sistema de referencia y de coordenadas

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6-SISTEMAS DE REFERENCIA Y 
SISTEMAS DE COORDENADAS 
6.1 SISTEMAS DE REFERENCIA 
6.2 SISTEMAS DE COORDENADAS 
6.3 CONFIGURACIÓN DE UN SISTEMA FÍSICO 
6.4 SISTEMAS FÍSICOS EN MOVIMIENTO 
6.5 CINEMÁTICA ELEMENTAL DE LA PARTÍCULA 
6.1 Sistemas de referencia 
En mecánica se entiende por movimiento el cambio con el 
tiempo de la posición espacial de un cuerpo. La posición del 
cuerpo en cuestión es una p o s i c i ó n r e l a t i v a , definida con 
relación a otros cuerpos. El concepto de posición absoluta, 
que seria la posición de un cuerpo en un "espacio absoluto", 
sin ninguna referencia a los otros cuerpos, carece de 
sentido. Un conjunto de cuerpos gue permanecen en reposo 
r e l a t i v o y gue se u t i l i z a n como referencia para es tud ia r el 
movimiento de ot ros cuerpos es llamado alaterna de 
r e f e r e n c i a . Asi, al estudiar los movimientos que ocurren en 
la superficie de la Tierra, se acepta el entorno local-una 
colección de objetos ligados a la Tierra en reposo relativo-
como el sistema de referencia para observar y medir los 
cambios de posición de los otros cuerpos. (3,6) 
Carece de sentido afirmar que dos eventos diferentes y 
no simultáneos se producen en vm único y mismo pvmto del 
espacio si no se precisa el sistema de referencia utilizado. 
Sea, por ejemplo, un hombre que viaja en el interior de vm 
vehículo en movimiento; en un instante dado, el hombre saca 
un libro de su maletín, y al cabo de un rato lo coloca de 
nuevo en e l miamo l u g a r . Puede decirse que las dos acciones 
han ocurrido en el mismo lugar si se ha escogido el interior 
del vehículo como sistema de referencia. Pero si se ha 
escogido la superficie de la Tierra como sistema de 
referencia, los dos eventos en cuestión ocurren en lugares 
diferentes. ( ¿ Carece también de sentido afirmar que dos 
sucesos que ocurren en lugares diferentes son simultáneos si 
no se precisa el sistema de referencia utilizado? ) (6,4) 
Un sistema de referencia se supone siempre dotado de vm 
conjvmto de v a r i l l a a r l g l d a a para medir longitudes y de un 
conjunto de r e l o j e a para medir intervalos de tiempo. 
Por reloj entendemos todo cuerpo o sistema de cuerpos 
que sea la base de un proceso periódico utilizado para medir 
el tiempo. Como ejemplos de procesos periódicos se pueden 
IZ 
citar las oscilaciones de amplitud constante de un péndulo, 
la rotación de la Tierra alrededor de su eje con relación al 
Sol o a una estrella, las oscilaciones de vm átomo que 
pertenece a una red cristalina, etc. 
Es claro que la escogencia de un sistema particular de 
referencia a l estudiar el movimiento de un objeto es asunto 
de gusto o v-:onveniencia, pero es a menudo ventajoso usar un 
sistema de referencia en el cual la descripción del 
movimiento sea más simple. (6) 
6.2 Sistemas de coordenadas 
Ahora bien. para realizar mediciones de 
desplazamiento en un sistema de referencia, 
definir un a l a t e r n a de c o o r d e n a d a a de algún tipo, 
de coordenadaa . Como el espacio de nuestra exper 
tres dimensiones debemos en general espec 
cantidades separadas para establecer la posición 
con respecto al origen escogido. La elección de 
coordenadas y de su origen depende del problema 
entre manos. 
posición y 
es preciso 
y un o r i g e n 
iencia tiene 
ificar tres 
de un punto 
1 sistema de 
que se tenga 
Si ligamos al sistema de 
referencia un conjunto de tree 
ejes perpendiculares entre si, 
la posición de una partícula 
puede ser definida por tres 
números que son las 
coordenadas x,y,z dol pvmto 
ocupado por ella. Estas 
coordenadas pueden combinarse 
para definir el vec to r de 
p o s i c i ó n *? -un segmento de 
recta trazado desde el origen 
de coordenadas h a e t a el pvmto 
considerado. 
Las coordenadas x,y,z son las proyecciones del vector 
de posición sobre los tres ejes coordenados. Así, se 
escribirá 
? = xt + yJ + zJ 
donde i, 3*1 k son los v e c t o r e s u n i t a r i o s orientados a lo 
largo de los ejes X,Y,Z. Este sistema de coordenadas 
ortogonales es denominado sistema de coordenadas c a r t e s i a n a s 
y se escoge casi siempre d e x t r ó g l r o o de mano derecha; es 
decir, los 
relaciones: 
vectores unitarios cumplen las siguientes 
1.5=0 
5-1t=o 
-6.1=0 
í.l=i 
l.í=i 
i.ti 
relaciones de ortonormalidad 
13 
; -
lxí=0 
r=o 
E=0 
ixh=k 
'jXK=í 
lxt=3' 
relaciones que definen el 
carácter dextróglro de la 
terna de verseros *!, J , "%. 
Se puede estudiar la posición de una partícula en el 
espacio tridimensional usando otros sistemas de coordenadas, 
siendo de muy amplio uso en física e ingeniería las 
coordenadas esféricas y las coordenadas cilindricas. La 
localización de un punto sobre la superficie de una esfera 
muestra la aplicación más elemental de las coordenadas 
esféricas. *'> 
Coordenadas Esféricas 
(r,« ,9) 
Coordenadas Cilindricas 
(R.9 . z) 
Y 
Punto localizado por coordenadas 
angulares (longitud y latitud) 
sobre una esfera. 
Cuando la partícula está confinada a moverse en un 
plano, el vector do posición r puode expresarse por medio de 
dos coordenadas cartesianas (x,y) o por medio de las 
coordenadas polares (r,©). , _ / 
Y ' 
—í -
1 
-+-"Jx^ -j- i— 
4-i-4- i-l- ' 
-h-14-iH-t- ---
Coordenadas cartesianas 
planas 
> v̂ 
Coordenadas polares 
planas 
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6.3 Configuración de un sistema físico 
Consideremos un sistema físico formado por un número 
cualquiera de partículas, y un sistema de referencia dotado 
de vm sistema de coordenadas cartesianas OXYZ con respecto 
del cual se hacen las mediciones de los cambios sufridos por 
el sietema físico. Se denomina c o n f i g u r a c i ó n del sistema 
material al conjunto de las posiciones relativas de las 
diversas partículas entre sí. (1) 
Sean IPI , rj los vectores 
de posición de dos partículas 
cualesquiera del sistema con 
respecto del origen del 
sistema de referencia elegido; 
el vector de posición de la 
partícula J con respecto de la 
partícula i, rji, estará dada 
por la expresión 
rj 1 = rj - ri . 
En esta forma, si se conoce la posición de todas las 
partículas del sistema en un instante dado con respecto al 
origen del sistema de referencia, se conoce la configuración 
del sistema - el conjunto de posiciones relativas l ^ j í - en 
ese instante. Es claro, además, que "?ji = -̂ fij en el mismo 
instante. 
6.4 Sistenas físicos en movimiento 
El estudio del movimiento de un sistema en su aspecto 
puramente geométrico, procediendo a su descripción sin 
considerar los efectos de movimiento que surgen de la acción 
mutua entre los cuerpos, se denomina C i n e m á t i c a . Cuando la 
acción mutua entre los cuerpos es tomada en cuenta, la 
ciencia del movimiento es llamada C i n é t i c a , y cuando se le 
dedica especial atención a la fuerza como causa de los 
cambios en el movimiento, es llamada D inámica . (1) 
Para describir el movimiento de un sistema material es 
preciso considerar, por un lado, los cambios que se suceden 
en la configuración del sistema al transcurrir el tiempo 
(expansiones, contracciones, flujos, acercamientos, 
rotaciones), y por otro, su movimiento como un todo con 
respecto del sistema de referencia elegido. 
La partícula constituye el sistema material más simple 
del cual podemos estudiar su movimiento: puesto que carece 
de partes, o lo que es lo mismo, las distancias entre sue 
partes no entran en consideración, únicamente efectúa un 
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movimiento de t r a n s l a c i ó n - las partículas sólo se 
transladan en el espacio, y carece de sentido decir que una 
partícula rota o se deforma. 
Cuando el sistema físico en estudio puede tratarse como 
un cuerpo rígido, no cambian las posiciones relativas de las 
partículas que lo conforman, y en consecuencia, además de 
transladarao, puede efectuar movimientos de r o t a c i ó n 
alrededor de algún eje - translación y rotación son los 
movimientos característicos de los cuerpos rígidos. 
Los sólidos deformables y los fluidos pueden además 
sufrir deformaciones - sólidos quese dilatan y contraen, 
gases que se expanden, líquidos que se derraman. Mas, como 
todo sistema físico puede pensarse como un sistema de 
partículas (discreto o continuo), el estudio del movimiento 
de una partícula es el primer paso en el estudio del 
movimiento de los sistemas físicos. 
6.5 Cinemática elemental de la partícula 
Al estudiar el movimiento 
de una partícula material con 
respecto a un sistema de 
referencia, se define su 
posición en el instante t 
mediante el vector de posición 
"rít), el cual varía con el 
tiempo al moverse la 
partícula. 
' X . 
En cada instante de tiempo la partícula ocupa una 
posición l̂ ít) en el espacio tridimensional euclidiano. El 
conjunto de todos los puntos extremos del vector "FCt) 
constituye la t r a y e c t o r i a de la partícula. 
Ahora, si "Ttti) y "rtta) 
son los vectores de posición 
de la partícula en dos 
instantes cualesquiera ti y 
ts, la diferencia de los dos 
vectores de posición define 
el deaplazamiento de la 
partícula durante el intervalo 
de tiempo (ti,t2). Este 
desplazamiento se mide "en 
línea recta" sin considerar la 
curvatura de la trayectoria. 
/ S ? { t í , t z ) =~?(t2)-7(tl) 
16 
El cociente entre el desplazamiento y el tiempo 
transcurrido es la ve loc idad media durante el intervalo de 
tiempo (ti.tz): 
<v>(ti,t2) =?(t2)r7(tl) = Ar. 
t2-tl Z\t 
Evidentemente, esta ecuación considera solamente el efecto 
total, pero no las posibles variaciones de velocidad durante 
el tiempo considerado. Para obtener la v e loc idad 
I n s t a n t á n e a , ee decir, la velocidad en un instante 
cualquiera, como tx. se argumenta como sigue: 
si se hace que el instante ta 
se aproxime cada vez más al 
instante ti, so disminuye cada vez 
más la probabilidad de que haya 
variaciones de velocidad en el 
intervalo de tiempo (ti,t2). El 
valor limite de la velocidad media 
/
•,í.— ' \ <v>(ti,t2) cuando t2 tiende a ti es 
*" \ la velocidad instantánea en el 
instante ti. 
~v(ti) = lim 'pftg)-'r(tl̂ = lim / ^ 
t2->ti t2-ti z\t->o y \ t y en cualquier instante t. 
v(t) = dx 
dt 
La velocidad es, sin duda, un vector pues aparece 
matemáticamente como un cociente entre el vector 
desplazamiento y la magnitud escalar tiempo; pero lo es, 
sobre todo, de acuerdo con su significado físico, puesto que 
tiene un módulo y una dirección: su módulo, llamado r a p i d e z , 
es la distancia recorrida E>or unidad de tiempo a lo largo de 
la curva; su dirección es la de la posición límite del 
vector desplazamiento cuando ts tiende a ti, es decir, la de 
la tangente a la curva en el punto correspondiente. 
Una manera simple de 
expresar el vector velocidad 
es definiendo un vector 
unitario 13% que tenga la 
dirección de la tamgente a la 
trayectoria y escribiendo 
l̂ "̂̂ •^ = vilí; 
La rapidez v puede calcularse así: si / \ B ee la 
longitud del arco recorrido por la partícula durante el 
intervalo de tiempo de longitud /\t, 
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V = lim 
/\t->0 
/ \ B = 
Z\t 
ds 
dt 
Kt. vector v(t) puede variar de un punto a otro de la 
trayectoria: si la dirección de v no varíe, la trayectorifi 
es rectilínea, y si además no cambia la rapidez, el 
movimiento es uniforme y r e c t i l í n e o . Si la dirección de la 
velocidad cambia al transcurrir el tiempo, ol movimiento es 
curvilíneo. 
El cambio de velocidad entre dos instantes ti y t2 está 
dado por la diferencia de los vectores velocidad: 
Z\v(tl,t2) = VÍt2) - V(tl). 
Esta operación incluye los cambios en la magnitud de la 
velocidad así como los cambios en su dirección. Para 
determinar gráficamente el cambio de velocidad se debe 
desplazar paralelamente uno de los dos vectores, de forma 
que coincidan los orígenes de ambos vectores (una 
translación paralela no modifica el vector). 
^ ^ • ) 
\/X. 
V .y.) 
v H u ^ 
b . ^ 
V(.-t. 
La a c e l e r a c i ó n media durante un intervalo de tiemp̂ o 
cualquiera (ti,t2) se obtiene dividiendo la variación de la 
velocidad por el tiempo corresE>ondiente: 
<a>(ti,t2) = yX.t2Ĵ y(tj.l = Z j i X ( t i , t z ) 
t2-tl 7\t 
El paso al límite, cuando tz tiende a ti, define la 
aceleración instantánea 
a = lim 
At->0 
Z\Y = ilV 
A t dt 
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La dirección del vector aceleración os la dirección 
límite del vector cambio de velocidad /Av cuando t2 tiende a 
ti, razón por la cual la aceleración eetá siempre dirigida 
hacia la parte cóncava de la curva. 
.yv"*») • _^ Si únicamente cambia la 
magnitud de la velocidad, lá 
aceleración a tiene la misma 
dirección quo la velocidad v, 
o dirección contraria, según 
se trate de aumentos o 
disminuciones de la rapidez. 
Si únicamente cambia la 
dirección de la velocidad, el 
vector aceleración es 
perpendicular al vector 
velocidad, es decir, 
perpendicular a la tangente y 
se llama aceleración normal. 
( normal = perpendicular ) 
En el caso general de variación tanto de la magnitud como de 
la dirección de la velocidad, se tendrá una componente 
tangencial y una componente normal de la aceleración. La 
aceleración total será la composición vectorial de estas dos 
componentes. 
\