotética sus-
tancia que llenaba todo el espacio del universo. En este caso reaparece para servir de medio de
propagación de las ondas electromagnéticas 86. El éter no se véıa, no se palpaba, era indetec-
table, pero era un fantasma necesario. No era la primera ni fue la última vez que se recurrió a
misteriosas sustancias para explicar fenómenos f́ısicos. Descartes conjeturaba que las acciones
a distancia en realidad eran transmitidas por vórtices de un medio que llenaba el espacio, de
manera análoga Newton pensaba que la gravedad se deb́ıa a un medio elástico, la transmisión
del calor involucraba el transporte de un hipotético fluido calórico que pasaba desde los cuerpos
calientes a los fŕıos. Hoy en d́ıa las cosas no han cambiando tanto: ¡nuestro universo parece estar
repleto de materias y enerǵıas oscuras!
El éter lumı́fero de Maxwell teńıa que ser una sustancia muy extraña. Más allá de que no
era detectable, sus propiedades mecánicas eran sorprendentes. Si una onda material tiene una
alta velocidad, eso implica que el medio es muy ŕıgido, que las interacciones entre sus part́ıculas
son fuertes. Por ejemplo, la velocidad del sonido en el aire es de unos 340 m/s, mientras que en
una barra de aluminio es del orden de 6300 m/s. La velocidad de la luz es enorme, por lo tanto
el éter deb́ıa ser extremadamente ŕıgido, pero al mismo tiempo ser tan tenue que los planetas lo
atravesaban sin sentir para nada su presencia.
86Hasta hace pocas décadas era habitual escuchar a locutores radiales hablando de “ondas en el éter” refiriéndose
a las ondas que llevaban la transmisión de radio hacia los receptores.
170
La idea que prevaleció fue que el éter estaba en reposo respecto a las estrellas fijas. Este
éter revivió las ideas newtonianas del espacio absoluto. Se pod́ıa pensar que finalmente se hab́ıa
encontrado un sistema de referencia privilegiado, aquel en reposo respecto del éter. ¡Resultaba
entonces que el espacio absoluto de Newton era electromagnéticamente distinguible! Lo que
la mecánica no hab́ıa logrado por culpa del principio de relatividad galileano, lo lograba el
electromagnetismo de Maxwell.
Con la invención del éter empieza una afiebrada búsqueda de indicios del movimiento de la
Tierra a través del mismo. Mientras nos basta sacar la cabeza por la ventanilla de un auto para
saber que nos estamos moviendo respecto del aire, no hab́ıa forma de medir el “vientito de éter”.
Los experimentos indicaban que la velocidad de la luz era siempre c, sin importar el movimiento
de las fuentes o de los observadores. Observadores en distintos sistemas de referencia inerciales
no detectaban diferencias, para todos ellos las leyes electromagnéticas parećıan ser las mismas a
pesar de ser la teoŕıa de Maxwellmanifiestamente no invariante de Galileo. ¿Entonces qué? Se
barajaron tres posibilidades:
Las ecuaciones de Maxwell no eran correctas. En tal caso las verdaderas ecuaciones del
electromagnetismo tendŕıan que ser invariantes frente a la transformación de Galileo. Esto
explicaŕıa la imposibilidad de detectar cambios en la velocidad de la luz.
La transformación de Galileo solo aplica a los fenómenos mecánicos. Si aśı ocurriese seŕıa
extraño: para los fenómenos mecánicos es necesario transformar coordenadas espacio-
temporales entre sistemas inerciales de una manera y para fenómenos electromagnéticos,
de otra.
El principio de relatividad basado en la transformación de Galileo era incorrecto. Existe
un principio de relatividad válido para la mecánica y el electromagnetismo que no está
basado en la transformación de Galileo.
Lo más natural era pensar que las recientemente enunciadas ecuaciones de Maxwell eran las
incorrectas, sin embargo finalmente Einstein en 1905 encuentra que la transformación de Galileo
es la equivocada. Esto lleva naturalmente a una profunda reformulación de los conceptos de
espacio y tiempo.
Antes de introducirnos en la teoŕıa de Einstein analicemos el experimento por excelencia que
no logró observar el movimiento de la Tierra a través del éter. Es el experimento de Michelson
y Morley, uno de lo más famosos de la F́ısica.
14.6. Experimento de Michelson y Morley
En 1887 Michelson y Morley intentaron detec-
tar el movimiento de la Tierra a través del éter,
usando para ello el interferómetro que Michelson
hab́ıa perfeccionado unos años atrás. Vale la pena
ilustrar las ideas detrás de este experimento ape-
lando a un experimento con ondas sonoras, el que
nos permitará medir la dirección de movimiento de
un sistema de referencia respecto al aire quieto mediante aplausos y cronómetros.
14.6.1. Un experimento con ondas sonoras
Consideremos una plataforma de longitud L tal que la observadora A está parada en uno
de sus extremos mientras en el otro está parada la observadora B. La plataforma se mueve
171
con velocidad V constante respecto del aire quieto, formando la velocidad un ángulo θ con la
dirección horizontal. Pensemos que las observadoras no tienen forma de saber cuál es su dirección
de movimiento respecto al aire quieto, no pueden “sentir el viento” originado en su movimiento.
Sin embargo, pueden idear un experimento para determinar la dirección en la cual se están
moviendo.
Figura 14.3: Dos observadoras A y B intercambian aplausos para determinar su velocidad res-
pecto del aire en reposo.
La ley de movimiento de la observadora A es (ver figura 14.3):
rA(t) = V t = V t (cos θ, sin θ) , (14.11)
la de la observadora B
rB(t) = (0, L) + V t = (V t cos θ, L+ V t sin θ) . (14.12)
θ es el ángulo que forma la velocidad V con la dirección normal a la plataforma. La observadora
A aplaude en el instante t = 0. Su aplauso tarda un tiempo tA→B en llegar hasta la observadora
B. En dicho instante t = tA→B, B responde el aplauso y éste tarda un tiempo tB→A en llegar
hasta A. El tiempo total transcurrido desde que A aplaudió hasta que escuchó la respuesta de
B será entonces tA→B + tB→A. Las ondas de sonido correspondientes a los aplausos se propagan
con una velocidad vs respecto al aire quieto. Cada intervalo de tiempo es igual a la distancia
recorrida por la onda sonora dividida la velocidad del sonido:
tA→B =
dA→B
vs
=
|rB(tA→B)− rA(0)|
vs
=
√
V 2 t2A→B + 2LV sin θ tA→B + L
2
vs
. (14.13)
tB→A =
dB→A
vs
=
|rA(tA→B + tB→A)− rB(tA→B)|
vs
=
=
√
V 2 t2B→A − 2LV sin θ tB→A + L2
vs
. (14.14)
Las soluciones a estas ecuaciones son
tA→B =
L
vs

V
vs
sin θ +
√
1−
(
V
vs
)2
cos2 θ
1−
(
V
vs
)2
 , (14.15)
tB→A =
L
vs
−
V
vs
sin θ +
√
1−
(
V
vs
)2
cos2 θ
1−
(
V
vs
)2
 . (14.16)
172
El tiempo total del experimento es entonces
TA→A =
2L
vs
×
√
1−
(
V
vs
)2
cos2 θ
1−
(
V
vs
)2 (14.17)
Este tiempo depende tanto del módulo V de la velocidad de la plataforma, como de su dirección
θ. Veamos cómo depende de la dirección. Para ello tomamos como referencia el tiempo que tarda
el experimento cuando la velocidad de la plataforma es paralela a su longitud, es decir, θ = π/2.
A ese tiempo lo llamamos T||.
T (θ)
T||
=
√
1−
(
V
vs
)2
cos2 θ. (14.18)
De esta fórmula deducimos que el mayor intervalo de tiempo entre aplausos ocurre cuando
la plataforma se mueve paralela a su longitud, Tmax = T||. Por otro lado el menor tiempo
corresponde cuando la plataforma se mueve perpendicular a su longitud, es decir θ = 0: Tmin =
T⊥. El cociente entre los tiempos mayor y menor es
Tmax
Tmin
=
T||
T⊥
=
√
1−
(
V
vs
)2
, (14.19)
mientras que la diferencia, bajo la suposición que V � vs es
∆T ≡ Tmax − Tmin ' L
vs
(
V
vs
)2
. (14.20)
Para determinar la dirección de movimiento y la velocidad V de la plataforma respecto del
aire nuestras observadoras pueden medir el tiempo entre aplausos para distintas orientaciones
de la plataforma (de acuerdo a 14.17 solo se necesita girar hasta un ángulo de noventa grados
respecto de la orientación original). La orientación correspondiente al mayor tiempo medido les
dirá que la velocidad V respecto del aire es paralela a la longitud de la plataforma. Por otro
lado, el cociente entre tiempos mayor y menor (o la diferencia entre ambos) les dará el valor de
V (14.19). Notemos que no podrán determinar con este experimento el sentido del movimiento.
14.6.2. Interferómetro de Michelson
Lo que propusieron Michelson y Morley fue un experimento análogo al de las ondas sonoras.
Usaron para ello un interferómetro de Michelson (figura 14.4). En este aparato un haz de luz
monocromática de longitud de onda λ proveniente de la fuente es dividido en dos mediante un
espejo semiplateado. Los haces forman un ángulo de noventa grados al salir del beam splitter, y
recorren dos “plataformas” perpendiculares (los denominados brazos del interferómetro, que en
el experimento de Michelson y Morley teńıa cada uno once metros de longitud). En el extremo
de cada brazo el haz de luz rebota en un espejo y regresa al splitter. Los dos haces se recombinan
parcialmente antes de llegar a una pantalla o lente. Debido al carácter ondulatorio de la luz los
haces recombinados presentarán un patrón de interferencia, el cual dependerá de la diferencia
de camino óptico 87. Los casos extremos ocurrirán cuando los caminos ópticos difieran en un
número entero de λ (los haces llegan en fase y habrá interferencia constructiva) y cuando difieran
87El camino óptico es la distancia recorrida por el ı́ndice de refracción Λ = dn = dc
v
= tiempo× c.
173
en un número semientero (haces en contrafase, esto es interferencia completamente destructiva).
Suponiendo que las longitudes L de ambos brazos son idénticas, los tiempos que tarda la luz en
recorrerlos dependerá de la orientación de los mismos. Usando la ecuación (14.17) tenemos
Tbrazo =
2L
c
×
√
1−
(
VT
c
)2
cos2 θ
1−
(
VT
c
)2 , (14.21)
donde c es la velocidad de la luz en un sistema solidario al éter, VT es la velocidad de la Tierra
respecto del éter y θ es el ángulo que forma VT con la dirección normal al brazo. Si a uno de
los brazos corresponde el ángulo θ, al otro le corresponderá el ángulo θ + π2 . Por lo tanto, la
diferencia de tiempos entre los dos brazos, suponiendo que VT � c, es
∆T ' L
c
(
VT
c
)2
cos(2θ). (14.22)
Por lo tanto, la diferencia de caminos ópticos es
∆Λ = c∆T = L
(
VT
c
)2
cos(2θ). (14.23)
Figura 14.4: Interferómetro de Michelson (pág. 507 Morin).
Rotando el interferómetro cambiaba su orientación respecto del éter (ángulo θ) y, por ende,
cambiaba la velocidad relativa de la luz respecto de los brazos y la diferencia ∆Λ entre los dos
caminos ópticos. Michelson y Morley esperaban encontrar cambios de la luminosidad en el centro
de la lente o pantalla (el patrón de interferencia cambia con ∆Λ/λ). Según sus estimaciones (la
más cŕıtica era suponer que VT ' velocidadde la Tierra respecto al Sol) el cambio máximo de
camino óptico era del orden de 2×10−7 m, esto es un tercio aproximadamente de la longitud de
onda del haz visible utilizado (λ = 6× 10−7 m para la luz amarilla del sodio). El interferómetro
de Michelson teńıa la precisión necesaria para detectar tales cambios.
174
14.6.3. Resultados del experimento de Michelson-Morley
Nada. No detectaron ningún movimiento de la Tierra respecto del éter. La velocidad de la
luz siempre era c, al rotar el interferómetro no apreciaban ningún cambio de caminos ópticos.
Figura 14.5: Fragmento del paper original de Michelson y Morley (1887).
14.6.4. Interpretaciones del resultado negativo del experimento de Michelson y
Morley
Hubo varios intentos para explicar el resultado negativo del experimento de Michelson y
Morley 88. Algunos muy ingeniosos.
Se supuso que en el momento en que se hizo el experimento la Tierra estaba moviéndose
(de casualidad) a velocidad muy pequeña respecto al éter, por lo tanto las diferencias
de caminos ópticos eran despreciables. Si esto fuese aśı, pasados seis meses la Tierra se
estará moviéndose en la dirección contraria, con una velocidad respecto al éter posible de
detectarse en el interferómetro. Seis meses después tampoco se detectó nada.
La Tierra arrastra una capa de éter a medida que se mueve, seŕıa análogo a pensar que en
el experimento sonoro la plataforma arrastrase una capa de aire en su movimiento, y por lo
tanto los aplausos van y vienen en aire en reposo. Esto era incompatible con el fenómeno
de aberracción estelar, explicado en 1728. La aberración estelar es el cambio aparente
de posición de una estrella debido al movimiento de la Tierra alrededor del Sol. Por las
dudas, se llevó el interferómetro a mayores alturas, al observatorio del Monte Wilson (1740
metros sobre el nivel del mar), suponiéndose que a mayor altura menos capa de éter era
arrastrada. El resultado siguió siendo negativo.
En un intento desesperado FitzGerald propone en 1889 que las longitudes de los brazos
se contraen en la dirección del movimiento en un factor
√
1−
(
VT
c
)2
. De esta manera se
explica el cambio nulo de los caminos ópticos, pero FitzGerald no dió argumentos f́ısicos
del porqué de dicha contracción. Unos años después Lorentz propone una explicación
electromagnética sobre tal contracción.
14.7. Postulados de la relatividad especial
En 1905 89 Einstein publica el trabajo Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento,
en el que presenta una nueva teoŕıa de la relatividad, la relatividad especial, a partir de dos
postulados. Estos postulados implican una profunda revisión de los conceptos newtonianos de
espacio y tiempo.
88Recomendamos el libro de Born “Teoŕıa de la relatividad de Einstein”, donde desarrolla algunos de estos
intentos.
891905 es el llamado año maravilloso de Einstein. En ese año publica cinco trabajos muy importantes (efecto
fotoeléctrico, movimiento browniano, tamaño de las moléculas y relatividad especial). En nuestro contexto actual
de pandemia no olvidemos que Newton tuvo su año maravilloso en 1666, cuando debió recluirse en su casa debido
al cierre de la Universidad por un brote de peste bubónica.
175
Postulado 1: Principio de relatividad
Todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes. Esto significa que las leyes de
la F́ısica son las mismas para todos los observadores inerciales.
Un principio de relatividad nos permite relacionar la descripción de fenómenos naturales
hecha por distintos observadores. Mientras el de Galileo solo involucraba a los fenómenos
mecánicos, Einstein generaliza la equivalencia de los sistemas inerciales para todas las
leyes de la F́ısica. De acuerdo a Einstein todas las leyes f́ısicas tienen la misma expresión
matemática en todos los sistemas inerciales. Como las ecuaciones de Maxwell son parte de
las leyes de la F́ısica y vimos que no son invariantes frente a la transformación de Galileo,
este postulado nos dice entonces que la transformación entre sistemas inerciales no puede
ser la de Galileo.
El principio de relatividad extendido a toda la F́ısica implica que no existen sistemas de
referencia especiales, no existe el espacio absoluto, no existe el éter. Las ondas electro-
magnéticas se propagan entonces en el vaćıo sin necesidad de ningún soporte material. Sin
embargo, según este postulado los sistemas inerciales siguen teniendo un status privile-
giado, para ellos vale el principio de relatividad, para los otros no. Como ya dijimos, los
sistemas inerciales en la relatividad especial (como en la mecánica de Newton) constituyen
un estándar o “absoluto” de movimiento. En la relatividad general Einstein quita este
privilegio a los sistemas inerciales, postulando la invariancia de la forma de las leyes de la
F́ısica (covariancia de las leyes) respecto a cualquier sistema de referencia.
Postulado 2: Constancia de la velocidad de la luz
La velocidad de la luz c = 299792,458 km/s toma el mismo valor en cualquier sistema
inercial.
Este postulado claramente es incompatible con la ley galileana de adición de las velocida-
des: si un observador mide que un objeto se mueve con velocidad u, entonces un segundo
observador inercial moviéndose con velocidad V respecto al primero, dirá que el objeto
se mueve con velocidad u′ = u − V . La existencia de una velocidad universal, que es la
misma para todos los observadores, es algo imposible de conciliar con la mecánica clásica
de Newton. Como velocidad ∝ distanciatiempo la constancia de c implica la reformulación de las
propiedades del espacio y del tiempo.
Eventos
Antes de pasar a las consecuencias de los dos postulados, vamos a repetir la definición de
un evento. Un evento es un suceso f́ısico, algo que pasa, en un instante espećıfico de tiempo
y en un punto espećıfico del espacio. Habiendo elegido un sistema de referencia y un reloj que
mide tiempos, entonces un evento está caracterizado por un instante de tiempo t y un punto del
espacio de coordenadas x, y, z. Un evento puede ser un flash de luz emitido por una linterna, la
llegada de un rayo de luz a un espejo, una persona iniciando una caminata, etc. etc.
Si consideramos dos eventos, el evento 1 y el evento 2, definimos naturalmente el intervalo
de tiempo que transcurrió entre esos dos eventos como
∆t ≡ t2 − t1 (14.24)
176
y el desplazamiento de las coordenadas espaciales como
∆x ≡ x2 − x1, (14.25)
∆y ≡ y2 − y1, (14.26)
∆z ≡ z2 − z1. (14.27)
14.8. Efectos fundamentales de la relatividad especial (Morin 11.3)
A continuación deducimos a partir de los dos postulados los denominados efectos fundamenta-
les de la relatividad especial. Para ilustrar estos efectos usaremos ejemplos muy simples de rayos
de luz, espejos, trenes en movimiento y andenes. Estos efectos serán utilizados más adelante para
deducir la transformación de Lorentz, la cual relaciona las coordenadas espaciales-temporales de
un evento referidas a dos sistemas inerciales en movimiento relativo.
14.8.1. Pérdida de la simultaneidad
Dos eventos para un observador son simultáneos cuando ocurren en el mismo instante, es
decir
∆t = 0.
En la mecánica no relativista si dos eventos son simultáneos para un observador lo serán para
cualquier otro observador, ∆t = 0 ⇒ ∆t′ = 0, independientemente de su movimiento. Vea-
mos que el postulado de la constancia de la velocidad de la luz resulta en que el concepto de
simultaneidad se vuelve dependiente del sistema de referencia.
Figura 14.6: Haces dirigiéndose hacia los detectores desde el punto de vista de A.
Consideremos que en el sistema solidario al observador A de la figura 14.6 se coloca una
fuente de luz en el punto medio entre dos detectores, cada uno a distancia L′/2 de la fuente.
Detectores y fuente de luz son solidarios al sistema A. La fuente emite un flash. Desde el punto
de vista de A la luz llega a los dos detectores un tiempo tA = L
′/2c luego del flash. ¿Qué es
lo que ve el observador B, que viajahacia la izquierda con velocidad V ? Veamos la figura 14.7.
Desde el punto de vista de B los detectores se mueven hacia la derecha, mientras los haces de
luz se mueven a derecha e izquierda con velocidad c (segundo postulado). Por lo tanto, para B
el detector de la izquierda va al encuentro de la luz, mientras el de la derecha se aleja del haz.
177
Figura 14.7: Haces dirigiéndose hacia los detectores desde el punto de vista de B.
La velocidad relativa del haz que va hacia la izquierda respecto del detector izquierdo es c+ V ,
mientras que la velocidad relativa del haz de la derecha respecto del detector derecho es c− V .
Sea L/2 la distancia inicial entre fuente y detectores medida por B. Notemos que estamos
permitiendo que las distancias L y L′ difieran (veremos luego que efectivamente no son iguales);
por otro lado, por homogeneidad del espacio, si respecto del observador A la fuente está en el
medio del vagón, también estará en el medio respecto del observador B (es decir, no cambian
las proporciones). El tiempo que tarda la luz, según B, en llegar al detector izquierdo es
tI =
L
2(c+ V )
, (14.28)
mientras que la luz llegará al detector derecho en el tiempo
tD =
L
2(c− V ) . (14.29)
¡Los tiempos no coinciden, tI 6= tD! Para visualizar mejor, pensemos que unido a cada detector
hay un reloj en penumbras y cuando la luz llega al detector el reloj se ilumina y podemos ver
la hora que indica. Por lo tanto estamos encontrando que para el observador A ambos relojes
(izquierda y derecha) se iluminan simultáneamente. Por otro lado, el observador B primero
observa que se ilumina el reloj izquierdo y solo un rato tD− tI después ve al derecho iluminarse.
Como consecuencia de la constancia de la velocidad de la luz la simultaneidad de dos eventos
pasa a ser una propiedad dependiente del sistema de referencia. Los observadores en distintos
sistemas no se pondrán de acuerdo cuándo dos eventos son o no simultáneos.
¿Qué pasa con este efecto de pérdida de simultaneidad si reemplazamos la fuente de luz por
una persona arrojando pelotas que obedecen la ley galileana de adición de velocidades?
Nota importante: existe una diferencia entre el instante en el cual ocurre un evento y el
instante en el que alguien ve al evento suceder. Esto es aśı porque la luz se propaga con una
velocidad finita, por lo tanto la información del evento llega al observador un rato después que
ocurrió. En la teoŕıa de la relatividad no estamos interesados en calcular los instantes en que
la luz llega al observador (salvo cuando se analiza el efecto Doppler) y se entera entonces de
eventos pasados. Todos los instantes serán aquellos en los cuales ocurren los eventos. Los efec-
tos fundamentales no tienen que ver con un efecto de “retardo” de la información de llegar al
178
observador. Podemos considerar que nuestros observadores son seres ubicuos, que se enteran
instantáneamente de cualquier evento que ocurre. Supondremos que todo sistema de referencia
inercial viene equipado con una red de relojes, uno por cada punto del espacio, sincronizados
entre śı. Con estos relojes nuestro observador ubicuo conoce al instante los tiempos de cada
evento que ocurre.
En los experimentos con luces y relojes, cada vez que se ilumine un reloj todos los obser-
vadores coincidirán en cuál es la posición de sus agujas (¡ven el mismo objeto!). En el ejemplo
de antes, como los relojes son solidarios al sistema de A están sincronizados respecto de dicho
observador. Cuando A los vea iluminarse, simultáneamente, leerá la misma hora en ambos relo-
jes, digamos la 12 y 10. En cambio B observará que primero se ilumina el reloj de la izquierda,
marcando por supuesto la 12 y 10, y solo un rato después se iluminará el reloj de la derecha,
marcando también 12 y 10. Por lo tanto B dirá que el reloj de la izquierda adelanta.
Ejemplo 14.1. El reloj de atrás adelanta
Dos relojes están en los extremos de un vagón de longitud L′ (respecto al sistema solidario al
vagón). Los relojes están sincronizados respecto al sistema solidario al tren. El tren se mueve
hacia la derecha con velocidad V respecto a nosotros, que estamos en el andén. Si miramos
al mismo tiempo los relojes del tren veremos que el reloj de atrás (el del extremo izquierdo)
adelanta respecto del reloj de la derecha (ver figura 14.8). Para nosotros no están sincronizados
los relojes. ¿Cuánto tiempo adelanta?
Figura 14.8: Relojes sincronizados respecto del tren no lo están para nosotros que estamos
parados en el andén. L′ es la longitud del vagón respecto a un observador solidario al mismo.
Para responder, consideremos que ubicamos una fuente de luz a una distancia del extremo
derecho tal que la luz llegue a ambos extremos simultáneamente para nosotros. La velocidad
relativa de la luz respecto a los extremos izquierdo y derecho, para nosotros, es como antes c+V
y c − V . Si la longitud del tren que medimos es L, ubicamos la fuente a una distancia LI del
extremo izquierdo (LD respecto del derecho, tal que LD +LI = L) para que ambos haces lleguen
simultáneamente a los relojes. Es decir, pedimos
tI =
LI
c+ V
=
LD
c− V = tD. (14.30)
179
Figura 14.9: La fuente debe ser ubicada en las distancias indicadas respecto del observador
solidario al vagón, para que nosotros, que estamos en el andén, veamos a los haces de luz llegar
simultáneamente a ambos relojes.
Por lo tanto,
LI
LD
=
c+ V
c− V ⇒ LI =
c+ V
2c
L, LD =
c− V
2c
L. (14.31)
Antes dijimos que en relatividad especial las longitudes medidas por distintos observadores
pueden ser diferentes, sin embargo, acepten por ahora que la proporción entre dos longitudes
se mantiene invariante (debido a la homogeneidad del espacio). Es decir, LI/LD = L
′
I/L
′
D.
Como L′I + L
′
D = L
′ entonces las distancias de los relojes respecto al observador en el tren
son las indicadas en la figura 14.9. Respecto a dicho observador la luz llegará en el tiempo
t′D =
L′D
c =
c−V
2c2
L′ al reloj de la derecha y en el tiempo t′I =
L′I
c =
c+V
2c2
L′ al reloj de la izquierda.
Como los relojes están fijos respecto del tren, cuando se iluminen porque les llegó el haz de
luz, indicarán los tiempos t′D y t
′
I calculados arriba. Recordemos que para nosotros los relojes se
iluminarán simultáneamente, y veremos entonces que el reloj de atrás adelanta un intervalo
Tiempo que adelante = t′I − t′D =
c+ V
2c2
L′ − c− V
2c2
L′ =
V
c2
L′. (14.32)
Longitudes transversales al movimiento relativo no cambian
Demostraremos esta propiedad por el absurdo. Imaginemos un vagón cuyas ruedas
están diseñadas para estar exactamente sobre los rieles cuando el vagón está en reposo.
Si un observador inercial solidario al andén midiese una longitud de los ejes que unen
las ruedas menor al que mide un observador solidario al vagón, entonces notaŕıa que
a medida que aumenta la velocidad del tren la distancia entre las ruedas se achica, y
éstas caerán de los rieles hacia adentro (figura 14.10A). Por principio de relatividad el
observador solidario al vagón veŕıa entonces que la distancia entre rieles disminuye a
medida que aumenta la velocidad del piso, por lo tanto verá que las ruedas del vagón
caen de los rieles hacia afuera (figura 14.10B). Los dos observadores veŕıan al tren
descarrilar, sin embargo, cuando se investiguen las causas de tal accidente no podrá
ser que las ruedas al mismo tiempo hayan cáıdo hacia adentro y hacia afuera de los
rieles. Es un absurdo. Por lo tanto ambos observadores coincidirán en que la distancia
entre las ruedas, perpendicular al movimiento relativo entre ambos, es la misma. El
problema 11.1 del Morin presenta una demostración alternativa de esta propiedad.
180
Figura 14.10: Argumento del tren para demostrar que dos observadores inerciales miden las
mismas longitudes perpendiculares a la dirección en que se mueve un sistema respecto del otro
(De Spacetime Physics de Taylor y Wheeler).
14.8.2. Dilatación del tiempo
Consideremos un reloj de luz, consistenteen un haz que
rebota entre dos espejos, uno en el piso y otro en el techo
de un vagón. Para un observador A solidario al vagón el
peŕıodo de este reloj es
tA =
2h
c
, (14.33)
donde h es la altura del vagón. Más arriba demostramos
que las longitudes perpendiculares al movimiento relativo
son iguales para ambos sistemas de referencia, por lo tanto
la altura del vagón es h tanto para el observador A como
para el B.
Reloj de luz respecto al observador
solidario al tren.
El observador B solidario al andén ve que el tren se mueve hacia la derecha con velocidad
v, y en un peŕıodo la luz tiene la trayectoria ilustrada en la figura 14.11. La velocidad de la luz
es c también para B, por lo tanto, si queremos conocer el tiempo que tardará para B en subir y
bajar el haz debemos usar Pitágoras 90 (figura 14.12) para obtener la proyección de la velocidad
de la luz en la dirección vertical,
√
c2 − v2.
Por lo tanto, para B el tiempo que tarda el haz en subir y bajar es
tB =
2h√
c2 − v2
=
2h
c
× 1√
1−
(
v
c
)2 . (14.34)
¡Obtenemos entonces que el tiempo que tarda este reloj de luz en realizar un ciclo es distinto
respecto a los dos observadores! Tenemos
tB = γtA, (14.35)
90El uso de Pitágoras nos dice que estamos haciendo una suposición muy importante sobre el espacio: es un
espacio eucĺıdeo, en el que vale el teorema de Pitágoras. En un espacio curvo deja de ser cierto.
181
Figura 14.11: Reloj de luz respecto al observador solidario al andén.
Figura 14.12: Velocidad del haz respecto al observador solidario al andén. El espacio es eucĺıdeo,
podemos usar entonces el teorema de Pitágoras.
donde el factor γ es una cantidad, dependiente de la velocidad v y siempre mayor o igual a 1,
que volveremos a encontrar innumerables veces:
γ ≡ 1√
1−
(
v
c
)2 . (14.36)
¿Qué significa que tB = γtA? Pensemos que para el observador A el tiempo tA es igual a un
segundo, es decir, de acuerdo a su propio reloj pasó un segundo desde que el haz salió del piso y
volvió al mismo lugar, tras reflejarse en el techo. Como γ ≥ 1, para el observador B el intervalo
de tiempo que transcurrió entre estos dos eventos respecto a su propio reloj (evento 1: sale el
haz del piso, evento 2: regresa el haz al piso) es mayor a un segundo. Por supuesto que todos
los observadores coinciden en que ocurrieron esos dos eventos (la relatividad especial desaf́ıa el
sentido común, pero no tanto: todo el mundo ve los mismos eventos), pero para el observador B
ocurrieron más lentamente que para el observador A. γ puede ser extremadamente grande, por
lo tanto es posible que lo que para A ocurre en un segundo, para B ocurra en un minuto o un mes
182
o un siglo, según sea la velocidad de A respecto de B. Este fenómeno se llama dilatación del
tiempo. Para visualizar mejor, consideremos que cada vez que el haz llega al piso el observador
A aplaude. A se escucha aplaudir a un ritmo normal. El observador B por supuesto que verá a
A aplaudiendo, pero dirá que lo hace como en cámara lenta. Esto aplica también a los procesos
fisiológicos de A (latidos de su corazón, parpadeos, procesos qúımicos en sus células, etc.), por
lo tanto desde el punto de vista de B el observador A está envejeciendo más lentamente. Por el
primer postulado de la relatividad, los fenómenos f́ısicos son los mismos en todos los sistemas de
referencia inerciales: si B arma su propio reloj de luz, A verá que el tiempo que demora un ciclo
en completarse es γ veces mayor que el tiempo que mide el propio B. Por lo tanto, podemos
decir que A por su lado vé que B envejece más lentamente. Esto parece paradójico, y la famosa
paradoja de los gemelos está ı́ntimamente relacionada con la dilatación del tiempo.
El fenómeno de dilatación del tiempo se comprende plenamente dentro del contexto de la
relatividad general (teoŕıa que permite resolver la paradoja de los gemelos) y es un fenómeno
real, no es una “ilusión”. De hecho la dilatación del tiempo permite explicar ciertos fenómenos
que, en principio, tendŕıan una probabilidad despreciable de ocurrir, como la presencia de muo-
nes sobre la superficie terrestre. Por otro lado, a escala humana se ha medido la dilatación del
tiempo mediante relojes atómicos a bordo de aviones comerciales que circunvalaron la Tierra,
a escala humana las diferencias de tiempo medidas son extremadamente pequeñas (diferencias
del orden de unas decenas de nanosegundos cuando se da una vuelta completa a la Tierra), de
ah́ı la necesidad de usar relojes atómicos para medirlas.
Cuidado: con la transformación de Lorentz veremos que la relación entre tiempos tB = γtA
es válida cuando tA y tB refieren a intervalos de tiempo entre dos eventos que ocurren en el
mismo punto del espacio respecto al observador A.
En nuestro ejemplo efectivamente tA mide el tiempo que pasó desde que el haz partió del
piso hasta que regresó al mismo punto de partida respecto de A. Si consideramos que el haz no
vuelve al mismo punto de partida respecto de A no sabemos todav́ıa como calcular la velocidad
horizontal del haz respecto de B. En nuestro ejemplo conocemos tal velocidad (V ) gracias a que
el haz es vertical respecto de A.
El intervalo de tiempo entre dos eventos que mide el observador inercial para el cual
ambos ocurren en el mismo punto del espacio se denomina tiempo propio entre los
dos eventos. Por dilatación del tiempo el intervalo de tiempo entre dos eventos medidos
por cualquier observador inercial es siempre mayor o igual al tiempo propio.
Ejemplo 14.2. Decaimiento del muón
El muón es una part́ıcula elemental con una carga negativa como el electrón pero con una masa
200 veces mayor. Es creado en la atmósfera alta cuando rayos cósmicos colisionan con moléculas
de aire. El muón tiene un tiempo de vida media de τ = 2 × 10−6 s (decae en un electrón y un
neutrino) y se mueve a velocidades cercanas a la de la luz. Supongamos que un muón es creado
a 50 kms de altura y tiene una velocidad v = 0,9998c. Si un muón vive exactamente un tiempo
τ y se dirige hacia la Tierra, ¿la alcanzará?
Si hacemos las cuentas a lo Newton, vemos que la distancia que recorrerá el muón en su
tiempo de vida es
dNewton = v × τ = 600m. (14.37)
Diŕıamos entonces que es imposible que el muón llegue a la superficie terrestre. Sin embargo,
en la relatividad especial el resultado cambia. El tiempo τ es el tiempo de vida media respecto
183
de un sistema de referencia solidario al muón, es el tiempo de vida media desde el punto de
vista del muón. Los dos eventos que determinan la duración de la vida del muón (creación y
decaimiento) ocurren en el mismo punto respecto del sistema muón. Por lo tanto τ es el tiempo
propio de vida. Como dicha sistema se está moviendo a una velocidad v respecto de la Tierra,
para nosotros el tiempo de vida del muón será
tTierra = γ(v)× τ = 3,2× 10−4s. (14.38)
La distancia recorrida entonces, desde nuestro sistema inercial, es
dEinstein = v × tTierra = 100kms. (14.39)
Es decir, al muón le sobra tiempo para llegar a la Tierra. De hecho, son observados sobre la
Tierra.
14.8.3. Contracción de la longitud
Consideremos ahora un reloj de luz horizontal. El observador A es solidario a un vagón de
longitud L′ respecto a A y que se mueve hacia la derecha con velocidad V respecto del observador
B. En el extremo izquierdo del vagón una fuente de luz emite un haz de luz que es reflejado por
un espejo en el extremo derecho. Desde el punto de vista de A el tiempo que tarda el haz en
salir de la fuente y regresar al extremo izquierdo es (figura 14.13)
tA =
2L′
c
. (14.40)
Por otro lado desde el punto de vista del observador B (figura 14.14) la longitud del vagón es L
y la velocidad relativa del haz respecto del extremo derecho es c− V , mientras que respecto del
extremo izquierdo es c+ V . Por lo tanto, el tiempo que tarda para completar un ida y vuelta es
tB =
L
c− V +
L
c+ V
=
2c
c2 − V 2L =
2L
c
γ2. (14.41)
Figura 14.13: Reloj de luz horizontal desde el punto de vista del observadorA solidario al tren.
Los dos eventos (evento 1: sale el haz de la fuente, evento 2: regresa el haz al punto de
partida) ocurren en el mismo punto respecto de A, por lo tanto podemos aplicar la fórmula de
la dilatación de la longitud:
tB = γtA. (14.42)
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	Relatividad especial: Introducción, postulados y efectos fundamentales
	Espacio y tiempo absolutos
	Sistemas de referencia inerciales
	Transformación de Galileo
	Principio de relatividad galileano
	Las ecuaciones de Maxwell y la transformación de Galileo
	Experimento de Michelson y Morley
	Un experimento con ondas sonoras
	Interferómetro de Michelson
	Resultados del experimento de Michelson-Morley
	Interpretaciones del resultado negativo del experimento de Michelson y Morley
	Postulados de la relatividad especial
	Efectos fundamentales de la relatividad especial (Morin 11.3)
	Pérdida de la simultaneidad
	Dilatación del tiempo
	Contracción de la longitud
	pbs@ARFix@159: 
	pbs@ARFix@160: 
	pbs@ARFix@161: 
	pbs@ARFix@162: 
	pbs@ARFix@163: 
	pbs@ARFix@164: 
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	pbs@ARFix@184: